1 引言

用水系统的最优化是化学工程领域的一项重要研究工作，相对于只考虑再利用的水网络而言，当加入再生过程后，新鲜水消耗和废水排放可进一步减少。因此，具有再生过程的水网络的研究对于过程工业具有重要意义。

对于再生循环的用水系统，Feng X等人^[1]提出一种图解方法来优化再生循环的单杂质用水网络。其目标是最小新鲜水消耗量、最小再生水用量和最佳再生浓度，并提出了计算这些目标的方法。潘春晖等人^[2]提出一种迭代方法设计具有再生再利用/循环的单杂质水网络。Yang Liu等人^[3]提出一种数学规划模型优化一个和两个出口物流的用水系统。Da-Long Xu等人^[4]提出通过讨论临界再生浓度和再生水夹点变化规律来优化再生循环单杂质水网络。史春峰等人^[5]提出双出口再生单元再生后浓度与再生率、回用成本关系的关联模型，并求解具体的案例说明具有双出口再生单元再生循环水网络的优化设计步骤。冯霄等人^[6]建立了具有中间水道的废水再生循环的多杂质水网络的超结构，提出了网络优化的数学模型。采用分步优化策略，依次对新鲜水消耗量、再生水流率和再生负荷进行了优化。Yongzhong Liu等人^[7]提出了一种系统化的方法，使新鲜水消耗和再生水用量最小化。Hui-Peng Zhao等人^[8]运用浓度势概念及迭代方法设计具有中水道的再生循环的多杂质水网络，所提出的方法是简单而有效的。Pan等人^[9]针对再生再利用/循环的多杂质水网络提出一种迭代设计方法，该方法既可以解决移除率(Removal Ratio，简称RR)问题，又可以解决固定再生浓度问题。对于RR问题，首先根据水网络及再生过程的特点估算出再生浓度，再生水流的量待定，将再生水流看作系统的新增水源，运用具有再利用的多杂质水网络的设计方法来设计水网络，只需几次迭代即可得到最终设计；对于固定再生浓度问题，只需一次迭代即可得出最终设计。

对于再生再利用的用水系统，因增加了不能循环的限定条件而增加了优化的难度。徐冬梅等人^[10]对再生再利用的单杂质用水系统，提出了一种基于序贯操作模型的整体优化设计方法，该方法归结为非线性规划问题来求解, 从而完成用水网络的设计。Jie Bai等人^[11]提出一种数学规划方法来优化再生再利用的单杂质用水系统，通过建立数学模型实现过程分解，达到用水最小化目标。张云希等人^[12]分析影响引入再生过程后夹点位置变化的因素，得出夹点位置的变化规律，从而为用水网络的分析和设计提供理论性的指导。Kuo和Smith^{[13, 14]}提出一种系统方法用于解决多杂质用水网络设计中的再生再利用问题。该方法包括水夹点的确定、操作分组、操作转移三个步骤，从而得到再生再利用水网络的最终设计，但该方法是复杂的。Liu等人^[15]为了确定出再生后水流的浓度和流量，提出将整个多杂质水网络分为再生前和再生后两个子网络，由再生前子网络确定出再生前水流。该方法虽然比较简单，但对于再生前和再生后两个子系统，如果划分不当，则很可能得不到理想的结果，尤其是较复杂的系统。

对于再生再利用的多杂质水网络，目前的方法不是复杂就是有可能得不到理想的结果，而潘春晖^[9]的方法比较简单，只需几次迭代即可得到最终设计，但运用该方法对具有再生再利用的水网络进行设计，实例计算表明一般情况下不能收敛。经过分析可知，造成不收敛的原因是选取每次迭代的再生水流浓度的初值不当，因此为了能使用该方法进行设计，需对计算再生水流浓度初值的方法进行改进。

2 二分法设计方法 2.1 二分法

设计时为了能确定出再生前水流，可根据过程是否使用再生水将所有过程分为两类，一类是不使用再生水的过程(the process non-using the regeneration water，PNURs)，另一类是使用再生水的过程(the process using the regeneration water，PURs)。如果能确定出PNURs，则再生前水流就可确定下来。在设计时首先执行的过程，通常完全由新鲜水来满足，可将之称为完全使用新鲜水的过程(process using freshwater completely, PUFC)。通常情况下PUFCs包含在PNURs中。

