0 引言

Lomax分布是寿命试验中的一个重要分布，由于它的应用比较广泛，因此有很多学者对其分布性质进行了研究，目前已有的研究成果较为丰富.文献[1-4]在完全样本下，选取不同损失函数，假设尺度参数已知，运用贝叶斯方法得到了形状参数的估计；文献[5]根据定数截尾缺失数据样本，研究了Lomax分布中参数的最优置信区间；文献[6]在定时截尾缺失数据样本下，当尺度参数已知时得到了形状参数的区间估计及假设检验的拒绝域；文献[7]在逐步增加的Ⅱ型截尾样本，选取不同的损失函数得到了形状参数的贝叶斯估计；文献[8-11]基于多种删失数据样本，讨论了几种寿命分布的参数估计问题.然而对于逐步增加的Ⅱ型截尾样本，运用经典统计方法研究Lomax分布参数估计的文献还没有见到，本文将对这一问题展开讨论.

两参数Lomax分布的概率密度函数为

$ f\left( {x;\theta, \lambda } \right) = \frac{\theta }{\lambda }{\left( {1 + \frac{x}{\lambda }} \right)^{-(\theta + 1)}}, x > 0, \lambda > 0, \theta > 0 $

(1)

其分布函数为

$ F\left( {x;\theta, \lambda } \right) = 1-{\left( {1 + \frac{x}{\lambda }} \right)^{-\theta }}, x > 0, \lambda > 0, \theta > 0 $

(2)

其中λ称为尺度参数，θ称为形状参数.

1 逐步增加的Ⅱ型截尾试验

对一些产品进行寿命试验，数据通常会被删失，得到不完整的数据，删失方式有Ⅰ型删失、Ⅱ型删失等，通过逐步增加的Ⅱ型删失试验不仅可以从已经失效的产品中了解产品的失效机理，还可以从退出试验的未失效产品中了解产品的退化情况，并可以节约试验时间和成本.具体做法是：

假设有n个相互独立且寿命都服从Lomax分布的产品，将其同时进行逐步增加的Ⅱ型删失试验，当观察到第一个失效样品的失效时间为X₍₁₎时，再从剩余的n-1个未失效的产品中随机选出R₁个产品退出试验，剩下的n-R₁-1个产品继续进行试验，当观察到第二个失效样品的失效时间X₍₂₎，又从剩余的n-R₁-2个未失效的产品中随机选出R₂个产品退出试验，依此进行下去，直到得到第m个样品失效的失效时间X_(m)，停止试验，最后剩下${R_m} = n-\sum\limits_{i = 1}^{m-1} {{R_i}-m} $个样品不再进行试验。当R₁=R₂=…=R_m-1=0时，这种寿命试验即为Ⅱ型删失试验.

2 参数估计

根据上述试验，设X₍₁₎, X₍₂₎, …，X_(m)为来自Lomax分布(2) 样本容量为n的逐步Ⅱ型删失样本(为方便起见，可将X_(i)的下标数字省略括号，下文的X_i表示第i个最小观测值)，从而得到

$ \theta \ln \left( {1 + \frac{{{X_1}}}{\lambda }} \right), \theta \ln \left( {1 + \frac{{{X_2}}}{\lambda }} \right), \cdots, \theta \ln \left( {1 + \frac{{{X_m}}}{\lambda }} \right) $

是来自标准指数分布样本容量为n的逐步Ⅱ型删失样本.

设

$ \begin{array}{l} {W_1} = n\theta {\rm{ln}}\left( {1 + \frac{{{X_1}}}{\lambda }} \right), {\rm{ }}\\ {W_2} = (n- {R_1}- 1)\left[{\theta {\rm{ln}}\left( {1 + \frac{{{X_2}}}{\lambda }} \right)-\theta {\rm{ln}}\left( {1 + \frac{{{X_1}}}{\lambda }} \right)} \right], {\rm{ }}\\ \cdots \cdots \\ {\rm{ }}{W_m} = \left[{n-\sum\limits_{i = 1}^{m-1} {({R_i} + 1)} } \right]\left[{\theta {\rm{ln}}\left( {1 + \frac{{{X_m}}}{\lambda }} \right)-\theta {\rm{ln}}\left( {1 + \frac{{{X_{m-1}}}}{\lambda }} \right)} \right] \end{array} $

则W₁，W₂, …，W_m独立同分布且均服从标准指数分布.

设$g\left(\lambda \right) = 2\sum\limits_{i = 1}^{m-1} {{\rm{ln}}\left({\frac{{{T_m}}}{{{T_i}}}} \right)} $

其中${T_i} = \sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1)} {\rm{ln}}(1 + \frac{{{X_j}}}{\lambda }) + [n-\sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1)}]{\rm{ln}}(1 + \frac{{{X_i}}}{\lambda })$

可以证明g(λ)的分布不依赖于参数λ，θ, 因此g(λ)是一个枢轴量.

