1 前言

利用微通道制备微液滴由于生成液滴粒径大小可控、单分散性好、可操作性强，被广泛应用于微化工、胶体工程、新材料制备等领域^[1~4]。常见的微通道主要有T型通道、流动聚焦、共轴流三种^[5~7]。共轴流通道作为唯一一种从三维流动尺度制备液滴的方式，液滴受力均匀，产生稳定，在制备多重乳液等领域有着不可替代的优势，对于产生单分散液滴有着很好的应用前景^{[8, 9]}。目前已有的关于共轴流的报道主要集中于用高黏度连续相剪切低黏度分散相形成液滴的系统，如Cramer等^[10]通过实验研究了水在葵花油中的分散过程，提出了滴流和射流两种不同流型；Hong等^[11]通过数值模拟讨论了两相流率对液滴形成过程的影响；Wang等^[12]讨论了气泡在水中的形成过程；Lan等^[13]用level set模拟了聚砜溶液在硅油中的离散过程。而关于用低黏度连续相剪切高黏度分散相形成液滴的报道，目前还主要集中于研究应用较早的T型通道及其衍生的直流式通道^[14~16]、流动聚焦通道^{[17, 18]}。

鉴于此，本文采用高黏度大豆油作为离散相，研究了其通过不同几何尺寸的共轴流通道在水中的离散过程，并结合数值模拟全面分析了滴流条件下液滴直径的各个影响因素，进而给出了粒径预测的经验公式，弥补了现有对共轴流内水包油型微液滴报道的不足。

2 实验及数值方法 2.1 实验装置及实验方法

本文通过哈佛大学提出的玻璃毛细管组装方式^[19]获得实验装置，其流道及示意图如图 1所示。实验共使用了5套不同锥口、接收管内径大小的微流控装置，其几何参数和实验操作参数如表 1。以大豆油和纯水分别作为离散相和连续相进行研究，油水两相分别通过两台注射泵 (LSP01-2A) 注入锥形管和方形管，待液滴稳定形成后，用高速摄影仪 (Phantom MIRO3-1024MC) 通过显微镜 (OLYMPUS IX71) 拍下液滴的形成过程，用培养皿收集液滴在显微镜下 (LEICA S40/0.45) 观察并用粒度分析软件进行直径测量。其中，流型测试采用装置4固定水相流量为160 mL·h^-1，油相流量操作范围为0.1~25 mL·h^-1，其余操作条件均为保持油相流量一定，通过改变水相流量来获取不同大小液滴。由于流速更能反应通道内流动状况，并且易于和模拟结果比较，故本文对结果的讨论均将流量换算成流速表示。后续若无特殊说明，则均是采用装置1进行实验和模拟的结果。

2.2 数值算法及控制方程

采用VOF/CSF模型，选用基于有限体积法的FLUENT软件来求解欧拉网格下的Navier-Stokes控制方程。VOF方法最初由Hirt和Nichols^[20]提出，其基本思想是通过定义一个体积函数来表示各相的体积分数，每引入一相则引入一个变量α_i(i相的体积分数)，通过计算每一时刻每个网格内各相的体积分数并通过界面重构来还原相界面。目前VOF/CSF模型已被成功应用于液滴变形、液膜流动^{[21, 22]}等领域。针对本文的油水两相系统，其体积函数可简单表示为：

$ {\alpha _\rm{o}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{ = }}0}&网格内充满水 \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} { > {\rm{ }}0, {\rm{ }} < {\rm{ }}1}&网格含油水界面 \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} { = {\rm{ }}1}&{ 网格内充满油} \end{array}} \end{array}} \right. $

(1)

其中，每个网格内两相体积分数之和为1。在VOF算法中，采用连续表面力模型 (CSF) 来处理界面张力，即表面张力源项：

$ F = \sigma \frac{{\rho \gamma \nabla {\alpha _{\rm{w}}}}}{{\frac{1}{2}\left( {{\rho _w} + {\rho _\rm{o}}} \right)}} $

(2)

$ \gamma = \nabla \cdot \left( {\frac{{\nabla {\alpha _{\rm{w}}}}}{{\left| {\nabla {\alpha _{\rm{w}}}} \right|}}} \right) $

(3)

