0 引言

有限填土挡土墙广泛存在于公路、铁路、房建、市政等工程中，传统的朗肯和库仑土压力理论不再适用^[1]。为此，谢小荣^[2]、高印立^[3]基于土的塑性上限理论，研究了该类挡墙主动与被动土压力计算方法。马平^[4]根据极限平衡理论及平面滑裂面假定，推导得到有限土体滑裂面剪切破坏角的数学表达式。但上述计算均假定墙土界面光滑，这与实际情况不符。为此，王洪亮^[5]、李峰^[6]考虑墙土界面摩擦影响，研究了紧邻既有建筑基础挡墙的土压力，但其假设墙背直立、墙后填土面水平。

上述研究成果^[2-7]均假定填土为单滑块破坏模式。然而，应宏伟^[8-9]通过有限元数值分析发现，随着墙后填土宽度的逐渐减小，土体将进一步形成双滑块甚至多滑块破坏模式。GRECO^[10-11]也认为有限填土土体破坏为双滑块或多滑块破坏模式，并采用极限平衡法，分别研究了有无地震力作用下主动土压力的计算方法，但未考虑超载影响。

众所周知，除填土性质外，超载和地震作用对土压力的分布影响很大，因此，本文在前人^[8-11]研究的基础上，按照有限土体滑裂面的发展形式，假定其破坏模式为单滑块和双滑块两种模式，基于Mononobe-Okabe拟静力法和塑性理论上限法，考虑墙背倾斜粗糙、墙后填土面和填土后岩层面倾斜，推导得到了在地震和超载共同作用下有限填土主动土压力上限解，最后与已有试验结果及现有计算方法进行对比分析，验证了本文方法合理、可行。

1 有限填土破坏模型及假定

有限填土破坏模型如图 1所示，本文假定：(1) 墙后填土为无黏性土，满足摩尔-库仑破坏准则；(2) 按平面应变问题分析，墙体在土压力作用下产生平动；(3) 视有限填土宽度不同，墙后土体达到主动极限状态时形成一个或两个刚性滑动楔体，分别如图 1(a)与图 1(b)所示；(4) 作用在楔体上的地震力采用拟静力法计算，只考虑水平地震力作用，且水平地震系数为k。

设挡墙高h；墙后填土面坡角ε；填土内摩擦角和重度分别为φ′和γ；墙背水平倾角为β；墙背与墙土间摩擦角为δ；岩层面水平倾角为η；墙底填土宽度为b。

由图 1可知，当墙底填土宽度b较大时，与水平面夹角为α的滑裂面CA逸出填土表面 (A点位于BT之间)，此为单滑块破坏模式，称为模式1。

当墙底填土宽度b较小时，与水平面夹角为α的第一滑裂面CD与岩面相交于D点，同时与水平面夹角为ρ的第二滑裂面DE与填土表面相交于E点，此为双滑块破坏模式，称为模式2。

显然，墙底填土宽度b的大小决定有限填土的破坏模式，因此，我们把由模式1转换到模式2的临界墙底填土宽度b_c称为界限宽度。

2 粗糙墙主动土压力计算 2.1 模式1主动土压力S₁计算分析

对于δ=φ′的粗糙墙^[12]情况。依相关联流动法则，土楔ABC下滑速度V₁与滑动面AC成φ′角，相对于墙体平移速度V₀的相对速度V₀₁与滑动面BC成φ′角，其速度场见图 2(a)。根据速度相容原理，有：

(1)

如图 2(b)所示，土楔体ABC上的作用力有：楔体重力W₁；水平地震力H₁=kW₁；主动土压力S₁；填土表面超载Q。由于填土为无黏性土，滑面AC上不会因黏聚力而产生内能耗散。根据外功率与塑性变形区内部能量损耗率相等原理，有：

(2)

解得：

(3)

式中参数为：

(4)

由式 (3)、式 (4) 可见，主动土压力S₁取决于角α。对角α求导得S₁的极值点α=α_1c，将α_1c代回式 (3) 可得S₁的极大值，即粗糙墙模式1最大主动土压力。具体过程如下：

(5)

解得：

(6)

式中参数为，

(7)

设TC面与水平面夹角为α_min，由几何关系得：

(8)

显然，若

(9)

则滑面逸出点A位于BT之间，模式1成立；否则，进入模式2。界限宽度b_c可由式 (8)、式 (9) 解得：

(10)

2.2 模式2主动土压力S₂计算分析

模式2中，有限填土形成过墙踵C点的双折线破坏面CDE，楔体EDT沿TD面滑动，速度为V₂；楔体BCDE沿CD面滑动，速度为V₁。二者相对速度为V₁₂。挡土墙水平移动速度为V₀，楔体BCDE与挡土墙的相对速度为V₀₁。其速度场见图 3(a)。依据速度相容原理，V₂, V₁₂可用V₀表示如下：

(11)

图 3中y_max为T点到墙底平面的竖直距离，y为第一道破裂面与岩层交点D到墙底平面的竖直距离。y_max可表示为：

(12)

楔体BCDE的作用外力有楔体重力W₁，水平地震力H₁=kW₁，主动土压力S₂，BE段填土表面超载Q₁；而楔体EDT的作用外力有楔体重力W₂，水平地震力H₂=kW₂，ET段填土表面超载Q₂。

同样，根据外功率与塑性变形区内部能量损耗率相等，有：

(13)

将式 (11) 代入式 (13) 并简化得：

(14)

式中，

(15)

(16)

(17)

由式 (14)~式 (17) 可见，主动土压力S₂取决于角α和ρ，分别对α，ρ求导，求得S₂极值点的α=α_2c，ρ=ρ_2c，将α_2c，ρ_2c代回式 (14) 可求S₂的极大值即为粗糙墙模式2最大主动土压力，其计算过程如下：

