0 引言

我国地域辽阔，地形和地貌条件复杂多变。尤其是在山岭地区，复杂的地形和地貌常会导致危岩落石、泥石流、滑坡和地震等地质灾害频发^[1]。而危岩落石又是山岭地区修建铁路、公路等交通线路中经常面临和需要防治的地质灾害之一。对于交通线路中的落石灾害，可采用主动或被动防护措施加以防治。棚洞是铁路、公路山岭隧道中通常所采用的一种被动防护措施^[2]，其主要由钢筋混凝土框架结构、顶板以及覆盖于顶板外侧具有缓冲作用的垫层组成。

国内外对如何计算棚洞所承受的落石冲击力开展了众多的试验与研究，也提出了相应的计算方法。如我国在公路路基设计规范^[3]、铁路隧道设计手册^[4]中均列出了相应的计算方法，此外杨其新^[5]和叶四桥^[6]等也提出了相应的计算方法。国外与其相关的方法主要有日本算法^[7]、瑞士算法^[8]和澳大利亚算法^[9]。当采用上述不同的计算方法来计算落石的冲击力时，其结果差异较大。此外，即使在计算落石冲击力时采用同一种类的缓冲垫层，由上述不同计算方法所得到的结果差异可达到100倍的数量级关系。其冲击力的大小不仅与落石冲击能量有关，而且还与冲击时间、落石重量、回弹效应、缓冲垫层的属性等影响因素存在密切的关联。目前国内外现有的落石冲击力计算方法并没有完全考虑以上诸多因素，大多基于经典的弹性接触力学模型然后依据现场实测统计数据或者模型试验数据的拟合而得到半理论半经验性的计算公式，对于影响落石冲击力大小的垫层种类及属性并没有定量的研究。因此计算得到的结果不能完全反映各种工况下落石的冲击力大小。

由于落石对棚洞的冲击过程是一种极短时间内的碰撞过程，因此本文基于文献[6]所提出的冲量定理，通过考虑落石重量、回弹效应和缓冲垫层的属性而推导出理论计算公式，并与棚洞抵抗落石冲击的大比例尺室内模型试验结果进行比对拟合，由此得出针对不同缓冲垫层属性的落石平均冲击力和最大冲击力之间的扩大系数k，使得落石冲击力的计算方法更符合实际。

1 现有的落石冲击力计算方法

依据上文提出的目前国内外常用的落石冲击力计算方法，其分别简述如表 1所示。

针对以上不同的5种落石冲击力计算方法，相关学者对其差异性也进行了分析。文献[10]通过验算指出国外算法所得到的冲击力数值普遍较高，其中以日本算法和瑞士算法为最高，相比之下，采用国内算法所得到的冲击力数值普遍偏低。文献[11]通过落石冲击试验对比了国内外的不同计算方法，结果表明实测落石的冲击力介于国内算法与国外算法之间，并指出落石冲击力的大小与缓冲垫层的属性和冲击速度有关。文献[12]通过理论分析和数值模拟，验证了在类似于碎石垫层的防护下，落石冲击力的大小与日本算法的结果相接近，而国内算法的结果却偏低，由此看来，垫层种类对于落石冲击力大小的影响至关重要，针对不同垫层种类下的落石冲击力计算方法仍需完善。

2 落石冲击力的理论分析 2.1 落石冲击力的计算表达式

为便于开展落石冲击力的理论分析，现做以下4点假设：

(1) 将落石视为均质刚性球体；(2) 在落石冲击棚洞的过程中，棚洞及其缓冲垫层始终保持初始形态而不发生崩解或者破碎；(3) 在落石冲击过程中落石只发生平动而没有转动；(4) 落石从棚洞顶部正上方沿棚洞中心线某一高度处自由下落，即正向冲击，暂不考虑落石在棚洞顶部斜向下落冲击棚洞的情况。

考虑落石自重及在棚洞碰撞后的回弹效应，根据上述的假设条件，可定义落石冲击过程中缓冲垫层的法向恢复系数为：

(1)

式中，v_bn为落石冲击棚洞碰后回弹的速度；v_an为落石冲击棚洞前的速度。

如果落石在冲击棚洞的过程中不发生回弹，则取e_n=0。由式 (1) 可得，棚洞的缓冲垫层越坚硬，回弹效应越大，其法向恢复系数也越大，致使冲击力也就越大；反之则越小。

根据冲量定理，可得：

(2)

