随着人们生活水平的提高，可以自由支配时间的增多，旅游成为众人青睐的放松方式。旅游消费带动了旅游服务供应链上下游企业的消费，如酒店的消费。游客在旅游过程中，都会选择自己合适的酒店入住。如果是旅游淡季，酒店客房不紧张，游客的选择机会较多；但如果是旅游旺季，酒店客房紧张，游客若是临时订房，很可能会订不到房。为此，酒店客房的提前预订将是非常重要的。在信息化网络时代，网络技术普及应用，“互联网+”环境已成气候，人们越来越习惯且越来越熟练利用网络技术处理日常事务。网络技术在酒店服务业内广泛应用，如出现了酒店的自身的门户网站、在线旅行社(OTA：如携程、去哪儿、同程旅游等)。通过这些网站，游客可以预订自己合适的机票、合适的酒店以及合适的旅游线路等。机票的预订票价是在线提前支付的。而在酒店客房的预订中，绝大多数是不需要在线提前支付的，往往是采取到店支付模式。从游客网上预订客房到其到达酒店办理登记入住之间存在时间差。在这段时间内，由于游客需求的不确定性以及无风险性，往往会出现No-Show现象(即预订了客房，但由于某种原因未到酒店办理入住)。这给酒店带来了空房的风险。为弥补No-Show现象给酒店带来经济损失，酒店在预订期内采取超售策略，即预订比酒店实际客房量更多的客房出去。然而，由于超售策略本身就是一把双刃剑，适度的超售会增加酒店收入，但过度的超售不但不会给酒店带来更多收入，反而会给酒店的信誉和经济造成损失。为此，为确定出酒店最优的超额预订水平，本文假定酒店管理的决策者是风险中性的，旅客登记入住率 r的概率分布已知，在此基础上，通过构建数学模型确定酒店最优超售水平。

1 文献综述

超售，即销售比既定量更多的营销方式，在实际应用中比较广泛，如机票的超售、酒店客房的超售、班轮的超售、集装箱船舱容的超售等。但最早应用在航空机票的预售中，航空机票的超售较为成熟，后来慢慢推广应用到其他领域。航空领域的超售模型主要分为静态超售和动态超售：静态超售模型主要假设研究过程中影响最优客票超订量的相关因素不随时间的变化而变化，即假定是一定的条件下来研究最优超售量；相反，动态超售模型则是指预订过程中影响最优客票超订量相关因素是随着时间动态变化的。如Beckmann^{[1- 2]}建立了单期静态超售模型，考虑顾客预订取消现象，并假设订单取消的概率为独立同分布的随机变量，研究结果表明预订上限策略为最优预订策略；Subramanian^[3]等综合分析了机票预订取消、预订未取消但退票、延误班机、超售及动态性需求等因素，构建了航空飞机舱位控制模型，采用离散时间下的马尔可夫过程研究了单航段飞机座位分配问题，给出了最优预订策略。Rothstein^[4]将航空公司和酒店的预订管理做了对比，构建马尔可夫序列决策模型，给出了酒店预订决策方案以及酒店客房最优超售水平；王晓敏等^[5]分析了可替代因素和风险偏好的条件下，构建基于指数效用函数的酒店可替代产品的超售模型。梅虎等^[6]从服务补救角度建立酒店客房超售控制模型，从客房超售的前期工作、服务补救过程控制以及风险控制3个方面提出客房超售优化策略；刘淑芹^[7]分析了顾客预订酒店客房订单取消现象以及不取消但出现No-Show情形下，构建了酒店客房的最优超售决策模型，采用半绝对偏差度量收益风险，并转变为线性规划模型求解。研究结果表明：酒店客房的最优超售水平受游客到达酒店分布情况、酒店决策者风险偏好、客房的售价以及过度超售带来的惩罚成本等因素的影响；于辉等^[8]研究了2个不同价格酒店在竞争与合作情况下，低价房预留数目的设定策略。

