融资难是大部分中小企业所面临的问题。企业缺乏不动产，不健全的担保机制以及企业自身信用不足等原因，使中小企业难以获得金融机构的贷款。然而在现实生活中，企业又拥有大量的存货动产。因此在资金约束的背景下，企业的经营决策大受影响。存货质押融资是一种物流金融融资模式，贷款企业将所拥有的生产原料、半成品或产成品等动产作为质押物交由银行所认可的、具有合法资格的物流企业进行保管，并以物流企业(仓储方)出具的专用存货仓单在银行开展质押业务，然后银行根据专用存货仓单作为依据，向贷款企业提供短期融资。贷款企业、银行和物流企业三方签订相关协议，以完成融资质押业务，最终实现三方共赢。存货质押业务是通过质押的商品，将企业的信用风险转移成了质押商品的价格风险和流动性风险，有效缓释了信用风险，减少了企业违约时的损失。在缓解企业资金不足的同时，也为物流企业、银行带来了利润增长，最终提高整个系统的利润和效益。

在物流金融这一领域，许多学者从企业的库存决策、融资决策等方面分析了物流金融的运营决策问题。在质押融资业务中，其大部分考虑的是订货商(零售商)的决策行为。张媛媛等^[1]在企业资金约束的背景下，分析了传统库存决策模型中企业的总体库存决策。研究发现，当质押率较低时，企业只会在资金不足的情况下申请贷款；当质押率较高时，企业会保留部分自有资金，用贷款来增加库存。徐鹏等^[2]基于市场经典订货批量模型，研究了经济订货决策，进一步从价格变动和不变动的2个角度分析了最佳订货量和订货周期。

银行主要通过控制利率和质押率等指标来防范风险。Cossin等^[3]设定企业的违约概率为外生变量，得到了与银行风险承受能力相一致的质押率。Jokivuolle等^[4]研究了银行贷款损失与设定质押率之间的关系以及质押率与折扣率之间的关系。Buzacott等^[5]从供应链企业角度出发，把企业的库存管理与企业的资产融资相结合，分析了质押率与利率对企业运行盈利的影响。李毅学等^[6]基于商业银行的角度，考虑了当存货的价格服从随机波动时，银行质押率的问题。李毅学等^[7]分析了当企业违约风险属于重随机分布时，银行的质押率问题。Dada等^[8]基于Stackelberg博弈模型，在银行给定利率的情况下，分析了企业融资订购存货的最优数量，进一步探讨了当考虑借款企业的融资策略时，银行期望利润最大化时的贷款利率。朱文贵等^[9]基于延迟支付的方式，研究了企业存货质押融资，提出了存货质押融资的定价问题。于萍等^[10]考虑抵押物价格风险和流动性风险，在假设违约的条件下，研究了能够使信贷人达到最大化期望利润的质押率与利率这两个风险控制指标的问题。张媛媛等^[11]基于银行与企业不合作的角度出发，考虑企业违约外生以及处理价低于储存费用的条件下，银行质押率的决策问题。齐二石等^[12]研究融资企业的运营状况，探讨了对贷款企业质押的所有商品确定统一质押率的问题。晏妮娜等^[13]在需求不确定的前提下，分析了零售商的最优订货决策、商业银行的最优融资利率以及制造商的最优批发价格。陈祥锋等^[14]考虑资金约束下3种不同类型的供应链系统结构，即代理结构、传统结构以及控制结构，研究了这3种不同供应链系统结构下相关企业的金融和运营决策问题。易雪辉等^[15]考虑了剩余产品的回购率，研究了银行的存货质押决策。

在融资过程中，银行除了追求利润最大，往往更注重风险的控制。在物流金融业务中，质押率和贷款利率是银行风险控制的核心。在中小制造企业运营生产过程中，企业持有产成品、半成品以及原料等库存。然而当制造商企业受到资金约束时，企业会把一部分的产成品进行融资，以用于半成品的生产。本文在前人研究成果的基础上，考虑的不是订货商而是从制造商(贷款企业)出发，结合银行质押率决策，研究其运营决策行为，利用Stackelberg博弈进一步研究了银行追求利润最大化的质押率这一风险控制指标的制定问题。

