1 前言

蒸发是工业生产中常用的一种溶液浓缩操作，它利用加热方法，使溶液中溶剂持续挥发，提高溶液浓度。在氧化铝生产的蒸发过程中依靠蒸汽提供热量，消耗大量热量的同时，也会产生能量流失。这是由于在生产过程中，冷凝水以及出口料液会带走热量，蒸发器的散热导致能量流失，现场状态参数设定不合理也会造成蒸汽的浪费。液位作为氧化铝生产蒸发过程中重要的状态参数，关系着氧化铝蒸发效率、产品质量、安全性以及能量的利用情况。因此，在氧化铝生产中，对蒸发过程的液位控制显得尤为重要。

氧化铝蒸发过程工况复杂多变，时间周期较长，蒸发器内的液位控制具有时间滞后以及非线性的特点，因而常规控制，如PID控制、模糊控制以及模糊PID控制等^[1-4]，都难以精确控制。近年来，液位控制的研究有了进展。何德峰等^[5]提出了一种增量多变量模型预测控制算法，结合坐标轮换法和黄金分割法，在线实施预测控制，控制速度得到提高。亓鲁刚等^[6]提出了一种基于总容量平衡的变周期液位协调控制方法，并根据耦合性分析来证明方法的可行性。Sundaravadivu等^[7]建立了球形罐液位的一阶时滞系统，通过积分方差最小法对分数阶PID控制器进行设计，比整数阶控制器展现出更高的效率。模型预测控制在解决非线性问题上也取得了一定的进展。通过预测模型控制对PI控制进行优化^[8]，将连续非线性模型通过离散线性预测模型控制^[9]，模型的目标函数中考虑了经济因素和设定值跟踪能力^[10]，降低了机械损耗。但在蒸发过程中，液位不仅受输入输出料液的影响，还跟当前蒸发效率有着很大关系，一方面蒸发速度快则表示蒸发器有更多的水分输出，另一方面液位高低影响蒸发器上部的蒸发空间，进而影响压强、温度及料液密度，反过来影响蒸发效率^[11]。因而蒸发器液位与其他变量的关系十分复杂，其精确控制对保证出口料液浓度和节约能耗具有重要意义。而对复杂工业过程中的非线性问题，以上模型难以实现对液位的精确控制，从能耗角度也未能提出相关建议。

本文针对这些问题，建立液位的动态时滞模型，提出一种基于能耗最优的管式降膜蒸发器液位控制方法(LLCOEC)，将有效能以及汽水比考虑在内。将复杂非线性的控制问题转化为步长时间内的非线性规划问题，根据状态变量和控制变量的限制条件对该问题进行求解，通过每一步长内求得的出料流量增量，得到整个液位调控过程的出料流量，即出料泵的调控方案，达到氧化铝生产蒸发器内液位控制的跟踪目标和能耗目标。

2 管式降膜蒸发器原理与分析

管式降膜蒸发器的结构如图 1所示，由加热室和分离室两方面构成，包括加热管、布膜器、分离室和除沫室。加热管分布于加热室内，加热蒸汽的输入使得加热管的温度升高，从而对经过加热管的料液进行加热。循环泵使得料液持续稳定地进入加热管加热。在流过加热管后，料液和二次蒸汽在汽液分离室内进行分离，低浓度的料液进入循环泵继续进行蒸发操作，高浓度的料液会从分离室流出，进入下一效蒸发器中。

蒸发系统内料液的流动速度由蒸发器之间的出料泵控制，通过改变出料泵的电机转速，控制蒸发器出口流量大小，从而调节各个蒸发器内液位的高度，影响各个蒸发器的蒸发效率以及安全性。与普通的液位控制不同，蒸发器内的液位由进口料液、出口料液、二次蒸汽以及压力等因素所决定。而状态参数中，温度和液位高度可以实时测量，出口料液浓度和密度则需要一定的时间才能采样化验得到。因此，这是一个具有时间滞后的非线性系统，需要根据机理构建各状态参数之间的动态模型，结合实际工业生产数据，采用有效的控制方法为该模型提供解决方案。

