0 引言

工程实际进行结构线弹性分析时因其剪切变形影响较小而常忽略不计。但进行抗震分析时，轴力构件的剪切变形的影响则需考虑。此外，桥梁支座作为一种大剪切变形的轴力构件，其偏心弯矩效应极显著，目前对其动力黏弹性模型研究较多，但对其静力大剪切变形和轴力共同作用下的力学模型研究则尚似未见报道。因此提出一种同时考虑水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元，以模拟支座的大偏心工作特性和其他轴力构件抗震分析时的剪切效应，具有实际意义。

柱剪切效应和轴力P-Δ效应研究广泛。忽略剪切变形并计入轴力P-Δ效应影响的柱单元刚度矩阵，由弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵构成，有限元分析时无需迭代计算。1985年，王用中等基于三次Hermite插值函数和最小势能原理和能量法提出了一致几何刚度矩阵^[1]。1987年Wilson E.L.提出了线性近似的几何刚度矩阵^[2]。2006年赵明华等提出了另一种形式的线性近似的几何刚度矩阵^[3-4]。1993年舒兴平等基于非线性连续介质力学一般原理及拉格朗日列式法，分析了剪切变形对结构轴力P-Δ效应的影响，认为剪切变形不应忽略^[5]。1998年李国强提出了计入剪切变形和轴力P-Δ效应影响的柱单元刚度方程，但其刚度矩阵中系数为级数形式，表现形式复杂，应用不便^[6]。随后，孙飞飞等提出了考虑滑移剪力滞后和剪切变形的组合梁单元，但忽略了轴力P-Δ效应^[7]。聂国隽等提出了微分求积单元法计算轴力P-Δ效应，亦忽略了剪切变形影响^[8]。李国强提出了一种考虑初始缺陷、剪切变形和轴力P-Δ效应的非线性柱单元，其形式极复杂，通用性不足^[9]。夏拥军等先构造三节点Euler-Bernoulli梁单元位移模式，推导其弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵后，用静力凝聚方法消除三节点梁单元中间节点的自由度，得到了一种考虑轴力P-Δ效应的柱单元，但忽略了剪切变形影响^[10]。孟凡涛等综合考虑剪切变形和梁柱节点连接半刚性影响的基础上，给出了框架柱的抗侧移刚度公式，认为剪切变形对框架结构的轴力P-Δ效应影响显著，已超出工程上可接受的5%的误差范围^[11]。传光红基于Timoshenko梁理论，提出了计入剪切变形和轴力P-Δ效应影响的变截面Timoshenko梁柱单元，并指出在一定范围内具有足够的精度^[12]。王强等基于ABAQUS的纤维梁单元模拟钢筋混凝土柱受力破坏全过程^[13]。孙治国等利用OpenSees分析平台，用纤维梁单元模拟分析RC桥墩抗震工作时非线性剪切效应^[14]。朱绩超等结合模型试验提出了考虑粘结-滑移与剪切作用的钢筋混凝土柱侧向变形的宏单元模型^[15]。丁然等在传统纤维截面模型的分布塑性铰梁单元基础上引入截面剪力-剪切变形关系和剪力-剪切滑移关系，通过MSC.MARC程序二次开发，实现了一种适用于普通配筋RC连梁非线性地震反应分析的纤维梁单元^[16]。赵明华等基于有限杆单元法进行了陡坡桩计算分析，但忽略了桩身剪切变形，亦未进行基桩和支座共同作用分析^[17-18]。

本文将基于王用中、Wilson E. L.和赵明华等分别提出的柱单元弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，推导了3种计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应影响的柱单元刚度矩阵方程，并应用到支座基桩共同作用分析中。此外还推导外两种新的忽略剪切变形但考虑了轴力P-Δ效应的柱单元刚度矩阵方程。

1 不计剪切变形的柱单元刚度矩阵方程

柱单元受力如图 1，忽略剪切变形但考虑了轴力的P-Δ效应时，柱单元刚度矩阵方程如下：

(1)

(2)

式中，F_Ni，F_Qi，M_i，F_Nj，F_Qj，M_j为单元节点内力；v_ib，v_jb，φ_ib，φ_jb为仅考虑弯曲变形时单元节点i和j的水平位移和转角；K_E^E为忽略剪切变形的柱单元弹性刚度矩阵; K_G^E为忽略剪切变形的几何刚度矩阵; E为柱单元弹性模量; I为单元截面惯性矩; l为单元长度。

