0 引言

加速车道是城市快速路或高速公路的重要组成部分，合流车辆在加速车道上完成加速和汇入过程，实现与主线的合流。如果加速车道过短，则合流车辆无法达到最佳汇入条件，合流车辆不得不强行汇入，干扰主线交通，甚至引起交通事故，或者合流车辆不得不在加速车道上等待汇入；如果加速车道过长，则造成资源浪费和建设成本增加。

我国现行规范^[1-2]主要借鉴国外规范加速车道长度并结合实际经验给出推荐值，主要考虑主线速度和合流车辆的初始速度，未考虑合流车辆加速完成后的汇入过程。李铁柱^[3]、李文权^[4-5]等介绍了合流区的交通特性。邵长桥^[6]、徐秋实^[7]、慈玉生^[8]、王春娥^[9]等考虑了汇入过程，将平均等待时间期望内合流车辆行驶的距离作为汇入段长度。石小法^[10]、邢小亮^[11]、谭云龙^[12]、苑中丹^[13]等考虑了汇入过程，将累计汇入概率达到一定阈值条件的长度确定为汇入段长度。刘兆斌^[14]、罗京等^[15]则通过仿真软件直接获取加速车道长度。

上述文献计算加速车道长度虽然较多涉及了汇入过程，但在建模时多从静态角度出发，没有考虑加速过程结束后汇入过程仍是一个小范围的可变动态过程，如：如果汇入间隙在合流车辆前方，那么车辆可能会再次加速至最大合流速度以尽快完成合流；如果汇入间隙在合流车辆后方，那么车辆可能会选择减速至最小合流速度以尽快完成合流。同时，上述文献还忽略了汇入过程中的一些随机特性。本文在考虑道路运行和设计属性、驾驶员属性、车辆属性及汇入过程随机属性的基础上，提出一种基于动态汇入过程的加速车道长度计算模型，借助MATLAB软件，通过蒙特卡罗模拟实现模型的求解。

1 合流车辆合流过程分析

合流车辆汇入主线可以分为加速过程和汇入过程，如图 1所示。合流车辆在加速过程中，速度由初始速度V_r加速到可以汇入主线的合流速度V_c，该过程车辆经过的长度称为加速车道的加速段长度L_a；合流车辆完成加速过程后，会寻找主线的可汇入间隙，当主线出现可汇入间隙时，车辆则会汇入主线，该过程车辆经过的长度称为加速车道的汇入段长度L_m。所以加速车道长度L的计算公式为：

(1)

式中，L为加速车道长度；L_a为加速车道加速段长度；L_m为加速车道汇入段长度。

2 加速车道长度模型 2.1 基本假设

为简化分析难度，将合流区复杂的交通状态假设成一种较为理想的状态，有3点重要的理想化假设：

(1) 如果主线车辆车头时距大于临界间隙t_c，那么合流车辆就一定在该间隙内完成汇入。临界间隙t_c为：

(2)

式中，t_c为临界车头间隙时距；L_b为合流车辆汇入时与后车的临界间距；l_c为合流车辆长度；L_f为合流车辆汇入时与前车的临界间距；l_fc为汇入主线间隙的前车车辆长度；V_ma为主线车流速度。

(2) 合流车辆在汇入过程中，如果需要进行加速，那么合流车辆先匀加速至最大合流速度。当加速结束时，如果合流车辆仍未达到汇入条件，那么合流车辆按最大合流速度继续行驶。

(3) 合流车辆在汇入过程中，如果需要进行减速，那么合流车辆先匀减速至最小合流速度。当减速结束时，如果合流车辆仍未达到汇入条件，那么合流车辆按最小合流速度继续行驶。

本文假设车辆合流速度取值是一个区间，即认为合流车辆完成加速过程后达到的合流速度V_c具有一定随机性：

(3)

(4)

式中，V_c为可汇入主线的合流速度；V_{c, min}为合流车辆最小合流速度；V_{c, max}为合流车辆最大合流速度。

2.2 加速段长度计算模型

加速段长度L_a可以根据下式计算得出：

(5)

式中，V_r为初始速度; a_a为车辆加速度。

2.3 汇入段长度计算模型

合流车辆完成加速过程后，可能出现两种情况:一是相邻主线车头时距h_d不小于临界间隙t_c，根据假设，车辆一定会在该间隙完成汇入；二是相邻主线车头时距h_d小于临界间隙t_c，此时合流车辆无法在相邻间隙完成汇入，驾驶员会在相邻间隙前方和后方寻找可汇入间隙，本文认为驾驶员将向耗时少的方向汇入。

2.3.1 合流车辆在相邻间隙完成汇入

合流车辆是否需要调整相对位置完成汇入，可以分成3种情况(图 2)：

(1) 合流车辆可以直接完成汇入

此时，合流车辆和后车距离l大于临界后车间距L_b，合流车辆和前车距离l′大于临界前车间距L_f，所以

(6)

