0 引言

沙漠地区日照充足，夏季炎热，冬季严寒，温度变化大。公路处于这样的环境条件中，受外界环境气温、太阳辐射等自然因素影响下及行车荷载作用下，造成沙漠区半刚性基层路面病害具有异于其他气候环境条件下的路面病害。在内蒙古自治区阿拉善盟沙漠地区某些路段不间断出现类似于“天然减速带”的横向隆起现象，当地人俗称“搓板路”，见图 1，开车即使慢速行驶，车身也颠簸不已，严重处路面横向隆起高度约10 cm，对行车安全构成极大的威胁，严重影响公路的通行能力与服务质量^[1]。

路面的横向隆起病害常见于水泥混凝土路面，对于沥青混凝土路面隆起现象并不多见。美国阿肯色州关于水泥混凝土路面隆起的调查研究中，对水泥混凝土路面隆起的成因进行了分析，得出路面隆起总是发生在雨后7~14 d内的下午3点左右, 相对长混凝土板，短板发生隆起的几率较低, 位于具中高塑性指数、中等透水路基上的水泥混凝土路面易产生隆起现象等结论。基于此，认为混凝土路面的隆起与路面温度和湿度有关^[2]。Arnold D. Kerr等假设水泥混凝土路面的隆起是由于路面内温度升高或湿度增大而引起的轴向力的作用所致，在此基础上建立了路面结构的屈曲失稳模型，分析了在自重和沿路面纵向作用力的共同作用下, 路面与基层间的抗力为近似双线性和非线性的情形下, 路面结构的胀后屈曲位移和轴向应力，并分别给出了温度和湿度增大而不使路面产生弯曲破坏的相应安全范围^[3-4]。王华乔通过分析不同板厚、荷载和路基性质情况下路面板在行车荷载作用下出现的拱胀现象，并利用Theil和Van de Panne法探讨了路面板的应力和变形，并得出拱胀范围^[5]。甘肃省交通运输厅测量队分析了甘肃省中西部干旱地区低级和过渡式路面搓板产生的原因主要在于表层材料稳定性不足，地区气候干旱，路基多系粉土及砾石戈壁，相对含水量小于0.3，路面厚度亦多在10 cm以上，承受车轮垂直力的整体强度都超过实际需要；路面表层抵抗水平推力的强度不足，在行车荷载作用下，粒料便产生位移堆积，容易形成隆起搓板现象^[6]。黄保和等探讨了长间距胀缝与大长坡道上水泥混凝土路面的热胀屈曲稳定性，建立了以缩缝为界的短板的单体性屈胀力学模型，根据铁摩辛柯的弹性稳定理论，利用能量法求出临界纵向温度应力，并由此求出常用路面板的临界铺设温度，同时提出混凝土路面铺筑与养护的注意事项^[7-10]。陈建康等针对有机玻璃和水泥混凝土两种路面模型，分别采用载波干涉法和千分表法研究了刚性路面热胀屈曲的力学机制与临界铺设温差并测量了临界压力；之后分析了温度作用下斜坡路面热胀失稳的力学原理，采用正则摄动法求解摄动方程并研究了斜坡路面与平直路面临界铺设温度差异的关系^[11-12]。蒯行成等分析了刚性路面水泥稳定沙砾基层的热胀现象，提出在低温季节施工的基层应考虑胀缝设置，基层施工中要控制水泥用量^[13]。徐宏等对水泥路面板在夏季高温隆起的原因进行探讨，计算了水泥路面板的压曲临界应力；通过举例计算板顶最大压应力，得出对于厚度26 cm左右的水泥路面板, 如胀缝设置不当，则旧水泥路面板在夏季将是危险的，且其在夏季出现隆起的临界板长约为85 m^[14]。赵昕等采用材料力学中的压杆失稳理论和弹性力学中的薄板压曲理论对沥青混凝土路面的半刚性基层由温度引起拱胀发生的条件和状态进行了分析，根据半刚性基层拱胀破坏的临界应力与温度应力的大小比较，判别半刚性基层是否会发生拱胀^[15]。李立寒等通过分析室内车辙试验试件、加速加载车辙试验路芯样, 以及沥青路面现场芯样的空隙率与高度变化, 证实了在车辆荷载作用下沥青层的隆起变形与松胀现象；分析了隆起变形在总车辙变形中所占的比例并给出了隆起系数的建议值范围为0~0.52^[16]。

