广西民族大学学报(自然科学版)  2017, Vol. 23 Issue (4): 47-50
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吕玉博, 韦华全
LV Yu-bo, WEI Hua-quan
几乎s-嵌入子群与有限群的p-幂零性
Nearly s-Embedded Subgroups and the p-Nilpotency of Finite Groups
广西民族大学学报(自然科学版), 2017, 23(4): 47-50
Journal of Guangxi University for Nationalities(Natural Science Edition), 2017, 23(4): 47-50

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收稿日期: 2017-10-20
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引用本文
吕玉博, 韦华全. 几乎s-嵌入子群与有限群的p-幂零性[J]. 广西民族大学学报(自然科学版), 2017, 23(4): 47-50.
LV Yu-bo, WEI Hua-quan. Nearly s-Embedded Subgroups and the p-Nilpotency of Finite Groups[J]. Journal of Guangxi University for Nationalities(Natural Science Edition), 2017, 23(4): 47-50.
几乎s-嵌入子群与有限群的p-幂零性
吕玉博 , 韦华全     
广西大学 数学与信息科学学院, 广西 南宁 530004
收稿日期：2017-10-20
基金项目：国家自然科学基金项目(11361006)；广西大学科研项目(XGZ130761)
作者简介：吕玉博(1992-), 男, 安徽亳州人, 广西大学基础数学专业硕士研究生, 研究方向:有限群论.
*通信作者：韦华全(1963-), 男, 广西南宁人, 博士, 广西大学教授, 研究方向:有限群论.
摘要：设G为有限群且H为G的子群.H称为在G中拟s-正规，如果H与G的所有Sylow子群可交换.称H在G中为s-半置换，如果对任意G的Sylow p-子群P，有HP=PH，其中p∈π(G)且(|H|，p)=1.称G的子群H为在G中几乎s-嵌入，如果存在G的s-拟正规子群T使得HsG=HT且H∩T≤HssG，其中HssG为G的包含于H的s-半置换子群.该文研究Sylow子群的极大子群的局部几乎s-嵌入性对有限群p-幂零性的影响.
关键词：s-拟正规子群     s-半置换子群     几乎s-嵌入子群     p-幂零性    
Nearly s-Embedded Subgroups and the p-Nilpotency of Finite Groups
LV Yu-bo, WEI Hua-quan     
College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 530004, China
Abstract: Let G be a finite group and H a subgroup of G.H is said to be s-permutable in G if H permutes with every Sylow subgroup of G.H is said to be s-semipermutable in G if for any Sylow p-subgroup P of G, HP=PH, whenever p∈π(G) and (|H|, p)=1.H is said to be nearly s-embedded in G if there exists an s-permutable subgroup T of G such that G=HT and H∩T≤HssG, where HssG is an s-semipermutable subgroup of G contained in H. This paper investigates the influence of the local nearly s-embedding of maximal subgroups of Sylow subgroups on the p-nilpotency of finite groups.
Key words: s-permutable subgroup     s-semipermutable subgroup     s-nearly embedded subgroup     p-nilpotency    

本文所指的群皆为有限群.在本文中, 常用G表示有限群, |G|为群G的阶, π(G)为G的素因子的集合.其他未说明的符号都是标准的[1-2].

称群G的子群H与K在G中可置换, 如果HK=KH.在此基础上, O.H.Kegel[3]引入了s-拟正规的概念:称群G的子群H在G中s-拟正规, 如果H与G的所有Sylow子群可置换.作为对O.H.Kegel概念的推广, 陈重穆[4]给出了如下定义:称群G的子群H在G中s-半置换, 如果H与G的所有Sylow p-子群可交换, 其中(|H|, p)=1.近些年, s-半置换子群的概念被学者们做了很多深入的研究.如, 李样明等[5]在2012年引入了弱s-半置换的概念:称群G的子群H在G中弱s-半置换, 如果存在G的次正规子群T使得G=HT且H∩T≤HssG, 其中HssG为G的包含在H中的s-半置换子群.在2009年和2014年, 郭文彬等[6]和M.Asaad[7]分别引入了如下概念：

定义1[6]  设H为群G的子群, 记HsG为G的所有包含H的s-拟正规子群的交, HsG为由G的包含于H的s-拟正规子群生成的群.我们称

1) H在G中s-嵌入, 如果G中存在一个s-拟正规子群T使得HsG=HT且H∩T≤HsG.

