0 引言

加筋土坡的稳定性一般都采用极限平衡法进行分析，这种方法概念清晰，应用广泛，经验丰富，被各国规范所采用^[1-3]。但由于其不能考虑土体及筋材的变形，也不能考虑筋-土间的相互作用，只能分析极限状态下的静力平衡关系，在理论上是不完善的。因此，人们一直在探寻其他更好的方法。包括有限元强度折减法在内的数值极限分析法^[4]，在分析时纳入了土的本构关系，从而可以考虑土体和筋材的变形因素，并且可以反映筋-土的相互作用^[5]，尽管其计算结果的准确性还依赖于土的本构关系和筋-土相互作用机理研究的进展，但在理论上比极限平衡法前进了一大步^[4]。影响数值极限分析法推广应用的主要障碍是边坡失稳判据还没有取得共识^{[4, 6]}。但可以预见，这类方法是非常具有发展前途的方法^[4]。

无论是传统的极限平衡法，还是正在发展中的数值极限分析法，用于计算加筋土坡的安全系数时，都比较复杂。特别是在设计阶段，要进行多种方案的比较和试算工作，计算量很大，手工计算不现实，一般需要借助专业软件来完成，不便于在一般工程设计单位推广。陈祖煜等^[7]将基于塑性力学上限解法的倾斜条块分析法^[8]运用于加筋土坡的分析计算，指出在实际工程中采用的常规加筋间距下，直线滑动面的库仑滑移模式可能是唯一的破坏模式，运用上限解法经大量计算后绘制了均质加筋土坡的无量纲化参数安全系数图，对于给定的均质加筋土坡可方便地查出安全系数。这是值得继续广泛研究的新方法。笔者曾在试验的基础上提出了考虑加筋影响带的简化方法^[9]，但这个方法中有关加筋影响带范围的确定还有待进一步研究。

考虑到我国新疆等地区以砾石土为代表的粗粒土分布广泛，在公路建设中大量采用粗粒土填筑路基，同时现有的加筋土研究成果已表明，粗粒土采用土工格栅加筋能获得良好的加筋效果^[10]，且有良好的抗震性能^[11]，所以在像新疆这样的粗粒土分布广泛的地震高发区，非常适合于推广加筋路堤的应用。相对简单、实用且安全可靠的加筋粗粒土坡设计方法将有助于这一推广目标的实现。基于此，笔者借鉴李广信等^[12]提出的关于加筋土应力应变计算的思路，将加筋粗粒土坡转化为无加筋的均质土坡，采用现行公路规范^[1]推荐的简化Bishop法，经大量的对比计算，找出了加筋粗粒土坡安全系数F_sg和等代均质土坡安全系数F_sj的回归公式。根据该公式，只要求出了F_sj就可计算出相应的F_sg，于是就将复杂的加筋土坡安全系数的计算转化成了简单的均质土坡安全系数的计算，便于在工程中推广。

1 等代均质土坡

在如图 1(a)所示的加筋土路堤边坡中，设筋材足够长，以致不会发生拔出破坏。根据Yang^[13]关于加筋相当于增加了土体围压的观点，假设筋材所起的作用相当于对加筋区域的土体在边坡高度范围内附加了一个平均围压Δσ₃，则Δσ₃可按式(1)计算:

(1)

式中，N为加筋层数；T_ai为第i层筋材设计抗拉强度；H为坡高；Δσ₃为筋材施加于土体的平均围压。

根据准黏聚力理论^[14]，Δσ₃的作用相当于使加筋区的土体黏聚力增加了Δc，而内摩擦角不变。Δc的大小由Δσ₃确定，二者的关系可按以下方法推导出来。根据加筋区内土体的极限平衡条件，有：

其中：

(2)

将式(1)代入式(2)得:

(3)