1 融资模型及基本假设 1.1 模型描述

本文所涉及的融资即存货质押融资。在融资活动中，物流企业自愿与银行合作，银行支付物流企业一定的质押物监管费用，保证贷款企业必须先销售质押给银行的产品。质押货物的优先售出盘活了贷款企业生产库存量，在有效利用资金的同时，也有效地防止了质押物的流动性风险，对快速占领市场具有重要意义。贷款企业设立保证金账户，从而使银行可以控制质押物卖出所得款项，有效防范市场以及融资企业带来的风险。

考虑1个物流金融模型、1家贷款企业(制造商)、1家银行、1家物流企业、1个下游买家。假设企业产品属于一次性季节销售产品，企业属于风险中性。然而在生产中，制造商企业只知道需求服从分布 $F\left( \beta \right) = pr\left( {\textit{ξ} {\text{≤}} \beta } \right)$ ，并不知道未来需求大小，其密度函数 $f\left( \beta \right) = F'\left( \beta \right)$ 。贷款企业融资运作流程如图1所示。

依据流程图1，制造商根据市场的需求进行生产，其产成品为q，还存在一部分半成品以及原材料，其中产成品为q(q=q₀+q₁)，企业将产成品中的一部分q₀用于质押融资，利用贷款资金所能够生产的产成品为q₂(企业利用贷款资金以及剩余生产资料所能够生产的产品数量)。在融资初期，贷款企业将q₀单位的产品作为质押物送至银行所认可的物流企业，然后把物流企业开具的专用存货仓单交给银行，银行则以质押产品的生产成本c为参考价值进行评估，贷款额cq₂，其中，cq₂≤tcq₀(0≤t≤1)，t为银行质押率，贷款利率为a，存款利率为a′＜a。企业设立保证金账户，方便银行收集q₀单位产品的货款。贷款截止时，银行将自动从保证金账户扣除贷款及利息，剩余的钱返还给贷款企业。如果保证金账户不足，则银行将面临风险。银行向物流企业支付质押物的监管费用，物流企业与银行属于共同利益一方。因此物流企业以银行的利益为出发点，保证质押货物优先以市场正常销售价格p售出，其货款存入银行所控制的帐户中，以用资金换出货物的形式来控制银行所面临的风险。销售季节末，剩余存货则全部以处理价c′出售。企业的初始资金为X，如果资金没有用于生产和其他经营活动，企业则将资金存入银行以获得存款收入。

其他的符号和决策变量定义如下。

c′为产品处理价(c′＜c)；

s′为银行支付给物流企业单位质押货物的监管费用(s′＞c′)；

ξ为企业面临的市场需求，F(ξ)为市场需求的累积分布函数，f(ξ)为市场需求的密度函数；

π_e(ξ)为制造商(贷款企业)的收益函数；

π_b(ξ)为银行的收益函数。

为了保证模型的经济一致性，假设p＞c(1+a)，c′＜c(1+a′)。

1.2 基本假设

为便于模型描述，作出如下假设。

1)制造商(贷款企业)以利润最大化为目标；

2)市场价格保证了制造商贷款与还款的可能性；

3)制造商(贷款企业)在进行融资生产时，其企业内部生产后所拥有的产品大于质押产品，即(q₁+q₂≥q₀)；

4)如果质押物的售出或者处理所得到的款项不足以支付本息，则制造商(贷款企业)会选择违约，即违约内生；

5)在物流金融系统中，三方都属于风险中性，都是根据自身的最大化期望利润为原则进行各种决策；

6)企业面临的市场需求为随机变量，其分布函数F(ξ)是可导、连续，并满足递增失败率(increasing failure rate)，这是物流金融建模中通用的需求假设。

2 制造商(贷款企业)决策 2.1 贷款企业利润函数

1)如果企业还款，融资企业可控制产品为q₀+q₁+q₂，企业利润为

$ \begin{split} & \quad\quad {\pi _{\rm{e}}}\left( \textit{ξ} \right) \!\!=\!\! p {\rm{min}} \left\{ {{ \textit{ξ}} ,{q_0} \!+\! {q_1} \!+\! {q_2}} \right\} \!+\!c'\max \left\{ {0,{q_0} \!+\! {q_1} \!+\! {q_2} \!-\! \textit{ξ} } \right\} - \\ & c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c {q_2}\left( {1 + a} \right) + \max \left\{ {0,X - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right)} \right\}a'{ \text{。}}\qquad\!\!\! \end{split} $

(1)