在毛细尺度下，重力对液滴形成的影响可以忽略。实验流体视为粘性不可压缩牛顿流体，其密度、黏度、两相界面张力在实验条件下为定值，因此，该问题下的连续性方程和Navier-Stokes方程可简化为：

$ \nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0 $

(4)

$ \frac{{\partial \boldsymbol{v}}}{{\partial t}} + \left( {\boldsymbol{v} \cdot \nabla } \right)\boldsymbol{v} =-\frac{1}{\rho }\nabla p + \frac{\mu }{\rho }\nabla \cdot \left( {\nabla \boldsymbol{v} + \nabla {\boldsymbol{v}^T}} \right) + \frac{1}{\rho }F $

(5)

其中 (2)(5) 中ρ、μ为两相体积平均值。

2.3 几何模型及网格划分

由于实验条件下雷诺数很小，油滴在接收管内形成并脱落的过程具有对称性，故该装置流道计算模型可简化为二维轴对称模型，如图 2所示。经验证，将出口取在距锥口15 d_ti的位置，流场已充分发展，不会对上游流场造成影响。微通道内均采用结构化四边形网格划分，运用分区均匀化策略，在液滴形成区域采取尺寸较小的网格，而液滴脱落后的运动区域则采取较为稀疏的网格以加快计算。由表 2可以看出，当液滴形成区域网格大小由2 μm变至1 μm时，前后两次计算所得液滴粒径变化仅为0.27%，可认为计算结果已与网格无关，故本文在液滴生成区域采用1 μm大小的正四边形网格。

2.4 参数设置

流体介质的物性参数如表 3(温度 (21±2)℃)，采用德国KRÜSS公司生产的FM4000界面张力仪测得油水两相界面张力为19.45 mN·m^-1，KRÜSS公司的IL4201接触角测量仪测得油相与毛细管的接触角为26.4°。选用压力求解基，采用VOF显式算法，运用Green-Gauss cell based插值求解梯度，几何重构方案采用Geo-reconstruct，压力速度耦合采用PISO算法，压力插值方案选用PRESTO!算法，时间离散方式选择一阶隐式格式，动量方程离散设为二阶迎风差分格式，设置动量方程收敛标准为1×10^-6，连续性方程收敛标准为1×10^-9。初始时间步长设置为1×10^-9 s，并根据收敛情况调整。

3 结果与讨论 3.1 液滴形成的两种不同流型

实验和模拟观察到了两种不同流型：滴流和射流，如图 3所示。在滴流条件下，制得液滴球形度在98%以上，直径偏差系数CV小于5%。射流时，由于Rayleigh-Plateau不稳定性^{[23, 24]}，生成的液滴单分散性差^[19]。

对于水包油系统，由于连续相黏度很低，因此需要在更高的两相流速下才能获得射流流型 (通常为离散相流速高于连续相流速)，如图 3(b)中连续相、离散相流速分别为兰文杰等^[25]油包水条件下的6倍和27倍时才产生射流。由于射流下的长液柱对扰动的放大作用，故高流速下液柱的不稳定性极强，导致液滴从液柱断裂位置很不固定，生成液滴直径单分散性很差，并极易产生卫星液滴，如图 3(b)所示，其中红圈内所示即为卫星液滴，在此种条件下，微流控装置已不满足制备单分散液滴的要求。由于实际应用中往往对生成液滴直径有着严格要求，故本文后续内容将对滴流条件下液滴粒径的影响因素进行全面探究。

对于产生相同粒径的液滴，离散相流速越大，液滴产生频率越快，而连续相流速越高，则能够快速的带走已经生成的液滴，避免在管内堆积。当采用低黏度连续相剪切高黏度分散相，由于连续相黏度低，因此能够在更高的离散相和连续相流速下操作而保持在滴流，有利于以更高频率产生单分散性良好、大小可控的微液滴。

3.2 模型有效性验证及液滴形成过程分析

取3套不同锥口直径大小的装置，建立数值模型，并将模拟结果与实验测得液滴粒径比较，如图 4所示。模拟结果与实验值吻合良好，证明建立的数值模型是准确的。选取实验和模拟过程中液滴形成过程的关键画面进行对比，如图 5所示，其中图中左侧为实验拍摄图片，右侧上部分为压力云图，下部分为速度矢量图，可以看出，模拟结果能真实反应液滴的实际形成过程。