计算每次迭代的再生水流浓度初值的方法改为以下方法，对于第一次迭代，首先假设PNURs中仅包含PUFCs，根据其中的源水流数据并运用式(1)计算出再生浓度，将之假定为再生水流的初始浓度$ C_{reg}^0 $。将再生水流看作系统内的新增水源，其流量待定，运用具有再利用的多杂质水网络的设计方法^[16]来设计水网络。在设计过程中PNURs中的可用内部源水流将不与再生水及PURs中的可用内部源水流混用。得到水网络设计后，则将整个水网络中的过程分成PNURs和PURs两部分，PNURs中未回用的剩余源水流即为再生前水流。因为若再生前水流的流量小于再生水用量，则说明再生前水流不够用于再生，将之全部再生。若再生前水流的流量大于再生水用量，则再生水用量为再生水量的值。所以将其流量与设计的再生水用量进行比较，数值较小者(假设为a_i)需与本次迭代再生水量的初值(假设为b_i)相等，先将它们构成一个区间[a_i，b_i]，在此区间内用二分法确定出再生水量，即由式(2)来确定。这样确定出的再生水量即为下一次迭代的初值b_i+1，与a_i值就接近了一步。按照该再生水量依次选择浓度势(concentration potential of the demands, CPD)值较小的再生前水流，将之合并进行再生并计算出再生浓度$ C_{reg}^{i + 1} $，如果b_i+1与a_i的差别和$ C_{reg}^{i + 1} $与$ C_{reg}^i $的差别小于某一很小值ε(本文取ε=0.01 ppm)，即可认为迭代已收敛。否则，继续进行迭代，直到迭代收敛为止。我们将该设计方法称为二分法。容易看出，由此确定再生浓度边界的方法，可使迭代运算在一般情况下都能收敛。文中的迭代过程采用的计算方法是纯手工计算，借助于excel表进行计算即可。前两次迭代的数据相差略大一些，有一定的计算量，后面迭代的数据就很接近了，计算量就很小了，总体的计算量不是很大，所以可以用纯手工计算即能完成设计。

$ C_{reg}^{} = C_{out}^{} \times \left( {1-RR} \right) $

(1)

$ {b_{i + 1}} = F{S_{reg}} = \frac{{{b_i} + {a_i}}}{2}\;\;(\;i = 1, 2, \ldots, N) $

(2)

设计过程如图 1所示。

2.2 再利用设计方法简介

按照文献[16]的方法，用水过程中的源水流包括过程的出口源水流及新鲜水，各用水过程的入口水流称为需求水流。在使用源水流S_i满足过程P_j时，为了提高出口源水流回用量，应使需求水流D_j中至少一种组分的浓度达到极限值.首先达到浓度极限值的杂质将决定S_i的回用量，称该杂质为回用的关键杂质(RKC)。对于关键杂质来说，单位质量(例如每t)D_j中的极限杂质负荷与从源水流分配过来的杂质负荷相等：

$ 1 \times C_{{D_j}{, _{}}RKC}^{\lim } = {R_{i, j}} \times C_{{S_{i, k}}, RKC}^{} $

(3)

即

$ {{R}_{i, j}}=\frac{C_{{{D}_{j, RKC}}}^{{}}}{C_{{{S}_{i, RKC}}}^{{}}}=\underset{k=1, 2, \ldots \ldots, NC}{\mathop \min }\, \left( \frac{C_{{{D}_{j, k}}}^{\lim }}{C_{{{S}_{i, k}}}^{{}}} \right)\ \ \ (i, \text{ }j=\text{ }1, 2, \ldots, N, \ 且i\text{ }\ne \text{ }j) $

(4)

其中，$ C_{{{D}_{j}}_{, RKC}}^{{}} $为D_j中关键杂质的极限浓度，$ C_{{{D}_{j, k}}}^{{}} $为D_j中杂质k的极限浓度；$ C_{{{S}_{i}}_{{{, }_{{}}}RKC}}^{{}} $为S_i中关键杂质的浓度，$ C_{{{S}_{i, k}}}^{{}} $为S_i中杂质k的浓度；NC为杂质个数；$ {{R}_{i, j}} $称为S_i满足D_j时的最大虚拟回用率。

由式(4)可以看出关键杂质是如何确定的，也就是说需求水流与源水流的浓度比值最小的杂质即为关键杂质。

需求水流的浓度势CPD值是该过程再利用各源水流的总体可能性的量度，用式(5)来表示：

$ CPD\left( {{D}_{j}} \right)\text{ }=\sum\limits_{i=1}^{NS}{{{R}_{i, j}}}=\sum\limits_{i=1}^{NS}{\underset{k=1, 2, ..., NC}{\mathop \min }\, }\left( \frac{C_{{{D}_{j, k}}}^{\lim }}{C_{{{S}_{i, k}}}^{{}}} \right)\ \ \ \ (i, j=\text{ }1, 2, \ldots, \text{ }NS, 且i\text{ }\ne \text{ }j) $

(5)