由上综述可知，研究超售问题涉及静态超售和动态超售；有研究单期超售，也有研究多期超售；有研究单一服务产品类型的超售问题，也有研究多等级服务产品类型的超售问题。本文针对风险中性的决策者，在酒店客房旅客登记入住率 r的概率分布已知条件下，通过最大化期望收益优化处理模型，得到预定期内一定条件下最优的超售水平。

2 模型的建立

客房预订的模型假设：

1)问题讨论环境为旅游旺季，游客订请求无限；由于游客需求不确定性，No-Show现象等会导致酒店空房，为减少空房，酒店采取超售策略。

2)酒店固定成本变化不大，故忽略不计以简化问题的研究。

3)假设酒店的决策者是风险中性的。

基于上述假设，参数设计如下：

C为酒店客房房间数， C＞0；

p为酒店客房的单位售价， p＞0；

Δ p为酒店发生实际超售时，单位客房惩罚成本，主要包括经济赔偿、额外的运作成本、信誉损失等，Δ p＞0；

Q为酒店客房的预订量，由于酒店实行超售策略，则存在 Q≥ C＞0，决策变量；

r为游客到达酒店办理登记入住率，即实际到店游客与预订游客总量之比，0≤ r≤1， r是一个随机变量；

k为客房的后期销售率，当 rQ＜ C时，表明酒店次日预订开始前，酒店还有空房可继续对临散性游客销售，0≤ k≤1，即对外销售量为 k( C–rQ)；

F( r)为随机变量 r的累积分布函数；

f( r)为随机变量 r的概率密度函数；

$\pi (Q)$ 为酒店的净收益，其期望收益为 E[ $\pi (Q)$ ]。

2.1 模型的构建

依据上述假设及参数介绍，酒店运行一次的净收益可表示为

$\quad\quad \pi (Q) = \left\{ \begin{array}{l}pC - \Delta p\left( {rQ - C} \right),\;\;{\rm{if}}{\kern 1pt} rQ {\text{≥}} C;\\prQ + pk\left( {C - rQ} \right),\;{\rm{if}}\;rQ {\text{＜}} C{\text{。}}\end{array} \right.$

(1)

将式(1)转化为

$\begin{split}& \quad\quad \pi (Q) = p \cdot {{\min} _1}\left( {rQ,C} \right) + pk\left[ {{{\min }_2}\left( {rQ,C} \right) - rQ} \right] - \\& \Delta p\left[ {\max \left( {rQ,C} \right) - C} \right]{\text{。}}\end{split}$

(2)

在式(2)中， ${\min _1}\left( {rQ,C} \right) = rQ - {\left( {rQ - C} \right)^ + }$ ， ${\min _2}\left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + }$ ， $\max \left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + }$ (其中 ${x^ + } = \max \left\{ {x,0} \right\}$ )。

1)当 $rQ {\text{≥}} C$ 时，依据 ${x^ + } = \max \left\{ {x,0} \right\}$ ，有：

$\begin{array}{l}{\min _1}\left( {rQ,C} \right) = rQ - {\left( {rQ - C} \right)^ + } = rQ - rQ + C = C,\\[5pt]{\min _2}\left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + } = rQ,\\[5pt]\max \left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + } = C + rQ - C = rQ{\text{。}}\end{array}$

代入式(1)得：

$\begin{split}\\[-1pt]\pi (Q) = & p \cdot {{\rm min}_1}\left( {rQ,C} \right) + pk\left[ {{{\min }_2}\left( {rQ,C} \right) - rQ} \right] - \\ & \Delta p\left[ {\max \left( {rQ,C} \right) - C} \right] = \\& pC + pk\left( {rQ - rQ} \right) - \Delta p\left( {rQ - C} \right) = \\& pC - \Delta p\left( {rQ - C} \right)\end{split}$