分析图 5可以看出，液滴在锥口的形成过程可以分为两个阶段：静止生长阶段及颈缩脱落阶段。对液滴做受力分析：管内Re极小，惯性力可忽略，液滴受力情况可简化为将液滴拉向锥口的界面张力F_σ与使液滴远离锥口的力F_D之间的相互作用，其中F_D分为两部分，一部分为连续相对液滴的粘性曳力，另一部分为液滴内外压力不平衡引起的水平推动力F_p。

$ {F_\sigma } = \pi \cdot {d_{\rm{z}}} \cdot \sigma $

(6)

$ {F_{\text{D}}} = \iint \tau {\text{d}}s{\text{ + }}{F_{\text{p}}} $

(7)

初始时，由于连续相对液滴的曳力较小，界面张力占主导作用，液滴在锥口凸起成球形并缓慢长大，此阶段即为液滴的静态生长阶段，由于此阶段两相界面间速度梯度较大，液滴内部在连续相曳力的作用下产生了内部环流，如图 5(a)所示。随着液滴的逐渐长大，其所受曳力也越来越大，当F_D大于等于F_σ时，液滴开始向锥口下方移动，连接液滴与锥口的锥颈开始变细直至最后断裂，此即液滴的颈缩和脱落阶段；在颈缩到脱落阶段，由于脖颈变细，一方面使得液滴的可剪切面积增大，另一方面使得脖颈处毛细压力增大，如图 5(b)、5(c)所示，这两个原因都会加速液滴脱落。液滴颈缩脱落阶段由于界面速度梯度的减小，内部已无内环流，并以较大速度向下游方向脱落。由图 5(c)速度矢量图可以看出，脖颈断裂时，一部分液体流入液滴，而另一部分液体则由于界面张力的作用被拉回至锥口处。

3.3 连续相及界面张力影响

通过3.2节中对液滴的受力分析可知，液滴受力可简化为粘性力和界面张力的相互作用，故初步选用连续相毛细准数Ca来衡量连续相对生成液滴的影响，为方便后续讨论，采用无量纲形式d_n表示液滴直径，其中：

$ Ca{\rm{ = }}\frac{{{\mu _{\rm{w}}}{\upsilon _{\rm{w}}}}}{\sigma } $

(8)

$ {d_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{d}{{{d_{{\rm{to}}}}}} $

(9)

分别改变连续相流速、黏度和界面张力来获得不同的毛细数。其结果如图 6所示。其中连续相流速 (v_w) 变化范围为0.17~1.2 m·s^-1，黏度 (μ_w) 变化范围为1~5 mPa·s，界面张力系数 (σ) 变化范围为10~40 mN·m^-1。

由图 6可以看出，通过改变毛细准数中任一参数来获取不同毛细数与液滴直径的关系，其规律基本是一致的，证明用毛细准数来衡量对液滴直径的影响是可靠的。图 6中曲线变化规律显示，生成液滴直径随着毛细数的增大而迅速减小，说明毛细数对生成液滴直径影响非常显著。

增大连续相的剪切速度，会使得两相界面处速度梯度增大，从而使τ增大，而μ_w增大也会直接导致τ增大，这两个因素都会使得液滴所受曳力F_D增大，从而生成粒径减小；而界面张力σ的增加会使得F_σ增加，故液滴要脱离锥口则需要更大的曳力F_D，在τ保持一定的情况下，则需要更大的直径才能达到脱离所需的曳力F_D，故生成液滴直径随界面张力增大而增大。

3.4 离散相影响

由图 7可以看出，随着离散相粘度的增加，生成微液滴的直径几乎没有变化；而随着离散相流速的增大，微液滴的直径只有小幅度增加。

改变离散相的黏度和速度，液滴的受力情况并不会发生改变，故生成液滴直径几乎不随离散相黏度而改变。而改变离散相的速度，液滴直径有小幅增加是因为从F_σ与F_D达到平衡到液滴最终颈缩脱落之间有一个弛豫时间^[13]，离散相流速的增加会使得通过脖颈注入到液滴的体积越多，但由于弛豫时间一般很短，故最终生成的微液滴直径只有小幅增加。

