0 引言

近年来，基于性能的结构抗震设计理论得到深入发展，对桥梁结构进行抗震可靠度分析的需求日益增加^[1]。确定性结构在随机地震动激励作用下的可靠度分析方法已经逐渐成熟^[2-7]。但实际工程本身的结构参数也具有一定随机性，这些随机因素包括几何尺寸、材料参数等会对结构动力可靠度分析产生较大影响^[8]。因此，同时考虑结构参数随机性和地震动激励随机性的桥梁结构动力可靠度分析具有重要的研究价值。

在考虑双重随机性的结构可靠度分析研究中，陈建兵、李杰提出了随机结构复合随机振动分析的概率密度演化方法^[9]，通过引入扩展状态变量，构造具有随机初始条件的状态方程，导出了复合随机振动反应的概率密度演化方程。陈颖等^[10]基于神经网络响应面法建立了结构随机参数与响应特征值的映射关系，再建立功能函数通过一次二阶矩法得到可靠指标。贾布裕等^[11]通过将地震激励离散成一列随机变量作为输入训练Kriging模型，再结合MC法计算得到结构可靠指标。

为了计算在结构参数随机性与地震动激励随机性的耦合作用下桥梁结构的抗震动力可靠度，先不考虑结构参数随机性，计算出确定结构在随机地震作用下的失效概率；再考虑结构参数与失效概率的关系，利用全概率公式得出结构在双重随机性下的可靠度。并结合工程背景说明该方法的具体应用，结果表明该方法具有较高的计算效率。

1 理论基础 1.1 基于首次超越的结构破坏准则

首超破坏理论是工程结构可靠度分析中经常采用的一种方法。该理论认为结构的破坏以响应值X(t)首次超过某一限值b为标志，则结构在时间T内的可靠概率为：

(1)

随机过程X(t)在时间T内与某一限值b交叉次数的期望值N_b(T)可表示为：

(2)

式中v_b(t)为单位时间内的交叉次数。设X(t)与的联合概率密度函数为, 则交叉速率v_b(t)的表达式为：

(3)

Rice^[12]给出了零均值平稳正态随机响应的界限跨越概率：

(4)

式中σ_x，为随机过程X(t)及其导数的标准差。假定交叉次数v_b(t)服从Possion分布，则随机过程X(t)在时间T内与双侧界限交叉次数为0的概率为：

(5)

结构响应为零均值的平稳高斯过程时，将式(4) 代入式(5) 可得结构的动力可靠概率为：

(6)

则失效概率：

(7)

1.2 支持向量机和支持向量回归

近年来，支持向量机(Support Vector Machine，SVM)成为人工智能研究的新热点^[13]，并已经在结构可靠度计算中得到应用^[14]。SVM是建立在结构风险最小原理(SRM)基础上的，能很好地处理小样本问题和高度非线性问题，并且从原理上保证是全局最优解。文献[15]比较了以径向基函数(RBF)为核函数的SVM方法和神经网络方法，说明了SVM在小样本数据下具有更高的优势。SVM的思想是Vapnik在1963年提出的，用以解决模式识别问题。1995年Vapnik系统地提出了统计学习理论，使SVM得以广泛应用于模式识别、回归分析等问题中。支持向量回归(SVR)是SVM的一种应用，下面介绍SVR的基本原理。

给定训练集T={(x₁, y₁), …, (x_i, y_i), …, (x_l, y_l)}, x_i∈Rⁿ, y_i∈R, l为训练集的数量。对于线性回归问题，用函数f(x)=wx+b拟合实际映射，式中向量w和截距b控制超平面位置。考虑到训练数据可能存在误差或者有离群值，为避免这些不正常的数据影响SVR模型，引入损失量ξ_i, ξ_i^*≥0，对应于数据(x_i, y_i)的左右偏离量。把损失加入到目标函数中，至此得到目标函数：

(8)

