近年来，采购全球化使得企业遭受供应风险的可能性越来越大。本文主要考虑两种类型的供应风险：一类是中断风险，是由于不可控因素如自然灾害(地震、海啸、火山喷发)、机器故障等导致的供应中断。2011年日本大地震造成当地数百家汽车零部件供应商停产，许多汽车制造商被迫中断生产达半年之久^[1]。另一类是延期风险，由于供应商运输方式的选择、生产流程的安排，追求低成本等原因导致的不能按时交货。泰国CAT电信曾因华为延期交付覆盖51个省的CDMA网络而损失了商机^[2]。现实中企业常常通过罚金策略应对供应风险。华为与CAT电信合同约定，华为需为其延期交付支付每天9 000万泰铢的罚款^[2]。信息不对称普遍存在于供应链上下游之间。很显然，制造商无法准确地了解上游供应商自身财务状况、运营状况、原料采购等方面的信息。当供应商的供应风险源于上述决策时，供应商往往比制造商更了解风险发生的可能性^[3]。本文研究的问题就是：考虑到制造商可能同时遭受供应中断风险和延期交货风险，而供应商拥有关于供应可靠性的私有信息，制造商如何设计采购合同实现最大化期望利润。

以往有很多关于供应风险的研究，在供应中断方面，Yang等^[3]分析了供应商的后备生产决策。盛方正等^[4]研究了供应链中当供应商可能发生突发事件的情况下，使用罚金合同协调供应链的问题。Dada^[5]研究了零售商对多个供应不可靠的供应商的选择及订货问题。Tullous Raydel^[6]提出在市场不确定性高时，制造商会选择多个供应商供货以防止供货中断。在供应延期方面，Kouvelis等^[7]研究了在确定性需求下当供应商的提前期不确定时，零售商向后备供货源进行订货的策略。杨文胜^[8]研究了在时间敏感性需求的市场中，当供应商可能延迟交货时，供应链企业的交货期相关定价最优决策。马士华等^[9]研究了由一个零售商和分销商组成的MTO供应链中，在分销商可能供货延期的情况下，零售商通过在合同中设立罚金优化供应链整体利润。上述文献都只是单方面地研究了供应商中断风险或者延期风险的应对策略，没有考虑供应商中断风险和延期风险并存时的情况。现实中供应风险可能使得供应商完全无法交货，也可能延期交货，两种情况下给制造商带来的损失不同，制造商的应对措施也不同。同时考虑这两类风险来设计采购合同，这是本文与前述文献的主要区别。

1 模型

制造商向供应商采购零部件以满足其固定需求 D^[3]，不失一般性设 D=1。供应商有可能发生生产的随机中断，是不可靠的(存在供应风险)，且可靠性为其私有信息。假设市场上存在两种类型的供应商，高可靠性(高类型； H)和低可靠性(低类型； L)。制造商只知道市场上高可靠性供应商存在的概率为 α∈(0, 1)，而低可靠性供应商存在的概率为(1- α)。 ρ _i 为 i类型供应商的随机产出率，即供应可靠性， ρ _i 服从伯努利分布，当 ρ _i =1时，供应商完全可靠，当 ρ _i =0时，供应商生产完全中断，这是表述供应中断的常见假设^[3]：

$\quad\quad {\rho _i}{\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{l}1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{概率为}}\;{\theta _i};\\0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{概率为}}\;1 - {\theta _i}{\text{。}}\end{array} \right.$

供应商的交货期是成本可控，沿用以往文献的假设，单位生产成本表示为 $c/(M + {\tau _i})$ ^[10]，其中 $M + {\tau _i}$ 为供应商的交货提前期。 $c/(M + {\tau _i})$ 表示单位生产成本随着交货提前期单调递减。 M为制造商要求的正常交货期， τ _i 为供应商可能发生的延期天数，0≤ τ _i ≤ T， T为制造商所能接受的最长延期天数。若供应商的延期天数 τ _i ＞ T，制造商将不接受交货，视为供应商缺货处理。 y _i 为 i类型供应商所决定的生产数量。 $\{ {X_i},{q_i},{p_{1i}},{p_2}_i\} (i = H\;{\rm{or}}\;L)$ 为制造商提供给供应商的订货合同，其中 ${X_i}({X_i} {\text{≥}} 0)$ 为事前的转移支付； ${q_i}({q_i} {\text{≥}} 0)$ 为订货量； ${p_1}_i({p_1}_i {\text{≥}} 0)$ 为单位缺货罚金； ${p_2}_i({p_2}_i {\text{≥}} 0)$ 为单位产品单位天数的延期罚金。 r为单位产品给制造商带来的收益， $\pi$ _s为供应商的总利润， $\pi$ _m为制造商的总利润。