这与式(1)中当 $rQ {\text{≥}} C$ 的表达式是一致的。

2)当 $rQ {\text{≥}} C$ 时，依据 ${x^ + } = \max \left\{ {x,0} \right\}$ ，有：

$\begin{split}&\quad\quad{{\rm min}_1}\left( {rQ,C} \right) = rQ - {\left( {rQ - C} \right)^ + } = rQ - 0 = rQ,\\ &\quad\quad {{\rm min}_2}\left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + } = C + 0 = C,\\ & \!\quad\quad\max \left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + } = C + 0 = C{\text{。}}\end{split}$

代入式(1)有：

$\begin{split}\pi (Q) = & p \cdot {{\rm min}_1}\left( {rQ,C} \right) + pk\left[ {{{\rm min}_2}\left( {rQ,C} \right) - rQ} \right] - \\& \Delta p\left[ {\max \left( {rQ,C} \right) - C} \right] = \\& prQ + pk\left( {C - rQ} \right) - \Delta p\left( {C - C} \right) = \\& prQ + pk\left( {C - rQ} \right){\text{。}}\end{split}$

这与式(1)中当 $rQ{\text{＜}} C$ 的表达式也是一致的。

为此，将 ${\min _1}\left( {rQ,C} \right) = rQ - {\left( {rQ - C} \right)^ + }$ ， ${\min _2}\left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + }$ ， $\max \left( {rQ,C} \right) = C + {\left( {rQ - C} \right)^ + }$ 代入式(2)有：

$\quad\quad \pi (Q) \!=\! \left( {1 \!-\! k} \right)prQ \!+\! pkC \!-\! \left( {p \!+\! \Delta p \!-\! pk} \right){\left( {rQ \!-\! C} \right)^ + }\text{。}$

(3)

则酒店的期望收益可表示为

$\begin{split}\quad\quad E\left[ {\pi (Q)} \right] = & \left( {1 - k} \right)pQE\left( r \right) - \\& \left( {p + \Delta p - pk} \right)E\left[ {{{\left( {rQ - C} \right)}^ + }} \right]{\text{。}}\end{split}$

(4)

对于风险中性的决策者来说，期望收益的最大化是最关注的问题，即

$\quad\quad\mathop {\max }\limits_{Q {\text{≥}} C} \left\{ {E\left[ {\pi (Q)} \right]} \right\}{\text{。}}$

(5)

假设随机变量 r的概率分布信息已知(即 F( r)或 f( r)表达式已知)，则式(4)可以转化为如式(6)所示。

$\begin{split} E\left[ {\pi (Q)} \right] = & \left( {1 - k} \right)pQE\left( r \right) - \left( {p + \Delta p - pk} \right)E\left[ {{{\left( {rQ - C} \right)}^ + }} \right] = \\& \left( {1 - k} \right)pQ\int_0^1 {rf\left( r \right)} {\kern 1pt} {\rm{d}}r - \left( {p + \Delta p - pk} \right)\cdot \\ & \int_{C/Q}^1 {\left( {rQ - C} \right)} f\left( r \right){\rm{d}}r{\text{。}}\cdot\end{split}$

(6)

设 rf( r)是可积函数，其原函数表示为 H( r)，即：

$ \quad\quad H\left( r \right) = \int_o^r {rf\left( r \right){\rm{d}}r,\;\frac{{\partial H\left( r \right)}}{{\partial r}}} = rf\left( r \right){\text{。}}$

(7)

定理1 假设酒店客房游客到店登记入住率 r的概率分布为 F( r)和 f( r)，则酒店客房的最优预订水平 Q ^*满足：

$ \quad\quad {Q^*} = \frac{C}{{{H^{ - 1}}\left[ { \displaystyle\frac{{\Delta pH\left( 1 \right) + \left( {1 - k} \right)pH\left( 0 \right)}}{{\left( {1 - k} \right)p + \Delta p}}} \right]}}{\text{。}}$

(8)