本文假定轴力拉为负，压为正。则按文献[1]，一致几何刚度矩阵K_G^E如下：

(3)

按文献[2-3]，线性近似几何刚度矩阵K_G^E两种形式如下：

(4)

(5)

2 计入水平力剪切变形的柱单元 2.1 单元刚度矩阵方程

设柱单元水平位移由弯曲变形和水平力剪切变形组成：

(6)

式中，v为单元总水平位移；v_b弯曲变形引起的水平位移；v_s为水平力剪切变形引起的水平位移。

因剪切变形引起的转角在节点处因集中剪力而表现非连续，因此柱单元刚度矩阵方程中的转角位移依旧采用仅考虑弯曲变形影响的转角。

(7)

式中φ_is，φ_js分别为水平力剪切变形在单元i，j节点产生的转角，其余符号意义同前。

剪切变形将进一步增加P-Δ效应，按文献[2]，单元节点轴力因水平力剪切变形产生的附加水平力计算如下：

(8)

联立由式(3)~(5)和式(7)可知，计入水平力剪切变形后，柱单元刚度矩阵方程如下：

(9)

式中, K_E^S为计入水平力剪切变形的柱单元弹性刚度矩阵；K_G^S为计入水平力剪切变形的几何刚度矩阵；本章余下章节将给出解答；其余符号意义同前。

联立式(9)、式(8)、式(3)，可得计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元刚度方程如下：

(10)

联立式(8)、式(9)、式(4)，可得计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元刚度方程另一种形式如下：

(11)

联立式(8)、式(9)、式(5)，可得计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元刚度方程第3种形式如下：

(12)

2.2 求解单元刚度矩阵

由式(10)、(11)、(12)可知，式中含有节点弯曲位移和剪切位移，则需通过其他方法将其消除，并表现为节点总位移的形式。

依材料力学水平力产生的剪切变形计算如下：

(13)

式中，F_Qi，F_Qj为单元节点水平剪力; k为形状剪切系数，对矩形截面取1.2，对圆形截面取10/9;G为计算剪切模量; v_is，v_js，φ_is，φ_js分别为水平力剪切变形在单元i，j节点产生的水平位移和转角。

联立式(6)和式(13)，可得水平力剪切变形节点位移、弯曲变形节点位移、总位移关系如下：

(14)

由式(10)可得F_Qi，F_Qj，M_i，M_j，M_i表达式如下：

(15)

将式(14)代入式(15)并消去v_ib，v_jb，v_is，v_js重新整理可得F_Qi，M_i表达式如下：

(16)

重新整理式(16)即可得计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元刚度方程如下：

(17)

将式(14)代入式(12)中消去v_ib，v_jb，v_is，v_js重新整理可得计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元刚度方程第2种形式如下：

(18)

将式(14)代入式(12)中消去v_ib，v_jb，v_is，v_js重新整理可得计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元刚度方程第3种形式如下：

(19)

2.2 三种单元刚度矩阵比较

式(18)形式最简洁，其K_E^S即忽略轴力影响并计入水平力剪切变形的弹性刚度矩阵，因此K_G^S即为计入剪切变形影响的几何刚度矩阵。如竖向力不等于0，则式(17)和式(19)的单元刚度矩阵每一项均含有竖向力。其中式(18)的运算效率最高，在进行基桩非线性、动力、屈曲稳定分析中更有优势，本文推荐优先推荐式(18)。

2.3 单元刚度矩阵中轴力的求解

按忽略剪切变形和P-Δ效应的一般梁单元有限元分析，即求解得各单元节点的轴力F_N(压为正、拉为负)。

2.4 单元节点转角位移求解

计入剪切变形后，柱单元刚度矩阵方程中的转角位移为弯曲变形引起的，而忽略了剪切变形引起的转角。因此计入剪切变形后的转角需根据节点位移和单元长度反算而得。

2.5 单元节点剪力

已知单元节点位移后，按式(17)~(19)刚度矩阵方程中求解所得的剪力未包含竖向力径向剪切分力。如需考虑，则需对剪力结果进行修正。修正剪力可按式(20)计算。

(20)

2.6 退化分析(竖向力F_N=0)

当竖向力等于0时，式(17)~(19)均退化到式(14)的形式，即计入水平力剪切变形的梁单元刚度矩阵方程。理论上验证了本文推导过程。

(21)