3 管式降膜蒸发器蒸发过程液位的动态时滞模型

蒸发过程中包含着传质传热等各种复杂的过程。蒸汽压力影响各效蒸发器内的温度，而温度的变化又会改变各效蒸发器内料液的蒸发情况和蒸汽的冷凝情况。液位的大小也会改变室内压力的大小。状态参数中，液位、温度可实时测量，溶液密度不能在线检测，使得密度数据存在滞后。

根据物料平衡和传热等原理，建立一效蒸发器蒸发过程液位的动态时滞模型。在蒸发过程中，影响液位的外部变量有：进入蒸发单元的原液流量、末效真空度、生蒸汽的流量和温度，还有蒸发器的分离室压力。末效真空度在一般情况下不会发生太大的变化。蒸发器分离室压力受到液位以及加热室压强的影响，变化复杂，但对液位产生的影响较小。而原液的浓度一般情况下不进行调节。生蒸汽为蒸发带来热量，改变二次蒸汽量，从而间接影响液位。因此，液位变化主要考虑的因素就是进入蒸发单元的原液流量、生蒸汽的流量以及出料流量。

液室内液位变化为

$ \frac{{{\rm{d}}{x_1}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{F_{{\rm{in}}}} \cdot {\rho _{{\rm{in}}}} - u(t) \cdot {x_2}(t - {\tau _2}) - {m_{\rm{v}}}(t - {\tau _1})}}{{A \cdot {x_2}(t - {\tau _2})}} $

(1)

其中x₁为蒸发器内的液位高度，m；F_in为进口料液流量，m³·min^-1；u为出口料液流量，m³·min^-1；m_v为二次蒸汽质量流量，kg·min^-1，由单位时间内冷凝罐中的蒸汽水质量求得；τ₁为二次蒸汽质量流量的滞后时间，min；ρ_in为进口料液密度，kg·m^-3。假设蒸发器蒸发室内的料液均匀混合，出口料液密度以及蒸发室内料液密度相等，表示为x₂，kg·m^-3；τ₂为料液密度离线检测时间，min；A为蒸发器液室横截面积，m²。

根据文献[12]可知，二次蒸汽流量为

$ {m_{\rm{v}}}(t) = A \cdot U({T_{\rm{F}}} - {x_3}(t))/(k - \theta ) $

(2)

其中U为总传热系数，kJ·m^-2·(min·kg·℃)^-1；T_F为分离室温度，℃；假设蒸发器蒸发室内的料液受热均匀，出口料液温度x₃与蒸发室内料液温度相等，k、θ分别为二次蒸汽、二次冷凝水的热焓量，kJ·kg^-1。

出料密度是蒸发过程的重要状态参数，反映了生产过程中的蒸发水平。液室内出料密度的变化为

$ \frac{{{\rm{d}}{x_2}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{F_{{\rm{in}}}} \cdot {\rho _{{\rm{in}}}} - u(t) \cdot {x_2}(t - {\tau _2}) - {m_{\rm{v}}}(t - {\tau _1})}}{{A \cdot {x_1}(t)}} $

(3)

出料温度会对下一效蒸发器蒸发操作产生影响，出料温度高使得料液在下一效蒸发器中能快速蒸发，出料温度低则会降低料液在下一效蒸发器中的蒸发效率。根据热量平衡方程，蒸发器出料温度的变化为

$ \frac{{{\rm{d}}{x_3}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{m_{\rm{s}}} \cdot {l_{\rm{s}}} + {F_{{\rm{in}}}} \cdot {c_{{\rm{in}}}} \cdot {\rho _{{\rm{in}}}} \cdot {T_{{\rm{in}}}} - {m_{\rm{v}}}(t - {\tau _1}) \cdot {l_{\rm{v}}}(t) - u(t) \cdot {c_{\rm{o}}}(t) \cdot {x_2}(t - {\tau _2}) \cdot {x_3}(t)}}{{A \cdot {c_{\rm{o}}}(t) \cdot {x_1}(t) \cdot {x_2}(t - {\tau _2})}} $