其中NS是源水流的个数。此处需要说明的是，i≠ j表示一过程的出口源水流不能回用于该过程。

源水流的浓度势(Concentration Potential of the Sources), CPS值是各需求水流再利用该源水流的总体可能性的量度，用式(6)来表示：

$ CPS\left( {{S}_{i}} \right)=\frac{1}{\sum\limits_{j=1}^{ND}{{{R}_{i, j}}}}=\frac{1}{\sum\limits_{j=1}^{ND}{\underset{k=1, 2, ..., NC}{\mathop \min }\, \left[\frac{C_{{{D}_{j, k}}}^{\lim }}{C_{{{S}_{i, k}}}^{{}}} \right]}}\ \ \ \ (~i, j=\text{ }1, 2, \ldots, \text{ }ND, 且i\text{ }\ne \text{ }j) $

(6)

其中ND是需求水流的个数。

CPD和CPS的值越低，该水流的浓度就越低。因此，可由水流浓度势的顺序得到水流的浓度顺序。

设计时，将各过程按需求水流的极限浓度势由小到大排序。需求水流极限浓度势最低的过程(PUFCs)首先执行。该过程通常只使用新鲜水，并确定出初始的PNURs，运用式(1)计算出初始再生浓度。基于当前可用源水流及初始再生水流，需求水流浓度势最低的待执行过程优先执。当满足一过程时，依次优先使用各过程的出口源水流、再生水、新鲜水，最大化的使用各过程的出口源水流。对于出口源水流，优先回用由式(4)确定出的虚拟分配率最大的源水流。而且PNCRs中的可用内部源水流将不与再生水及PCRs中的可用内部源水流混用。为了避免循环使用再生水，PNURs中的可用内部源水流将不与再生水混用，这样设计还可出现不收敛的情况，为此，为了不出现以上这两种情况，使PNURs中的可用内部源水流将不与再生水及PURs中的可用内部源水流混用即可。

3 实例研究

例1：本例为文献徐冬梅^[17]中一多杂质用水系统的例子，极限数据见表 1。再生过程中杂质A、B、C的移除率RR值都为0.9。下面用二分法对其进行设计。

首先确定出初始再生水流的浓度：

运用各源水流的极限浓度和式(5)分别求出各需求水流的CPD值并按大小排序，CPD值最低的过程P₂和P₃首先执行，并且只使用新鲜水，消耗量分别为18.05 t·h^-1和7.5 t·h^-1。过程P₂和P₃即为PUFCs，假设PNURs中仅包含过程P₂和P₃，将其中的源水流S₂和S₃合并后再生并由式(1)计算出再生浓度为(37.61，59.69，42.27) ppm，将之作为系统内的新增水源用于第一次迭代，其量待定。

第一次迭代的过程和结果见表 2。

第一次迭代完成后，PNURs (P₂，P₃)中的剩余源水流为PNURs (流量为18.05 t·h^-1的S₂，7.5 t·h^-1的S₃)，总流量为25.55 t·h^-1，将之作为再生前水流。而本次迭代的再生水用量为24.75 t·h^-1。将二者中数值较小的24.75 t·h^-1与本次迭代使用的初始再生水量25.55 t·h^-1构成一个区间为[24.75 25.55]，由式(2)确定出再生水量为25.15 t·h^-1。将PNURs (剩余流量为18.05 t·h^-1的S₂，7.50 t·h^-1的S₃)中各源水流的设计浓度和各杂质的RR值代入式(1)计算出各自的再生浓度C_reg，依照C_reg值并基于所有过程运用式(6)分别求出各源水流的CPS值并由小到大排序为S₂、S₃。按照确定出的再生水量25.15 t·h^-1依次取18.05 t·h^-1的S₂和7.10 t·h^-1的S₃用于再生，由式(1)计算出再生水流的浓度$C_{reg}^{1}$为(36.93、57.44、40.81)，其流量待定，将之用于第二次迭代。

第二次迭代的过程和结果见表 3。

按以上相同的方法依次进行了四次迭代，第三、四两次迭代的结果基本相同。说明本例可通过三次迭代就能得到它的最终设计，最终设计见图 2。

最终设计的新鲜水用量为27.52 t·h^-1，再生水用量为25.19 t·h^-1，再生浓度为(37、57.64、40.94) ppm。而徐冬梅^[17]的设计中，最终新鲜水用量为27.96 t·h^-1，再生水用量为24.746 t·h^-1，再生浓度为(37.61、59.69、42.27) ppm。通过比较可以看出，尽管新方法设计的再生水用量高出了0.43 t·h^-1，但新鲜水用量降低了0.43 t·h^-1，新方法设计的再生浓度略低于文献方法的设计。我们知道新鲜水的成本要高于再生水，说明新方法的设计优于文献方法的设计。