证明 对式(6)求关于 Q的一阶、二阶偏导数有：

$\begin{split}\displaystyle\frac{{\partial E\left[ {\pi \left( Q \right)} \right]}}{{\partial Q}} = \left( {1 - k} \right)p\int_0^1 {rf\left( r \right)} {\rm{d}}r - \\\left( {1 - k} \right)p\int_{C/Q}^1 {rf\left( r \right)} {\rm{d}}r - \Delta p\int_{C/Q}^1 {rf\left( r \right)} {\rm{d}}r,\end{split}$

(9)

$ \quad\quad \frac{{\partial {E^2}\left[ {\pi \left( Q \right)} \right]}}{{\partial {Q^2}}} = - \frac{{\left[ {\left( {1 - k} \right)p + \Delta p} \right]{C^2}}}{{{Q^3}}}f\left( {\frac{C}{Q}} \right){\text{。}}$

(10)

由式(10)可看出，因为 p＞0，Δ p＞0， C＞0， Q＞0，0≤ k≤1且 $f\left( {\displaystyle\frac{C}{Q}} \right)$ ＞0，则显然有 $ \displaystyle\frac{{\partial {E^2}\left[ {\pi \left( Q \right)} \right]}}{{\partial {Q^2}}}$ ＜0成立，由此可知， E[ $\pi (Q)$ ]是关于 Q的严格凹函数，即存在唯一的 Q ^*使 E[ $\pi (Q)$ ]最优。

令 $ \displaystyle\frac{{\partial E\left[ {\pi \left( Q \right)} \right]}}{{\partial Q}} = 0$ ，有 ${Q^*} = \displaystyle\frac{C}{{{H^{ - 1}}\left[ {\displaystyle\frac{{\Delta pH\left( 1 \right) + \left( {1 - k} \right)pH\left( 0 \right)}}{{\left( {1 - k} \right)p + \Delta p}}} \right]}}$ 。证毕。

从式(8)可以看出，最优预订水平 Q ^*与客房单位售价 p、超售单位损失Δ p、继续对外销售率 k、入住率 r等因素直接相关，为此，对这些因素与 Q ^*的灵敏度分析如下。

性质1 当游客到达酒店办理登记入住概率 r分布已知情况下，预售期内酒店客房最优预订水平 Q ^*将随着客房单价 p的增加而增加。

证明 令

$\begin{split}&\quad\quad \left( {1 - k} \right)p\int_0^1 {rf\left( r \right)} {\kern 1pt} {\rm{d}}r = \left( {1 - k} \right)p\int_{C/{Q^*}}^1 {rf\left( r \right)} {\rm{d}}r + \\& \Delta p\int_{C/{Q^*}}^1 {rf\left( r \right)} {\rm{d}}r{\text{。}}\end{split}$

(11)

两边对 p求一阶偏导数，有：

$\frac{{\partial {Q^*}}}{{\partial p}} = \frac{{\left( {1 - k} \right)\int_0^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r - \left( {1 - k} \right)\int_{C/{Q^*}}^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r} } }}{{\left[ {\left( {1 - k} \right)p + \Delta p} \right]\displaystyle\frac{{{C^2}}}{{{{\left( {{Q^*}} \right)}^3}}}f\left( {\displaystyle\frac{C}{{{Q^*}}}} \right)}}{\text{。}}$

(12)

在式(12)中，显然有 $\left[ {\left( {1 - k} \right)p + \Delta p} \right] \displaystyle\frac{{{C^2}}}{{{{\left( {{Q^*}} \right)}^3}}}f\left( {\displaystyle\frac{C}{{{Q^*}}}} \right)$ ＞0且 $\left( {1 - k} \right)\displaystyle\int_0^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r - \left( {1 - k} \right)\int_{C/{Q^*}}^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r} } {\text{＞}} 0$ 成立，则有，

$ \quad\quad \frac{{\text{∂} {Q^*}}}{{\text{∂} p}}{\text{＞}} 0{\text{。}}$

(13)

