制造企业中常出现在制品过量堆积的问题。由于产品一般需要经过多阶段的生产过程，而各个阶段之间又缺少机制引导，每阶段“各自为政”、盲目生产的现象较为常见，从而导致过量在制品堆积。在改善进程中，过量的在制品掩盖了生产线的问题，例如设备故障、人员配置不平衡等，增加改善难度。过量堆积的在制品不仅占据大量空间，还有可能在堆积期间出现磕碰，难以保证产品质量。此外，在制品过量还阻碍了资金流动，造成资金滞留，增加企业成本。国务院2015年5月发布的《中国制造2025》规划中提到，我国将“普及卓越绩效、六西格玛、精益生产等先进生产管理模式和方法”，从而解决制造业的实际问题。由此，不论从企业发展角度，还是从国家对于制造业的指导要求来看，都亟需解决企业中过量在制品库存问题。

看板系统作为一种先进的精益生产管理方法，能够限制前工序的过剩生产能力，防止在制品过量堆积，降低企业成本。以往学者们进行的研究大致可分为两类：系统性能分析和看板数量问题。系统性能分析这一研究分支，是应用确定型模型及随机模型对系统的生产率、在制品库存、成品库存和订单满足率等进行求解分析。Kirkavak和Dincer、Topan和Avsar、Al-Tahat等众多学者均在此方向进行过探索^[1-3]。看板系统的另一研究方向，即本文的研究方向——看板数量问题，关注看板系统设计及最优看板数量。栗贺友，郝建男^[4]提出了看板在生产系统中的构建思路，并采用增减看板应对变化的需求。此类研究都是基于看板数量的定性研究，没有给出具体的应用方法。

在看板数量的定量研究中，侯世旺等^[5]、Sengupta等^[6]学者采用仿真方法对生产系统的看板数量进行优化。此外，丰田公司作为使用看板系统的杰出代表，发明了丰田公式(Toyota formula)： $K {\text{≥}} \displaystyle\frac{{DL(1 + \alpha )}}{C}$ ，其中，K表示看板数量；D表示单位时间的需求数；L表示提前期(等待时间、加工时间、运输时间和看板收集时间)；α表示安全系数；C表示容器收容数^[7]。Co和Sharafali^[8]在丰田公式的基础上进行研究，给出了一些C与α的经验值，认为C的最大值不应超过需求的10%，并表示α是一个政策变量。何桢等^[9]给出了面向变异的看板系统的设计过程和处理变异的策略，认为在丰田公式的基础上，应增加需求量、循环次数、循环周期、看板容量及看板数量之间关系的等式约束。Yang等^[10]提出了确定多阶段混合装配系统的看板数量的一种新方法，该方法考虑了开机时间、在制品数量以及节拍时间等因素对于优化看板数量的影响。然而，以上研究均未考虑缺货成本对最优看板数量的影响，而缺货对企业持续发展造成的影响不容忽视。Faccio等^[11]讨论了零部件从超市仓库上线的看板数量确定方法，考虑了缺货成本、存储成本和搬运成本，但未考虑设备相关成本。Sivakumar和Shahabudeen^[12]基于遗传算法研究与库存及延期未交订货相关的成本函数，从而确定最优看板数量。Aghajani等^[13]讨论了将看板策略应用到考虑返工情况的单元制造系统中时看板数量的设定问题，使用粒子群算法和模拟退火算法进行研究。Iannone等^[14]在稳定性欠佳的生产系统中考虑了准备时间成本、订单积压成本等在内的成本因素，用启发式程序和仿真运算得出看板数量。以上研究与本文均是从成本最小化的角度对看板数量进行研究，但本文考虑的因素与实际生产的关系更为密切且可操作性更强，包括产品缺货成本、在制品库存持有成本、机器生产成本以及机器闲置成本在内的综合成本，并用排队论进行建模，能够对实际情况进行较为有效的拟合。