这样，就把如图 1(a)所示的加筋土坡简化成了如图 1(b)所示的等代均质土坡。尽管均质土坡的稳定安全系数计算比加筋土坡简单得多，但计算结果表明，按黏聚力增加了由式(3)确定的Δc，内摩擦角不变的均质土坡计算出的安全系数F_sj与加筋土坡的实际安全系数F_sg有一定差别。所以，虽然如上所述的假黏聚力理论已提出许多年，但却一直没有在工程实践中得到推广应用。可以想象得到，F_sg与F_sj必然存在某种对应关系，而这一关系必定与加筋土坡中土的黏聚力c和内摩擦角有关。虽然一般黏性土的c，值各自都不会超出一定的范围，但c，值的组合工况却是千变万化的，因此F_sg与F_sj的对应关系也会有无数多种，难以归纳。但对于加筋粗粒土坡，因为c=0，一般=35°~40°之间^[15]，实际工程中可保守一点，取=35°~38°^[16]，所以F_sg-F_sj的关系与c无关，而 的取值范围又较小，因此，归纳出F_sg与F_sj的对应关系就存在可能。本文正是基于这一想法，完成了一系列加筋粗粒土坡安全系数F_sg和对应的等代均质土坡安全系数F_sj的对比计算，从而找到二者间的回归公式，达到了以F_sj计算F_sg的目的。

2 计算模型及参数

假定如图 1(a)所示的加筋土路堤边坡建在坚固的地基之上，其破坏滑动面不会伸入到地基中。路基填土为粗粒土，黏聚力c=0，内摩擦角=35°，36°或37°，重度γ=21 kN/m³。车辆荷载q按现行公路标准^[17]中双车道Ⅰ级汽车荷载考虑，q=15.6 kPa，q离路肩外缘距离d=0.5 m处开始布置。边坡高度H=4~50 m，边坡的坡率m=0.5，0.75或1。土工合成材料(土工格栅、土工布等柔性材料)加筋层数为N，筋层的具体布局将在下文中经分析后给出。

根据规范^[1]，加筋土坡的安全系数F_sg和等代均质土坡的安全系数F_sj都采用传统极限平衡法中的简化Bishop法计算。对土工格栅和土工织物等柔软满铺材料而言，极限平衡法在计算F_sg时，认为每层筋材的作用就相当于在该层筋材与圆弧滑动面相交处提供一个与滑面相切的拉力，其大小为该层筋材的设计抗拉强度T_ai。于是，F_sg由式(4)计算^[1]：

(4)

式中，F_sg为加筋土坡的稳定安全系数；F_su为不考虑筋材作用时土坡的稳定安全系数；M_R为筋材提供的抗滑力矩；M_D为不考虑筋材作用时土坡的滑动力矩；R为滑弧半径；N为加筋层数；T_ai为第i层筋材的设计抗拉强度。

上述F_sg的计算方法实质上是将筋材和土的作用分开考虑的，没有从本质上考虑筋-土的相互作用，计算时与传统的圆弧条分法相同，需要事先假定滑动面形状和位置。由于纯土坡的极限平衡条分法在理论上可看成是塑性理论的下限解^[18]，其结果是偏于安全的，可靠性经受了几十年工程实践的检验，是趋于成熟的方法^{[4, 18]}，加之这种方法概念清晰，计算简单，也积累了较多的经验，所以仍是目前各国规范中普遍采用的方法^[19]。

3 F_sg-F_sj关系的计算结果及分析 3.1 加筋层距S对F_sg-F_sj关系的影响

加筋土坡筋层间距S的大小要从土坡的安全性和经济性两方面考虑^[1]。从经济的角度，S不宜小于路基填土的分层压实厚度，粗粒土的分层压实厚度一般都在0.3 m以上；为保证加筋的有效性和加筋土坡的安全性，S不宜大于0.8 m^[1]，而要保证加筋土坡的抗震效果，S不宜超过0.6 m^{[11, 16]}。所以，本文仅在S=0.3~0.8 m内进行讨论，并且从实际出发，排除设计中不可能采用的疏密悬殊的筋层布局，即认为在边坡高度范围内筋层间距基本是均匀的(筋层间距0.3~0.8 m范围内变化)，以免滑动圆弧从坡面滑出的情况发生。