2)如果不还款，融资企业可控制产品为q₁+q₂，企业利润为

$\begin{split}& \quad\quad {\pi _{\rm{e}}}\left( \textit{ξ} \right) = p\min \left\{ {\max \left\{ {\textit{ξ} - {q_0},0} \right\},{q_1} + {q_2}} \right\} + \\& c'\max \left\{ {0,{q_1} + {q_2} - \max \left\{ {\textit{ξ} - {q_0},0} \right\}} \right\} - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right)+ \\ & \max \left\{ {0,X - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right)} \right\}a'{ \text{。}}\end{split}$

(2)

引理1　如果q₂＞q₄，则企业的还款概率为0，企业不会还款；如果q₃＜q₂≤q₄，则企业还款的概率为1–F(ξ_h)；如果q₂≤q₃，则企业不会违约，其还款的概率为1；其中，

${q_3} = \frac{{c'{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}{\text{；}} {q_4} = \frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}{\text{；}} {\textit{ξ} _{\rm{h}}} = \frac{{c{q_2}\left( {1 + a} \right) - c'{q_0}}}{{p - c'}}{\text{。}}$

证明

1)如果ξ≥q₀+q₁+q₂。

企业还款时，利润为

$\quad\quad p\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right);$

不还款时，利润为

$\quad\quad p\left( {{q_1} + {q_2}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right){\text{。}}$

因此当 ${q_2} \text{≤} \displaystyle\frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，企业在需求ξ≥q₀+q₁+q₂时，选择还款。

2)如果q₁+q₂≤ξ≤q₀+q₁+q₂。

企业还款时，利润为

$\quad\quad p\textit{ξ} + c'\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2} - \textit{ξ}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right)\text{；}$

不还款时，利润为

$\quad\quad p\left( {\textit{ξ} - {q_0}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) + c'\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2} - \textit{ξ} } \right){\text{。}}$

当 ${q_2} \text{≤} \displaystyle\frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，企业在需求q₁+q₂≤ξ≤q₀+q₁+q₂，选择还款；

3)如果q₀≤ξ≤q₁+q₂。

企业还款时，利润为

$\quad\quad p\textit{ξ} + c'\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2} - \textit{ξ} } \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right)\text{；}$

不还款时，利润为

$\quad\quad p\left( {\textit{ξ} - {q_0}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) + c'\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2} - \textit{ξ} } \right){\text{。}}$

当 ${q_2} \text{≤} \displaystyle\frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，企业会在需求q₀≤ξ≤q₁+q₂，选择还款。

4)如果ξ≤q₀。

企业还款时，利润为

$\quad\quad p\textit{ξ} + c'\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2} - \textit{ξ} } \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right);$

不还款时，利润为

$\quad\quad c'\left( {{q_1} + {q_2}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right){\text{。}}$

由还款≥不还款，在给定q₂的情况下，当ξ≥ξ_h时，企业选择还款，进一步可以得到如下结果。

如果

$\quad\quad {q_2} {\text{≤}} \frac{{c'{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}},{\textit{ξ} _{\rm{h}}} = \frac{{c{q_2}\left( {1 + a} \right) - c'{q_0}}}{{p - c'}},$

此时无论需求多少，企业都会选择还款；

如果

$\frac{{c'{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}} \! {\text{≤}} \! {q_2} \!{\text{≤}} \! \frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}},0 {\text{＜}} {\textit{ξ} _{\rm{h}}} = \frac{{c{q_2}\left( {1 + a} \right) - c'{q_0}}}{{p - c'}} {\text{≤}} {q_0},$

此时，当企业需求ξ≥ξ_h时，企业才会还款，其还款概率为1–F(ξ_h)；

如果

${q_2} {\text{≥}} \frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}},{\textit{ξ} _{\rm{h}}} = \frac{{c{q_2}\left( {1 + a} \right) - c'{q_0}}}{{p - c'}} {\text{≥}} {q_0} \text{，}$

无论其需求为多少，企业都不会选择还款。

综上所述，企业选择还款或者违约跟q₂的取值有关，即

1)当 ${q_2} {\text{≤}} \displaystyle\frac{{c'{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，企业一定会还款，还款概率为1；

2)当 $\displaystyle\frac{{c'{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}} {\text{≤}} {q_2} {\text{≤}} \displaystyle\frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，企业以1–F(ξ_h)的概率还款；