另一方面，在建模方法上，排队论作为一种随机模型已在通信、电子等领域做出巨大贡献。国内关于排队论的研究集中在医院、交通领域等服务行业中，如高速公路收费站的优化、医疗转诊策略等^[15-16]，也在制造业的调度、库存管理问题上取得了一定的研究成果。本文将排队论的应用拓宽到看板生产系统的研究中，对看板系统进行建模，将带有看板的在制品看作队列，应用排队理论相关知识，构建以最小化为目标的成本函数，对看板系统的最优看板数量进行求解。

1 看板系统

看板是企业在生产过程中使用的传递信号的工具。看板一般以纸质的形式存在，附在每个盛放在制品的物料盒上。前工序加工完成的半成品(同时也是后工序使用的原料)放在物料盒中，物料盒在两工序之间循环使用。当后工序用完物料盒中的物料时，按照该物料盒上所附的看板内容去前工序领取物料。由于看板数和物料盒数相同，可通过看板数来控制两工序间的在制品库存。若看板数量过多，则两工序间将存在大量的在制品库存，未能达到使用看板系统限制在制品库存的目的；若看板数量过少，虽然限制了在制品库存的数量，但由于生产速率的不稳定性，容易发生缺货现象。因此通过在过量在制品库存和缺货之间进行权衡，将存在一个最优的看板数量，使得企业成本最小化。

本文考虑需要两阶段进行生产的产品，过程如图1所示。工序A为前工序，工序B为后工序。工序A需要的原材料按需供应，工序A进行加工后交付给工序B，工序B加工后直接入库并交由下游企业控制。两工序之间的运输时间可以忽略，并且每个物料盒中的零件数量相同。工序A的生产速率与积压到该工序的看板数量有关：从后工序B送到前工序A的看板张数积压越多，则前工序A生产的越快；反之，看板数量积压的少，则前工序A生产的较慢。对此类生产系统以最小化单位时间总成本为目标，进行A、B工序间最优看板数量的设计。由于忽略从前工序A到后工序B的运输时间，故认为产品到达工序B的速率即工序A的生产速率。将产品到达工序B看作输入过程，产品离开工序B看作输出过程，离开速率为后工序B的生产速率，假定2个速率都服从指数分布，则该随机过程具有无后效性的特点，可将该生产系统模拟为马尔科夫过程，应用排队相关理论进行建模。

为研究方便，将后文中用到的集和量定义如下。

E：送到后工序待用、带看板的物料盒数量的状态空间；

m：工序A、B之间循环的看板数量；

P_n ：系统处于状态n时的概率；

λ_n ：系统处于状态n时前工序A的生产速率，假设为指数分布，且有λ_n =(m–n)λ；

μ：后工序B的生产速率，假设为指数分布；

s：每物料盒零件产品单位时间缺货成本；

C_S ：系统单位时间缺货成本；

h：每物料盒零件产品单位时间持有成本；

C_H ：系统单位时间持有成本；

C_pa ：前工序A单位时间生产成本系数；

C_pb ：后工序B单位时间生产成本系数；

C_P ：系统单位时间机器生产成本；

C_da ：前工序A单位时间闲置成本系数；

C_db ：后工序B单位时间闲置成本系数；

C_D ：系统单位时间机器闲置成本；

TC_m：看板数量为m时单位时间总成本。

2 模型建立 2.1 状态概率

看板系统能够用m+1个状态的马尔科夫过程描述，状态空间为E=(0, 1, 2,…,m-1,m)，状态空间中的数字代表该状态下在后工序待用的物料盒的数量。其中，状态0表示没有后工序可用的物料盒，所有看板都在前工序堆积，后工序无法进行生产；状态m表示所有带有看板的物料盒都在后工序处，等待后工序进行加工，前工序没有看板因而不进行生产。由此，可得图2所示的状态图。