(2) 合流车辆相对向后移动完成汇入

此时，合流车辆和后车距离l大于临界后车间距L_b，而合流车辆和前车距离l′小于临界前车间距L_f，合流车辆与前车距离过近，合流车辆至少需要相对向后移动距离ΔS₁：

(7)

式中，ΔS₁为合流车相对于前车的后退距离; l′为合流车辆完成加速时与前车的距离。

为了尽快完成汇入，假设合流车辆会从合流速度V_c减速到最小合流速度V_{c, min}，则当整个减速过程结束时，合流车辆与主线前车的相对移动距离可通过式(8)~(11)计算：

(8)

(9)

(10)

(11)

式中，t_d为减速过程时间；a_d为车辆减速加速度；S_ma为t_d时间内前车前进距离；S_m为t_d时间内合流车辆前进距离；ΔS′₁为t_d时间内前车相对合流车辆的前进距离。

根据是否在减速过程中完成汇入，可能会出现两种情况：

①合流车辆在减速过程中完成汇入

此时，ΔS₁≤ΔS′₁，汇入段长度L_m可按式(11)~(12)计算：

(12)

(13)

式中t为达到汇入条件经过的时间。

②合流车辆在减速过程后完成汇入

此时，ΔS₁>ΔS′₁，合流车辆减速到V_{c, min}后，仍需在加速车道上行驶一段时间，然后才可汇入，汇入段长度L_m可按下式计算：

(14)

(15)

式中t为减速过程完成后达到汇入条件还需要的时间。

(3) 合流车辆相对向前移动完成汇入

此时，合流车辆和后车距离l小于临界后车间距L_b，而合流车辆和前车距离l′大于临界前车间距L_f，合流车辆与后车距离过近，合流车辆至少相对向前移动距离ΔS₂：

(16)

式中，ΔS₂为合流车相对于后车的前进距离；l为合流车辆完成加速时与后车的距离。

为了尽快完成汇入，假设合流车辆会从合流速度V_c加速到最大合流速度V_{c, max}，则当整个加速过程结束时，合流车辆与主线后车的相对移动距离可通过式(17)~(20)计算：

(17)

(18)

(19)

(20)

式中，t_a为加速过程时间；S_ma为t_a时间内前车前进距离；S_m为t_a时间内合流车辆前进距离；ΔS′₂为t_a时间内前车相对合流车辆的前进距离。

根据是否在加速过程中完成汇入，可能会出现两种情况：

①合流车辆在加速过程中完成汇入

此时，ΔS₂≤ΔS′₂，汇入段长度L_m可按式(21)~(22)计算：

(21)

(22)

式中t为达到汇入条件经过的时间。

②合流车辆在加速过程后完成汇入

此时，ΔS₂>ΔS′₂，合流车辆加速到V_{c, max}后，仍需在加速车道上行驶一段时间，然后才可汇入，汇入段长度L_m可按式(23)~(24)计算：

(23)

(24)

式中t为加速过程完成后达到汇入条件还需的时间。

2.3.2 合流车辆不在相邻间隙完成汇入

合流车辆会选择耗时少的前方或后方可汇入间隙选择汇入。

(1) 合流车辆在后方间隙汇入

合流车辆将相对向后行驶，假设后方第j间隙为可汇入间隙，于是合流车相对移动距离ΔS₁为：

(25)

(26)

(27)

式中，l_{bc (j-1)}为后方可汇入间隙前车车辆长度；H₁为累计车头时距；h_bn(n=1, 2, 3，…, j)为车头时距。

为了尽快完成汇入，假设合流车辆会从合流速度V_c减速到最小合流速度V_{c, min}。于是，该过程转变为2.3.1节(2)类情况，按照式(8)~(11)计算出t_d，S_m，S_ma，ΔS′₁。根据是否在减速过程中完成汇入，可能会出现两种情况：

①合流车辆在减速过程中完成汇入

汇入段长度L_m可按式(28)~(30)计算：

(28)

(29)

(30)

式中，t为达到汇入条件经过的时间；t₁为汇入过程所需的时间。

②合流车辆在减速过程后完成汇入

汇入段长度L_m可按式(31)~(33)计算：

(31)

(32)

(33)

式中，t为减速过程完成后达到汇入条件还需要的时间；t₁为汇入过程所需时间。

(2) 合流车辆在前方间隙汇入

合流车辆将相对向前行驶，假设前方第i间隙为可汇入间隙，于是合流车相对移动距离ΔS₂为：

(34)

(35)

(36)

式中，H₂为累计车头时距；h_d为相邻主线车头时距；h_fn(n=1, 2, 3, …, i)为车头时距。

为了尽快完成汇入，假设车辆会从合流速度V_c加速到最大合流速度V_{c, max}，则该过程转变为2.3.1节(3)类情况，按照式(17)~(20)计算出t_a，S_m，S_ma，ΔS′₂。根据是否在加速过程中完成汇入，可能会出现两种情况：