3)当 ${q_2} {\text{≥}} \displaystyle\frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，企业还款的概率为0。

引理1指出质押产品数量与贷款资金所能生产的产品数量之间的关系，通过分析企业还款与不还款的利润，可以得到以下3种情况。

1)企业融资，银行不存在贷款风险(q₂≤q₃)；

2)企业贷款并存在一定的不还款风险(q₃≤q₂≤q₄)；

3)企业贷款后根本不会还款(q₂＞q₄)。

企业的期望利润Eπ_e(ξ)如下。

1)如果q₂≤q₃，

$ \begin{split}& \quad\quad {{\rm{E}}{\pi _{\rm{e}}}\left( \textit{ξ} \right) = p\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right) - }\\& {\displaystyle\int_0^{{q_0} + {q_1} + {q_2}} {\left( {p - c'} \right)F\left( x \right){\rm{d}}x + \max \left\{ {0,X - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right)} \right\}a'} } {\text{。}}\ \end{split} $

(3)

2)如果q₃≤q₂≤q₄，

$\begin{split}& \quad\quad{{\rm{E}}{\pi _{\rm{e}}}\left( \textit{ξ} \right) = p\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right) - }\\& {\displaystyle\int_{{\textit{ξ} _{\rm{h}}}}^{{q_0} + {q_1} + {q_2}} {\left( {p - c'} \right)F\left( x \right){\rm{d}}x + \max \left\{ {0,X - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right)} \right\}a'} } {\text{。}} \! \end{split}$

(4)

3)如果q₂＞q₄，

$ \begin{split}& \quad\quad {\rm{E}{\pi _{\rm{e}}}\left( \textit{ξ} \right) = p\left( {{q_1} + {q_2}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right) - }\\& {\displaystyle\int_0^{{q_0} + {q_1} + {q_2}} {\left( {p - c'} \right)F\left( x \right){\rm{d}}x + \max \left\{ {0,X - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right)} \right\}a'} }{\text{。}} \end{split} $

(5)

2.2 银行利润函数

当贷款企业所面临的需求为ξ时，银行的利润为π_b(ξ)。

1)如果企业还款，则

$\quad\quad {\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right) = c{q_2}\left( {a - a'} \right) - s'{q_0}{\text{；}}$

2)如果企业不还款，则

$\begin{array}{l} \quad\quad{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right) = p\min \left\{ {\max \left\{ {\textit{ξ} - \left( {{q_1} + {q_2}} \right),0} \right\}} \right\} + \\ c'\max \left\{ {0,{q_0} - \max \left\{ {\left( {{q_1} + {q_2}} \right),0} \right\}} \right\} - c{q_2}\left( {1 + a} \right) - s'{q_0}{\text{。}}\end{array}$

银行的期望利润也有3种情形。

1)当q₂≤q₃，银行得到该有的利润，损失为0；

2)当q₃≤q₂≤q₄，银行借出款项，银行有所损失的概率为F(ξ_h)；

3)当q₂＞q₄，银行一定存在损失(q₂＞q₄)。

①如果q₂≤q₃，

$\quad\quad {\rm{E}}{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right) = c{q_2}\left( {a - a'} \right) - s'{q_0}\text{；}$

(6)

②如果q₃≤q₂≤q₄，

$\quad\quad {\rm{E}}{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right) \!=\! c{q_2}\left( {a - a'} \right) \!-\! s'{q_0} \!-\! \int_0^{{\textit{ξ} _{\rm{h}}}} {\left( {p - c'} \right)F\left( x \right){\rm{d}}x} { \text{；}}$

(7)

③如果q₂＞q₄，

$\quad\quad {\rm{E}}{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right) \!=\! c{q_2}\left( {a \!-\! a'} \right) - s'{q_0} \!-\! \int_0^{{q_0}} {\left( {p - c'} \right)F\left( x \right){\rm{d}}x} {\text{。}}$

(8)

3 融资Stackelberg博弈分析 3.1 贷款企业最优决策

在Stackelberg博弈中，银行属于主导方。因此首先考虑在融资利率和质押率给定的情况下，制造商(贷款企业)的融资决策。如果在给定的利率情况下，当p≤c(1+a)时，没有企业愿意贷款或者在贷款后愿意还款，所以假定p＞c(1+a)，即 $\displaystyle\frac{p}{{c\left( {1 + a} \right)}} {\text{＞}} 1$ 。