关于路面隆起病害现象的发生多见于水泥混凝土路面，对于沥青混凝土路面板结构层发生横向隆起病害现象并不多。因此，在前人研究的基础上，针对内蒙古自治区阿拉善盟沙漠区沥青混凝土路面不间断出现横向隆起的现象，基于相关力学理论，构建了沥青混凝土半刚性基层的隆起拱胀模型，分析基层结构在路面结构层自重和纵向均布压力作用下的挠曲与应力状态，便于控制路面、基层材料设计与施工控制。

1 力学模型

依据沙漠区沥青混凝土路面横向隆起的实体物理模型和现场的实地调研分析，沙漠区沥青混凝土路面的局部隆起是由半刚性基层受纵向应力的作用下发生拱胀隆起。为此，将基层结构抽象简化为一四边简支、承受垂直于板面的竖向均布荷载q(x, y) (即路面结构层的自重)和沿路面纵向两端承受均匀分布压力的长矩形板，并考虑到实际工程基层中上基层与底基层的路用性能差异，假设该矩形板由材料性能、厚度均不同的2块各向同性单层板所构成。

为简化问题，在铁摩辛柯小挠度薄板理论的基础上做如下假定：

(1) 双层板各单层之间粘结良好，可作为一个整体结构板，不考虑双层板层间应力，认为各单层板之间变形连续。

(2) 板的总厚度仍符合薄板假定，即厚度t与跨度a之比为，各单层板的厚度在路面横向、纵向不发生变化。

(3) 不考虑弯曲与拉伸耦合关系。

(4) 处于临界状态的路面如同悬浮在路基上，也就是路面板与地基间呈现似脱空非脱空状态，因此可认为路基支承在此时不起作用，即临界状态时路基反力不作考虑。

在上述假定的基础上，可采用单层板的屈曲失稳模型来分析上述双层板的受力，力学模型如图 2所示，其中，力学模型坐标系xoy平面为双层板中性面。

设双层板的抗弯刚度为D，在矩形板短边b上作用x方向的均匀分布的压力N_x(N_x为沿y轴方向每单位长度上的压力大小)。同时，矩形板承受方向竖直向下的均布荷载q(x, y)，将均布荷载q(x, y)用三角级数表示为：

(1)

式中，q为均布荷载q(x, y)集度；m, n为奇数1，3，5，…；a, b为矩形板的边长。

则双层板挠度w应满足微分方程

(2)

以及屈曲的边界条件：

当x=0和x=a时, w=0，；

当y=0和y=b时, w=0，。

2 推导与分析

依据铁摩辛柯板壳理论所述，将矩形层合板挠度w取成如下级数形式^[17]：

(3)

则方程(2) 和简支边的边界条件都能满足，将此级数代入方程(2)，可得：

(4)

式中，m和n是奇数1，3，5，…，如m和n中的一个为偶数，或两个都是偶数，则a_mn=0。因此板的挠度曲面为：

(5)

由式(5) 可知，当N_x的值为时，式(5) 中的分母项将为0，这说明在此情形下，板不需要任何侧向荷载即可发生侧向屈曲。

式(5) 中，N_x的最小值即为薄板失稳的临界压力，也即临界荷载。显然，N_x的临界值可由取n=1得到，进而有：

(6)

式中m应使式(6) 的值为最小。由比值a/b作因子k=(mb/a+a/mb)²的曲线图^[17]，得到如图 3所示曲线图。

图中，在决定k时所需要用的曲线部分由实线表示。可以看出，对于方形板以及任何可分割成整数个边长为b的正方形板，其因子k等于4；对于很长的板，k值趋近于4。考虑路面的实际情形，认为k值取为4比较合理，则有

(7)