式中C为损失函数(Loss Function)的权因子，用于控制目标函数中两项(模型复杂程度和数据点偏差量)之间的权重。ε为松弛因子(Slack Variable)，用以去除数据噪音，数据预测误差小于ε的部分将会被忽略。对于非线性回归问题，可以通过引入核函数将非线性问题变换为线性问题。再通过运用Lagrange乘子和对偶原理，将约束写入目标函数可得式(8) 的对偶问题：

(9)

求解此优化问题，得回归函数为：

(10)

式中，α_i^*，α_i为Lagrange因子；K(x_i, x_j)为核函数。常用的核函数有：线性核函数K(x_i, x_j)=x_i^Tx_j，多项式核函数K(x_i, x_j)=(γx_i^Tx_j+r)^d，高斯核函数K(x_i, x_j)=exp(-γ‖x_i-x_j‖²)等，γ>0。高斯核函数是一种径向基函数在可靠度分析中常常被用到，因为这种核函数通过调整γ值将会有很高的灵活性，可以将原始空间映射到无穷维。如果γ选得过小，高次特征的权重将会衰减得很快，数值上近似于一个低维子空间；如果γ选得很大，则可以将任意数据精确拟合，但这将会带来严重的过拟合现象。由于C和γ是影响模型的重要因素，所以在训练SVR模型时，需要找到最优的C和γ。一般基于交叉验证SVR参数寻优方法有网格法、粒子群算法、遗传算法等。

2 桥梁抗震可靠性分析方法 2.1 确定性结构抗震可靠度计算

基于首超破坏理论计算结构可靠度的前提是计算结构在荷载作用下关键截面的动力响应(应力、位移等)的均方差σ_xi 。根据随机振动理论对实际结构的有限元模型进行功率谱密度分析可得出结构响应Y_xi(t)的功率谱密度曲线S_xi(ω)。则结构响应的均方差σ_xi，以及其导数的均方差为：

(11)

(12)

进而根据式(7) 可得确定性结构在随机地震动激励下的失效概率P_fi。

2.2 建立SVR模型

为了计算考虑结构参数随机性和地震动激励随机性的复合随机系统的失效概率，在上述分析方法的基础之上，还需要增加对结构参数随机性的考虑。先确定m组结构参数X₁(x₁₁, x₂₁, …, x_n1), X₂(x₁₂, x₂₂, …, x_n2), …, X_m(x_1m, x_2m, …, x_nm)，再逐次修改有限元模型并进行功率谱密度分析，计算出第i组结构参数X_i对应的结构失效概率P_fi。

以(X_i，P_fi)作为样本数据训练SVR模型, i=1, 2, …, m，训练过程如图 1所示。选择高斯核函数K(x_i, x_j)=exp(-γ‖x_i-x_j‖²)为SVR的核函数，并利用样本数据进行交叉验证寻找SVR模型的最优参数，再训练SVR模型得到回归函数：

(13)

得到的回归函数将会在后续的计算中被调用，而无需再进行结构有限元分析从而大大节省计算时间。

由于结构有限元分析耗时较长，可以采用均匀设计(Uniform Design, UD)^[16]试验方法对结构的随机参数进行抽样选取。均匀设计试验方法从样本分布均匀性的原则出发，均匀设计表可表示为U_n(q^s)，n为试验次数，s为列数，q为每个因素的水平数。在均匀设计中试验次数n与水平数q相等，相对于正交试验的q²次而言降低较多。

2.3 计算结构在双重随机性下的失效概率

将结构在双重随机性下失效事件作为复杂事件A，结构参数X的确定作为随机事件B。根据全概率公式的定义可知：

(14)

由于结构参数X是连续型随机变量，所以将全概率公式写成概率密度函数的形式^[17]：

(15)

式中，f(X)为结构参数随机变量的联合概率密度函数；P_f(X)为结构在结构参数为X时的条件概率，即式(13) 中的P_f，积分区间为X的定义域。

由于回归函数P_f(X)一般比较复杂，所以按式(15) 直接积分会难以进行，考虑到式(15) 的形式可以采用蒙特卡罗积分法进行数值积分：

(16)