式中，M为落石重量；F_n(t) 为落石重量的法向分量；f_n(t) 为冲击过程中落石的法向冲击力。

假定最大冲击力是平均冲击力的k倍，即k为扩大系数，则有：

(3)

由式 (1)~(3) 可得：

(4)

我国隧道手册法中对于Δt的算法考虑了缓冲垫层的属性及其厚度的影响，故在此引入式 (4) 后得：

(5)

式中，γ为缓冲垫层的密度；E和μ分别为缓冲垫层的弹性模量和泊松比；h为缓冲垫层的厚度；M为落石重量。

式 (5) 即为落石冲击棚洞时的最大冲击力计算表达式，该式综合考虑了棚洞中缓冲垫层的属性、落石的重量以及落石冲击的回弹效应等因素，能够比较全面客观地反映落石动态冲击的过程，式 (5) 中的法向恢复系数可参考文献[13]中提出的恢复系数，具体见表 2。

对于轻质土类、黏土类、砂土类以及碎石类的缓冲垫层，建议其法向恢复系数可分别取0，0.1，0.2，0.3。

2.2 扩大系数k的确定

确定上述扩大系数k的数值，可采用模型试验实测数据拟合曲线的方法。Muraishi对日本某铁路沿线在1987-1997年间的落石状况进行调查后得出落石冲击能量小于1 000 kJ的事件达到了90%^[14]。因此以1 000 kJ作为落石的特征冲击能量可反映实际工程中90%的落石冲击事件的代表值。依据相似理论，按照几何相似比C_L=10的大比例尺开展室内落石冲击模型试验，试验中所遵循的相似准则为：

(6)

式中，C_E为弹性模量相似比；C_ε为应变相似比；C_σ为应力相似比。

根据式 (6) 和所选取的几何相似比C_L=10得到模型试验中落石的冲击能量相似比为:

(7)

式中，J_P为实际落石的冲击能量；J_m为模型试验中落石的冲击能量。

根据式 (7)，在模型试验中将落石的冲击能量限定在100 J以内即可涵盖实际工程中90%的落石事件所代表的能量值，因而模型试验具有代表性。

为便于测试与分析，本文选取了交通道路中常用的框架型棚洞，按照几何相似比加工制作的框架型棚洞模型如图 1所示，其主要由立柱、横梁、顶板和缓冲垫层构成。为分析落石冲击框架型棚洞的力学特性，本文重点测试和研究落石从棚洞顶部一定高度处沿棚洞中心线竖向下落且冲击框架型棚洞的工况，并将该工况视为棚洞受落石冲击作用时的最不利工况。

实际工程中，质量为7 850 kg，冲击速度为16 m/s的落石冲击能量为1 005 kJ，故模型试验中，按照此最大冲击能量，依据速度相似比及能量相似比C_J=10⁴，反算得知：采用一个质量为7.85 kg的铁球，在冲击速度为5.06 m/s下的冲击能量为100.5 J，可以使冲击能量分布在100 J以内，从而可以涵盖实际工程90%的冲击能量。铁球顶部为平面，底部呈外凸的半球面。圆柱的中间留设有直径为10 mm的圆孔，可供导杆穿过，其目的在于确保铁球沿导杆的顶部垂直下落而不发生滚动。模拟落石的铁球和导杆的组合关系如图 2所示。

在试验中利用东华5 923 N高速动态数据采集仪测定棚洞结构受落石冲击的动态应变，并采用ARF-50A-T型动态三轴加速度传感器测定落石冲击的加速度，试验所用的仪器如图 3所示。

在试验中通过改变缓冲垫层的物理和力学参数，然后利用模型试验测试在相应缓冲垫层防护下落石冲击棚洞的冲击力。试验选取的缓冲垫层的物理力学参数如表 3所示。

依据几何相似比C_L=10与实际工程中缓冲垫层厚度确定试验中棚洞顶部的缓冲垫层厚度设定为0.14 m，试验中，考虑空气阻力及导轨摩擦损失的能量，落石的冲击能量是根据铁球在棚洞顶部特定高度处下落冲击棚洞所最终实测的瞬时速度加以确定，通过式 (8)~(10) 分别计算出落石冲击棚洞的瞬间速度、峰值冲击力和冲击能量。

(8)

(9)

(10)

式中，T_impact为铁球接触棚洞垫层前冲击时间；a_impact为铁球接触垫层前加速度；v_re为铁球冲击棚洞结构的实测速度；F_max为铁球的最大冲击力；a_max为铁球的最大加速度；M为铁球的质量；E_re为铁球冲击棚洞结构的实测冲击能量。

