毛细上升现象是水分在非饱和土壤中因受到毛细力作用而沿着土壤微细毛管孔隙上升的现象^[1]。由于黄土的特殊性，如湿陷性、水敏性、结构性等，使得黄土路基可能产生沉降，或强度降低，施工时需要对路基进行非饱和压实处理来减少路基病害^[2]。但是如果受到地下毛细水的作用，仍然会对路基造成一定破坏，如路基沉陷、塌陷、翻浆等。因此研究压实条件下黄土地下水分毛细上升规律对有效分析和治理路基病害有重要的理论和实际意义。

国内外学者对非饱和土毛细上升影响因素和上升高度研究较多。赵明华等初步导出了单位体积路基土含水量的变化公式，证明地下水位是影响毛细作用的主要因素，但在路基土性对毛细上升方面未做研究^[3]；李锐等通过对基本土柱分析计算表明导水率、孔隙率、进气值、粒度大小等参数决定了毛细上升高度的大小^[4]；刘巍然通过试验证实，黄土的湿陷性变形和压缩变形随压实度的增大而减小，含水量相同时，黏聚力和内摩擦角均随着压实度的减小而增大^[5]；多位学者试验证明初始体积含水率对毛细上升也存在影响，初始体积含水率越小，毛细上升的高度越大^[6-7]。Hazen是较早提出土层中毛细上升高度公式的国外学者，但是未考虑孔隙度对毛细上升的影响。随后Bear给出了砂土中毛细管上升高度范围与孔隙率、土粒平均粒径的关系^[8]。在毛细上升高度定量估算方面，Terzaghi和Lu分别基于达西定律和Gardner非饱和渗透系数解析解提出了预测毛细上升速率的公式^[9-10]。米海存等以这两个公式来评估对风积沙的适用性，试验结果表明Lu公式的精确度高于Terzaghi公式^[11]；李萍等进行原位黄土毛细上升高度试验后对Terzaghi公式和Lu公式进行评估，结果证明Terzaghi公式预测值比实测值大，而Lu公式预测更精确^[12]。Terzaghi公式因假定为饱和条件，直接使用饱和渗透系数进行了计算，这与实际情况不符在估算时会产生一定的误差，因此有待于进一步改进以提高精确度。而对于重塑黄土，Terzaghi公式和Lu公式的适用性还有待评估。

本研究的目标是基于Green-Ampt非饱和入渗原理，改进预测毛细上升速率的Terzaghi公式，在此基础上，利用竖管法研究不同干密度重塑黄土毛细水的上升速率以及最大上升高度，对改进后的Terzaghi公式与Lu公式估算重塑黄土毛细上升速率的适用性进行评估，并结合大量前人资料，研究重塑黄土干密度与最大毛细上升高度之间的定量关系，优选出最适用于黄土路基的干密度区间。

本研究的主要数据来源于室内的毛细上升试验。另外，为了论证充分，还收集了部分文献数据。

试验的黄土样品取自陕西省西安市临潼区一处施工取土开挖的黄土陡崖下(34°21′46″N，109°11′22″E)，为晚更新世黄土(Q₃)。陡崖高7.4 m，试验样品取自6.4~7.4 m之间。该黄土为硬塑粉质黏土，其基本物理性质如表 1。试验样品过2 mm筛后烘干，将定量的水与烘干样品均匀搅拌，控制含水率为7 %左右，然后将样品密封在塑料袋中，放入恒温恒湿的密闭容器中静置24 h，得到最终的试验样品。

试验的毛细上升柱见图 1。试验柱下方的水槽为供水装置，供水装置中放有与试验柱内径相匹配的透水石。设定3组样品的压实度分别为98%，95%和92%，通过每1 cm分层压实的方法将样品填充在内径为10 cm，壁厚7 mm，长120 cm的有机玻璃管中。依次命名为样品1、样品2和样品3，3个样品的干密度分别为1.83，1.77 g/cm³和1.72 g/cm³。样品装柱后，在供水装置中加水，水面高度比透水石高1 cm左右，并保持不变。试验开始后观察并记录时间和相应的毛细上升高度。至结束进行78 d，共记录数据16次。

图 1 毛细上升试验装置示意图 Fig. 1 Schematic diagram of capillary water rise test device

除了本次3组试验数据外，还另外收集2组重塑黄土毛细上升试验数据(编号为样品4和样品5)考察重塑黄土毛细上升速率^[2]。5组样品的相关参数见表 2。由于本次试验的3组样品(样品1、样品2和样品3)未测试进气值和饱和渗透系数，该值参考了前人对相似样品的研究成果^[13]，该研究中介质亦为重塑黄土，干密度分别为1.83，1.77 g/cm³和1.72 g/cm³，与本次试验的3个样品一致。