这说明酒店客房预售期内最优的预订水平 Q ^*将随着客房单价 p的增加而增加，证毕。

这一结论与酒店实际运作是相符的，即如果酒店在预售期内客房的单位售价越高，则希望销售更多的客房，理论与实际一致。

性质2 当游客到达酒店办理登记入住概率 r分布已知情况下，最优预订水平 Q ^*随着超售单位客房惩罚带来的损失Δ p的增加而减少。

证明 就式(11)两边同时对Δ p求一阶偏导数，有：

$ \quad\quad\frac{{\text{∂} {Q^*}}}{{\text{∂} \Delta p}} = \frac{{ - \displaystyle\int_{C/{Q^*}}^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r} }}{{\left[ {\left( {1 - k} \right)p + \Delta p} \right]\displaystyle\frac{{{C^2}}}{{{{\left( {{Q^*}} \right)}^3}}}f\left( {\frac{C}{{{Q^*}}}} \right)}}{\text{。}}$

(14)

显然 $ \displaystyle\frac{{\text{∂} {Q^*}}}{{\text{∂} \Delta p}} {\text{＜}} 0$ ，表明最优预订水平 Q ^*随着超售单位损失Δ p的增加而减少，证毕。

实际中，若酒店超售成本越大，酒店将会采取少量的超售策略。

性质3 当游客到达酒店办理登记入住概率 r分布已知情况下，预售期内酒店客房最优预订水平 Q ^*将随着后期对外销售率 k的增加而减少。

证明 将式(11)两边同时对 k求一阶偏导数，有

$ \quad\quad \frac{{\text{∂} {Q^*}}}{{\text{∂} k}} = \frac{{ - p \displaystyle\int_0^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r} + p\int_{C/{Q^*}}^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r} }}{{\left[ {\left( {1 - k} \right)p + \Delta p} \right]\displaystyle\frac{{{C^2}}}{{{{\left( {{Q^*}} \right)}^3}}}f\left( {\frac{C}{{{Q^*}}}} \right)}}{\text{。}}$

(15)

显然， $ - p \displaystyle\int_0^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r} + p\int_{C/{Q^*}}^1 {rf\left( r \right){\rm{d}}r} < 0$ ， $\left[ {\left( {1 - k} \right)p + \Delta p} \right] \displaystyle\frac{{{C^2}}}{{{{\left( {{Q^*}} \right)}^3}}}f\left( {\frac{C}{{{Q^*}}}} \right) {\text{＞}} 0$ 成立，则有 $ \displaystyle\frac{{\text{∂} {Q^*}}}{{\text{∂} k}} {\text{＜}} 0$ ，表明最优预订水平 Q ^*将随着后期销售率 k的增加而减少，证毕。

这表明，若后期销售率 k越大，则在前期客房最优预订水平 Q ^*越少越好。若后期能销售更多客房出去。酒店在前期预订过程中可考虑预订较少的客房出去，这主要是因为前期客房的销售不确定性因素较大，对酒店会带来不利影响，这在实际中也是如此。

2.2 数值案例

上述对酒店客房的最优预订水平作了理论上的研究，下面将通过数值分析来确定酒店客房的最优预订水平 Q ^*及最优期望收益值。

设某星级酒店客房量 C=320(注：指同一类型的客房，如标双房)，游客到酒店办理登记入住概率 r服从[0.65, 1.0]上的均匀分布，客房单价 p=420元，超售成本Δ p=2 050元， k=0.3，据此求酒店客房的最优预订水平 Q ^*。结果按四舍五入取整处理。

由假设可知， r服从[0.65, 1.0]上的均匀分布，则其概率密度可表示为

$ \quad\quad f\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\displaystyle\frac{1}{{n - m}} = \frac{1}{{0.35}},}&{0.65 {\text{≤}}r {\text{≤}} 1.0}\text{；}\\[10pt]{0,}& {\text{其它。}}\end{array}} \right.$

于是式(3)~(9)可改写为

$\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\partial E\left[ {π \left( Q \right)} \right]}}{{\partial Q}} = \left( {1 - k} \right)p\int_{0.65}^1 {\frac{1}{{0.35}}} r{\kern 1pt} {\rm{d}}r - \\\left( {1 - k} \right)p \displaystyle\int_{C/Q}^1 {\frac{1}{{0.35}}r} {\rm{d}}r - \Delta p\int_{C/Q}^1 {\frac{1}{{0.35}}r} {\rm{d}}r{\text{。}}\end{array}$