因系统内所有的状态互通且有限，所以必定存在平稳分布。根据各平衡状态特征及正则性条件，可写出以下方程。

$\quad\quad \left\{ \begin{array}{l}(m - k + 1)\lambda {p_{k - 1}} = \mu {p_k}{\text{，}}k = 1,2, \cdots ,m{\text{；}}\\\sum\limits_{k = 0}^m {{p_k} = 1{\text{。}}} \end{array} \right.$

(1)

求解得到

$\quad\quad \left\{ \begin{array}{l}{p_0} = [\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^m {\frac{{{\lambda ^k}m!}}{{{\mu ^k}(m - k)!}}{]^{ - 1}}{\text{，}}} \\[8pt]{p_k} = \displaystyle\frac{{{\lambda ^k}m!}}{{{\mu ^k}(m - k)!}}{p_0}{\text{，}}k = 1,2, \cdots ,m{\text{。}}\end{array} \right.$

(2)

其中，p₀表示没有带有看板的物料盒的情况发生的概率，即看板堆积在前工序待满足的概率；p_k 则表示有k个带有看板的物料盒在后工序处等待加工的概率。

2.2 总成本函数

由于两工序的生产速率服从指数分布，因此前后工序的生产速率均会发生变动，增加了不确定性。若A、B之间的看板数量过少，则最大在制品数过少，可能发生由于前工序不能满足后工序需求而造成后工序无法生产、进而无法销售的现象，此种损失称为缺货成本。反之，若A、B之间看板数量过多，造成在制品库存过多，则会占用不必要的空间、阻碍资金流动，并且可能影响产品质量，此类成本统一归为持有成本。此外，机器闲置或生产都有一定成本。因此，本文考虑产品缺货成本、在制品库存持有成本、机器生产成本以及机器闲置成本在内的综合成本函数。

系统单位时间缺货成本C_S 由缺货成本s与缺货发生的概率p₀相乘得到。在制品持有成本C_H 为各个状态概率下的在制品总数持有成本加权之和。机器生产成本C_P 中，B工序除状态0的概率外都以μ进行加工，C_pbμ (1-p₀)即为B工序的生产成本，同理 $C_pa\sum\limits_{k = 0}^m {\lambda (m - k){p_k}} $ 为A工序的生产成本，二者之和为C_P 。机器闲置成本C_D 由A机器闲置成本C_dap_m 和B机器闲置成本C_dbp ₀之和构成，均为单位时间闲置成本与闲置状态概率之积。综上，可得

$\quad\quad C_S = s{p_0}{\text{；}}$

(3)

$\quad\quad {C_H} = h\sum\limits_{k = 0}^m {k{p_k}}{\text{；}}$

(4)

$\quad\quad {C_P} = {C_{pa}}\sum\limits_{k = 0}^m {{p_k}} \times \lambda (m - k) + {C_{pb}}\mu (1 - {p_0}){\text{；}}$

(5)

$\quad\quad {C_D} = {C_{da}}{p_m} + {C_{db}}{p_0}{\text{；}}$

(6)

$\quad\quad {\rm{TC}}_m = {C_S} + {C_H} + {C_P} + {C_D}{\text{。}}$

(7)

由式(3)～(7)，可得

$\begin{split}& \quad\quad {\rm{T}}{{\rm{C}}_m} = s{p_0} + h\sum\limits_{k = 0}^m {k \times {p_k}} + {C_{pa}}\sum\limits_{k = 0}^m {{p_k}} \times \lambda (m - k) + \\& {C_{pb}}\mu (1 - {p_0}) + {C_{da}}{p_m} + {C_{db}}{p_0}{\text{。}}\end{split}$

(8)

式(8)由Maple可化简为

$\begin{split}& \quad\quad {\rm{T}}{{\rm{C}}_m} \!=\! [s \!+\! {C_{db}} \!+\! \frac{{h\mu }}{\lambda } - ({C_{pa}} \!+\! {C_{pb}})\mu +\frac{{{C_{da}}\Gamma (m + 1){\lambda ^m}}}{{{\mu ^m}}}]\times \\& {[\frac{{{\lambda ^m}}}{{{\mu ^m}}}{{\rm{e}}^{\frac{\mu }{\lambda }}}\Gamma (m + 1,\frac{\mu }{\lambda })]^{ - 1}} + hm - \frac{{h\mu }}{\lambda } + ({C_{pa}} + {C_{pb}})\mu {\text{。}}\end{split}$