(4)

其中T_in和x₃分别为进口料液温度和出口料液温度，℃；c_in和c_o分别为进口料液比热容和出口料液比热容，kJ·(kg·℃)^-1；l_v为二次蒸汽潜热，kJ；l_s为生蒸汽潜热，kJ·kg^-1；m_s为生蒸汽流量，kg·min^-1。

根据文献[13]可知，蒸汽潜热

$ l = - 0.006489{T^2} - 1.327T + 2461 $

(5)

其中T为蒸汽温度，℃；出口料液比热容为

$ {c_{\rm{o}}} = 4.18 - (2.994{\rho _{{\rm{NC}}}} + 2.923{\rho _{{\rm{NT}}}} + 3.266{\rho _{{\rm{AL}}}})/{x_2} $

(6)

ρ_NC、ρ_NT、ρ_AL分别为料液苛碱、全碱和铝氧浓度，kg·m^-3。

4 基于能耗最优的液位控制方法

能量是物质运动的量度。在对物质的能量进行分析时，大多数情况下根据“热力学第一定律”对能量变化进行分析，但没考虑能量是否能完全进行转化，达到利用的效果，无法有方向性地对模型进行控制。而㶲分析法是基于“热力学第二定律”的一种方法，它可以同时描述能量的数量和质量。

系统中的㶲流分为代价㶲和收益㶲，在蒸发过程中，出口料液㶲为收益㶲，而进口料液㶲和生蒸汽㶲则为代价㶲，通过代价㶲和收益㶲求得目的㶲效率J_η，为

$ {J_\eta } = u{x_2}{e_2}/({m_{\rm{s}}}{e_1} + {F_{{\rm{in}}}}{\rho _{{\rm{in}}}}{e_2}) $

(7)

根据文献[14]可知，蒸汽比㶲计算公式为

$ {e_1}(T) = - 0.01315{T_2} + 7.546T + 43.1 $

(8)

式中e₁(T)代表水蒸汽比㶲，T为蒸气温度，℃。

物料比㶲计算公式为

$ {e_2}(T,P,c,\rho ) = c(T - {T_0}) - c{T_0}\ln \frac{T}{{{T_0}}} + \frac{1}{\rho }(P - {P_0}) $

(9)

其中，T为料液温度，℃；P为料液压力，MPa；c为料液比热容，kJ·(kg·℃)^-1；ρ为料液密度，kg·m^-3。

除了㶲效率之外，蒸发过程中的汽水比J_s，即加热蒸汽与蒸发水分的比值，也是一个重要的技术指标，它反映了料液中蒸发每吨水所消耗蒸汽量，如下所示

$ {J_{\rm{s}}} = {m_{\rm{s}}}/({F_{{\rm{in}}}}{\rho _{{\rm{in}}}} - u{x_2}) $

(10)

由于现场操作的要求，不便于进行出料泵的频繁调整，为此将步长时间设为t₁，由初值设定到最佳液位的时间设为t_f，步数n = t_f/t₁。

为了实现能耗最优，同时保证调控速度合理，将㶲效率J_η和汽水比J_s同时引入到目标函数中，最大化如下目标函数

$ \max J = \sum\limits_{i = 1}^n {({R_i}\Delta {u_i}^2 + {\eta _1}{J_\eta }{{(x,u)}^2} + \frac{{{\eta _2}}}{{{J_{\rm{s}}}{{(x,u)}^2}}})} $

(11)

R_i为控制变量因数，Δu_i为第i步周期的控制变量增量，即出口料液流量增量，出口料液流量增量大，能使得液位迅速回到设定值。由于液位可实时测量，当液位即将到达合理范围时，迅速调整出料泵转速，防止超调。η₁和η₂分别为㶲效率因数和汽水比因数，目的㶲效率J_η越大，有效能利用率越高，而汽水比J_s要尽可能低，将汽水比项取倒数，使得在蒸发等量水的情况下，消耗更少的生蒸汽。最大化以上目标函数，在保证液位快速设定到最佳液位的同时，还能确保在液位调控过程中，㶲效率始终处于较高的状态，汽水比较小。