引理2　如果 $t {\text{≤}} \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，则制造商拥有(q₀+q₁)产品，将q₀产品用于质押融资，其贷款资金用于生产的最优产品数量为

$q_2^* = \left\{ \begin{array}{l}t{q_0},\ \ \ 0 {\text{＜}} {q_0} {\text{＜}} q{'_0}, X/c= {q_0} + {q_1} {\text{＜}} {q^{\rm{B}}} {\text{；}}\\[7pt]{F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1} - {q_0},q{'_0} \!{\text{≤}}\! {q_0} \!{\text{≤}}\! q'{'_0}, X/c \!=\! {q_0} \!+\! {q_1} \!{\text{＜}}\! {q^{\rm{B}}}{\text{；}}\\[7pt]0, \ \ \ {q_0} {\text{≥}} q'{'_0}, X/c = {q_0} + {q_1} {\text{＜}} {q^{\rm{B}}}{\text{；}}\\[7pt]0, \ \ \ X/c = {q_0} + {q_1} {\text{≥}} {q^{\rm{B}}}{\text{。}}\end{array} \right.$

其中， $q{'_0} = \displaystyle\frac{{{F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1}}}{{\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}} + 1}}$ ； ${q^{\rm{B}}} = \displaystyle\frac{{p - c\left( {1 + a'} \right)}}{{p - c'}}$ ； $q'{'_0} = {F^{ - 1}}\left( A \right)- $ $ {q_1}{\text{；}}$ $A = \displaystyle\frac{{p - c\left( {1 + a} \right)}}{{p - c'}}$ 。

证明　企业使用贷款资金所能够生产的产品数量为0≤q₂≤tq₀≤q₃。因此企业的期望利润为

$\begin{aligned} & \quad\quad {\rm{E}}{\pi _{\rm{e}}}\left( \xi \right) = p\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2}} \right) - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right) - c{q_2}\left( {1 + a} \right) - \\[3pt]& \displaystyle\int_0^{{q_0} + {q_1} + {q_2}} {\left( {p - c'} \right)F\left( x \right){\rm{d}}x + {\rm{max}}\left\{ {0,X - c\left( {{q_0} + {q_1}} \right)} \right\}a'} \text{。}\end{aligned}$

由于f(q₀+q₁+q₂)＞0，则

$\quad\quad \frac{{{\partial ^2}{\rm{E}}{{\pi _{\rm{e}}}\left( \textit{ξ} \right)} }}{{{\partial ^2}{q_2}}} = - \left( {p - c'} \right)f\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2}} \right) {\text{＜}} 0{\text{。}}$

因此制造商(贷款企业)期望利润是关于q₂的严格凹函数。

当 $q_2^*$ 满足 $\displaystyle\frac{{\partial {\rm{E}} {{\pi _{\rm{e}}}\left( \xi \right)} }}{{\partial {q_2}}} = 0$ 时，则

$\begin{split}& \quad\quad p - c\left( {1 + a} \right) - \left( {p - c'} \right)F\left( {{q_0} + {q_1} + q_2^*} \right) = 0\text{，即}\\& \quad\quad F\left( {{q_0} + {q_1} + q_2^*} \right) = \displaystyle\frac{{p - c\left( {1 + a} \right)}}{{p - c'}} = A{\text{。}}\end{split}$

(9)

令 $q_2^* = {t^*}{q_0}$ ，代入式(9)变为

$\quad\quad {q_1} + \left( {1 + {t^*}} \right){q_0} = {F^{ - 1}}\left( A \right)\text{，}$

即 ${t^*} = \displaystyle\frac{{{F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1}}}{{{q_0}}} - 1$ 。

当 ${t^*} = \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ 时， ${q_0} = \displaystyle\frac{{{F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1}}}{{\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}} + 1}} = q{'_0}$ ；当t^*=0时， ${q_0} = q'{'_0}$ ，t^*表示最优条件下，制造商最小的质押率。

对于q₂＜q′₀的制造商而言，即使 $t = \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ， $q_2^* = {t^*}{q_0} {\text{＞}} t{q_0}$ 恒成立，因此贷款额不足以使其达到最优。对于 ${q_0} {\text{＞}} {F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1}$ ，企业所生产的产品能够满足市场需求，不需要贷款，证毕。其中，q^B为企业在考虑机会成本的情况下，使用自有初始资金的最佳产品数量位置。