①合流车辆在加速过程中完成汇入

汇入段长度L_m可按式(37)~(39)计算：

(37)

(38)

(39)

式中，t为达到汇入条件经过的时间；t₂为汇入过程所需的时间。

②合流车辆在加速过程后完成汇入

汇入段长度L_m可按式(40)~(42)计算：

(40)

(41)

(42)

式中，t为加速过程完成后达到汇入条件还需要的时间；t₂为汇入过程所需时间。

(3) 合流车辆最终汇入方向确定

合流车辆最终向耗时少的方向汇入，于是有：

如果t₂>t₁，那么合流车辆向后方汇入；如果t₂ < t₁，那么合流车辆向前方汇入；如果t₂=t₁，那么合流车辆向任意方向汇入。

3 模型分析与算法实现 3.1 模型分析

本文提出的加速车道长度模型是在考虑了道路运行和设计属性、驾驶员属性、车辆属性及汇入过程随机属性的基础上，根据合流车辆动态汇入过程分析建立的。

假设主线车头时距分布为F(h)，则h≥t_c的概率为p=P(h≥t_c)。所以，h_d≥t_c的概率为p，h_d≤t_c的概率为1-p；前方第i间隙可以汇入的概率和后方第j间隙可以汇入的概率为：

(43)

(44)

合流车辆汇入时到后车的距离l与h_d和V_ma相关，l在(0, V_mah_d]上服从均布分布，即随机变量l的密度函数为：

(45)

汇入时合流速度V_c跟V_ma，V_{c, min}，V_{c, max}相关，V_c-V_ma可以认为服从某一分布，如果没有特别说明，可以假设服从正态分布，于是有：

(46)

式中，μ为正态分布均值；σ²为正态分布方差。

(47)

对不同地区、不同环境或不同时间点，道路运行和设计属性、驾驶员属性、车辆属性和汇入过程随机属性都不尽相同。

上述建立的模型是一个概率模型，用传统的数学方法无法轻易得到模型解，蒙特卡罗模拟方法是处理概率模型的经典方法，通过生成用以表征概率模型中概率事件的随机数，进行大量的模拟试验，采用统计抽样的思想得到模型的近似解。

对建立的模型进行多次蒙特卡罗模拟，将合适百分位数的长度确定为加速车道长度。该模型假设合流车辆先加速，当速度达到要求后再寻找满足要求的间隙汇入，并假设临界汇入间隙为一固定值，不会发生变化。这两项假设都是保守型假设，可能导致最终的模型过于保守，所以合适百分位数的选取至关重要，可能低于最常用的85百分位，用以缓和过于保守模型带来的影响。

3.2 模型算法实现

通过蒙特卡罗仿真模拟获取加速车道长度的主要步骤为：

步骤1：标定模型涉及到的道路运行和设计属性、驾驶员属性和车辆属性参数；

步骤2：借助MATLAB确定能够表征汇入过程随机属性的随机数形式；

步骤3：确定蒙特卡罗模拟次数M，进行模拟，获取M个加速车道的长度L；

步骤4：根据实际情况，将第α分位的长度L_α确定为加速车道长度；

步骤5：对L_α进行修正。

4 案例分析

某地区需要新建一条设计时速为100 km/h的快速路，匝道设计时速为30 km/h。经过分析，该快速路合流区的车辆车头时距可能服从二阶爱尔朗分布；L_b=9 m，L_f=9 m，V_{c, min}=V_ma-3，V_{c, max}=V_ma+2，V_c-V_ma~N(-0.1, 2)；a_a=1 m/s²，a_d=1 m/s²，车辆长度为6 m，试计算合流区加速车道长度。

根据《城市快速路设计规程》，快速路按三级服务水平设计，设计时速为100 km/h的快速路三级服务水平上限速度为76 km/h，对应的交通量为1 500 pcu/h，三级服务水平下限速度为62 km/h，对应的交通量为2 000 pcu/h。所以分V_ma=76 km/h和V_ma=62 km/h进行计算。在进行蒙特卡罗模拟时，仿真次数M=5 000，并进行5组仿真。

根据仿真结果，规范推荐值远小于仿真值。若设计人员将80百分位长度值作为加速度长度设计值，则加速车道设计长度为340~375 m。

5 结论

本文以合流车辆汇入过程的随机属性为突破口，考虑道路运行和设计属性、驾驶员属性及车辆属性，建立了加速车道长度模型，借助MATLAB软件，通过蒙特卡罗模拟方法给出了模型的求解方式。

通过案例分析，发现规范所规定的加速车道长度值偏短，可以根据本文建立的模型进行不同属性组合搭配，仿真模拟不同条件下的加速车道长度。

本文的模型是在较为理想状态下建立的，模型可能过于保守，所以相适宜的百分位数选取至关重要。另外，在实际运行中，汇入临界间隙的变化、匝道车流量、主线车道数等都会对模型产生影响，所以这些方面值得进一步研究。