考虑到规范^[20]规定正常工况下的容许安全系数为1.25~1.45，特殊工况为1.05~1.35^[20-21]，所以仅对F_sg∈[1,2]的F_sg-F_sj关系进行讨论。因为，如果F_sg < 1，则边坡在理论上都是不稳定的；如果F_sg>2，则安全系数过大，不经济，所以两种情况都没有实际意义。

为了寻找S对F_sg-F_sj关系的影响，对坡率m=0.5，0.75和1，坡高H=10 m，c=0，=37°的几组加筋土坡，采用Geo 5软件分别按简化Bishop法计算出S=0.3，0.6和0.8 m时不同筋材强度下的F_sg和对应的F_sj，得到F_sg-F_sj关系曲线如图 2所示(为了清晰，图中只给出了m=0.5和1的曲线)。

从图 2可知，在坡率m一定，S=0.3~0.8 m时，F_sg-F_sj关系曲线与S无关。不仅如此，计算还表明，当S在0.3~0.8 m范围内变化时，只要筋材的总拉力不变，F_sg和F_sj都与S无关。下面对此计算结果进行分析。

上述计算结果表明F_sg只与筋材的总拉力∑T_ai有关，而与S无关。这说明，对于给定的边坡，当S在0.3~0.8 m范围内变化时，按简化Bishop条分法确定的最危险滑动圆弧的位置在∑T_ai相等时是固定的，不随S的改变而变动。因为只有当滑弧半径R一定且滑弧位置相同时，F_su和M_D均为定值，由式(4)才能得出F_sg只与筋材的总拉力∑ T_ai有关的结论。

也就是说，只要S=0.3~0.8 m，则不管筋层布局如何，也不管每层筋材的设计抗拉强度各为多少，只要筋材总拉力∑T_ai是相等的，则安全系数F_sg就相等，即在S=0.3~0.8 m的前提下，如果每层筋材的设计抗拉强度都是一样的，则F_sg只与筋材层数N有关，而与筋层的布局无关，既与筋层是否等间距布设无关，也与筋层间距大小无关。

关于F_sg与S的关系，笔者还就S取较大值的情况做了计算，发现当∑T_ai一定时，如果0.3 m≤S < 1.5 m，则最危险滑面的位置就几乎不受S的影响。这让我们更有理由假定S=0.3~0.8 m时，最危险滑面位置与S无关。

等代均质土坡中，均质土的黏聚力c=Δc，内摩擦角与粗粒土的相同。由式(3)可知，当坡高H一定时，Δc的大小也仅与筋材总拉力∑ T_ai有关，所以在筋才总拉力不变的情况下，等代均质土坡的安全系数F_sj也与筋层布局和各层筋材的抗拉强度无关。

由上述分析可知，当S=0.3~0.8 m时，对于坡高H、坡率m、内摩擦角和重度γ都一定的加筋粗粒土坡，本文要寻找的F_sg-F_sj关系式仅与筋材总拉力∑T_ai有关。因此，在下面的计算中就不考虑筋层布局的变化，而采用统一的筋层布局，即顶层筋材埋于坡顶以下0.7 m(实际工程中，顶层筋材可埋于路面结构层底面或上路床底面，一般约为0.7 m，但正如上所述，此值的大小不影响F_sg-F_sj的关系)，往下都以0.6 m的等间距布设，但路堤底面(即地基表面)不铺设筋材，因为地基是坚固的，如图 1(a)所示的加筋土坡，最危险滑动面的出口位于坡脚B，铺于路堤底面的筋材将因其没有跨过滑动面而不能发挥它的抗拉作用，对安全系数没有贡献。假定每层筋材的长度足够长，以保证不发生拔出破坏。各层筋材的设计抗拉强度都取相同值T_a，则筋材总拉力为NT_a。