3.5 壁面效应与接触角影响

定义K=d_ji/d_zo，液滴直径随K值的变化趋势如图 8所示。可以看出，当K值较小时，由于壁面效应的存在，使得液滴所受曳力变大，相同条件下液滴生成直径变小。当K小于14时，d_n正比于lnK；当K值大于14时，壁面效应变得微弱，当K大于18时，几乎可以忽略壁面效应影响。

数值实验表明，当油和壁面的接触角由0°增大至180°的过程中，微流控装置均能稳定生成油滴，这不同于Xu等^[26]报道的T型通道、Fu等^[27]报道的流动聚焦型通道都必须壁面疏油 (接触角大于90°) 时才能稳定生成油滴。由图 9中曲线可以看出，随着接触角的增大，壁面由亲油转变为疏油，生成液滴的直径也有所减小。图 9中直线箭头分别指出了接触角为0°与180°时的两相界面，亲油时，两相界面保持在锥口外径，疏油时，两相界面保持在锥口内径。事实上，当离散相与锥口由亲油变化为疏油时，液滴的体积被锥口遮挡住的部分减小，可剪切面变大，液滴所受曳力F_D变大，故生成液滴直径减小。

3.6 液滴直径预测

通过以上分析研究发现，生成液滴直径的影响因素可归纳为连续相Ca数、壁面效应K值、接触角、离散相速度v_d的影响，综合各参数对液滴直径的影响规律，通过无量纲处理分析，得到预测液滴直径的经验公式 (10)

$ {d_\rm{n}} = 0.29\ln KC{a^{-0.36}}{\left( {\frac{\begin{array}{l} {v_\rm{w}} \end{array}}{{{v_\rm{o}}}}} \right)^{0.04}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (K > 14时, K取14) $

(10)

将实验结果与公式计算值进行比较，如图 10所示，可以看出，计算值与实验值吻合较好。

4 结论

采用数值模拟结合实验探究的方式，讨论了水包油系统中，高黏度离散相通过共轴流装置在低黏度连续相中的离散行为，数值模拟与实验结果吻合良好，进而进一步分析了不同参数对液滴形成过程的影响，主要结论如下：

(1) 水包油系统相比于传统油包水系统而言，可以在更高两相流速下保持滴流操作，有利于以更高频率产生单分散性良好的液滴，而射流条件下液滴产生极不稳定，单分散性差。

(2) 用毛细管数来衡量连续相速度、黏度及界面张力对生成液滴直径的影响是准确的，且随Ca数的增大，d_n减小趋势明显。

(3) 液滴直径随离散相粘度变化几乎不发生改变，而增大离散相流速会使液滴直径小幅增加。

(4) 壁面效应对生成液滴直径影响显著，当K值小于14时，d_n正比于lnK；当K大于14时，壁面效应开始变得微弱；当K大于18时，可以忽略壁面效应。油相与毛细管间接触角为0°和180°时均能稳定生成液滴，但由亲油变为疏油时，生成液滴直径有所下降，降幅约为16%。

(5) 不同装置内，液滴生成直径可用公式d_n= 0.29lnKCa^-0.36(v_w/v_o)^0.04来进行计算，其中K > 14时，取K = 14。

符号说明：

Ca   ——连续相毛细管数 (Ca = μ_wv_w/σ)          p  ——压强，Pa

d  ——液滴实测直径，μm                   Q  ——体积流量，mL·h^-1

d_n  ——液滴无量纲直径 (d_n = d/d_to)            Re  ——雷诺数 (Re = ρdv/μ)

d_z  ——连接锥口与油滴的液柱直径，m             t  ——时间，s

d_ji  ——接收管内径，μm                   v  ——流速，其中连续相单位为m·s^-1，离散相为m m·s^-1

d_jo  ——接收管外径，μm                   α  ——相体积分数

d_ti  ——锥口内径，μm                    γ  ——界面曲率

d_to  ——锥口外径，μm                    μ  ——动力黏度，Pa·s

d_zi  ——锥形管内径，μm                   σ  ——界面张力系数，N·m^-1

d_zo  ——锥形管外径，μm                   ρ  ——密度，kg·m^-3

F  ——表面张力源项，N                    τ  ——剪应力，N·m-2

F_σ  ——界面张力，N                     下标

F_D  ——液滴脱落总推动力，N                 o  ——油相

F_p  ——压差引起液滴脱落推动力部分，N            w  ——水相

K  ——接收管内径与锥口外径比值 (K = d_ji/d_zo)