0 引言

随着地下工程向深部发展，地下围岩在复杂地应力作用下表现出的随时间大变形、难支护以及失稳破坏等工程问题日益增多，因此在岩基、边坡、水利工程以及隧道等地下工程领域进行岩石工程流变学的研究具有重要的价值^[1-6]。

为了掌握岩石的流变特性，特别是研究围岩变形失稳的破坏机理，广大岩土科技人员从试验与理论出发，做了大量的研究工作：徐卫亚^[7]等基于绿片岩三轴蠕变试验，将非线性黏塑性体与五元件线性黏塑性模型串联，建立了河海模型，并对岩石非线性蠕变与松弛特性进行了研究；王来贵^[8]等以改进的西原正夫模型为基础，建立了参数非线性蠕变模型，并通过局部线性化，得出了改进西原正夫模型的稳定条件；崔希海^[9]等通过对红砂岩的单轴蠕变试验，研究轴向与横向蠕变规律的差异，提出岩石的长期强度应根据横向稳定蠕变的阀值应力来确定；薛凯喜、沈明荣^[10]等对红砂岩进行单轴压缩蠕变试验，提出了确定岩石长期强度的新方法，预测了岩石在荷载作用下可能破坏的时间。李亚丽^[11]等基于粉砂质泥岩三轴压缩蠕变试验，分析了蠕变特性，并引入非线性黏塑性元件建立非线性Burgers模型，对试验曲线进行了辨识。

目前关于岩石流变问题的研究大多将流变参数视为常数，而在实际的复杂三维地质条件下，这些力学参数往往随应力和时间而发生变化^[12-14]。因此，孙钧院士^[15]提出由试验结果来确定非定常的蠕变参数，再进行非线性流变本构关系的分析计算。本文拟通过砂岩三轴蠕变试验，基于改进的西原模型建立变参数蠕变方程，分析蠕变参数随应力状态与时间的变化规律。

1 三轴蠕变试验

试验试样采自阜盘高速公路海棠山特长隧道的砂岩地层，试样质地均匀、无明显层理，完整性与均匀性较好。将试样加工制作成直径50 mm，高100 mm的圆柱体共20块。试样的加工精度严格按照《岩石试验方法标准》(GB50218—94)进行。在试样的轴向长度方向上，直径误差不超出0.3 mm，两端面的不平行度最大不超过0.05 mm且垂直于试样轴线，最大偏差不超过0.25°。试件制备完成后，对外观上有缺陷、差别明显的试件进行剔除并按照上述精度要求筛选，最后选择8个波速相近的岩样作为三轴蠕变用试件。对其中6个试件进行常规三轴试验，测得该种砂岩平均密度为2.35 g/cm³，围压10 MPa情况下平均抗压强度为89 MPa，平均极限应变为0.348%。围压15 MPa情况下平均抗压强度为114 MPa，平均极限应变量为0.355%。

本次蠕变试验利用TAW-2000电液伺服岩石三轴试验仪，如图 1所示，采用分级加载方式，分级荷载依次均增加10 MPa，加载速率设定为0.5 MPa/s，数据采样间隔为1 min。

在围压为10 MPa情况下，各级荷载作用下的蠕变均在瞬时变形之后出现，在70 MPa应力作用下出现了衰减蠕变、稳定蠕变与加速蠕变阶段，持续时间为3.38 h，远远小于前3级荷载作用时间，最终的应变量为0.283%，小于常规三轴作用下的极限变形量，在实际工程中应该得以重视。通过计算蠕变曲线前3级荷载作用下的蠕变速率可以发现，第1级荷载(40 MPa)作用下试样出现了瞬时变形与衰减蠕变阶段，最终蠕变速率为0.002%；第2级荷载(50 MPa)与第3级荷载(60 MPa)作用下出现了瞬时变形、衰减蠕变与稳定蠕变阶段，最终蠕变速率分别为0.017%和0.02%，试验曲线如图 2(a)所示。

围压为15 MPa情况下，在90 MPa应力作用下出现了衰减蠕变、稳定蠕变与加速蠕变阶段，持续时间为17.28 h，最终的应变量为0.299%，同样小于常规三轴作用下的极限变形量。第1级荷载(50 MPa)与第2级荷载(60 MPa)作用下试样出现了瞬时变形与衰减蠕变阶段，最终蠕变速率均小于0.001%；第3级荷载(70 MPa)与第4级荷载(80 MPa)作用下出现了瞬时变形、衰减蠕变与稳定蠕变阶段，最终蠕变速率分别为0.012%和0.018%，试验曲线如图 2(b)所示。

2 变参数蠕变方程

为了更好地描述加速蠕变阶段，引入文献[16]提出的变截面阻尼器组成的非线性黏壶元件，得到改进的西原体模型(图 3)。

改进后的西原体模型由虎克体、开尔文体与一个非线性黏塑性体串联而成。E₁控制瞬时变形的大小；E₂控制黏弹性变形的极限值；η₁控制由衰减蠕变过渡到稳定蠕变的快慢程度；η₂控制稳定蠕变阶段的变形速率，只有当外荷载超过长期强度σ_s时才起作用。非线性塑性流动部分的本构模型^[16]：

(1)

式中，为应变速率；K为加速时机参数；η₂为黏性系数；t为加载时间；n为破坏特征参数，n取值越大，蠕变加速度越大。

假定加速蠕变起始时间为t_c，对式(1)分别在[0, t_c]和[t_c, ∞]积分得：

(2)