3.2 坡高H对F_sg-F_sj关系的影响

为了探寻坡高H对F_sg-F_sj关系的影响，先选取边坡坡率m=1、粗粒土的内摩擦角=37°的加筋土坡进行考察，分别计算了坡高H=4，5，6，8，10，12，14，16，18，20，30，50 m的加筋粗粒土坡的F_sg值和对应的F_sj值。比较发现，这些不同坡高的加筋粗粒土坡，计算得到的F_sg-F_sj曲线几乎完全重合，图 3给出了几种代表性坡高的F_sg-F_sj曲线。随后，笔者还分别对m=0.5和0.75，=35°和36°，坡高H=4~50 m的多种组合工况做了与上述相同的计算，得到了与上述相同的结论。因此，可以认为在坡率m和粗粒土内摩擦角一定时，F_sg-F_sj的关系与坡高H无关。

3.3 内摩擦角对F_sg-F_sj关系的影响

图 4是几种不同坡高H和不同坡率m值时，粗粒土的内摩擦角分别为35°，36°和37°的F_sg-F_sj关系曲线。从图 4可以看出，在坡率m和坡高H一定的情况下，仅m=0.5时F_sg-F_sj曲线后段随的不同而略有差别，但差别也很小。所以，可以近似认为F_sg-F_sj关系与无关，下文将用具体数值进一步证明这个结论。

3.4 重度γ对F_sg-F_sj关系的影响

为了研究粗粒土的重度γ对F_sg-F_sj关系的影响，对坡率m=0.5和1，坡高H=10 m， = 37°，γ=18, 21, 25 kN/m³的几种情况分别进行计算，得到了如图 5所示的F_sg-F_sj曲线。

从图 5可知，当粗粒土的重度γ分别为18，21，25 kN/m³时，F_sg-F_sj曲线是重合的，说明γ对F_sg-F_sj的关系没有影响。

4 加筋粗粒土坡的F_sg-F_sj回归公式

上述分析已告诉我们，F_sg-F_sj关系与坡高H、粗粒土的内摩擦角和重度γ等参数几乎无关，仅与坡率m有关；同时从图 2~图 5可以看出，F_sg-F_sj曲线单调光滑，说明F_sg与F_sj有良好的相关关系。经曲线拟合，得到二者的拟合方程如式(5)所示:

(5)

式中，常数K₁~K₄的值见表 1，它们是以m=0.5，0.75或1，H=10 m，=36°，γ=21 kN/m³的边坡计算出的F_sg和F_sj数据(见表 2)做曲线拟合得到的(拟合曲线见图 6)，3种m值下F_sg与F_sj的相关系数R均达到1。为了观察拟合误差，表 2中列入了按式(5)计算的加筋粗粒土坡安全系数拟合值F_sg1和拟合绝对误差(Δ=F_sg1-F_sg)，可见拟合精度非常高。

为了检验式(5)的计算精度，笔者对各种工况下按式(5)得到的加筋粗粒土坡安全系数拟合值F_sg1与规范法^[1]计算的安全系数F_sg做了全面对比分析。由于数据量很大，不能一一列出，表 3~表 11中列出了误差相对较大的几种工况的对比结果。其中，δ为相对误差，δ=Δ/F_sg。未列入表 3~表 11的其他工况，其绝对误差Δ和相对误差δ均不超过表 3~表 11所列范围。

分析表 3~表 11的数据可以得到如表 12所示的回归值F_sg1与规范法计算值F_sg的绝对误差Δ和相对误差δ的区间范围。此外，H=4 m的误差相对较大，且正误差较多，偏于危险；H=10 m的误差最小；H=50 m的误差大小居中，但基本都是负的，偏于安全。