(9)

由于求解的最优看板数量有整数限制条件，又由公式(9)可知，该问题为复杂非线性整数规划问题。最小化目标函数TC_m的复杂性，增加了求得解析解的难度。因此，在下文中将使用Mathematica编程求其数值解。

3 算例分析

某工厂准备采用看板系统进行拉动式生产，需要决定最优看板数量。其中某零件需要两道加工工序。第1道工序的加工机器有多个加工工位，每个加工工位的加工速率λ=2盒/h，开启的工位数量由堆积在该工序的看板数量决定——若操作工发现有k张看板堆积，则启动k个加工工位；而第2道工序的加工机器始终保持μ=5盒/h的最大加工速率。工序的生产成本均与加工速率成正比，第1道工序的生产成本系数C_pa =0.4元/盒，第2道工序的生产成本系数C_pb =0.8元/盒。若第1道工序没有收到后工序转运来的看板，则不进行生产，其机器的闲置损失C_da =0.1元/h。若第2道工序送出看板，但未能得到前工序提供的加工原材料而造成停机，其机器闲置损失C_db =0.2元/h。此外，考虑到在制品库存带来的空间和资金占用、存货风险等，设定两道工序之间在制品库存的持有成本h=2元/盒/h。由于该产品供不应求，第2道工序停机，造成潜在收益的损失s=100元/h。

将λ=2盒/h、s=100元/h、h=2元/盒/h、C_pa =0.4元/盒、C_pb =0.8元/盒、μ=5盒/h、C_da =0.1元/h、C_db =0.2元/h输入Mathematica程序中，以Minimize[TC_m]为目标函数，可得最优解m=6，TC_m=15.809元/h。选取m为3、6、9，各状态概率及总成本如表1所示，可看出m=3时的单位时间总成本比m=6时大2倍多。再通过Maple画出TC_m随m的变化趋势图，如图3，可知随着m增大，TC_m先减小后增大，证明了确定最优看板数量的必要性和该方法的有效性。

由于时常变动的产品供需情况会影响单位时间缺货成本、单位时间持有成本及工序生产速率，故在此基础上考虑变量m与目标函数TC对于参数s、h、μ的敏感性。

如图4所示，随着s的增加，最优看板数m也增加，且后期增加速度有减缓的趋势。另外，当m较小时，随着s的增加，TC快速增长；m较大时，这种趋势并不明显。如图5，随着h的增加，最优看板数m减少，后期速度减缓。另外，当m较小时，随着h的增加，TC变化不明显；m较大时，TC随h的增加快速增长。根据图6可知，随着μ增加，m同时增加，因此企业在提升产能时，也应增加看板数量来最小化单位时间成本。

4 总结与展望

制造型企业中存在过量在制品库存的现象仍然普遍，看板系统能够缓解这一情况。通过生产车间中看板的使用，限制前后工序的最大在制品库存量，有效节约成本。

本文将排队模型应用到最优看板数量的确定中，考虑产品缺货成本、在制品库存持有成本、机器生产成本、机器闲置成本在内的单位时间总成本。将最优看板数量问题转化为总成本最小化的非线性整数规划问题，使用Mathematica求得数值解，并且通过算例进行了敏感性分析，研究发现看板数量较少时，对单位产品的缺货成本和持有成本参数的敏感度更高。此外，最优看板数量还随后工序生产速率增加而增加。因此，企业应根据市场上产品供需以及产能变动等情况，适当增减看板数量。由于本文考虑的两道工序生产速率均服从指数分布，接下来的研究中，可以对该约束条件进行扩展至一般分布。