图1描述了事件发生的时间顺序。1）自然将可靠性类型透露给供应商，而制造商并不知道；2）制造商向供应商提供一组合同菜单；3）供应商选择合同，并决定自己的最优产量和最优交货提前期，供应商选择生产；4）供应商将货物送达并支付相应的罚金。

1.1 供应商的最优产量和最优提前期

若 i类型供应商选择了合同 $\{ {X_j},{q_j},{p_{1j}},{p_2}_j\} $ ( i= H or L)，其生产数量和延期天数分别为 $y_i^j$ 和 $\tau _i^j$ ，未实现的订货量为 ${({q_j} - {\rho _i}y_i^j)^ + }$ ，缺货罚金为 ${p_{1j}}{({q_j} - {\rho _i}y_i^j)^ + }$ 。延期罚金为 ${p_{2j}}({\rho _i}y_i^j)\tau _i^j$ 。因此，可靠性为 i类型的供应商利润最大化模型如下：

$ \mathop {\max {\pi _{{\rm{s}}i}}}\limits_{y_i^j {\text{≥}} 0,\tau _i^j {\text{≥}} 0} \!=\! {X_j} \!-\! [cy_i^j/(M \!+\! \tau _i^j)] \!-\! {p_{1j}}E{({q_j} \!-\! {\rho _i}y_i^j)^ + } \!-\! {p_{2j}}E({\rho _i}y_i^j)\tau _i^j,$

(1)

供应商的利润 $\pi$ _{s i} 来自制造商的事前转移支付 X _j ，减去生产成本 $cy_i^j/(M + \tau _i^j)$ ，缺货罚金 ${p_{1j}}E{({q_j} - {\rho _i}y_i^j)^ + }$ 以及延期罚金 ${p_{2j}}E({\rho _i}y_i^j)\tau _i^j$ 。最大化供应商的利润可得如下引理。

引理1 给定 i类型供应商选择了合同 $\{ {X_j},{q_j},{p_{1j}},{p_2}_j\} $ ( i= H or L)，若 ${p_{1j}} {\text{≥}} 2{({p_{2j}}c/{\theta _i})^{1/2}} - {p_{2j}}M$ ，则最优生产数量为 $y_i^{j*} = {q_j}$ 且 $\tau _i^{j*} = {(c/{p_{2j}}{\theta _i})^{1/2}} - M$ ，其他情况下， $y_i^{j*} = 0,\tau _i^{j*} = 0$ 。

证明：根据 ρ _i 服从伯努利分布，式(1)中的 $\pi$ _{s i} 可改为 ${\pi _{{\rm{s}}i}}{\rm{ = }}{X_j} - [cy_i^j/(M + \tau _i^j)] - {p_{1j}}[{\theta _i}{({q_j} - y_i^j)^ + } + (1 - {\theta _i}){q_j}] - $ ${p_{2j}}{\theta _i}y_i^j\tau _i^j$ ， $\pi$ _{s i} 是关于 $y_i^j$ 的分段函数，分情况讨论可得引理1。证毕。

由证明可知，在决策最优产量时，供应商需要在不生产和生产量等于订货量这两种策略中权衡。具体决策与自身可靠性、罚金以及制造商要求的正常交货期有关。中断罚金的大小决定了供应商是否选择生产。当供应商选择生产时，延期罚金的大小决定了供应商的交货期，且最优交货期随延期罚金的增加而减小，而与订货量无关。这意味着，制造商在合同签订时可以通过增加延期罚金来激励供应商按时交货。