结合开尔文体的蠕变方程，依据串联法则得出改进西原体模型的一维蠕变方程如下：

当σ < σ_s时：

(3)

式中，E₁为虎克体的弹性模量；E₂为开尔文体的弹性模量。

当σ≥σ_s时：

(4)

在三维应力状态下，考虑到球应力仅引起体积应变不引起形状畸变，偏应力引起形状畸变而不引起体积应变，且忽略岩石的体积变化，因此令偏应力S=σ₁-σ₃^[16]，并带入上述蠕变方程，得到轴向蠕变方程为：

当σ_s时：

(5)

当σ≥σ_s时：

(6)

在实际工程中，岩石在复杂地质条件作用下，其物理力学参数明显随应力以及时间发展而变化，试验已证实，弹性模量、强度和黏性等参数通常都会随时间的增长而降低^[15]，因此将蠕变参数表示为应力与时间的函数表达式更为符合岩石材料本质属性，进而可得到变参数蠕变方程：

当σ < σ_s时：

(7)

当σ≥σ_s时：

(8)

3 蠕变参数 3.1 蠕变参数确定

当t→0时，瞬时弹性应变为ε₀=S/E₁，通过试验曲线的起始弹性应变值确定各级应力状态下的E₁。在恒定的应力作用下，蠕变参数只与时间t有关系。

针对围压为10 MPa情况下的试验曲线，在前3级荷载作用下取t=0, 2, 5, 10, 15, 20, 25 h，在第4级荷载作用下取t=0, 1, 2, 3 h，认为在各时刻附近的30 min区间内蠕变参数没有变化。针对此区间内试验数据，运用origin软件基于最小二乘法原理，根据各应力水平，分别利用式(5)或式(6)求出各个蠕变参数的数值，围压为10 MPa时不同轴向应力状态下的蠕变参数计算结果见表 1~表 4。

限于篇幅围压为15 MPa时蠕变参数的计算值不再一一列出。围压为10 MPa和15 MPa时模型的计算结果与试验结果对比分别见图 4，二者均具有良好的吻合性。

在围压为10 MPa情况下，前3级荷载作用下E₂值随时间增长逐渐降低，说明试件内部损伤逐渐加剧，但在相同时刻的E₂值随应力水平增加而增加，在相同荷载作用下η₁随时间逐渐增加，这表明蠕变速率随时间逐渐减小，在相同时刻η₁值随应力水平增加而增加。在相同荷载作用下η₂值随时间逐渐减小，且相邻时刻之间的差值也越来越小表明稳定蠕变阶段的蠕变速率越来越稳定，趋近于一个稳定值，在相同时刻，η₂随应力水平变化不大。在第4级荷载作用下，E₂，η₁，η₂均远远小于前3级荷载作用下的数值，这是由于出现加速蠕变阶段，且形变对于时间与应力因素比较敏感引起的，E₂随时间逐渐减小且变化不大，η₁，η₂随时间逐渐增加。

在围压为15 MPa情况下，砂岩试样的蠕变参数随围压增大均有不同程度的增大，各参数随应力水平及时间的变化趋势与10 MPa情况下相一致。

3.2 蠕变参数变化规律

根据上面求得的蠕变参数，E₂/(σ₁-σ₃)、η₁/(σ₁-σ₃)与η₂/(σ₁-σ₃)随时间的变化特点，针对围压为10 MPa、应力水平为40 MPa和60 MPa，以及围压为15 MPa、应力水平为60 MPa和80 MPa两种情况，采用origin软件对蠕变参数的变化两种情况进行拟合，计算结果分别见图 5和图 6。

由图 4和图 5得到蠕变参数E₂、η₁以及η₂与应力及时间的关系表达式为：

(9)

(10)

(11)

式中，a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃，c₁，c₂，c₃均为试验数据拟合参数，依据本文试验得到的参数拟合结果见表 5。将E₂(S, t)、η₁(S, t)以及η₂(S, t)代入蠕变方程式(7)与式(8)就可得到砂岩的变参数蠕变方程。

4 结论

本文通过逐级加载砂岩三轴蠕变试验，描述了砂岩蠕变变形的特性，建立了改进的西原体模型，并在此基础上探讨了考虑应力与时间因素的蠕变参数非线性特性，得到了以下结论：

(1) 砂岩试样低应力水平下的蠕变有衰减蠕变与稳定蠕变阶段，而高应力水平作用下出现加速蠕变阶段且蠕变速率较快，蠕变破坏时的变形量小于常规作用下的极限变形量，在实际工程中应该得到重视。

(2) 基于改进的西原模型建立了砂岩试样的变参数砂岩蠕变方程，描述衰减蠕变与稳定蠕变阶段是可行的，经非线性拟合得到了蠕变参数随应力和时间变化的关系式。

(3) 控制瞬时变形的E₁随应力水平的增加而减小，体现了逐级加载对岩石造成的损伤；控制黏弹性变形极限值的E₂随时间逐渐降低，随应力水平的增长而增加。

(4) 控制由衰减蠕变过渡到稳定蠕变的快慢程度的η₁随时间和应力水平增加而变大；在低应力水平下控制稳定蠕变阶段的变形速率的η₂随时间逐渐减小，在高应力水平下η₂随时间逐渐增加，但随应力水平的变化不大，蠕变参数的变化在一定程度上反映岩石结构发生劣化。