引理2可以看出，如果银行质押率 $t {\text{≤}} \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，则银行不会面临风险。在初始资金约束的情况下，q₂会随着q₀的增加而线性增加，其增加比率为t，直到

$\quad\quad {q_0} = \displaystyle\frac{{{F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1}}}{{\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}} + 1}}$

引理3　根据上一节的结果，考虑企业初始资金对融资决策的影响。

1)如果企业初始资金比较大，即X＞cq^B，则企业直接生产q^B数量的产品，不会融资贷款；

2)如果初始资金cq″＜X≤cq^B，则企业会用掉所有的初始资金进行生产，并且银行的质押率不足以吸引其贷款；

3)如果初始资金cq′＜X≤cq″，则企业同样用掉所有资金，同时向银行申请贷款，以达到贷款并还款情况下的市场需求饱和点；

4)如果初始资金0＜X≤cq′，在使用完初始资金的同时，向银行申请贷款限额。

证明

当 $t {\text{≤}} \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，由引理2可得，

$\begin{array}{l}\quad\quad {\rm{E}}{\pi _{\rm{e}}} = p\left( {{q_0} + {q_1} + {q_2}} \right) - c({q_0} + {q_1}) - c{q_2}(1 + a) - \\[8pt]\displaystyle\int_0^{{q_0} + {q_1} + {q_2}} {\left( {p - c'} \right)F(x){\rm{d}}x} + \left[ {X - c({q_0} + {q_1})} \right]a' = \\[8pt]p(q \!+\! {q_2}) \!-\! cq \!-\! c{q_2}(1 + a) \!-\! \displaystyle\int_0^{q \!+\! {q_2}} {\left( {p \!-\! c'} \right)F(x){\rm{d}}x \!+\! \left( {X \!-\! cq} \right)a'} {\text{。}}\end{array}$

其中，

$\quad\quad \frac{{\text{∂} {\rm{E}}{\pi _{\rm{e}}}}}{{\text{∂} q}} = [p - c(1 + a')) - (p - c')F(q + {q_2}]{\text{。}}$

由于 $ F\left( {{q^{{\rm{B}}}}} \right) = \displaystyle\frac{{p - c\left( {1 + a'} \right)}}{{p - c'}}$ ，易知 $\displaystyle\frac{{\partial {\rm{E}}{\pi _{\rm{e}}}}}{{\partial q}} {\text{＞}} 0$ 。因此是q的增函数，即随着q的增加，利润也增加。

证毕。

3.2 银行质押率最优决策

引理4　针对资金大、生产数量大的企业，如果 $0 {\text{≤}} t {\text{≤}}\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，融资企业不会违约，银行不用承担风险，此时，最优的质押率为 $\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ 。

证明　当 $0 {\text{≤}} t {\text{≤}} \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ ，制造商(贷款企业)不会违约， ${\pi _{\rm{b}}}\left( \xi \right) = c{q_2}\left( {a - a'} \right) - s'{q_0}$ 。给定q₀，质押率越大，银行收益越大。因此，最优质押率为 $\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ 。

基于Stackelberg博弈，下面研究银行质押率决策问题。因为当 ${q_0} {\text{＞}} {F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1}$ 时，制造商(贷款企业)有足够的产品库存满足市场需求，不需要借贷，因此，只考虑 $0{\text{＜}} {q_0} {\text{≤}} {F^{ - 1}}\left( A \right) - {q_1}$ 的情况。

引理5　当 $t {\text{＞}} \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ 时，银行承受风险，在考虑融资企业反应情况下，银行的最优质押率 ${t^{{{\rm{b}}^*}}}$ 为

当 $\overline {{q}}_ {\rm{0}} {\text{≥}} \overline{\overline {{q}}}_ {\rm{0}} $ 时，