1.2 对称信息下制造商的最优采购合同

对称信息下，制造商知道供应商的类型，将对 i类型的供应商给出合同 $\{ {X_i},{q_i},{p_{1i}},{p_2}_i\} $ 。此时制造商的最优决策如下。本文用“F”表示“对称信息”。

$\begin{split}& \mathop {\max \pi _{{\rm{m}}i}^{\rm{F}}}\limits_{({X_i},{q_{i,}}{p_{1i,}}{p_{2i}})} \!\!=\!\! rE\min ({\rho _i}y_i^*,D) \!\!+\!\! {p_{1i}}E{({q_i} \!-\! {\rho _i}y_i^*)^ + } \!\!+\!\! {p_{2i}}({\rho _i}y_i^*)\tau _i^* \!-\! {X_i},\\[1pt]& {\rm{s}}.{\rm{t}}.\\[1pt]& ({\rm{IR}})\;\;\;{X_i} \!-\! [cy_i^*/(M{\rm{ + }}\tau _i^*)]\! -\! {p_{1i}}E{({q_i} \!-\! {\rho _i}y_i^*)^ + } \!-\! {p_{2i}}E({\rho _i}y_i^*)\tau _i^* {\text{≥}} 0,\\[1pt]& \;\;\;\;\;\;\;\;(y_i^*,\tau _i^*) = \arg \max {X_i} - [c{y_i}/(M{\rm{ + }}{\tau _i})] - {p_{1i}}E{({q_i} - {\rho _i}{y_i})^ + } - \\[1pt]& \;\;\;\;\;\;\;\;{p_{2i}}E({\rho _i}{y_i}){\tau _i}, \\& \;\;\;\;\;\;\;\; {X_i},{q_i},{p_{1i}},{p_{2i}}, {\text{≥}} 0,\;0 {\text{≤}} {\tau _i} {\text{≤}}T,i = H\;{\rm{or}}\;L{\text{。}}\quad\quad\quad\quad \end{split}$

(2)

${\pi _{{\rm{m}}i}^{\rm{F}}}$ 是供应商类型为 i时制造商所得的利润，这等于销售收益 $rE\min ({\rho _i}y_i^*,D)$ ，加上供应商缴纳的缺货罚金 ${p_{1i}}E{({q_i} - {\rho _i}y_i^*)^ + }$ 以及延期罚金 ${p_{2i}}({\rho _i}y_i^*)\tau _i^*$ ，再减去支付给供应商的报酬 X _i 。由于存在两种类型的供应商，制造商在对称信息下的期望利润 $\pi _{\rm{m}}^{\rm{F}} = \alpha \pi _{{\rm{m}}H}^{\rm{F}} + $ $(1 - \alpha )\pi _{{\rm{m}}L}^{\rm{F}}$ 。“IR”为个体理性约束，表示供应商接受合同所得利润不低于其保留利润，为方便计算，令保留利润为0。 $(y_i^*,\tau _i^*)$ 为供应商在相应合同下的最优决策。对称信息下，根据供应商的可靠性，定义如下区间。 ${F_1}:1 {\text{＞}} {\theta _H} {\text{＞}} {\theta _L} {\text{≥}} c/[(M + T)r]$ ； ${F_2}:1 {\text{＞}}{\theta _H} {\text{≥}} $ $c/[(M + T)r]{\text{＞}}{\theta _L}{\text{＞}}0$ ， ${F_3}:1 {\text{＞}} c/[(M + T)r] {\text{＞}} {\theta _H} {\text{＞}} {\theta _L} {\text{＞}} 0$ 。由此可得定理1。

定理1 对称信息下，给定供应商类型为 $i(i\!=\!H\;{\rm{or}}\;L)$ ，制造商的最优合同 $\{ X_i^{\rm{F}},q_i^{\rm{F}},p_{1i}^{\rm{F}},p_{2i}^{\rm{F}}\} $ 及供应商的最优交货期见 表1，其中 $X_i^{\rm{F}} = 2q_i^{\rm{F}}{({p_{2i}}{\theta _i}c)^{1/2}} + {p_{1i}}(1 - {\theta _i})q_i^{\rm{F}} - $ ${p_{2i}}{\theta _i}q_i^{\rm{F}}M$ 。