在蒸发过程中，液位过高或过低都不利于蒸发工序的正常进行。料液密度也应该处在指标范围内，才能使产品达到要求。为防止出现干蒸等安全事故，出口料液流量不得低于1.6 m³·min^-1，出料泵转速以及管道尺寸的限制使得最大出口流量不得高于5.3 m³·min^-1。

因此，为了实现氧化铝蒸发工序的高效安全运作，对各指标进行限制，如下所示

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{a_i} \le {x_i}(t) \le {b_i}}&{\forall t \in [0,{t_{\rm{f}}}],\;\;i = 1,2,3}\\ {{c_1} \le u(t) \le {d_1}}&{\forall t \in [0,{t_{\rm{f}}}]} \end{array} $

(12)

结合式(7)~(12)，将上述非线性控制问题转化为非线性规划问题进行求解，在状态变量和控制变量的限制下，求解在每一个步长内最优的控制增量，如下所示

$ \begin{array}{l} \max J = &\sum\limits_{i = 1}^n {({R_i}\Delta {u_i}^2 + {\eta _1}{{\left( {\frac{{(\Delta {u_i} + {u_{i - 1}}){x_2}{e_2}}}{{{m_{\rm{s}}}{e_1} + {F_{{\rm{in}}}}{\rho _{{\rm{in}}}}{e_2}}}} \right)}^2}} \\ &+ \frac{{{\eta _2}{{({F_{{\rm{in}}}}{\rho _{{\rm{in}}}} - (\Delta {u_i} + {u_{i - 1}}){x_2})}^2}}}{{{m_{\rm{s}}}^2}} \end{array} $

(13)

u_i-1为第i-1个步长时间的出料流量，Δu_i+u_i-1为第i步的出料流量。

文献[11]给出了在不同工况条件下蒸发器最优液位的求解方法，当液位接近于最优液位时，为使液位保持稳定，需要保证式(1)的变化为0，此时，出口料液流量u_f设定为

$ {u_{\rm{f}}} = ({F_{i{\rm{n}}}} \cdot {\rho _{{\rm{in}}}} - {m_{\rm{v}}})/{x_2} $

(14)

求解算法如图 2所示。

5 仿真结果分析

当加热室内压力为0.45 MPa，进口流量为5 m³·min^-1，进口料液密度为1245 kg· m^-3时，最佳液位为2.45 m，而实际液位高度为2.1 m。采用基于能耗最优的液位控制方法对动态模型进行控制。假设生蒸汽温度T_s保持不变，为180℃，进料温度T_in为131.2℃，比热容c_in为3.34 kJ·(kg·℃)^-1，料液密度ρ_in为1395 kg·m^-3，出口料液温度x₃初始值为149℃，出料比热容c_o为3.59 kJ·(kg·℃)^-1。出料流量初始值u₀设为4 m³·min^-1，液位控制算法中的控制步长时间T₁设置为1 min。分离室温度T_F为137℃，传热系数U为254.5 kJ·(m²·min·kg·℃)^-1。滞后时间τ₁为10 min，滞后时间τ₂为15 min。

将初始变量以及参数代入式(13)中，对拉格朗日函数取二次近似^[15]，提高二次规划问题的近似程度。按照图 2所示方法实施控制，通过Matlab中的fmincon函数计算出每一个步长时间内的出料流量增量Δu，根据u和Δu求得控制变量出料流量，如图 3所示，为出料泵转速的调整提供建议。