从表 12可知，当加筋粗粒土坡的简化Bishop法安全系数F_sg=1~2时，采用回归式(5)计算的安全系数F_sg1与F_sg的绝对误差Δ和相对误差δ的区间范围分别为Δ∈[-0.033, 0.03](近似地Δ≤±0.033)，δ∈[-1.6%, 1.5%](近似地δ≤±1.6%)，误差很小。考虑到现行公路规范^{[1, 18]}规定的最高等级安全系数标准为F_sg≥1.45，对最高等级的加筋路堤边坡，设计的安全系数合理值应等于或略大于1.45，所以表 5中统计了F_sg=1~1.5范围内的Δ和δ，此时的Δ∈[-0.018, 0.013] (近似地Δ≤±0.018)，δ∈[-1.2%, 0.8%](近似地，δ≤±1.2%)，误差更小。所以采用式(5)计算加筋粗粒土坡的安全系数是可行的。

5 讨论

工程中的粗粒土往往有较小的黏聚力c，根据笔者对新疆几种典型砾石土的大三轴试验结果，c≈0~10 kPa之间。现取c=10 kPa，分别计算了m=0.5，0.75，1且H=4 m(仅限m=0.5的边坡，m=0.75和1的边坡不加筋就能达到稳定要求), 10 m, 50 m，=35°，37°组合出的多种工况下F_sg与F_sj数据，得到了F_sg-F_sj关系曲线，发现所有F_sg-F_sj曲线均可采用二次抛物线拟合，且相关系数R都达到了1，即:

(6)

式中，α₁，α₂，α₃为拟合常数，见表 13。

假定一个F_sj值，由式(6)计算出c=10 kPa的加筋边坡安全系数F_sg10，同时由式(5)计算出不考虑c的加筋边坡安全系数F_sg0，前者与后者之差β即为式(5)对安全系数的低估值。如此即可得到不同工况下的β-F_sg0曲线如图 7所示，图中β之后的4位数字中前两位表示坡高H，后两位表示土的内摩擦角 ，如β1035表示H=10 m、=35°的β。从图 7可知，相同条件下，H越小，β越大，如H=4 m、=35°时，β≈0.17；而H=50 m时，β都不超过0.05；对β的影响相对较小。此外，相同条件下，坡率m越大，β也越大。理论上，β值的大小取决于黏聚力c提供的抗滑力矩在总抗滑力矩中所占的份额，因此，上述计算结果说明，在相同条件下，H越小，或m越大，c对安全系数的贡献就越大。

总之，由图 7可知，在F_sg=1~2, =35°~37°, H=4~50 m范围内，用式(5)对0 < c < 10 kPa的加筋粗粒土坡估算出的安全系数将偏低0.02~0.2，用于方案拟订过程中的安全系数估算是完全可行的。工程实践中，可先采用式(5)对多种拟定方案进行计算，根据计算结果确定初步设计方案，再对该初步设计方案按规范法计算准确的安全系数，并最终确定符合规范要求的设计方案。这样既可以简化方案拟订阶段的计算工作，又可保证最终设计方案的准确性。

6 结论与建议

通过计算分析，有如下结论和建议：

(1) 土工合成材料加筋粗粒土坡安全系数F_sg与等代均质土坡的安全系数F_sj有良好的相关性，但二者在数值上有较大差别，不能直接用等代均质土坡的安全系数作为加筋粗粒土坡的安全系数。

(2) 提出的回归公式实现了将土工合成材料加筋粗粒土坡转化为等代均质土坡来计算稳定安全系数的目标，使计算工作大为简化。当简化Bishop法安全系数F_sg=1~2时，采用本文提出的回归公式计算的安全系数，其绝对误差Δ≤±0.033，相对误差δ≤±1.6%；当F_sg=1~1.5时，Δ≤±0.018，相对误差δ≤±1.2%，计算精度完全满足工程设计要求。

(3) 提出的土工合成材料加筋粗粒土坡安全系数计算方法适用于筋材发生拉断破坏而不是拔出破坏的情况，各层筋材必须有足够的锚固长度，这也正是设计时必须达到的要求，因此这并不影响该计算方法的适用性。但本文的方法没有涉及到每层筋材到底应取多长的问题，设计时可按现行国标^[2]来确定各层筋材的设计长度。