证明 为最大化自身利润，制造商会尽可能降低 X _i 使约束(IR)取等号。因此有：

$\quad\quad {X_i} \!=\! [cy_i^*/(M \!+\! \tau _i^*)] \!+\! {p_{1i}}E{({q_i} - {\rho _i}y_i^*)^ + } \!+\! {p_{2i}}E({\rho _i}y_i^*)\tau _i^*,$

(3)

将式(3)代入问题(2)中的 $\pi _{{\rm{m}}i}^{\rm{F}}$ 中，化简有：

$\quad\quad \pi ^{\rm{F}}_{{\rm{m}}i} ({q_{i,}}{p_{1i,}}{p_{2i}}) = r{\theta _i}\min (y_i^*,1) - [cy_i^*/(M + \tau _i^*)]\text{。}$

(4)

合同中要求 $0 {\text{≤}}\tau _i^*{\text{≤}} T$ ，因此对 $\tau _i^*$ 的限制条件需做调整。由引理1知：

i) 当 ${p_{1j}} {\text{≥}} 2{({p_{2j}}c/{\theta _i})^{1/2}} - {p_{2j}}M$ 时， $y_i^{j*} = {q_j},\tau _i^{j{\rm{*}}}{\rm{ = }}$ ${(c/{p_{2j}}{\theta _i})^{1/2}} - M$ ，需满足 $c/[{(M + T)^2}{\theta _i}] {\text{≤}} {p_{2i}} {\text{≤}} c/({\theta _i}{M^2})$ 以保证 $0 {\text{≤}} \tau _i^* {\text{≤}} T$ ，此时制造商的利润

$\begin{array}{l}\quad\quad \pi ^{\rm{F}}_{{\rm{m}}i} = r{\theta _i}\min ({q_i},1) - {q_i}{(c{p_{2i}}{\theta _i})^{1/2}}\end{array}$

ii) 当 ${p_{1j}} {\text{＜}} 2{({p_{2j}}c/{\theta _i})^{1/2}} - {p_{2j}}M$ 时， $y_i^{j*} = 0$ 且 $\tau _i^{j*}{\rm{ = }}0$ ，此时制造商利润 $\pi ^{\rm{F}}_{{\rm{m}}i} = 0$ 。