2.7 退化分析(G→∞)

当剪切刚度G→∞时，即剪切变形就没有了，此时剪切系数b=0。则式(17)~(19)分别退化到式(22)~(24)。其中式(23), 即文献[2]Wilson E L提出的忽略剪切变形时计入P-Δ效应的柱单元刚度矩阵方程。而式(22)、式(23)则是忽略剪切变形时计入P-Δ效应的柱单元刚度矩阵方程的另外两种新形式。

(22)

(23)

(24)

3 忽略剪切变形的柱单元刚度矩阵方程验证

式(22)、式(24)则是忽略剪切变形时计入P-Δ效应的柱单元刚度矩阵方程的两种新形式，需经算例验证其正确。

某桥梁基桩^[1]，冲刷线以上桩长30.212 m，其中l₁=8.012 m，d₁=1.8 m，E₁=1.933 3×10⁴ MPa；l₂=22.2 m，d₂=2.2 m，E₂=1.8×10⁴ MPa；局部冲刷线以下桩长l₃=42.8 m，d₃=2.2 m，E₃=1.8×10⁴ MPa；地基比例系数m=10 000 kN/m³，竖向荷载Fz=9 102.2 kN，水平荷载Fx=165 kN。

将桩划分为731个单元，单元长度为0.1 m。按本文式(22)~(24)有限元法计算基桩内力位移主要结果见表 1，其中按式(23)计算即为按文献[2]方法计算结果。由表 1可知，本文计算结果与文献[1, 3]计算结果基本一致，验证了本文忽略剪切变形时计入P-Δ效应的柱单元刚度矩阵方程。

4 支座基桩共同作用分析

桥梁支座为大偏心大变形工作构件，水平力作用下水平位移极为显著，竖向力因大水平位移产生的偏心弯矩亦极为显著，不容忽略。本文剪切变形、弯曲变形假定独立而不关联，计入剪切变形的柱单元刚度矩阵方程式(17)~(19)均可良好地模拟支座等大剪切变形构件偏心工作。基于m法的线弹性地基土约束则可按节点弹簧模拟。

某桥梁基桩，冲刷线以上桩长30.2 m，冲刷线以下桩长42.8 m，桩径d=2.2 m；桩身混凝土弹性模量E=1.8×10⁴ MPa；地基比例系数m=10 MN/m⁴，竖向荷载F_z=9 102.2 kN，水平荷载F_x=165 kN。设墩顶支座GPZ(Ⅱ)9DX，H=160 mm，计算直径D=725 mm，剪切模量G=2 MPa，弹性模量E=2×10⁴ MPa。

本文建立了支座和桩柱共同作用的有限元模型，支座划分了2个单元，局部冲刷线以上基桩柱划分302个单元，冲刷线以下2.2 m的桩划分428个单元。支座单元和桩单元刚度矩阵方程均采用本文式(17)、式(18)或式(19)。采取MATLAB自编有限元程序计算，其结果如表 2和图 2所示。由表 2可知，计入剪切变形的基桩支座共同作用分析与单纯忽略剪切变形的基桩P-Δ分析相比，桩顶位移和转角分别增加了9.9%和11.89%，地面处桩身位移和转角分别增加了7.74%和8.69%，桩身最大弯矩和最大剪力分别增加了7.71%和6.25%，桩侧最大土压力增加了6.37%，桩顶修正剪力增加了3.47%，基桩等效计算长度增加了3.2%，基桩支座等效计算长度增加了3.45%。

5 结论

(1) 推导了3种计入水平力剪切变形和轴力P-Δ效应的柱单元刚度方程，即式(17)、式(18)和式(19)，可模拟支座大剪切变形下的偏性工作特性，也可用于地震力作用下计入水平力剪切变形的柱P-Δ效应分析，从技术效率角度出发本文优先推荐采用式(18)。

(2) 推导了另外2种仅计入P-Δ效应而忽略剪切变形的柱单元刚度方程，即式(22)和式(24)。

(3) 支座基桩共同作用案例分析表明，竖向力因支座大水平剪切位移产生的偏心弯矩极为显著，对基桩受力特性影响较大，有效增大了基桩内力和其等效计算长度，减小了支座基桩的整体水平抗推刚度，不容忽略。

(4) 最后，本文建议进行基桩设计计算以及制动力等水平力在墩台间分配计算时采用支座基桩共同作用有限元模型。