引理 1^[10]  假设W₁, W₂, …，W_m独立同分布且均服从标准指数分布，记

$ {Z_i} = \sum\limits_{j = 1}^i {{W_j}} \;\;(i-1, 2, \cdots, m) $

则U_i=(Z_i/Z_i+1)ⁱ(i=1, 2, …，m-1)，U_m=Z_m相互独立，且U₁, U₂, …，U_m-1服从区间(0, 1) 上的均匀分布，U_m服从Gamma分布Γ(m，1), 其密度函数为

$ f({u_m}_{}) = \frac{{u_m^{m-1}}}{{\mathit{\Gamma }\left( m \right)}}{\rm{exp}}(-{u_m}), {u_m} > 0 $

引理 2^[10]  设随机变量U服从(0, 1) 区间上的均匀分布，则-2lnU服从自由度是2的卡方分布.

引理 3  设a, b是常数，且b＞a＞0，设

$ h(x) = \frac{{\ln (1 + b/x)}}{{\ln (1 + a/x)}} $

则h(x)在(0, +∞)上是关于x的单调递增函数.

定理 1  假设0＜X₁＜X₂＜…＜X_m＜+∞，则

1) 函数$g(\lambda) = 2\sum\limits_{i = 1}^{m-1} {\ln \left({\frac{{{T_m}}}{{{T_i}}}} \right)} $在(0, +∞)上是严格单调增函数，

2) 对任意$0 < t < 2\sum\limits_{i = 1}^{m-1} {\ln \left[{\frac{{\sum\limits_{j = 1}^m {({R_j} + 1){X_j} + (n-\sum\limits_{j = 1}^m {({R_j} + 1){X_m}})} }}{{\sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1){X_j} + (n-\sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1){X_i}})} }}} \right]} $，方程g(λ)=t在(0, +∞)上有唯一的根.

证明：1) 由于

$ g(\lambda ) = 2\sum\limits_{i = 1}^{m- 1} {\ln } \left[{1 + \frac{{\sum\limits_{j = i + 1}^m {({R_j} + 1)} \frac{{\ln (1 + {X_j}/\lambda )}}{{\ln (1 + {X_i}/\lambda )}} + [n-\sum\limits_{j = 1}^m {({R_j} + 1)}]\frac{{\ln (1 + {X_m}/\lambda )}}{{\ln (1 + {X_i}/\lambda )}} -n + \sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1)} }}{{\sum\limits_{j = 1}^{i -1} {({R_j} + 1)\frac{{\ln (1 + {X_j}/\lambda )}}{{\ln (1 + {X_i}/\lambda )}}} + n -\sum\limits_{j = 1}^{i - 1} {({R_j} + 1)} }}} \right] $

根据引理3可得到g(λ)在(0, +∞)上是严格单调增函数.

2) 由于$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to {0^ + }} \frac{{\ln (1 + {X_j}\lambda)}}{{\ln (1 + {X_i}\lambda)}} = \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to {0^ + }} \frac{{{X_j}(\lambda + {X_i})}}{{{X_i}(\lambda + {X_j})}} = 1$

因此$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to {0^ + }} g(\lambda) = 0$

又由于$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } \frac{{\ln (1 + {X_j}/\lambda)}}{{\ln (1 + {X_i}/\lambda)}} = \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } \frac{{{X_j}(\lambda + {X_i})}}{{{X_i}(\lambda + {X_j})}} = \frac{{{X_j}}}{{{X_i}}}$

所以$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } g(\lambda) = 2\sum\limits_{i = 1}^{m-1} {\ln } \left[{\frac{{\sum\limits_{j = 1}^m {({R_j} + 1){X_j} + (n-\sum\limits_{j = 1}^m {({R_j} + 1){X_m}})} }}{{\sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1){X_j} + (n-\sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1){X_i}})} }}} \right]$

因为g(λ)在(0, +∞)上是严格单调增函数，所以

当$0 < t < 2\sum\limits_{i = 1}^{m-1} {\ln } \left[{\frac{{\sum\limits_{j = 1}^m {({R_j} + 1){X_j} + (n-\sum\limits_{j = 1}^m {({R_j} + 1){X_m}})} }}{{\sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1){X_j} + (n-\sum\limits_{j = 1}^i {({R_j} + 1){X_i}})} }}} \right]$时，

方程g(λ)在(0, +∞)上有唯一的根.

定理2  设X₁, X₂, …，X_m为来自Lomax分布(2) 样本容量为n的逐步Ⅱ型删失样本，则

1) 对任意0＜α＜1，λ的置信水平是1-α的置信区间为

$ [{g^{-1}}({\chi _{1-\alpha /2}}^2(2m-2)), {g^{ - 1}}({\chi _{a/2}}^2(2m - 2))] $

2) 当λ已知时，对任意0＜α＜1，θ的置信水平是1-α的置信区间为

$ \left[{\frac{{{\chi _{1-\alpha /2}}^2(2m)}}{{2{T_m}}}, \frac{{{\chi _{a/2}}^2(2m)}}{{2{T_m}}}} \right] $

3) 当λ, θ均未知时，对任意0＜α＜1，参数λ, θ的置信水平是1-α的联合置信域由下列不等式确定

$ \left\{ \begin{array}{l} {g^{- 1}}[{\chi _{\left( {1 + \sqrt {1-\alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m-2} \right){\rm{ }}] \le \lambda \le {g^{ - 1}}[{\chi _{\left( {1-\sqrt {1-\alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m-2} \right)]\\ {\chi _{\left( {1 + \sqrt {1 -\alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m} \right)/(2{T_m}) \le \theta \le {\chi _{\left( {1 -1 -\alpha } \right)/2}}^2\left( {2m} \right)/(2{T_m}) \end{array} \right\} $

其中χ_α²(v)是自由度为v的卡方分布的上侧α分位数，g^-1(t)是方程g(λ)=t的解.