求解并比较(i)、(ii)2种情况可得定理1。证毕。

1.3 不对称信息下的最优采购合同

不对称信息下，目标函数为分别向两种类型供应商订货所得利润的期望，本文用“A”代表“不对称信息”，利润函数最大化模型如下。

$\begin{aligned}& \quad\quad \mathop {\max {\rm{\pi }}_{\rm m}^{\rm{A}}}\limits_{({X_i},{q_i},{p_{1i}},{p_{2i}})} = \alpha \left[ {rE\min ({\rho _H}y_H^{H*},D) + {p_{1H}}E{{({q_H} - {\rho _H}y_H^{H*})}^ + } + {p_{2H}}E({\rho _H}y_H^{H*})\tau _H^{H*} - {X_H}} \right] + \\&\;\;\;\; (1 - \alpha )\left[ {rE\min ({\rho _L}y_L^{L*},D) + {p_{1L}}E{{({q_L} - {\rho _L}y_L^{L*})}^ + } + {p_{2L}}E({\rho _L}y_L^{L*})\tau _L^{L*} - {X_L}} \right]\text{。}\\& \quad\quad {\rm{s.t.}}\\& \quad\quad \left\{ \begin{aligned}& ({\rm IC} - H)_{}^{}\;\;{X_H} - [cy_H^{H*}/(M{\rm{ + }}\tau _H^{H*})] - {p_{1H}}E{({q_H} - {\rho _H}y_H^{H*})^ + } - {p_{2H}}E({\rho _H}y_H^{H*})\tau _H^{H*} {\text{≥}} \\& \quad\quad{X_L} - [cy_H^{L*}/(M + \tau _H^{L*})] - {p_{1L}}E{({q_L} - {\rho _H}y_H^{L*})^ + } - {p_{2L}}E({\rho _H}y_H^{L*})\tau _H^{L*}\text{，}\\& ({\rm IC} - L)_{}^{}\;\;{X_L} - [cy_L^{L*}/(M + \tau _L^{L*})] - {p_{1L}}E{({q_L} - {\rho _L}y_L^{L*})^ + } - {p_{2L}}E({\rho _L}y_L^{L*})\tau _L^{L*} {\text{≥}}\\& \quad\quad {X_H} - [cy_L^{H*}/(M + \tau _L^{H*})] - {p_{1H}}E{({q_H} - {\rho _L}y_L^{H*})^ + } - {p_{2H}}E({\rho _L}y_L^{H*})\tau _L^{H*}\text{，}\\&({\rm IR} - H)\;\;\;{X_H} - [cy_H^{H*}/(M + \tau _H^{H*})] - {p_{1H}}E{({q_H} - {\rho _H}y_H^{H*})^ + } - {p_{2H}}E({\rho _H}y_H^{H*})\tau _H^{H*} {\text{≥}} 0\text{，}\\& ({\rm IR} - L)_{}^{}\;\;{X_L} - [cy_L^{L*}/(M + \tau _L^{L*})] - {p_{1L}}E{({q_L} - {\rho _L}y_L^{L*})^ + } - {p_{2L}}E({\rho _L}y_L^{L*})\tau _L^{L*} {\text{≥}} 0\text{，}\\& (y_i^{j*},\tau _i^{j*}) = \arg \max {X_j} - [cy_i^j/(M + \tau _i^j)] - {p_{1j}}E{({q_j} - \rho _i^jy_i^j)^ + } - {p_{2j}}E(\rho _i^jy_i^j)\tau _i^j\text{，}\\& {X_i},{q_i},{p_{1i}},{p_{2i}}, {\text{≥}} 0,_{}^{}0 {\text{≤}} \tau _i^{j*} {\text{≤}} T,_{}^{}i = H\;_{ \,}^{ }or\;_{ }^{ }L,j = H\;_{\, }^{ }or\;_{ \,}^{ }L\text{。}\end{aligned} \right.\end{aligned}$

(5)

其中(IC)约束为两类供应商的激励相容约束，该约束保证供应商如实报告自己的类型，即高(低)类型的供应商选择针对该类型的合同得到的利润不低于选择低(高)类型的合同；(IR)约束为个体理性约束。不对称信息下，根据供应商的可靠性，定义如下区间。 ${A_1}:1 {\text{＞}} {\theta _H} {\text{≥}} c/[(M + T)r]$ , ${\theta _H} {\text{＞}} {\theta _L} {\text{＞}} $ $g({\theta _H},{\theta _L}); {A_2}\!\!:\!\!1 {\text{＞}} {\theta _H} {\text{≥}} c/[(M + T)r],g({\theta _H},{\theta _L}) {\text{＞}} {\theta _L} {\text{＞}} 0;{A_3}\!\!:\!\!c $ / $ [(M + T)r]{\text{＞}} {\theta _H} {\text{＞}} {\theta _L} {\text{＞}} 0$ 。其中 $g({\theta _H},{\theta _L}) = c/[(M + T)r] + $ $2\alpha c[{\theta _H}/{\theta _L} - {({\theta _H}/{\theta _L})^{1/2}}]/[(M + T)r\left( {1 - \alpha } \right)]$ 。

