0 引言

当下伏溶洞顶板基岩完整且较薄时桩基易发生冲切破坏^[1]。目前国内外针对岩溶区下伏溶洞顶板极限承载力研究中，赵明华等人^[2-3]假定破坏冲切体为锥台，拉应力与剪应力在破坏面上均匀分布，把两者分开考虑，由极限平衡法得出溶洞顶板极限承载力；随后又采用圆形固支板模型对岩溶顶板进行了抗弯稳定性验算^[4]。柏华军^[5]考虑岩体自重的影响，对已有的溶洞顶板持力层抗冲切、抗剪切厚度公式进行了完善。雷勇等人^[6-7]的研究表明完整溶洞顶板易发生冲切破坏，且冲切破坏体并非标准的圆锥台，而是以螺旋线为母线的旋转体。在此基础上赵明华等人^[8]采用莫尔二次抛物线型岩石破坏判据对冲切破坏进行了极限分析。武崇福等^[9]以抗拉强度为控制条件，得出了四边固支和四边铰支矩形板模型下的岩溶及采空区顶板承载力，提出了可以考虑有效宽度、自重等影响因素的单向板、双向板抗拉弯破坏溶洞顶板持力层厚度公式。龚先兵等人^[10]结合突变理论导得了岩溶区桥梁基桩桩端极限荷载的表达式。刘铁雄^[11]和冯明伟^[12]分别将岩溶地区顶板简化为简支与固支矩形板，对岩溶区桩基受力破坏性进行了试验研究。张慧乐^[13-14]等人研究了桩底存在球形或椭球形溶洞时，溶洞顶板厚度、直径、赤道半径及极半径与偏移位置等因素对承载能力和破坏模式的影响。

本文针对下伏溶洞顶板极限承载力问题，提出了一种计算下伏溶洞顶板极限承载力的计算方法。为验证本文冲切破坏模式及极限承载力计算方法的合理性，进行了下伏溶洞顶板极限承载力室内模型试验，得到了1~5倍桩径的顶板厚度下溶洞顶板极限承载力。

1 岩层常用冲切模型 1.1 文献[2-3]方法

常用冲切模型假定桩端岩层的破坏面，通过分析岩层顶板的临界破坏状态，即冲切面上应力的总和与桩端阻力相平衡的条件，得到桩端岩层的极限承载力。文献[2-3]假定在桩端荷载P_p作用下，桩底持力岩层发生冲切破坏时形成一个冲切圆锥台，冲切面与锥台夹角θ为45°-φ/2。破坏锥台处于极限平衡状态时，锥台侧面分布拉应力及剪应力，但在计算时将两者分开考虑，其计算示意图如图 1所示。

在极限平衡状态下，按拉应力计算得到的桩端岩层承载力为：

(1)

式中，σ_t为岩石抗拉强度；θ为冲切面与锥台夹角；S为锥台侧面积。可按式(2) 计算。

(2)

式中，h为溶洞顶板厚度；D为桩径。

按剪应力计算得到的桩端岩层承载力为：

(3)

式中τ为岩石抗剪强度。

需要说明的是，式(1) 和式(3) 适用于顶板破坏模式为冲切破坏，冲切体为圆锥台且假定破坏面上的剪应力和拉应力都是均匀分布时。通过式(1) 和(3) 计算所得承载力与实际桩端承载力有较大差别，但总体上偏于安全。实际上基岩处于极限平衡状态时，破坏面上既有拉应力也有剪应力，但各自的发挥程度尚有待进一步研究。

1.2 文献[6]方法

文献[6]基于极限分析原理分析了岩溶区桩端溶洞顶板冲切破坏机制，认为冲切体并非标准的圆锥台，而是以一条曲线为母线的轴对称旋转体。其破坏模式如图 2所示。

采用非线性强度准则建立了冲切破坏面上的功能方程，通过变分原理求得了冲切破坏体的母线表达式:

(4)

式中c₁，c₂为待定参数。

式(4) 本质上是一条螺旋线，将冲切体底面直径D₁看成已知量，将边界条件r(0)=D/2，r(h)=D₁/2代入式(4)，求得母线方程及溶洞顶板极限荷载表达式为：

(5)

(6)

文献[6]假定顶板极限承载力为已知，从而通过求极值得出D₁的值，以确定顶板的最小安全厚度，而当要求解顶板极限承载力时，冲切体底面直径D₁实际上是个不确定值，文献[5]中D₁的估算方法将不再适用。因此，其方法在确定溶洞顶板极限承载力的工程应用当中尚有待完善。

2 极限承载力计算方法研究

Meyerhof等人^[15]在研究抗拔桩时指出在极限拉拔荷载作用下，抗拔桩周围的岩土体将形成一个弧形的破裂面，此弧形破裂面在地表与水平面的夹角接近(π/4-φ/2)；何思明^[16]在抗拔基础承载力的研究当中，假定基岩的破裂面与地表的夹角为(π/4-φ/2) 得出了合理的结果。由于溶洞顶板冲切破坏模式与抗拔桩破坏模式类似，本文在此基础上，假定破坏旋转体的母线切线与其底面的夹角为(π/4-φ/2)，由此可得旋转体的边界条件为：

(7)

(8)

式中β=π/4+φ/2。

将式(7)、(8) 代入式(4) 可得其中的待定参数：c₁=(LambertW[(2htanβ)/D])/h，c₂=D/2。LambertW表示朗伯函数，又称为“欧米加函数”或“乘积对数”，是函数f(w)=we^w的反函数，其中e^w是指数函数，w是任意复数。对于任何复数z，都有z=LambertW(z)e^LambertW(z)。朗伯函数无法显性表示，其具体应用参见文献[17-18]。

