0 引言

准确掌握斜向交叉预应力混凝土路面温度场、温度应力时空变化规律是展开斜向预应力混凝土路面设计的前提条件。国内外学者主要针对普通混凝土路面层状体系连续型温度场的时空变化规律进行了深入研究^[1-3]，并在此基础上，分析了混凝土路面温度梯度和温度应力的关系^[4-8]、材料热物性和摩擦层对混凝土路面温度场的影响^[9-11]，而对于设置砂砾分离滑动层的预应力混凝土路面阶跃型温度场而导致的温度应力研究较少，在此时机，展开斜向交叉预应力混凝土路面层状体系阶跃型温度场、温度应力，预应力筋对温度应力的抵抗作用的研究，为斜向交叉预应力混凝土路面从理论研究向实际应用提供前提条件。

1 预应力混凝土路面温度场分析 1.1 预应力混凝土路面阶跃型温度场数学模型

按照阻值相等的原则，将分离式预应力混凝土路面层状体系中砂砾分离滑动层的接触热阻，等效成具有相同阻值的混凝土路面热阻，从而将阶跃型分离式混凝土路面温度场转换成连续型温度场进行求解，原理如图 1所示^[12]。

由于在预应力混凝土路面结构中，通常路面板连续长度超过100 m，宽度在10 m以内, 板厚在0.2 m以内，长宽高的比值均大于10，故可假设路面结构温度分布与道路长度、宽度无关，则将三维温度场问题简化为一维问题来研究。取与道路长度方向垂直的一个横断面，设该截面的水平方向为y轴，垂直向下方向为x轴正向，组成右手直角坐标系，如图 1(a)所示。设第i层的导温系数为a_i，导热系数为λ_i，厚度为h_i(h_n=∞)，温度函数为T_i，则满足热传导方程：

(1)

式中t为时间变量。

层间边界上温度函数满足第4类边界条件，砂砾分离滑动层在路面板与基层间产生接触热阻R_e，此时热流依然连续，但温度则因接触热阻存在而有一差值：

(2)

假设路面底面积为A_l，砂砾层与路面板点面接触面积为A_c，砂砾之间的空气与路面板的接触面积为A_v，砂砾间空隙流体导热系数为λ_f，砂砾层与路面板的接触系数为h_c，接触热阻R_e=1/h_cA_l，l_g为砂垫层厚度，R_g为路面与基层间真实热阻，h_eq为等效厚度，由通过砂砾分离滑动层的热量与路面板传递的热量相等可知：

(3)

(4)

(5)

此外，所求解必须满足有界性条件，即

(6)

式中M为有限常数。此外，在x=0处, 温度函数T₁(x, t)应满足如下热平衡方程。

导流、对流、辐射是组成路表热量平衡的3种基本传热方式。设R为路表面各项辐射热量的总和，称之为路表面辐射差额, 设P为空气与路表面之间的对流交换热量, 设Q为路表按热传导方式输送给路面体的热量，规定辐射和对流使路表得到热量为正，导热使路表面以下的路面体得到热量为正，于是，对任一瞬间路表面得到的外界热量为R+P，并同时将这部分能量以导热方式输送给路面体。从而，有下列平衡方程式：

(7)

式中Q，R，P的单位为W/(m²·h)。

按Fourier定律

(8)

R可以表示为

(9)

式中，a_s是路表面对总辐射的吸收率；Q是太阳辐射；F为有效辐射。

按Newton公式

(10)

式中，B为路表放热系数；T_a是空气的温度；T₀为路表温度。综合式(7)~(10)，可得到式(11)：

(11)

根据文献[1]，气温随时间t的变化规律可用式(12)模拟:

(12)

式中，T_aa是日平均气温；T_as是气温振幅。

规定早晨6点为t=0；t₀是最大太阳辐射与最高气温出现时间差值加1，通常情况下t₀=3；ω=2π/24/h为频率。

有效辐射F通过扩大T_as来近似计算, T_as改为

(13)

式中，C_F为有效辐射的影响系数。晴天C_F=5，阴天C_F=2，相应于T_aa改为T_aac，将T_a改为T_ac。

太阳辐射Q=Q(t)可由式(14)模拟

(14)

式中，Q₀=0.131Q_B，Q_B为总辐射的日总量；Q₀称为中午时最大辐射通量；m=12/c，c为实际日照时间。将Q(t)展开为Fourier级数形式：

(15)

将改写后的式(12)和m=1情况下的式(15)代入式(11)可得路表热平衡表达式为：

(16)

综合以上分析，可把确定分离式路面结构的温度场问题归结为求函数T_i(x, t)，并使它满足下列边值问题：

(17)

(18)

1.2 预应力混凝土路面阶跃型温度场理论解

通过式(17)、(18)，按热阻等效原理，将分离式预应力路面温度场从阶跃型(其中面层、砂砾层、基层厚度分别为h₁，l_g，h₂)转化成连续型(其中面层、基层厚度分别为h₁+h_eq，h₂)，并利用分离变量法求出其理论解。本次分析，首先，将路表介质温度按简单正弦Usinωt变化，路面按等效后双层体系求解路面温度场定解问题，然后再代入路表复杂边界，求解使之满足以下方程：

(19)

解之可得到：

(20)

(21)

式中,

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

式中，为上下两层材料蓄热系数比，反映两层材料热性能的差异；为表面温阻。

参照上述解可进一步推出自然气候条件下，第3类边界条件按式(16)给出路面的温度场的解：

(27)

式中，i=1时T_i=T₁, i=2时T_i=T₂。

(28)

(29)