5组样品毛细上升速率见图 2。干密度越小的样品，饱和渗透系数较大，进气值越小，初始上升速率越快，达到最大毛细上升高度的时间越短。干密度越大的样品，饱和渗透系数越小，进气值越大，毛细上升速率越小，达到平衡的时间越长。

图 2 不同干密度黄土毛细上升高度随时间变化 Fig. 2 Capillary rise heights of loess with different dry densities varying with time

(1) Terzaghi公式

Terzaghi公式是在达西定律基础上提出的预测一维土壤柱中毛细水的上升速率公式。Darcy定律表示见式(1)：

(1)

式中, q为流速；K_s为试验柱的饱和渗透系数；i为水力梯度；n为孔隙率；z为t时刻毛细上升高度。湿润峰范围内引起毛细上升作用的i可近似表示为式(2)：

(2)

式中，h_c为毛细上升的最大高度。将式(2)代入式(1)可得Terzaghi公式，如式(3)：

(3)

(2) Lu公式

Lu公式是通过求解Gardner非饱和渗透系数函数模型得到毛细上升速率的表达式，如式(4)：

(4)

式中，β的倒数为进气水头值；m为分数段。

由于Terzaghi公式中假定了饱和条件，因此采用了饱和渗透系数，但毛细上升过程是一个非饱和的水分运动，即使在达到最大毛细上升高度后，其上部的水分仍处于非饱和状态。因此Terzaghi公式中的饱和条件假定必然带来的误差。这种情况与土壤水动力学研究领域的Green-Ampt模型类似。Green-Ampt模型用来研究薄层积水入渗问题，初始该模型将入渗问题假设为活塞流，也将非饱和流概化为饱和流，从而以饱和渗透系数计算，因此带来了相应的误差^[14]。但如果采用非饱和渗透系数，由于其是负压或含水率的函数，使用起来较为复杂。经过很多数据验证，Bouwer建议，如果以饱和渗透系数的一半来计算渗入速率，则与实测结果非常相近^[15]。因此初始的Green-Ampt模型经过渗透系数的修正后，基本可以满足积水入渗的计算要求。Terzaghi公式中的修正，也可采用修正Green-Ampt模型思路，将Terzaghi公式中的渗透系数取饱和渗透系数的1/2，来修正Terzaghi公式。改进后的Terzaghi公式见式(5)。式(5)中虽然没有应用非饱和渗透系数，但应用饱和渗透系数的1/2，最大限度地降低了误差，同时应用过程中较为便捷。

(5)

本节将对改进的Terzaghi公式、原Terzaghi公式和Lu公式进行评估，得出不同干密度的重塑黄土毛细上升速率预测时最适用的公式。选用表 2的5组试验数据拟合3个公式，结果见图 3。图 3从上到下按照样品干密度从大到小依次排列。

图 3 毛细上升速率实测数据与相关公式的拟合结果 Fig. 3 Fitting result of measured capillary rise rate with different expressions

改进Terzaghi公式和Terzaghi公式预测不同干密度黄土毛细上升速率见图 3，与Terzaghi公式相比，在重塑黄土干密度为1.77 g/cm³，1.72 g/cm³，1.69 g/cm³，1.59 g/cm³时，改进的Terzaghi公式与实测值拟合度更高。当干密度增大到1.83 g/cm³时，改进的Terzaghi公式与Terzaghi公式均大于实测值，说明Terzaghi公式不适用于干密度较大的黄土进行毛细上升速率的预测。总体来说，改进后的Terzaghi公式估算的毛细上升速率比未改进时有明显改善，在重塑黄土干密度为1.59~1.77 g/cm³时，改进的Terzaghi公式的预测值精确度明显高于原Terzaghi公式。

与Lu公式相比，整个拟合过程中，Terzaghi公式的预测值都比Lu公式的预测值更高是因为Terzaghi理论将湿润峰处的渗透系数K假定为饱和渗透系数K_s，所以得到的结果偏大，Lu公式考虑了土的非饱和渗透性，渗透系数K会随水头变化，而得到的预测值相对较小。样品干密度为1.83 g/cm³的黄土在整个毛细上升时期，实测值与Lu公式曲线基本吻合，而改进的Terzaghi公式明显的高估了毛细上升速率。样品干密度为1.59~1.77 g/cm³时的黄土，实测值与改进的Terzaghi公式预测值拟合度更高。总体上干密度较大时，Lu公式的值与实测数据达到高度拟合。干密度较小时，实测值与改进的Terzaghi公式值更为接近。