定理2 不对称信息下，制造商的最优合同 $\{ X_i^{\rm{A}},q_i^{\rm{A}},p_{1i}^{\rm{A}},p_{2i}^{\rm{A}}\} (i = H\;{\rm{or}}\;L)$ 及供应商的最优交货期见 表2，其中 $X_H^{\rm{A}} = 2q_H^{\rm{A}}{(p_{2H}^{\rm{A}}{\theta _H}c)^{1/2}} + p_{1H}^{\rm{A}}(1 - {\theta _H})q_H^{\rm{A}}-$ ${p_{2H}}{\theta _H}q_H^{\rm{F}}M + 2q_L^{\rm{A}}{(p_{2L}^{\rm{A}}{\theta _H}c)^{1/2}}[{({\theta _H}/{\theta _L})^{1/2}} - 1]$ B( B为示性函数；当 $q_L^{\rm{A}}{\text{＞}}0$ 时， B=1；当 $q_L^{\rm{A}}{\text{＜}}0$ ， B=0)， $X_L^{\rm{A}} = $ $2q_L^{\rm{A}}{(p_{2L}^{\rm{A}}{\theta _L}c)^{1/2}} + p_{1L}^{\rm{A}}(1 - {\theta _L})q_L^{\rm{A}} - {p_{2L}}{\theta _L}q_L^{\rm{F}}M$ 。

证明 为最大化自身利润，制造商会尽可能降低 X _i 而使约束(IC- H)和(IR- L)取等号，有：

$\begin{split}{X_H} =& [cy_H^{H*}/(M{\rm{ + }}\tau _H^{H*})] + {p_{1H}}E{({q_H} - {\rho _H}y_H^{H*})^ + } + \\[2pt]& {p_{2H}}E({\rho _H}y_H^{H*})\tau _H^{H*} + {X_L} - [cy_H^{L*}/(M + \tau _H^{L*})] - \\[2pt]& {{p_{1L}}E{{({q_L} - {\rho _H}y_H^{L*})}^ + } - {p_{2L}}E({\rho _H}y_H^{L*})\tau _H^{L*},}\end{split}$

(6)

${X_L} = [cy_L^{L*}/(M + \tau _L^{L*})] + {p_{1L}}E{({q_L} - {\rho _L}y_L^{L*})^ + } + {p_{2L}}E({\rho _L}y_L^{L*})\tau _L^{L*},$

(7)

把式(6)代入约束(IC- H)，不等式左边为高类型供应商的利润：

$\begin{split} {\pi _H} \!= & c[y_L^{L*}/(M{\rm{ + }}\tau _L^{L*}) - y_H^{L*}/(M{\rm{ + }}\tau _H^{L*})] + {p_{1L}}E{({q_L} - {\rho _L}y_L^{L*})^ + } - \\[1pt]& {p_{1L}}E{({q_L} - {\rho _H}y_H^{L*})^ + } + {p_{2L}}E({\rho _L}y_L^{L*})\tau _L^{L*} - {p_{2L}}E({\rho _H}y_H^{L*})\tau _H^{L*}\text{。}\end{split}$

(8)

可以证明在各种情形下 ${\pi _H}{\text{≥}} 0$ 总是成立，因此约束(IR- H)为松约束。

在问题(5)中，先考虑不包含约束(IC- L)的松弛问题，此时问题(5)可改写为

$\begin{split}& {\pi _{\rm{m}}^{\rm{A}} = \pi _{{\rm{m}}H}^{\rm{A}}({q_{H,}}{p_{1H,}}{p_{2H}}) + \pi _{{\rm{m}}L}^{\rm{A}}({q_{L,}}{p_{1L,}}{p_{2L}})}=\\ & \alpha [rE\min ({\rho _H}y_H^{H*},D) - cy_H^{H*}/(M + \tau _H^{H*})] + \\& \{ (1 - \alpha )[rE\min ({\rho _L}y_L^{L*},D) - cy_L^{L*}/(M + \tau _L^{L*})] - \alpha {\pi _H}\} ,\end{split}$

求解 $\pi _{{\rm{m}}L}^{\rm A}({q_{L,}}{p_{1L,}}{p_{2L}})$ 时，由引理1知当 ${p_{1j}} {\text{≥}} 2{({p_{2j}}c/{\theta _i})^{1/2}} - $ ${p_{2j}}M$ 时，供应商才愿意生产，当供应商愿意生产时， $\tau _i^{j*} = {(c/{p_{2j}}{\theta _i})^{1/2}} - M$ ，对 $\tau _i^{j*}$ 的限制条件需做调整，需满足 $c/[{(M + T)^2}{\theta _i}] {\text{≤}} {p_{2i}}{\text{≤}} c/({\theta _i}{M^2})$ 以保证 $0 {\text{≤}} \tau _i^* {\text{≤}} T$ 。