(18)

由式 (18) 中的第一式求得：

(19)

式中参数为：

(20)

(21)

由于α=tan^-1[ysinη/(bsinη+ycosη)]，故式 (18) 第二式等价于：

(22)

求导后化简得到如下三次方程式 (23)，求解得y_2c，代回前式可求得α_2c。

(23)

式中参数为：

(24)

(25)

(26)

(27)

3 光滑墙主动土压力计算

对于δ=0的光滑墙^[12]情况，模式1与模式2中假设速度场如图 4所示，与粗糙墙不同的是，此时挡土墙与楔体相对速度V₀₁沿墙背BC向下，并与墙背平行。除此以外，模型假设与计算原理等均与粗糙墙情况相同，此处仅列出主动土压力计算公式和参数改变部分。

3.1 模式1主动土压力S₁计算公式

(28)

式中参数同粗糙墙式 (4)，仅第二式改为：

(29)

α_1c的计算公式同粗糙墙式 (6)~式 (7)，仅式 (7) 第一式改为：

(30)

3.2 模式2主动土压力S₂计算公式

(31)

式中S′₂同粗糙墙式 (15)。

ρ_2c的计算公式同粗糙墙式 (19)~式 (21)。

α_2c的计算公式同粗糙墙式 (22)~式 (27)，但是需将式 (26) 第三式和第四式分别改为：

(32)

另将式 (27) 最后两式分别改为：

(33)

4 算例验证与参数分析 4.1 试验对照

文献[13]针对墙后有限宽度无黏性土，开展了3种墙体变位模式下的主动土压力室内模型试验，通过观测墙后不同宽度土体的破坏过程和土压力大小，对有限填土的破坏模式及主动土压力分布规律进行了探讨。本文参照其刚性挡墙平动模式的试验数据，并与库仑法及Jassen法^[14]、Frydman法^[1]、Greco法^[10]对比分析，以验证本文方法的合理性。文献[13]参数如下：ε=0°，γ=14.6 kN/m³，q=0，h=1.3 m，k=0，φ′=32.75°，b=0.16，0.36，0.56，0.76 m。考虑试验中装土箱侧壁涂抹了润滑油，取δ=0光滑墙情况分析。

本文方法中主动土压力不再随深度线性分布，难以直接对深度求导得到土压力强度的解析式。这里基于差分法表示主动土压力强度：

(34)

本文方法和库仑法等得到的主动土压力计算结果以及文献[13]试验数据见图 5，由图 5可知：(1) 有限填土范围内，本文方法主动土压力值小于库仑法，呈非线性分布，σ_z随深度增加而增大，增大速率先快后慢。本文结果与Jassen法、Frydman法和Greco法趋势相似，且同试验数据最为吻合。(2) 随着b/h的增大，本文解逐渐增大向库仑解靠近，最终趋于一致，与主动土压力从有限填土模式过渡至半无限空间模式的过程相符。

图 6为有限填土范围内库仑法与本文方法及实测滑裂面的对比。显然，库仑法破坏面与水平面的夹角始终为45°+φ′/2，与实测相差较大；而本文方法中滑裂面倾角α随b的增大而减小，当b增至界限宽度b_c后保持恒定，与库仑滑裂面倾角重合，同实测破坏面吻合度较高。

进一步分析表明：模式2较好地模拟了有限填土主动破坏形态，得到更加精确的主动土压力值；模式1则对应半无限空间体情况，是模式2的极限形式，从能量角度验证了库仑法。模式1和模式2的过渡点b_c，是判断有限填土的界限宽度。

4.2 参数分析

为探究有限填土各因素对挡墙主动土压力和填土破坏形态的影响，分别取墙背水平倾角β、填土面坡角ε、内摩擦角φ′、水平地震系数k、填土表面超载q、岩层面倾角η进行分析。设某挡墙h=10 m，η=β=90°，ε=0°，γ=18 kN/m³，q=0，k=0.2，δ=φ′=30°。各参数在此基础上分别变化，其对主动土压力和界限宽度的影响如图 7所示。由图 7可知：(1) 有限填土主动土压力随β，ε，k和q的增大而增大，随φ和η的增大而减小。其中，β和φ与半无限空间内影响相似，而ε，k，q的变化引起的差值小于半无限空间，η仅影响有限填土^[15]；(2) 界限宽度b_c不恒定，β，φ增大b_c变小，ε，k，η增大b_c变大，而q对b_c无影响。

本文方法中β，ε，φ，δ对滑裂面倾角的影响与库仑法相似，而k，q对滑裂面倾角的影响如表 1所示。由表 1可知有限填土滑裂面倾角非定值，而是随b的增加逐渐变小，最终等于库仑破坏角，且随q的增加小幅增大，随k的增加明显减小。

5 结论

本文通过建立有限填土单、双滑块破坏模型，基于Mononobe-Okabe法和极限分析上限定理，考虑填土表面超载及水平地震效应共同作用，推导了主动极限状态下滑裂面倾角和主动土压力的上限解，并得到如下结论：

(1) 有限填土主动土压力，当墙底填土宽度b小于界限宽度b_c时，小于传统库仑主动土压力解；当b≥b_c时，则近似等于库仑解。

(2) 有限填土主动土压力强度呈现上部为直线、下部为曲线的非线性分布，且有限填土越狭窄，上部直线段越短。

(3) 填土表面超载q越大，则有限填土主动土压力和滑裂面倾角越大；而水平地震系数k越大，有限填土主动土压力越大，滑裂面倾角越小。

(4) 库仑土压力理论用于有限填土情况时偏保守，而采用本文方法更符合实际，且适用于受地震、超载作用，墙体倾斜粗糙、墙后填土面倾斜、有限填土后岩面倾斜的情况。