2) H在G中n-嵌入, 如果G中存在一个正规子群T使得HG=HT且H∩T≤HsG.

定义2[7]  设H为群G的子群.称H为在G中几乎s-嵌入的, 如果存在G的s-拟正规子群T使得HsG=HT且H∩T≤HssG.

显然定义2为定义1的推广, 但反之不然, 见文献[7].

本文, 我们继续M.Asaad的工作, 用几乎s-嵌入的概念研究群G为p-幂零的若干充分条件.在对有限群的p-幂零性进行刻画时, 学者们常考虑群G的Sylow子群的极大子群在群G中满足某些条件时对群结构的影响.而一些学者考虑的是Sylow子群极大子群的局部性质对群结构的影响, 如文献[8-13].本文, 我们考察群G的Sylowp p-子群P的极大子群的局部几乎s-嵌入性对群G的p-幂零性的影响, 得到群G为p-幂零群的两个充分条件.

1 主要引理

引理1[3]  设G为有限群.

1) 若H为G的s-拟正规子群, 则H在G中是次正规的.

2) 若H≤K≤G且H在G中s-拟正规, 则H在K中s-拟正规.

3) 设K为G的正规子群且K≤H.则H在G中s-拟正规.当且仅当H/K在G/K中s-拟正规.

4) 设H和K为G的两个s-拟正规子群, 则H∩K在G中s-拟正规.

引理2[7]  设G为有限群, H为G的s-半置换子群.则

1) 若H≤K≤G, 则H在K中s-半置换.

2) 设N为G的正规子群.若H为G的p-子群, 其中p∈π(G).则HN/N在G/N中s-半置换.

3) 若H≤Op(G), 则H在G中s-拟正规.

引理3[7]  设G为有限群且H为G的几乎s-嵌入子群.设N为G的正规子群, 则

1) 若H≤K≤G, 则H在K中几乎s-嵌入.

2) 设p∈π(G), 且H为G的p-子群.若N≤H, 则H/N在G/N中几乎s-嵌入.

3) 设p∈π(G), H为G的p-子群且N为G的正规p′-群.则HN/N在G/N中几乎s-嵌入.

引理4[14]  设G为有限群且P为G的p-子群, 其中p∈π(G).则P在G中s-拟正规当且仅当Op(G)≤NG(P).

引理5[15]  设G为有限群, p∈π(G)且(|G|, p-1)=1.则

1) 若N$ \underline \triangleleft $G且|N|=p, 则N≤Z(G).

2) 若G有一个循环的Sylow p-子群, 则G为p-幂零的.

3) 若M为G的极大子群且|G:M|=p, 则M$ \underline \triangleleft $G.

引理6[15]  设G为有限群.假设1＜N$ \triangleleft $G且N∩Φ(G)=1.则N的Fitting子群F(N)为G的包含于F(N)的极小正规子群的直积.

容易证明

引理7  设G为有限群, A≤G，若A为G的次正规π-子群, 则A≤Oπ(G).特别的, 若A为G的次正规子群Hall-子群, 则A$ \underline \triangleleft $G.

2 主要定理

定理1  设G为有限群, P∈Sylp(G), 其中p∈π(G), 且满足(|G|, p-1)=1.若P的所有极大子群在NG(P)中几乎s-嵌入, 且P′在G中s-拟正规, 则G为p-幂零群.

证明：假设定理不真.设G为极小阶反例, 则

1) P′=1, P为交换群.