依据实际工程中落石冲击速度为16 m/s及速度相似比，以2 m/s的折减速度对实际工程中的冲击速度进行折减分为5级，并得到相应的模型中的理论冲击速度，并由式 (11) 反算铁球下落高度：

(11)

式中，H为铁球下落高度；v_th为铁球理论冲击速度；g为重力加速度。

得到模拟落石的铁球冲击速度和能量之间的关系如表 4所示。

由表 4可知能量损失率均在10%以内，故以最终实测冲击能量作为以下研究内容的能量基准。

按照上述5种不同铁球所处高度分别进行落石冲击棚洞的试验，试验测定的典型落石加速度时程曲线如图 4所示。

通过落石冲击棚洞试验及式 (9) 测定了不同冲击能量下所对应缓冲垫层的落石冲击力数值，其测定结果见表 5所示。

将落石冲击模拟试验实测的冲击力值与采用前文5种不同计算方法得到的计算值进行比较，得到对应于不同类型缓冲垫层下相应冲击能量的落石冲击力，对比结果如图 5所示。

由图 5可以看出，落石冲击力的大小与缓冲垫层的属性极为密切，5种现有的计算方法也不能全面地反映这种关系。针对一种缓冲垫层，不同计算方法的计算结果差异极大。但总体趋势是：棚洞缓冲垫层的弹性模量越小，泊松比越大时其变形能力也越大，此时落石对棚洞的冲击力就会越小，反之则越大。

根据式 (5) 可计算出不同缓冲垫层属性与冲击能量下对应的平均冲击力F_n，并与实测值的冲击力进行比较，即可反算出得到冲击力的扩大系数k，计算结果如图 6所示。

由图 6可以看出，冲击力扩大系数k值可以拟合为一簇对数曲线，不同类型的垫层属性实质是关于冲击时间Δt的函数，即垫层属性函数f~(h, E, μ, γ)，如图 7所示。

由图 7可以看出，各条拟合曲线的相关系数R²≈1，故采用对数曲线的拟合程度较好。由图 7可知缓冲垫层属性函数f~(h, E, μ, γ) 值越高时冲击力扩大系数k的离散性越小，反之越大。这就说明实际工程中选择f~(h, E, μ, γ) 值越大的垫层不仅在不同能级下确定扩大系数k值较为简便，同时还能有效地减小落石冲击力。若垫层的f~(h, E, μ, γ) 值较小，那么扩大系数k值的离散性加大，不同能级下的扩大系数必须准确获得，否则将会产生较大的误差。图 7可以反映不同缓冲垫层属性和冲击能量下的冲击力扩大系数k，不在对数曲线上的扩大系数k值可由内插值法确定，然后依据式 (5) 可得落石的最大冲击力F_max。

2.3 误差分析

根据图 7所得的落石冲击力扩大系数k值与式 (5) 可计算出不同缓冲垫层和冲击能量下的最大冲击力F_th，并与模拟试验的实测值F_re进行比较，其相对误差可按式 (12) 进行计算，对比的结果见表 6。

(12)

式中，F_re为冲击力实测值；F_th为冲击力理论计算值。

由表 6可知针对不同类型缓冲垫层的冲击力计算值与实测数值之间误差均在10%以内，因此式 (5) 可以作为落石冲击力的计算公式，可满足实际工程的需要。

3 结论

本文通过对框架型棚洞以不同类型缓冲垫层防护下受落石冲击的模型试验，得到如下结论：

(1) 以EPS颗粒、水泥、黏土、固结剂和水按比例组合的轻质土作为一种质量轻、弹性模量小和抗冲击性能好的垫层材料，既可改变棚洞结构体系的整体刚度，还能达到耗能减震和降低棚洞结构自重的目的。

(2) 文中给出的落石最大冲击力计算公式，综合考虑了缓冲垫层属性、落石自重和冲击回弹效应等因素，通过落石冲击试验所确定的扩大系数能够较真实地反映落石的最大冲击力与平均冲击力的关系，通过与实测值比较两者相对误差较小，能够用于计算落石的最大冲击力。

(3) 冲击力扩大系数k的曲线函数可以拟合为一簇对数曲线。利用缓冲垫层属性函数f~(h, E, μ, γ) 与冲击能量可以确定相应的冲击力扩大系数，缓冲垫层属性函数f~(h, E, μ, γ) 越大，扩大系数值的离散性越小，反之越大。若落石冲击能量越大，冲击力的扩大系数越小，反之越大。