$\quad\quad {t^{{\rm{b}}*}} = \left\{ \begin{array}{l}1, \quad\quad\quad 0{\rm{ {\text{＜}} }}{q_0}{\text{≤}}{\overline {\overline q } _0}{\text{；}}\\[3pt]{t^*},\quad\quad\ \ {\overline{\overline q} _0}{\rm{ {\text{＜}} }}{q_0} {\text{＜}} ;{\overline q _0},t_{\rm{b}}^*{\text{≥}}{t^*}{\text{；}}\\[3pt]t_{\rm{b}}^*,\quad\ \ \ \ {\overline {\overline q } _0}{\rm{ {\text{＜}} }}{q_0}{\rm{ {\text{＜}} }}{\overline q _0}t_{\rm{b}}^*{\text{≤}}{t^*}{\text{；}}\\[3pt]\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}},{\overline q _0}{\text{≤}}{q_0}{\rm{ < }}q_0^{''}{\text{。}}\end{array} \right.$

其中，

$\begin{array}{*{20}{l}}\begin{aligned}& \quad\quad {t_{\rm{b}}}^* = \displaystyle\frac{{(p - c'){F^{ - 1}}(\displaystyle\frac{{a - a'}}{{1 + a}})}}{{c{q_0}(1 + a)}} + \displaystyle\frac{{c'}}{{c(1 + a)}}\text{，}\\[3pt]& \quad\quad{\overline {\overline q } _0} = \displaystyle\frac{{p - c'}}{{c(1 + a) - c'}}{F^{ - 1}}(\displaystyle\frac{{a - a'}}{{1 + a}}){\text{，}}\end{aligned}\\[3pt] F(2{{\bar q}_0} + {q_1}) = \displaystyle\frac{{p - c(1 + a)}}{{p - c'}} + \displaystyle\frac{{c(1 + a)F(\displaystyle\frac{{c{{\bar q}_0}(1 + a) - c'{{\bar q}_0}}}{{p - c'}})}}{{p - c'}}{\text{。}}\end{array}$

证明　当 $\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}} {\text{≤}} t \leqslant 1$ ，q₂≤tq₀ ，因此 $\displaystyle\frac{{c'{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}} {\text{≤}} t{q_0} {\text{≤}} \frac{{p{q_0}}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ 即q₃≤q₂≤q₄，因此当q₃≤q₂≤q₄时，银行的期望利润为

$\quad\quad {\rm{E}}{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right) = c{q_2}\left( {a - a'} \right) - s'{q_0} - \int_0^{{\xi _{\rm{h}}}} {\left( {p - c'} \right)F\left( x \right){\rm{d}}x} {\text{，}}$

$\quad\quad \frac{{\text{∂} {\rm{E}} {{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right)} }}{{\text{∂} {q_2}}} = c\left( {a - a'} \right) - c\left( {1 + a} \right)F\left( {{\textit{ξ} _{\rm{h}}}} \right),$

(10)

$\quad\quad \frac{{{{\text{∂}} ^2}{\rm{E}}{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right)}}{{{{\text{∂}}^2}{q_2}}} = - \frac{{{c^2}{{\left( {1 + a} \right)}^2}}}{{p - c'}}f\left( {{\textit{ξ} _{\rm{h}}}} \right){\text{。}}$

(11)

由f(ξ_h)＞0，可知 $\displaystyle\frac{{{\partial ^2}{\rm{E}} {{\pi _{\rm{b}}}\left( \textit{ξ} \right)} }}{{{\partial ^2}{q_2}}}{\text{＜}} 0$ 。因此，当 $t {\text{＞}} \displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ 时，银行的期望利润是关于q₂的严格凹函数。

将q₂=tq₀代入式(10)，令 $t_{\rm{b}}^*$ 满足式(10)等于0，则有

$\quad\quad t_{\rm{b}}^* = \frac{{\left( {p - c'} \right){F^{ - 1}}\left( {\displaystyle\frac{{a - a'}}{{1 + a}}} \right)}}{{c{q_0}\left( {1 + a} \right)}} + \frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}{\text{。}}$

(12)

式(12)表示在不考虑融资企业反应情况下，银行最优质押率 $t_{\rm{b}}^*$ 与融资量q₀之间的函数关系。

当t_b=1时， ${q_0} \!=\! \displaystyle\frac{{p \!-\! c'}}{{c\left( {1 \!+\! a} \right) \!-\! c'}}{F^{ \!-\! 1}}\left( {\displaystyle\frac{{a \!-\! a'}}{{1 \!+\! a}}} \right) \!=\!{\overline {\overline q } _0}$ 。