若P′≠1, 由引理4, Op(G)≤NG(P′).又P′$ \ \triangleleft $P, 所以P′$ \triangleleft $POp(G)=G.考虑商群G/P′.因P/P′∈Sylp(G/P′)且(P/P′)′=P′/P′=1在G/P′中s-拟正规.设M/P′为P/P′的极大子群, 则M为P的极大子群.由引理3, M/P′在NG/P′(P/P′)=NG(P)/P′中几乎s-嵌入.故G/P′满足定理的假设.由G的选择知, G/P′为p-幂零的.又P′≤Φ(P), 由文献[2]Ⅲ, 3.3, P′≤Φ(G).从而G为p-幂零的, 矛盾.

2) OP′(G)=1.

若T=OP′(G)＞1.考虑商群G/T.显然PT/T∈Sylp(G/T).且

(PT/T) ′≤P′T/T=1

在G/T中s-拟正规.又NG/T(PT/T)=NG(P)T/T.由引理3, G/T满足定理的假设.由G的选择知G/T为p-幂零的, 从而G为p-幂零群.

3) 若P≤H＜G, 则H为p-幂零群.

显然, P∈Sylp(H)且由引理1知, P′在H中s-拟正规.又P≤H∩NG(P)=NH(P), 由引理3知, H满足定理的假设.从而由G的选择知, H为p-幂零的.

4) G为可解群, 且P=Op(G).

若NG(P)＜G, 则由3)知, NG(P)为p-幂零的.设K为NG(P)的正规p-补, 所以NG(P)=P×K.于是K≤CG(P).另一方面, 由1)知, P≤CG(P), 从而NG(P)=CG(P).由著名的Burnside定理知, G为p-幂零的.这个矛盾说明NG(P)=G, 从而P$ \underline \triangleleft $G.显然, G/P为p′-群且可解, 于是G为可解群.

5) Φ(G)=1且P为G的唯一极小正规子群, |P|>p.

设N为G的极小正规子群, 由4), N为初等交换群.又由2)知, N为p-群且N≤Op(G)=P.考虑商群G/N, 因P/N∈Sylp(G/N)且(P/N) ′=P′N/N=1在G/N中s-拟正规.又NG/N(P/N)=NG(P)/N.由引理3知, G/N满足定理的假设, 从而由G的选择, G/N为p-幂零的.若存在G的两个不同的极小正规子群N1, N2, 则由上述证明知G/N1和G/N2为p-幂零群, 从而G=G/(N1∩N2)＜G/N1×G/N2为p-幂零群, 矛盾.若Φ(G)≠1, 则N≤Φ(G), 从而由G/N的p-幂零性知G/Φ(G)为p-幂零的.因p-幂零群类为饱和群系, 于是G为p-幂零的, 矛盾.另一方面, 由引理6知, P=N.若|P|=p, 则由引理5知, P≤Z(G), 从而G为p-幂零的, 矛盾.

6) 最后的矛盾.

由P的极小正规性, P∩Op(G)=1或者P∩Op(G)=P.若P∩Op(G)=1, 则

P=P/(P∩Op(G))$\cong $POp(G)/Op(G)=G/Op(G)为p-群G/Op(G)的极小正规子群, 从而|P|=p, 矛盾于5).若P∩Op(G)=P, 这等价于P≤Op(G).任取P的一个极大子群P1, 由假设, 存在G的s-拟正规子群T使得P1sG= P1T且P1∩T≤(P1)ssG.因(P1)ssG≤P1, 故P1∩T=(P1)ssG∩T.显然, P≤PT≤G.以下分两种情况进行考虑.

Ⅰ)若PT=G, 则P≤Op(G)≤T, 于是P1=(P1)ssG≤P=Op(G).由引理2知, P1在G中s-拟正规, 且由引理4, Op(G)≤NG(P1), 从而P1$ \triangleleft $G.由P的极小正规性知, P1=1, |P|=p, 矛盾于5).