将c₁，c₂代入式(5) 得旋转体母线方程：

(9)

令式(9) 中x=h，r(h)=D₁可得冲切体底面直径：

(10)

将式(10) 代回式(6) 可得桩端极极限承载力P的表达式：

(11)

以上推导都是建立在溶洞顶板宽度l足够大的前提下，即l≥De^{LambertW[(2htan β)/D]}。当溶洞顶板宽度l较小时，即l < De^{LambertW[(2htan β)/D]}时，破坏面被限定为一固定面，如图 3所示，D₁为已知量，此时：D₁=l，将式(5)、(6) 中的D₁替换成l即可，即当l≥D₁时，顶板极限承载力按式(11) 计算，当l < D₁时按式(6) 计算，式中D₁=l。

通过假定破坏面与冲切体底面夹角，以及以上推导，由所得的溶洞顶板极限承载力表达式可知，溶洞顶板极限承载力仅与顶板厚度、桩径、岩体内摩擦角以及顶板宽度有关。

3 下伏溶洞顶板荷载试验研究

为验证本文极限承载力计算方法的合理性，进行了下伏溶洞顶板及基岩极限承载力室内模型试验。本试验使用门式框架作为试验加载的反力装置，其由底座、立柱及反力梁3部分组成，将模型箱置于门式框架的底座之上，对荷载板加载时，整体为一自平衡系统。

采用水泥、石膏、砂和黏土按一定配合比模拟岩溶基岩，经试验测得砂浆试块的单轴抗压强度为2.97 MPa，摩擦角φ=30°，抗剪强度取单轴抗压强度的1/10，约300 kPa。抗拉强度取单轴抗压强度的1/20^[3]，约150 kPa。溶洞模型的浇注分两次进行，一次首先浇注20 cm的基岩底板，达到一定强度时采用半圆实石膏拱模(直径l=33 cm，拱高15 cm)，分别进行顶板厚度为1D~5D的小型荷载板试验，以及相应的基岩极限承载力试验，其中D=5.75 cm。加载系统及溶洞顶板试验及基岩承载试验如图 4所示。

图 5为顶板厚度不相同时的荷载沉降曲线。

由图 5可知，当顶板厚度为1D~3D时，曲线出现了明显的陡降点，且都发生了冲切破坏。其冲切大样图见图 6~图 8。4D和5D时没有明显的陡降点，4D时在荷载达到30 kN时，溶洞边缘发现裂缝，荷载达到60 kN时，发生冲切破坏。冲切破坏特征如图 9所示。由于冲切体较大以及试验条件的限制，未能取出冲切体。5D时在荷载达到40 kN时边缘出现裂缝，荷载达到72 kN时，产生塑性破坏，破坏后溶洞顶板未发现明显冲切体，但有明显的裂缝。其破坏特征图见图 10。

由试验现象及荷载沉降曲线可知，顶板厚度为1D~5D时，其极限承载力分别为10，28，40，60，72 kN。

在进行溶洞顶板承载力试验的同时，也对基岩承载力进行了校验，表 1为1~5倍桩径时相应的基岩极限承载力。

由图 5可知，随着板厚的增加，溶洞顶板的极限承载力基本呈线性增加。由图 5和表 1可知，当顶板厚度达到5D时，顶板的极限承载力已经和基岩的极限承载力相当。

4 极限承载力对比分析

从溶洞顶板承载力试验可以得知，当溶洞顶板厚度在1D~3D时，破坏模式为冲切破坏；从4D的破坏现象来看，呈现冲切+撕裂复合破坏模式，先发生撕裂，但并不影响顶板承载，随着荷载增大，发生冲切破坏，破坏体底部直径与洞跨相等。当5D时，沿洞轴线方向发生撕裂破坏，洞顶可见明显裂缝，荷载板沉降较大，但没有冲切发生。当厚度超过5D时，主要是桩端沉降超过一定值，发生塑性区发展破坏。

最后将本文理论用于验证计算，通过计算发现，当溶洞顶板为1D至3D时，理论的冲切体底部直径均未超过顶板宽度l，因此，将相关参数代入式(11) 得到相应的极限承载力。当顶板厚度为4D时，将相关参数代入式(10)，计算得到D₁=0.358 m>l=0.33 m，因此取D₁=l=0.33 m。将相关参数代入式(6) 得到相应的极限承载力。同时将抗剪、抗拉强度值代入式(1) 和式(3) 得到文献[2-3]方法单独考虑抗拉抗剪应力时的极限承载力。采用本文提出的方法和文献[2-3]方法计算溶洞顶板极限承载力与试验结果对比图如图 11所示。由对比曲线可知本文理论方法与实测结果吻合较好。文献[2-3]方法与实测结果相差较大。

5 结论

通过进行下伏溶洞顶板极限承载力理论分析及基岩极限承载力室内模型试验，得出如下结论：

(1) 当溶洞顶板厚度为1D~3D时，发生冲切破坏；顶板厚度为4D时呈现冲切+撕裂复合破坏模式；顶板厚度为5D时，发生洞顶撕裂+桩端塑性破坏。

(2) 同一跨径比条件下，溶洞顶板厚度为1D~4D时，溶洞顶板的极限承载力随其厚度的增加呈线性增长，达到5D时顶板承载力与基岩基本一致。

(3) 采用极限分析法求得的极限承载力与实测结果较为吻合。