综上，路基施工时，建议干密度在1.83 g/cm³左右时，可参考Lu公式预测值；当干密度在1.59~1.77 g/cm³时，参考改进的Terzaghi公式的预测值。

黄土最大毛细上升高度是指毛细上升过程可运移到的最大高度，即为此高度处的重力势与基质势的平衡高度^[16]。关于地下水位、导水率、孔隙率、进气值、粒度大小、初始体积含水率等对最大毛细上升高的影响前人已经作了大量研究，在此不做再次赘述，而是重点讨论干密度对最大毛细上升高度的影响。

除了本次3组试验数据外，为了有效论证干密度对最大毛细上升高度的影响，还收集了13组黄土最大毛细上升高度相关的试验数据(见表 3)。13组数据中以重塑黄土为主。李先瑞等和王圣麟的试验方案中利用石灰对黄土进行了改性。13组数据中干密度与最大毛细上升高度的关系如图 4所示。

图 4 不同干密度黄土最大毛细上升高度 Fig. 4 Maximum capillary rise heights of loess with different dry densities

最大毛细上升高度并没有随干密度的增加而持续增加，而是当到达一定的干密度后，最大毛细上升高度随干密度增加而减小(见图 4)。它们之间的关系基本符合一个抛物线的函数关系，见式(6)：

(6)

式中, h_c为最大毛细上升高度，D为干密度。干密度在1.58 g/cm³时，最大毛细上升高度具有最大值，曲线递增段随着干密度的增大，土中颗粒排列越紧密，孔隙直径越小，因而毛细上升高度越大，且当毛细上升高度达到最大时，土壤颗粒排列形成的孔隙达到最利于毛细上升的临界状态。

在曲线单调递减段，即随着干密度的增加，最大毛细上升高度减小，这与毛细现象的常规认识相悖。从微观角度分析，可能是当干密度大于1.58 g/cm³后，孔隙中结合水产生的阻力大于液面周边的表面张力的合力，所以不符合毛细孔隙越小，上升高度越大的规律；从宏观角度分析，可能是由于土中含有水和气二相，随着干密度进一步增大，很多孔隙被圈闭的气相所堵塞，孔隙的连通性被阻断，毛细效应减弱而导致了毛细上升高度的降低。

根据图 4不同干密度黄土的最大毛细上升高度的规律，可以将干密度分为2个区间来表征最大毛细上升规律，干密度在1.68~1.86 g/cm³为优势干密度区间，干密度在1.35 ~1.67 g/cm³为劣势干密度区间。在优势干密度区间最大毛细上升高度相对较低，而在劣势干密度区间最大毛细上升高度普遍较高。在黄土地段路基施工时尽量避免压实时将黄土干密度出现在劣势干密度区间，防止因毛细上升太高而对地基、路面造成塌陷等危害。在工程施工中，若通过压实将黄土干密度控制在优势干密度区间，会一定程度上减小因毛细上升而导致的路基灾害问题。

(1) 参照Green-Ampt模型修正的思路，对Terzaghi公式进行改进。改进后的Terzaghi公式估算的毛细上升速率比未改进时有明显改善，在重塑黄土干密度为1.59~1.77 g/cm³时，改进的Terzaghi公式的预测值精确度明显高于Terzaghi公式。

(2) 通过5组样品实测的毛细上升曲线对改进的Terzaghi公式、Terzaghi公式和Lu公式毛细上升速率预测值进行评估。重塑黄土干密度在1.59~1.77 g/cm³时，改进的Terzaghi公式的预测值较精确；当干密度更高达到1.83 g/cm³时，可直接参考Lu公式预测值。

(3) 干密度会影响重塑黄土最大毛细上升高度，它们之间的关系呈现一种抛物线的趋势。当干密度未达到最利于毛细上升的状态时，随着干密度增大孔径减小，最大毛细上升高度逐渐增加，当干密度逐渐大于临界值时，随着干密度的增加最大毛细上升高度逐渐减小。干密度在1.68~1.86 g/cm³范围内时，黄土最大毛细上升高度相对较小，为优势干密度区间；当干密度在1.35~1.67 g/cm³区间内时最大毛细上升高度普遍较高，为劣势干密度区间。