令 $ \displaystyle\frac{{\text{∂} E\left[ {π \left( Q \right)} \right]}}{{\text{∂} Q}} = 0$ ，即有： $\left( {1 - k} \right)p \displaystyle\int_{0.65}^{C/Q} r f(r){\rm{d}}r - $ $\Delta p$ $ \displaystyle\int_{C/Q}^1 {rf(r)} {\rm{d}}r = 0$ ，推算分析如下：

$\begin{split}& \left( {1 - k} \right)p\int_{0.65}^{C/Q} r f(r){\rm{d}}r - \Delta p\int_{C/Q}^1 {r f(r)} {\rm{d}}r = \\& \left( {1 - k} \right)p\left[ {H\left( {C/Q} \right) - H\left( {0.65} \right)} \right] - \\& \Delta p\left[ {H\left( 1 \right) - H\left( {C/Q} \right)} \right] = \\& \left( {1 - k} \right)pH\left( {C/Q} \right) - \left( {1 - k} \right)pH\left( {0.65} \right) - \\& \Delta pH\left( 1 \right) + \Delta pH\left( {C/Q} \right) = \\& \left( {1 - k} \right)pH\left( {C/Q} \right) + \Delta pH\left( {C/Q} \right) - \\& \left( {1 - k} \right)pH\left( {0.65} \right) - \Delta pH\left( 1 \right) = 0\end{split}$

即有：

$ \quad\quad H\left( {C/Q} \right) = \frac{{\Delta pH(1) + \left( {1 - k} \right)pH(0.65)}}{{\left( {1 - k} \right)p + \Delta p}}{\text{。}}$

则有：

$\begin{split}{Q^*} = & \displaystyle\frac{C}{{{H^{ - 1}}\left[ { \displaystyle\frac{{\Delta pH(1) + \left( {1 - k} \right)pH(0.65)}}{{\left( {1 - k} \right)p + \Delta p}}} \right]}} = \\& \displaystyle\frac{{320}}{{\sqrt { \displaystyle\frac{{2\;050 \times {1^2} + 0.7 \times 420 \times {{0.65}^2}}}{{0.7 \times 420 + 2\;050}}} }} = 332{\text{。}}\end{split}$

最优的预订水平 Q ^*=332，最优超售量Δ Q ^* = Q ^*– C=332-320=12，则得到最优的超售率为 $\eta = \Delta {Q^*}/C = $ $ 12/320 = 3.75\% $ ，即在案例条件下，酒店为避免空房导致收益下降，采取超售策略时，应将超售量控制在3.75%左右，这样酒店将可获取最大收益。

3 总结

酒店客房在预订期间为能提高客房入住率以提高酒店收益，往往会采取超售战略，但超售是一把双刃剑，适度的超售可以提高酒店收益，但过度的超售不但不会提高酒店收益，反而会降低酒店收益，甚至会影响到酒店的声誉。所以，适量的超售对于酒店来说至关重要。本文在假定酒店决策者是风险中性且在完全信息条件下构建了数学模型确定酒店最优超售量 Q ^*，最优超订水平 Q ^*与客房单位售价 p、超售单位损失Δ p、继续对外销售率 k、入住率 r等因素直接相关。

从文章假设条件可以看出，文章的研究有一定的局限性，故在本文的基础上还可以继续研究的是：1)从决策者风险中性扩展至风险偏好或风险规避对问题进行研究；2)为使模型更为现实，完全信息条件下开展的研究扩展至部分信息条件下的研究，如由于市场特征的模糊性、需求不稳定性，可能会直接导致旅客到达率具体分布情况难以预知，故开展部分信息条件下的研究更能体现实际情况；3)本文缺少对酒店期望收益与各因素之间关系的详细研究。