由式(7) 可知，当N_x≥(N_x)_cr，双层板即基层结构将发生失稳破坏，导致路面横向隆起的发生。

由式(7) 可知，该临界值与双层板抗弯刚度D有关，依据复合材料力学理论^[18]，在不考虑弯曲与拉伸耦合关系时，上述层合板弯曲刚度矩阵为：

(8)

式中，Q_ij为表示与材料主方向成任意角度θ的x-y坐标系中的应力-应变关系的弹性矩阵中对应的元素；n代表组成层合板的单层板数目；z_k为各单层板表面相对层合板中性面的坐标，如图 4所示。

对于各向同性弹性板，平面应力状态下弹性矩阵为:

(9)

式中，，，，E，v分别为材料的弹性模量和泊松比。

模型中双层板的抗弯刚度即为矩阵D中的D₁₁，而D₁₁的计算首先需确定层合板中性面的位置。根据所设假定，由弹性薄板理论^[19]可知，不考虑板的横向正应力影响，用u_z, u_x, u_y分别表示板横截面上任意一点在x, y, z方向的位移分量，则：

(10)

忽略横向剪切，则γ_zx=γ_zy=0，根据几何方程得：

(11)

求解上述偏微分方程并代入板中性面没有变形的条件可得：

(12)

式中z为板横截面上任意一点距板中性面的距离。

进而可得：

(13)

将式(13) 应力状态的本构方程，可得：

(14)

不考虑层间应力，根据层合板横截面上沿x，y方向内力之和为0的条件，结合式(14) 可确定双层板中性面的位置^[20]，也就是半刚性基层中性面的位置，参照图 5有：

(15)

(16)

式中, E₁，E₂及ν₁, ν₂分别为上基层与底基层的弹性模量和泊松比; t₁, t₂为上基层与底基层的厚度; t为半刚性基层上表面距基层中性面的距离。

将式(15)、(16) 两式相加，可得：

(17)

求解该积分可得：

(18)

进而可得：

(19)

将式(19) 代入式(7)，可知沥青混凝土路面半刚性基层的临界荷载为：

(20)

3 算例分析

沙漠区某公路半刚性基层受温度应力作用产生路面横向隆起病害。采取该路面结构参数，依据文中推导公式，分析路面产生横向隆起病害的临界荷载。结构参数如表 1所示。

将上述参数代入式(18)

可得中性面到基层上边缘的距离t≈21.6 cm, 之后将t的值代入式(20)。

可得路面半刚性基层结构受纵向荷载作用下发生横向隆起病害的临界荷载(N_x)_cr=3.29×10⁶ N/m。

由以上分析可知，当纵向压力N_x≥(N_x)_cr，半刚性基层双层板(上基层和底基层)会出现失稳破坏并导致沥青路面产生横向隆起病害。显然，在已知各路面基层结构的弹性模量、泊松比、尺寸的情形下，就可依据式(17) 和式(19) 推导沥青混凝土路面基层隆起拱胀模型的失稳临界荷载(N_x)_cr, 进而可分析致使路面横向隆起病害发生的纵向力的影响因素，减少或降低不利因素的影响，防止路面横向隆起病害的发生。对于由温度应力引起的路面结构层横向隆起病害，温度应力的大小与路面结构层的材料组成设计密切相关，通过进一步分析研究温度应力与结构层材料组分及自然环境之间的内在规律，可指导路面结构层的材料组成设计与现场施工。

4 结论

沙漠地区气候环境等自然条件相对比较特殊，沥青路面结构层受外界环境影响产生路面横向隆起病害，严重影响行车的安全性与舒适性，病害的进一步发展会导致路面发生结构性破坏，缩短服务寿命，增加维修养护成本。根据横向隆起病害的实体特征，结合弹性薄板与复合材料力学相关理论，将沥青路面基层简化为一四边简支的双层层合板的隆起拱胀力学模型，推导了沥青混凝土路面基层在竖向均布荷载和纵向均布压力共同作用下发生横向隆起拱胀的临界荷载公式。根据此公式，可进一步分析导致病害产生的纵向力的影响因子及相互影响规律，从而可指导路面结构的材料组成设计与现场施工，为隆起病害防治提供理论基础。