通过求解可得 $\pi _{{\rm{m}}L}^{\rm{A}}({q_{L,}}{p_{1L,}}{p_{2L}})$ 最优解 $q_L^{\rm{A}}$ 和 $p_{1L}^{\rm{A}}$ ， $p_{2L}^{\rm{A}}$ 。最后验证(IC- L)条件，解得当 $p_{2H}^*{\rm{ = }}c/[{(M + T)^2}{\theta _L}]$ ， $p_{1H}^* {\text{≥}} [c(M + 2T)]/[{(M + T)^2}{\theta _L}]$ 时，约束条件刚好能满足。证毕。

定义 $g({\theta _H},{\theta _L}) = c/[(M + T)r] + 2\alpha c[{\theta _H}/{\theta _L} - $ ${({\theta _H}/{\theta _L})^{1/2}}]/[(M + T)r\left( {1 - \alpha } \right)]{\text{。}}$

定义区间 ${C_1}:1 {\text{＞}} {\theta _H} {\text{＞}}{\theta _L} {\text{＞}} c/[(M + T)r],{\theta _L} {\text{＞}}$ $ g({\theta _H},{\theta _L})$ ； ${C_2}:1 {\text{＞}} {\theta _H}{\text{＞}} {\theta _L} {\text{＞}} c/[(M + T)r],{\theta _L} {\text{＜}} g({\theta _H},{\theta _L}); $ ${C_3}:1{\text{＞}}{\theta _H}{\text{＞}}c/[(M + T)r]{\text{＞}}{\theta _L}{\text{＞}}0; $ ${C_4}:1 {\text{＞}} c/[(M +T)r] {\text{＞}}$ $ {\theta _H} {\text{＞}} {\theta _L} {\text{＞}} 0$ 。

图2对比描述了定理1和定理2的决策区间，由此可得信息不对称对供应双方最优决策的影响，见推论1和2。

推论1 制造商在不对称信息下对低类型供应商的延期罚金与对称信息下的值一致，中断罚金为对称信息下的最小边界值。相比对称信息下，制造商在不对称信息下有更多的可能性不向低类型供应商订货。

证明 根据定理1和定理2，对称信息下，制造商在 F ₁区域会向低类型供应商订货，此时 ${\theta _L} {\text{≥}} c/\left[ {(M + T)r} \right]$ ；而在不对称信息下仅在 A ₁区域会向低类型供应商订货，此时 ${\theta _L} {\text{＞}} g({\theta _H},{\theta _L})$ 。因为 $ g \,({\theta _H},\,{\theta _L}) \,=\, c/[(M \,+\, T)r] + 2\alpha c[{\theta _H}/{\theta _L} - {({\theta _H}/{\theta _L})^{1/2}}]/[(M + $ $ T)r\left( {1 - \alpha } \right)] {\text{＞}} c/[(M + T)r]$ ，即在不对称信息下，只有当低类型的供应商可靠性足够高时，制造商才会对其订货。证毕。

推论2 区域 C ₁中制造商在不对称信息下对高类型供应商的延期罚金和中断罚金都高于对称信息下的值，这使得高类型供应商在不对称信息下的交货提前期小于对称信息下的值。

证明 在区域 C ₁中，由于 ${\theta _L} {\text{＜}} {\theta _H}$ ，所以 $p_{2H}^{\rm{A}} = $ $c/[{(M + T)^2}{\theta _L}] {\text{＞}} p_{2H}^{\rm{F}} = c/[{(M + T)^2}{\theta _H}]$ ， $\tau _H^{\rm{A}} = {({\theta _L}/{\theta _H})^{1/2}}$ $(M + T) {\text{＜}} \tau _H^{\rm{F}} = M + T$ ，证毕。