式中，P_fj由结构参数X按照其分布类型随机取样X_j(x_1j, x_2j, …, x_nj), 再通过式(13) 计算得到。利用matlab软件编写随机抽样程序进行有限次的计算可以快速得到式(16) 的近似解，即为结构失效概率。

基于以上分析，给出结构可靠度计算步骤，如图 2所示。

3 算例 3.1 工程背景

某高墩大跨度预应力连续刚构桥位于Ⅱ类场地，抗震设防烈度Ⅷ度。桥跨布置为(95+180+95) m，墩高分别为105.56 m和116.79 m。主墩为C40混凝土空心矩形截面墩，主梁为C60混凝土箱梁。采用有限元分析软件ANSYS建立了桥梁模型，主梁和主墩均为BEAM188单元，共计159个，如图 3所示。

3.2 地震动模型

桥梁随机地震反应分析中一般采用功率谱密度函数来描述地震动的特征。本研究随机地震动模型采用杜修力模型^[18]：

(17)

由于地震动强度在地震持时内是一个从弱到强再到弱的过程，并非是一个平稳随机过程。工程上一般采用将平稳过程乘以一个确定性的包络函数来描述非平稳地震动激励。通过调整功率谱模型参数可以将非平稳随机过程等效成平稳随机过程^[5]。根据勘察设计资料和文献[18-22]确定功率谱模型参数：高频拐角周期D=0.009 s，低频拐角频率ω₀=0.628 rad/s，场地卓越频率ω_g=14.52 rad/s，场地土阻尼比ξ_g=0.726，强度因子S₀=60.21 cm²/s³，地震持时T=13.66 s。考虑水平双向地震作用，功率谱密度曲线如图 4所示。

3.3 失效模式及可靠度计算分析

李立峰等对大跨度高墩连续刚构桥进行增量动力分析得出在地震中首先失效的一般是墩底位置^[23]。《公路桥梁抗震设计细则》^[24]规定A类桥梁在E2地震作用下可发生局部轻微损伤，不需修复或经简单修复可继续使用，故取墩底位置在地震作用下弯矩超限为结构失效标志。

桥梁结构主要随机参数为弹性模量、质量密度，具体统计特征见表 1。试验采用3因素7水平均匀设计，选取均匀设计表U₇^*(7⁴)中的第2，3，4列作为试验样本，见表 2。

再对3种结构参数分别选定7个水平(μ-3σ，μ-2σ，…，μ+3σ)并与表 2中的7个水平(1，2，…，7) 一一对应，得到表 3中的试验点。根据每组试验点修改ansys有限元模型中的结构参数数据，进行功率谱密度(PSD)分析，得出响应功率谱密度曲线，见图 5。

根据首超准则计算出墩底位置的失效概率，见表 3。选择高斯核函数作为SVR核函数，利用得出的样本数据训练SVR，并选择遗传算法(GA)寻找最优参数C和γ，见图 6。最后根据式(16) 在matlab软件中编写随机抽样程序计算出结构失效概率，见表 4。

同时给出不考虑结构参数随机性计算得出的桥梁抗震可靠指标，通过对比可知在本例中如果不考虑结构参数随机性可能会高估结构的安全性能，再次说明了桥梁抗震设计中应重视地震动激励与结构参数双重随机性对结构的影响。

4 结论

通过支持向量回归(SVR)与首超准则分析了复合随机结构在地震作用下的动力可靠度，主要得出以下结论：

(1) 采用UD-SVR方法拟合了关于结构参数与失效概率的响应面函数，并基于此进行可靠度分析，提高了桥梁结构抗震可靠度的计算效率。

(2) 采用均匀设计试验方法，该方法仅考虑试验点在试验范围内的均匀散布，有效减少了结构有限元分析次数。

(3) 本文方法原理清晰，计算过程中可运用现有商业有限元分析软件，适用于复杂桥梁结构的抗震可靠度分析。