0 引言

近年来，钢管混凝土拱桥以其结构轻型、强度高、跨越能力强、造型优美的优势，在我国得到广泛应用。同时，大量工程实践表明该类桥梁的车桥振动效应显著，值得关注^[1-9]。国内外学者对此已开展了一些研究：Huang Dongzhou ^[1-2]分析了跨度200 m以内中承式钢管混凝土拱桥的动力特性和冲击系数，提出了相关的简化计算公式；孙潮、陈宝春、吴庆雄等^[4-5]收集了多座钢管混凝土拱桥的实测冲击系数，给出了常规钢管混凝土拱桥冲击系数计算的简化公式，发现实测钢管混凝土拱桥冲击系数基本高于现行规范规定值；严志刚等^[8]对中承式钢管混凝土拱桥的动力冲击效应进行了理论和实测分析，认为桥面不平度是影响冲击系数的主要外因。

桥面不平度作为影响桥梁车辆冲击效应的重要因素，具有明显的随机性。已有相关研究中，一般采用随机模拟程序生成不平度样本的方法考虑不平度因素，进行车桥耦合振动分析，其实质为特定不平度样本下的确定性振动分析，而对于随机不平度造成的车桥系统随机振动问题则少有探讨。

为此，本文以某实际大跨度钢管混凝土拱桥为工程背景，采用模态综合分析方法建立车桥耦合振动分析模型，利用大桥实际动力试验数据进行程序验证，并对分析中应注意的问题进行了探讨。在此基础上，针对桥面平整度随机特性的影响，对车载下桥梁冲击效应进行了统计分析，得出了一些有价值的结论, 为同类桥梁在设计阶段或状态评定中合理地确定冲击系数提供了参考和借鉴。

1 车桥耦合振动分析模型 1.1 车辆模型

为有效减少车辆模拟误差对车桥动力分析结果的影响，车辆采用了12自由度空间模型，如图 1所示，其中Z_vr, θ_vr, φ_vr, Y_vr分别为车体竖向沉浮、绕Y轴的转动、绕X轴的侧滚和横向摆动自由度；Z¹_sL, Z¹_sR, Z²_sL, Z²_sR分别为悬架刚体竖向沉浮自由度；Y¹_sL, Y¹_sR, Y²_sL, Y²_sR分别为悬架刚体横向摆动自由度；下标vr表示车体；s表示悬架；L, R分别表示X轴左侧和右侧刚体；1, 2表示车轴数。

1.2 桥梁模型

由于实际大跨桥梁结构的复杂性，往往需要划分数百至数千个单元才能较准确把握桥梁的振动性能，把如此多的自由度列入车桥系统运动方程大大增加了求解的计算代价和难度。考虑到复杂结构的动力响应主要受若干低阶振型控制，结构振动分析中只需计入若干低阶振型和频率就能够满足工程精度要求^[10-13]，本文采用模态综合分析技术建立桥梁振动分析模型。采用通用有限元程序建立桥梁模型并进行模态分析得到结构的各阶振型和频率。桥梁侧向运动、扭转运动和竖向运动可分别表示为：

式中，φⁿ_h(x), φⁿ_θ(x), φⁿ_v(x) 分别为桥梁第n阶振型水平分量、扭转分量和竖直分量；N_b是所采用的振型数；q_n为第n阶振型的广义模态坐标。各阶振型按广义质量归一化处理。

1.3 桥面不平度

桥面不平度可假定为满足零均值的稳态高斯随机过程^[14-16]，不平度特性可用功率谱密度函数来表述：

(1)

对功率谱密度函数进行傅立叶逆变换，得到了用三角级数表示的桥面不平度函数为^[14-15]：

(2)

式中，φ_k是[0, 2π]之间均匀分布随机数；Ω_k为功率谱密度函数上的离散频率值；x是桥梁纵向坐标；N为采样点总数；ΔΩ为离散采样频率间隔。ISO国际标准将路面不平度系数划分为5个等级：很好 (A级)、好 (B级)、一般 (C级)、差 (D级) 和很差 (E级)。本文分析中对应的粗糙系数分别取为0.24×10^-6，0.62×10^-6，2.5×10^-6，10.0×10^-6和20.0×10^-6 m³/cycle^[14]。

1.4 车桥耦合振动方程

车桥耦合振动系统中假定车轮与桥面始终接触，车辆和桥梁在车轮与桥面接触处具有相同的位移协调条件，对于车辆而言桥梁的变形相当于附加桥面不平度。分析中将桥梁变形引起的附加桥面不平度和随机桥面不平度进行组合形成等效粗糙度，将等效粗糙度作为系统激励源。车轮与桥面接触点处，车辆所受荷载和桥梁所受荷载是一组大小相等、方向相反的相互作用力。车轮与桥梁接触点位移可表示为桥梁模态坐标和相应桥面不平整度迭加的形式：