Ⅱ)若PT＜G, 则由3)知, PT为p-幂零的, 从而T也p-为幂零的.设Tp′为T的正规p-补, 由引理7, Tp′≤Op′(G)=1.故T为p-群, P1≤(P1)sG=P1T≤P.由P1的极大性, P1=(P1)sG或者(P1)sG=P.

a) 若P1=(P1)sG.则P1在G中为s-拟正规.由引理4知, Op(G)≤NG(P1).又由P1$ \triangleleft $P知P1=(P1)sG$ \triangleleft $POp(G)=G.再由P的极小正规性知, P1=1, |P|=p, 亦矛盾于5).

b) 若(P1)sG=P, 则1≠T≤P.另一方面, 因(P1)ssG≤P=Op(G), 若(P1)ssG≠1, 由引理2, (P1)ssG=(P1)sG在G中s-拟正规.类似于a)的证明可知(P1)sG$ \triangleleft $G, 矛盾于P的极小性.故(P1)ssG=1, P1∩T=1.从而|T|=p.由P的极小性知P=T, 矛盾于5).证毕.

推论1  设G为有限群, 且H为G的子群满足G/H为p-幂零群.设P∈Sylp(H), 其中p∈π(G)且(|G|，p-1)=1.若p的所有极大子群在NG(P)中几乎s-嵌入, 且P′在G中s-拟正规, 则G为p-幂零群.

证明：由定理1知, H为p-幂零群.设Hp′为H的正规p-补.若Hp′≠1, 则考虑商群G/Hp′.由引理1和引理3知, G/Hp′满足定理的假设, 故G/Hp′为p-幂零的, 从而G为p-幂零的.若Hp′=1, 则H=P, G/P为p-幂零的.设K/P为G/P的正规p-补, 则由Schur-Zassenhaus定理, 存在K的Hall p′-子群Kp′使得K= Kp′P.再由定理1可得, K为P-幂零的.因此K= Kp′×P, Kp′为G的正规Hall p′-子群.于是G为p-幂零群.证毕.

推论2  设G为有限群, 若对任意p∈π(G), 存在P∈Sylp(G)使得P的所有极大子群在NG(P)中几乎s-嵌入, 且P′在G中s-拟正规, 则G为超可解型的Sylow塔.

证明：设p∈π(G)为|G|的最小素因子且P为G的Sylowp-子群.由定理1, G为p-幂零群.设K为G的正规p-补.用对|G|的归纳法, K为超可解型的Sylow塔, 从而G为超可解型的Sylow塔.证毕.

定理2  设G为有限群且G=AB, 其中A为G的s-拟正规子群且B为G的p-幂零子群.设P∈Sylp(A), 其中(|G|, p-1)=1.若P的所有极大子群都在NG(P)中几乎s-嵌入且P′在G中s-拟正规, 则G为p-幂零群.

证明：假设定理结论不真.设G为极小阶反例, 则

1) Op′(G)=1.

2) A为p-群.

由定理1知, A为p-幂零的.设Ap′为A的正规p-补, 则由A的s-拟正规性及引理1和引理7知, Ap′≤Op′(G)=1.从而A为p-群.

3) 最后的矛盾.

因B为p-幂零的, 设Bp′为B的正规p-补, 则由G=AB及2)知, Bp′为G的Hall p′-子群.又A在G中s-拟正规, 从而ABp′≤G.若ABp′＜G, 则用对|G|的归纳法, ABp′为p-幂零的.于是A正规化Bp′, 从而Bp′$ \triangleleft $G, G为p-幂零群, 矛盾.若ABp′=G, 则由定理1, G为p-幂零的, 矛盾.

证毕.

注：定理1中p′在G中s-拟正规的条件不能去掉.例如, 考虑24阶对称群G=S4, 取p=2, P∈Syl2(G).则P=NG(P)为自正规化的, P的所有极大子群都在NG(P)中正规, 从而在NG(P)中几乎s-嵌入, 且(|G|, p-1)=1.但G的Sylow 3-子群不正规于G, 从而G不是2-幂零的.

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