当t^*=1时， ${q_0} = {\overline q _0} $ 。

如果不考虑制造商(贷款企业)的反应，银行只需依据式(12)对质押产品数量q₀进行质押率决策。如果考虑贷款企业的反应，在 ${\overline q _0} {\text{≥}} {\overline{\overline q} _0} $ 的情况下，对于 ${q_0} {\text{≤}} {\overline{\overline q} _0} $ 的贷款企业，银行的最优质押率是1。在这样的情况下，企业和银行都达不到最大的利润，在此基础上，如果考虑借贷的众多成本，则银行会放弃那些规模小、产量小的企业。当 ${\overline{\overline q} _0} {\text{＜}} {q_0} {\text{＜}} {\overline q _0} $ 时，如果 ${t^{{{\rm{b}}^*}}} {\text{≤}} {t^*}$ ，即制造商(贷款企业)实现最优融资量的最小质押率比银行的最优质押率要大，此时银行将质押率设定为 ${t^{{{\rm{b}}^*}}}$ ，在这种情况下，银行取相对较小的融资质押率，在实现收益最大化的同时，也能够约束企业的行为；如果 ${t^{{{\rm{b}}^*}}}{\text{＞}} {t^*}$ ，那么质押率对其融资量没有约束，质押率在 $\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}} {\text{＜}} t {\text{≤}} 1$ ，都会实现其最优的融资量，剩余的资金由企业自己进行分配。在这种情况下，银行为了预防风险，会将质押率设定为 ${t^{{{\rm{b}}^*}}}$ 。当 ${\overline q _0} {\text{≤}} {q_0} {\text{≤}} q''_0$ 时，质押率 $\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}} {\text{＜}} t {\text{≤}}1$ ，由于任何一个质押率都会使制造商(贷款企业)的贷款资金大于其所需生产产品的贷款资金，因此为了防止风险，银行设定质押率设定为 $\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}}$ 。

4 数值分析

物流金融能够使资金受限的企业得到足够的运转资金，与此同时，银行和物流企业的利润也能得到增长，实现三方共赢。下面通过数值分析银行质押率与融资产品数量q₀之间的关系，研究企业初始资金X和q₀对质押率的影响。制造商(贷款企业)的市场需求服从均值为10的指数分布，取p=1.3，c=1，c′=0.5，a=0.05，a′=0.02，其风险分界银行质押率 $\displaystyle\frac{{c'}}{{c\left( {1 + a} \right)}} \!=\! 0.4762$ , ${F^{ - 1}}\left( A \right) \!=\! 3.7469345$ ,q^B=4.030 782。

图2中表明银行最优质押率与q₀之间的关系，当q₀=0.4时，t_b^*=1.028 3。当存在风险时，会存在一种情况，即 ${t^{{{\rm{b}}^*}}} {\text{＞}} 1 {\text{＞}} {t^*}$ ，银行的最优融资质押率大于企业期望利润最大化时的最小质押率。由于银行质押率不能超过1，为了实现最大化利润，银行设定质押率为1，此时，在企业把贷款资金用于生产的同时，也存在资金剩余，由于企业能够自由支配剩余资金，从而增加了银行的风险。在t≤0.476 2的情况下，当企业初始资金满足 $X/c \text{＞} {F^{ - 1}}\left( A \right)$ ，即X >3.746 937 5时，企业将不会进行融资。在0.476 2≤t≤1的情况下，当X＞L3.746 937 5时，企业将不会进行融资。当X >cq^B，即X ≥4.030 782，企业更不会融资。

5 结论

存货质押有效地解决了资金瓶颈，具有很大的发展空间，然而风险控制水平的滞后影响这项业务的发展。本文考虑融资企业是制造商企业，即企业用一部分的产品库存融资，利用融资资金和剩余生产资料来进行生产。基于面向中小企业物流金融创新的存货质押业务模式下，利用Stackelberg博弈研究了银行追求利润最大化的质押率制定问题。通过分析推导得出，企业会根据初始资金来安排生产和融资的产品数量。银行在进行存货质押时，所考虑的不只是质押的产品数量，还应该考虑贷款企业现有库存，来确定合理的质押率。当企业初始资金超过一个临界值 $c{F^{ - 1}}\left( A \right)$ 时，企业不会融资。在同等初始资金的情况下，当企业用于融资的产品越多，银行的最优质押率越小。在融资过程中，当最优质押率大于1且大于企业最大期望的最小质押率时，企业会有剩余资金，从而增加银行的风险。