例2：本例为文献Kuo and Smith^[14]和Liu等人^[15]中一多杂质用水系统的例子，极限数据见表 4。再生过程中杂质A、B、C的移除率(RR值)分别为：(0, 99.9%, 0)。下面用二分法对其进行设计。

按照与例1相同的迭代步骤依次进行了八次迭代。每次迭代的设计结果见表 5，设计过程略。

由表 5可以看出，第七、八两次迭代的结果基本相同。说明本例可通过七次迭代就能得到它的最终设计，最终新鲜水用量为59.7 t·h^-1，再生水用量为55.49 t·h^-1，再生浓度为(83.33、7.99、113.29) ppm。最终设计见图 3。Kuo and Smith^[14]和Liu等人^[15]的设计为新鲜水用量为59.7 t·h^-1，再生水用量为55.5 t·h^-1，再生浓度为(85.6、8.31、116.9) ppm。比较说明，新方法设计的再生浓度略低于文献方法的设计，其它参数基本相同，说明新方法的设计略优于文献方法的设计。

4 讨论与结论

本文提出一种具有再生再利用的多杂质水网络的二分法设计新方法。为了确定用于再生的源水流，将整个水网络中的过程分为PNURs和PURs两部分，并首先假设PNURs仅包含PUFCs，根据其中的源水流数据计算出第一次迭代的初始再生浓度$ C_{reg}^{0} $，再生水量未知，可运用再利用设计方法^[16]进行设计。在设计过程中PNURs中的可用内部源水流将不与再生水及PURs中的可用内部源水流混用。PNURs中未回用的剩余源水流即为再生前水流，将其流量与设计的再生水用量进行比较，数值较小者与本次迭代再生水量的初值构成一个区间，在此区间内用二分法确定出再生水量，按照该再生水量依次选择CPD值较小的再生前水流，将之合并进行再生并计算出再生浓度$ C_{reg}^{i+1} $，如果$ C_{reg}^{i+1} $与$ C_{reg}^{i} $的差别小于某一很小值ε(本文取ε=0.01 ppm)，即可认为迭代已收敛。否则，继续进行迭代，直到迭代收敛为止。对于已知再生浓度的水网络，通过一次迭代可得到最终设计；对于已知再生过程杂质移除率的水网络，可通过几次迭代得到最终设计。提出的方法能减小以下反映再生再利用水网络性质的几个物理量：新鲜水用量、再生水用量和再生水流的再生前浓度。

本文的创新点是提出一种基于浓度势概念^[16]的二分法设计方法用于解决具有再生再利用的多杂质水网络的设计问题。对文献中几个实例研究表明，本文方法获得的设计略好于文献方法获得的设计，与文献方法比较，本文提出的方法具有设计步骤简捷计算量小的特点。

符号说明:

C_{i, k}，C_{j, k}        -水流i和j的k杂质的浓度，ppm

C_reg⁰        -再生水流的初始浓度，ppm

C_regⁱ, C_regⁱ⁺¹        -第i和i+1次迭代中再生水流的浓度，ppm

C_Dj,k^lim        -需求水流D_j中杂质k的极限浓度，ppm

C_in^lim        -过程入口水流的极限浓度，ppm

C_out        -过程的出口源水流的浓度，ppm

C_out^lim        -过程出口水流的极限浓度，ppm

CPD_j        -由等式(2)确定的需求水流j的浓度势

CPS_i        -由等式(3)确定的源水流i的浓度势

C_{s, k}        -源水流S_i中杂质k的浓度，ppm

D_j        -过程j中的需求水流

D_j        -过程j中的需求水流

PUFCs        -完全使用新鲜水的过程

F^lim        -水流的极限流量，t·h^-1

F_Si        -源水流S_i的分配流量, t·h^-1

FS_reg        -再生水的流量

i        -过程i

j        -过程j

Mass load        -过程的杂质负荷, kg·h^-1

N        -过程个数

NC        -水流含杂质个数

NS        -源水流的个数

ND        -需求水流的个数

P_j        -过程j

PNURs        -不使用再生水的过程

PNURs (S_i)        -PNURs中已回用的源水流i

PNURs (P_j)        -PNURs中包含了过程P_j

PURs        -使用再生水的过程

PURs (S_i)        -PURs中已回用的源水流i

PURs (P_i)        -PURs中已回用的源水流P_i

RR        -再生过程中杂质的移除率

R_{i, j}        -需求水流j由源水流i满足时的最大虚拟分配率

RKC        -源水流虚拟分配的关键杂质

S_i        -源水流i

(S_i, D_j)        -源水流S_i分配给需求水流D_j

S_reg        -再生水流