证：1) 由于θT_i=W₁+W₂+…+W_i，因此由引理1得(T_i/T_i+1)ⁱ(i=1, 2, …，m-1) 服从(0, 1) 区间上的均匀分布.又由于$g(\lambda) = \sum\limits_{i = 1}^{m-1} {[-2ln{{({T_i}/{T_{i + 1}})}^i}]} $，根据引理2得g(λ)服从自由度为2m-2的卡方分布.再根据定理1得

$ \begin{array}{l} P[{g^{-1}}({\chi _{1-\alpha /2}}^2(2m-2)) \le \lambda \le {g^{ - 1}}({\chi _{\alpha /2}}^2(2m - 2))]\\ = P{\chi _{1 -\alpha /2}}^2(2m -2) \le g\left( \lambda \right) \le {\chi _{a/2}}^2(2m -2)] = 1 -\alpha \end{array} $

2) 由引理1可得2θT_m服从自由度为2m的卡方分布，于是

$ P\left( {\frac{{{\chi ^2}_{1-\alpha /2}\left( {2m} \right)}}{{2{T_m}}} \le \theta \le \frac{{{\chi _{\alpha /2(2m)}}^2}}{{2{T_m}}}} \right) = P({\chi _{1-\alpha /2}}^2\left( {2m} \right) \le 2\theta {T_m} \le {\chi _{\alpha /2}}^2\left( {2m} \right)) = 1-\alpha $

3) 根据引理1和2及定理1得到

$ \begin{array}{l} P\{ {g^{- 1}}[{\chi _{\left( {1 + \sqrt {1-\alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m-2} \right)] \le \lambda \le {g^{ - 1}}[{\chi _{\left( {1-\sqrt {1-\alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m-2} \right)], {\rm{ }}{\chi _{\left( {1 -\sqrt {1 -\alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m} \right)/(2{T_m}) \le \theta {\rm{ }}\\ \le {\chi _{\left( {1 -\sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m} \right)/(2{T_m})\} {\rm{ }}\\ = P{\chi _{\left( {1 + \sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m - 2} \right) \le g\left( \lambda \right) \le {\chi _{\left( {1 - \sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m - 2} \right), {\rm{ }}{\chi _{\left( {1 + \sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m} \right) \le 2\theta {T_m} \\ \le {\chi _{\left( {1 - \sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m} \right){\rm{\} }}\\ {\rm{ }} = P\{ {\chi _{\left( {1 + \sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m - 2} \right)] \le g\left( \lambda \right) \le {\chi _{\left( {1 -\sqrt {1 -\alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m -2} \right)\} \times P\{ {\chi _{\left( {1 + \sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m} \right){\rm{ }}\\ \le 2\theta {T_m} \le {\chi _{\left( {1 - \sqrt {1 - \alpha } } \right)/2}}^2\left( {2m} \right) = 1 - \alpha \end{array} $

下面用文献[10]中的逆矩估计方法来求参数λ和θ的逆矩估计.

因此由引理1得(T_i/T_i+1)ⁱ(i=1, 2, …，m-1) 服从(0, 1) 区间上的均匀分布

再根据引理2得-2iln(T_i/T_i+1)(i=1, 2, …，m-1)，服从自由度是2的卡方分布，因此可以作为准样本，因此

$ \frac{1}{{m- 1}}\sum\limits_{i = 1}^{m- 1} {[-2i\ln ({T_i}/{T_{i + 1}})] = 2} $

则参数λ的逆矩估计由下式确定

$ g(\lambda ) = 2m-2 $

(3)

由于g(λ)在(0, +∞)上是严格单调增函数，因此(3) 式的解是唯一的.

另外W₁, W₂, …, W_m也是一个准样本，因此参数θ的逆矩估计由下式确定

$ \theta = \frac{{m-1}}{{{T_m}}} $

(4)

3 随机模拟

取定λ=0.8, θ=1.4，产生15个逐步增加的Ⅱ型删失样本，由(3) 式和(4) 式可以得到参数λ, θ的逆矩估计，以上过程重复1000次，分别求出两个参数估计的均方误差，模拟结果见表 1.

模拟结果显示当样本容量n固定时估计量的均方误差随着m的增加而减少.在完全样本下估计量的均方误差是最小的.

致谢:

感谢唐俊老师的精心指导及宝贵的修改意见！