式中，n=1, 2, 2k。

T_1n(x, t-t₀), T_2n(x, t-t₀), T_i2k(x, t+)等, 只需用t-t₀或t+代替上两式中t即可；r_3n, θ_3n, α_n, β_n, ω_n等只需将前述r₃, θ₃, α, β, ω中用nω代替ω即可。

2 预应力混凝土路面温度应力分析

由于砂砾分离滑动层的作用，预应力混凝土路面板可在水平向自由滑动^[13]，可按自由板计算温度应力，然后再通过平衡原理计算斜向交叉缓黏结预应力钢筋网对温度应力的抵抗作用^[14]。

混凝土路面板内的正应力和正应变为σ_y=σ_z=σ，σ_x=0，ε_y=ε_z=ε，根据广义胡克定律，有

(30)

得到自由板的应力应变关系如下：

(31)

根据直法线假定，ε为x的线性函数

(32)

式中A，B为与坐标无关的参数。

把式(32)代入式(31)，有：

(33)

在自由板内，任一时间，任一截面上的轴向力和弯矩都应等于零，即

(34)

按静力矩等效原理计算等效线性温差T_dx/L，见图 2(c)，其静力矩等于实际温度的静力矩，即非线性温差，见图 2(b)，数值为A+Bx-T₁，这是在板内引起应力的温差。按静力矩等效原理计算等效线性温差T_dx/L(图 2c)，其静力矩等于实际温度的静力矩，即:

(35)

等效线性温差在自由板内不引起力，但引起角变形

(36)

平均温度T_m, 见图 2(d)，在自由板内不引起应力，但引起均匀伸长α_cT_m，由式(34)，自由板温度应力可分解为3部分：

(37)

其中：

(38)

式中σ₁为板的自由伸缩所释放的应力；σ₂为板的转动所释放的应力；σ₃为嵌固板的温度应力。斜向交叉预应力筋对路面产生σ_y，σ_z，如图 3所示。

(39)

式(38)确定了自由路面板的温度应力，通过与式(39)叠加后得出预应力路面温度应力。

3 实例分析

运用上述理论编制Maple程序^[15]对辽宁省内某斜向预应力混凝土试验路面进行温度应力分析如下：

C40混凝土路面板厚度为0.2 m，宽度为6 m，长度为150 m，砂砾层厚度为1 cm，导热系数为λ₁=1.28 W/(m·℃)，按式(5)换算后h_eq=0.294 m，导温系数a₁=0.0028 m²/h。预应力筋采用ϕ12.7×1 860 MPa，间距0.25 m，α_p=30°。

砂砾骨架与混凝土路面板接触面积A_c=0.01A_l，砂砾间空隙与混凝土路面板的接触面积A_v=0.99A_l，砂砾间空气导热系数为λ_f=0.031 W/(m·℃)。

半刚性基层厚度h₂=0.2 m，导热系数为λ₂=1.28 W/(m·℃)，导温系数a₁=0.002 6 m²/h。

路面所在地日气温最高温度T_a^max=30℃，最低温度T_a^min=15℃，有效辐射的影响系数C_F=5，路表放热系数B=20 K/(m²·h·℃)，路表面对总辐射的吸收率a_s=0.6，Q₀=280 K/cm²。

将以上参数代入式(27)进行计算，可得预应力混凝土路面板的温度时空变换规律，利用MAPLE程序将其绘成直观的等值线，如图 4所示。其中，图 4(a)为0.01 m厚的砂砾分离滑动层等效成0.294 m厚混凝土路面后，按连续型温度场求解的整个路面温度场的时空变化规律；图 4(b)为0.2 m厚的预应力混凝土路面板温度场的时空变化规律；图 4(c)为全局坐标系下砂砾分离层等效厚度的路面板在0.2~0.494 m深度范围在温度场时空变化规律；图 4(d)为局部坐标系下砂砾分离层等效厚度的路面板在0.2~0.494 m深度范围的温度场时空变化规律。从以上温度场解析图可以看出, 24 h内整个路面的温度变化范围是16~34℃，而砂砾层的温度变化范围是23~27℃，这说明砂砾分离滑动层有效阻止了路面板温度向基层传递。

在路面温度场分析结果的基础上，按式(38)计算预应力路面板的温度应力如图 5所示。板嵌固引起的温度拉应力最大值σ₃=-6.5 MPa，出现在早晨7：00；砂砾分离滑动层释放的温度压应力最大值σ₁=5 MPa，出现在上午9:00。因板翘曲释放的应力很小，本次计算忽略不计，嵌固应力与释放应力的矢量和等于路面的温度应力。

斜向交叉预应力筋对路面产生的温度应力σ_z=5 MPa，σ_y=4.33 MPa，使得整个混凝土路面板在温度应力作用下处于受压状态，如图 5所示。

4 结论

通过对分离式斜向交叉预应力混凝土路面温度场、温度应力、预应力筋对温度应力的抵抗作用的研究，得出了斜向交叉预应力混凝土路面温度场、温度应力的解析解。

(1) 1 cm厚砂砾分离滑动层接触热阻作用，相当于29 cm厚混凝土路面热阻，有效阻止路面温度向基层传递，使预应力混凝土路面温度场变为阶跃型非连续温度场。

(2) 砂砾分离滑动层能够有效释放半刚性基层对预应力混凝土路面板的约束，从而大幅降低预应力混凝土路面板的温度应力。

(3) 斜向交叉预应力筋能够有效抵抗混凝土路面温度应力，保证分离式斜向预应力混凝土路面在温度作用下处于侧向受压状态，从而保证路面连续、提高路面抗疲劳强度。