将控制变量代入式(1)、(3)和式(4)中，利用龙格库塔法求解时滞非线性模型，得到每一步长时间内的液位高度，从而得到整个液位调控过程的液位变化情况，如图 4所示。由于离散时间模型预测控制方法(DMPC)^[9]在处理非线性问题时具有良好的效果，将基于能耗最优的液位控制方法(LLCOEC)与DMPC作比较。LLCOEC相对于DMPC来说，能缩短达到最优液位的时间，并且能使液位迅速稳定下来。图 5给出了LLCOEC与DMPC在调控过程中有效能㶲效率的变化情况，LLCOEC使蒸发过程中的㶲效率始终处于较高水准，从初始时刻的23.2%迅速提升到最佳液位时的26.1%，而DMPC调控下的的㶲效率提升缓慢。而蒸发过程中的另一个指标汽水比也有一定程度上的降低，通过DMPC得到的平均汽水比为0.429，而通过LLCOEC调控后的平均汽水比降到了0.418，为管式降膜蒸发器蒸发过程节约了大量的加热蒸汽。

为了验证该方法的准确性，分别取不同工况条件下的实际生产数据对两种方法进行模拟，得到液位调控过程中的平均㶲效率J_ηa、平均汽水比J_sa以及液位设定时间t_f，如表 1所示。

相比于DMPC，LLCOEC在不同的工况条件下均能展现出更好的效果。这主要是由于利用DMPC解决氧化铝蒸发过程中液位调控问题需要将模型线性化，并假设料液密度、温度等状态参数不变。而液位的变化与蒸发效率紧密相关，蒸发效率又是直接受密度、温度等参数的影响，这使得DMPC在调控过程中难以精确调控。而使用本文方法无需提出类似假设，通过目标函数求出每一步长内的最优控制变量，再利用龙格库塔法模拟动态模型的变化情况。该方法在保证各生产指标趋于合理，缩短液位调控时间的同时，还能提高在液位调控过程中的㶲效率，降低平均汽水比，充分利用系统有效能，为蒸发过程中的节能降耗提供宝贵的建议。

6 结论

针对氧化铝蒸发过程中的液位调控问题，建立了蒸发过程非线性时滞动态模型。之后，提出了一种基于能耗最优的液位控制方法，将原问题转化为一系列非线性规划问题，目标函数中考虑了液位跟踪、㶲效率以及汽水比，在满足有效能和加热蒸汽利用率高的情况下，对液位进行控制，液位设定速度也得到提高，使蒸发器内的液位稳定在一个合理的位置。方法给出了一种非线性时滞模型的求解思路，对生产过程中的节能降耗具有重要意义。

符号说明：

A	— 蒸发器液室横截面积，m2	TF	— 分离室温度，℃
cin	— 进口料液比热容，kJ·(kg·℃)-1	Tin	— 进口料液温度，℃
co	— 出口料液比热容，kJ·(kg·℃)-1	u	— 出口料液流量，m3·min-1
e1	— 比㶲	uf	— 液位稳定时的出口料液流量，m3·min-1
Fin	— 进口料液流量，m3·min-1	Δui	— 料液流量增量，m3·min-1
Js	— 汽水比	U	— 总传热系数，kJ·(m2·min·℃)-1
Jsa	— 平均汽水比	x1	— 液位高度，m
Jη	— 㶲效率	x2	— 出口料液密度，kg·m-3
Jηa	— 平均㶲效率	x3	— 出口料液温度，℃
k	— 二次蒸汽热焓量，kJ·kg-1	θ	— 二次冷凝水热焓量，kJ·kg-1
ls	— 生蒸汽潜热，kJ·kg-1	η1	— 㶲效率因数
lv	— 二次蒸汽潜热，kJ·kg-1	η2	— 汽水比因数
ms	— 生蒸汽流量，kg·min-1	ρAL	— 料液铝氧浓度，kg·m-3
mv	— 二次蒸汽质量流量，kg·min-1	ρin	— 进口料液密度，kg·m-3
n	— 步数	ρNC	— 料液苛碱浓度，kg·m-3
P	— 压力，MPa	ρNT	— 料液全碱浓度，kg·m-3
t1	— 步长时间，min	τ1	— 二次蒸汽流量滞后时间，min
tf	— 液位设定时间，min	τ2	— 料液密度离线检测时间，min