(3)

式中，Y_wij, Z_wij分别为第i辆车第j个轮对的横向和竖向位移；e_ij为第i辆车第j个轮距相对桥面中心线的偏心距离；r_ij为对应位置的桥面不平度幅值。依据前述力和位移耦合条件，建立车桥耦合振动方程:

(4)

式中，下标v和b分别表示车辆和桥梁；vb和bv分别表示车桥耦合作用部分；为桥梁模态位移子向量；X_v, , 分别为车辆位移、速度和加速度向量；车桥耦合振动方程中质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和荷载向量可由车桥系统耦合条件推导得到，限于篇幅不再列出，详见文献[13, 17]。

基于上述车桥动力分析模型，作者采用Matlab开发了车桥耦合振动分析程序 (Vehicle-Bridge Dynamic Analysis)。

2 程序验证及模态截断阶数的影响 2.1 工程概况

潮白河大桥为北京顺平公路上的一座特大桥，位于顺义区城区东南部，跨越潮白河，主桥为 (36+108+36) m的中承式钢管混凝土系杆拱桥。拱肋除靠近连接墩9.96 m范围内为矩形截面外，其余部分均为哑铃形断面。每片拱肋系杆采用6束27φ^j15.24无黏结预应力钢绞线，全桥共布置水平系杆12束。吊杆9对，主桥全宽27.0 m，双向4车道布置，两侧各设1.5 m宽人行道。行车道板采用普通钢筋混凝土空心板^[18]。

2.2 程序验证

首先建立大桥的空间有限元模型，其中对钢管混凝土构件应用统一理论来考虑钢管和混凝土的相互作用，并确定力学参数^{[9, 19]}，采用三维梁单元模拟拱肋、主梁、横撑、斜撑和拱上立柱；吊杆和系杆采用索单元模拟，桥面铺装采用板单元模拟，有限元模型如图 2所示。根据现场桥梁环境振动测试结果^[20]对结构分析的有限元基准模型进行模型修正，修正后的桥梁结构模型自振频率、振型与实测结果比较见表 1，可看出误差，即, 计算值-实测值)/实测值×100%，均在5%以内，表明所建立的有限元模型能够很好地反映桥梁的实际动力性能，可作为车桥动力分析的基准模型，具体模型修正过程详见文献[20-21]。

受试验时引桥交通条件限制，跑车试验最高车速为40.8 km/h，试验采用车辆总质量36.5 t的3轴重车，车桥振动分析所用车辆模型参数见表 2(参数单位：质量kg，刚度kN/m，阻尼kN/m，长度m)。计算中考虑桥面实际状况不平度等级取为B级，结构阻尼比取为0.5%。车桥耦合振动分析中取前100阶振型参与计算，图 3比较了桥面跨中计算位移时程曲线与实测值，两者吻合良好，验证了本文程序的正确性和工程适用性。

2.3 模态截断阶数的影响

模态综合方法在车桥耦合振动数值分析中应用较多，但对于参与计算的桥梁模态阶数的合理选择问题尚少有论述。本节以跨中竖向位移为对象分析了模态截断阶数对结构响应的影响，比较了10~100阶模态参与计算时跨中竖向位移的变化情况，桥面不平度取为B级，车速为80 km/h，结果如图 4所示，可见模态截断对响应分析结果影响显著。对于该桥，当参与车桥振动分析计算的模态阶数为70阶及以上时，主梁跨中动挠度最大值变化幅度小于3%，且趋于稳定，因此振动分析中的模态截断阶数应考虑大于70阶为宜。鉴于此, 建议在同类分析中应首先通过比较分析确定合理的模态截断阶数。

3 随机不平度下冲击系数统计分析 3.1 冲击系数统计分析中的不平度样本数量取值

桥面不平度是影响桥梁车载冲击系数的重要因素，具有明显的随机性。由图 5可已看出，相同参数模拟生成的不平度样本间差异显著。为此，本节利用前述经验证的计算程序，进行对多组不平度样本下桥梁结构的动力响应分析，引入统计分析方法，开展不平度下桥梁车载冲击效应的统计分析研究，以期为相关研究和工程应用提供参考和借鉴。