C ₁中，制造商在不对称信息下向高类型供应商订货，并通过延期罚金的设计来规制(i)高类型供应商选择针对高类型的合同和(ii)低类型供应商选择针对高类型的合同时交货期不超过 M+ T。由于延期罚金与可靠性成反比，对称信息时高类型供应商的罚金会使得低类型供应商选择高类型合同时的交货期超过 M+ T，因此制造商因信息不对称的出现会提高对高类型供应商的罚金。在高罚金的刺激下，高类型供应商在不对称信息下的交货提前期小于在对称信息下的值。由该推论可知，尽管拥有私有信息的供应商可以同在对称信息下一样，按最长期限交货，制造商可以通过高罚金诱使高类型供应商缩短其交货期。

2 信息价值

本节从制造商以及供应链的社会福利角度分析信息的价值。制造商的信息价值 $\varDelta $ _m等于对称信息与不对称信息下的期望利润之差，即 ${\varDelta _{\rm{m}}} = \pi _{\rm{m}}^{\rm{F}} - \pi _{\rm{m}}^{\rm{A}}$ 。对供应链而言，因为社会福利等于整个供应链中制造商与供应商的利润之和，则信息价值 $\varDelta $ _W等于对称信息与不对称信息下的供应链利润之差，即 ${\varDelta _{\rm{W}}} = \pi _{\rm{W}}^{\rm{F}} - \pi _{\rm{W}}^{\rm{A}}$ 。对称信息下两类供应商均无利润，因此 $\pi _{\rm{W}}^{\rm{F}} = \pi _{\rm{m}}^{\rm{F}}$ 。不对称信息下，低类型供应商无利润，高类型供应商可以获得信息租金，设为 $\pi _H^{\rm{A}}$ ，则 $\pi _{\rm{W}}^{\rm{A}} = \pi _{\rm{m}}^{\rm{A}} + \alpha \pi _H^{\rm{A}}$ 。由引理1、定理1和定理2可得 表3，下面分析信息的价值。

推论3 不对称信息下，当低类型供应商的可靠性较高，且高低类型供应商的可靠性差异较小时，制造商的信息价值随 ${\theta _H}/{\theta _L}$ 和 α递增，随 M+ T递减。信息租金随 ${\theta _H}/{\theta _L}$ 递增，随 M+ T递减。

证明根据信息价值的定义及单调性分析可得该推论，证明略。

推论3表明，不对称信息下当两类供应商可靠性均较高且差异较小时，高类型供应商没有明显的信息优势，信息租金趋近于0。

推论4 不对称信息下，社会福利只有在 C ₃和 C ₄情况下，即低类型的供应商可靠性水平较低时保持最优水平；其他情况下，信息不对称的存在降低了社会福利。

证明 对比对称信息和不对称信息下的社会福利可得该推论，证明略。

由 表3和 图2知在区域 C ₃和 C ₄中，无论信息是否对称，制造商都不向低类型供应商订货，所以没有社会福利损失。区域 C ₂中，信息不对称使得制造商不向低类型供应商订货，所以不对称信息下的社会福利低于对称信息下的水平，造成了社会福利损失。区域 C ₁=10中，与对称信息相比，高类型供应商在不对称信息下的交货提前期小于对称信息下的值，因而产生了社会福利的损失。推论4表明，信息不对称不一定造成社会福利损失。

3 结论

本文在供应商有可能发生中断风险和延期风险，且可靠性为其私有信息的情况下，研究了制造商的最优采购合同设计，探讨了信息不对称对制造商订货量和罚金的影响，以及不对称信息的价值。得到以下结论：对称信息下，只要制造商向供应商订货，供应商都会按最长交货期交货。不对称信息下，制造商对高类型供应商的中断罚金和延期罚金都可能增加，这使得高类型供应商的交货期小于对称信息下的值。为了降低信息租金，制造商向低类型供应商订货的可能性降低。当两类供应商的可靠性满足一定条件时，信息不对称不一定造成社会福利损失，高可靠性供应商获得的信息租金可能为零。而当不对称信息带来正的信息租金时，信息租金随高、低两类供应商可靠性之比增加而变大，随最长交货期的增加而减小。

本文的研究基于市场需求稳定的情形，未来研究将考虑市场需求随交货期变化的情形。