以车速为90 km/h为例，对前述重车在不同桥面不平度样本数量下的跨中最大动力响应的均值及均方差进行分析，结果见图 6和图 7。

由图 6和图 7可知，样本数量在超过60时各桥面状况等级下结构跨中最大动力响应的均方差和均值趋于稳定，样本数量改变量10及以上时，跨中最大动力响应的均方差和均值改变量小于3%，因此统计分析时的样本数量取值不宜小于60。在进行同类分析时可选取桥面不平度等级为D或E级，相对高车速进行不平度多样本下的结构响应计算，进而确定统计分析的最低样本数量。

3.2 计算结果及分析

车辆荷载冲击系数μ定义为：

式中，Y_dmax, Y_smax分别为车辆通过桥梁结构响应时程上的最大动力效应和最大静力效应。参考已有研究结果^[3]，中承式钢管混凝土拱桥各典型断面冲击系数一般以跨中位移最大，分析时可作为控制量。为此，本节选取桥梁跨中竖向位移为对象 (即Y_dmax, Y_smax表示最大动位移、最大静位移响应)，进行车辆对桥梁冲击效应的统计分析。考虑到Y_smax对于特定车辆和结构为常值，则Y_dmax与冲击系数的分布规律相同，故首先以跨中动位移为对象进行分析。

考虑5个桥面不平度等级，30~120 km/h的10个车速级别 (间隔10 km/h)，共50个工况，每个工况进行100组随机不平度样本的车桥动力分析。跨中竖向位移的均值和均方差统计结果如图 8所示，随桥面不平度等级降低，竖向位移统计均值和均方差都呈现增大趋势，其中前3级之间差值较小，一旦不平度等级降为D级和E级，则较前3级急剧增大，这与确定性车桥动力分析的研究结果基本一致。基于实际运营车速水平，考察了车速120 km/h以下时车速对冲击效应的影响，对于竖向位移统计均值 (图 8(a))，当不平度等级为前3级时，车速为50 km/h时达到最大值 (挠度最大)；D级时，最不利车速为80 km/h；E级时，最不利车速为90~110 km/h。对于竖向位移统计均均方差 (图 8(b))，不平度等级为前3级时，最不利车速为90~100 km/h；D级时，最不利车速为120 km/h；E级时，最不利车速为110 km/h。可见对于跨中竖向位移最大值的统计均值和均方差，相同桥面等级条件下，不利车速并不一致，应通过统计方法确定给定不平度等级条件下最不利的过桥车速 (准共振车速)。

通过对给定车速和不平度等级条件的多样本跨中位移 (挠度) 最大值进行参数估计和概率分布优度拟合检验，表明其可用正态分布进行描述。以不平度B级，车速60 km/h为例，多样本下动位移最大值的分布拟合情况如图 9所示。故冲击系数同样服从正态分布。基于95%保证率对冲击系数进行统计分析：

式中, m为最大动力效应均值；σ为最大动力效应均方差。统计分析结果见表 3。

由表可知，A、B级桥面时准共振车速为50 m/h；C级桥面时为80 km/h；D、E级桥面时为110 km/h。各级桥面除A、B级时冲击系数值相差较小，随桥面状况等级降低，冲击系数大致呈单倍幅度增长。同不平度等级下，冲击效应并不随车速增加而单调增长，而仅在准共振车速下达到最大值。

根据桥梁重要性差别，可对冲击系数取用不同的保证率。对90%，95%，99%这3种保证率下的冲击系数值进行了比较 (见图 10)，结果表明，随着桥面状况等级降低，各保证率下冲击系数统计值增幅明显，同级别时，随保证率提高冲击系数值有较大增长。

因此，在进行既有桥梁评定或升级改造设计中，采用车桥耦合动力分析程序，结合现场实测，充分考虑不平度对车载冲击系数的随机影响，应用统计分析方法来确定冲击系数十分必要。

4 结论

本文以一座实际钢管混凝土拱桥为工程背景，通过大桥动力试验数据，验证所编制的车桥动力分析程序，基于该程序开展了随机桥面不平度下的车载冲击系数的统计分析研究，得到如下结论：

(1) 应用模态综合分析方法进行车桥耦合动力分析时，模态截断阶数对结构响应分析结果影响显著，应通过计算进行合理确定，本桥合理模态截断阶数不小于70阶为宜。

(2) 基于不平度的车辆冲击效应统计分析表明，桥面不平度等级对结构跨中最大动力效应均值和均方差影响明显，其中D级和E级时影响幅度最大；车速的影响对于均值和方差存在不一致性。

(3) 统计分析表明不同保证率下冲击系数差异较大，应用中应根据工程实际情况合理确定保证率后选取合适冲击系数值。

(4) 考虑不平度的冲击系数统计分析为基于试验与数值模拟相结合的车桥振动研究提供了新的思路，有效地提高了对车辆动力冲击效应不确定性的把握能力，所提方法可供同类工程和研究参考借鉴。