挡土墙是岩土工程中的一个重要组成部分，具有极其重要的地位，一旦挡土墙失效或者破坏，人民群众的生命财产及国家的基础设施将蒙受巨大的损失。因此，如何对挡土墙进行损伤检测和评估，以确定挡土墙是否存在损伤，进而判别损伤位置和损伤程度以及损伤的变化趋势，是岩土工程健康监测系统研究的最主要问题。

目前，基于振动测试的结构损伤识别方法主要有基于固有频率、基于模态振型和模态曲率等。大量试验表明，模态曲率比固有频率和模态振型对损伤更为敏感，进而得到广泛应用^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13]}。Pandey^[1]于1991年首次提出利用曲率模态识别结构损伤，并成功地运用在梁式结构检测中。刘义伦^[2]利用桥梁结构损伤前、后模态曲率的相对变化量对三跨连续梁桥进行损伤识别；彭华^[3]从理论基础上证明了模态曲率差法对结构损伤识别是可行的，并以标准梁进行了数值损伤识别验证；于菲^[4]结合振型差值曲率和BP神经网络确定结构的损伤位置，对一个四层海洋平台进行数值模拟和试验验证等，文献^{[5, 6, 7, 8]}也均验证了模态曲率对损伤识别的可行性和敏感性。然而，文献^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]}仅针对一维的杆系结构进行损伤检测研究，对于二维的平面结构损伤检测目前依然存在着一些难点，研究的文献较少。李国强^[9]以四边简支的方形弹性薄板为研究对象，采用振型曲率方法对板的损伤检测进行了研究，并验证了振型曲率对板结构损伤的敏感性；游春华^[10]从板的内力和曲率的相互关系出发，提出采用模态曲率差法对弹性薄板进行损伤识别；文献^{[11, 12, 13]}利用模态高斯曲率差来判断四边约束的弹性薄板损伤位置，并对板的损伤程度进行定性分析。然而，文献^{[9, 10, 11, 12, 13]}仅针对简单的板结构进行损伤检测研究，对于复杂的墙土系统的损伤识别方法研究的文献较少，刘礼标^{[14, 15, 16]}等分别基于改进多种群遗传算法和柔度差平均曲率对墙土系统的损伤识别方法进行相关研究。

本文在前人的研究基础上，针对悬臂挡墙的损伤识别问题，提出采用模态平均曲率差法进行挡墙的损伤检测，并通过某悬臂挡墙算例验证了本文所提出的损伤指标的可行性。

本文旨在通过墙土系统的模态参数来识别悬臂挡墙损伤情况，必须将挡墙从墙土系统中分离出来作为一般结构进行模态分析，因此，需要对墙后土体作简化等效处理^{[14, 15]}，由此建立了悬臂挡墙-岩土系统的简化分析模型。对简化分析模型作以下基本假定：(1)悬臂挡墙底板的刚度较大，忽略底板的影响，将立板底部视作固接；(2)悬臂挡墙视为薄板单元，离散后计算挡墙结构的物理参数；(3)将土体简化成附加刚度和附加阻尼来模拟，将和挡墙附着在一起共同运动的墙后土体简化成附加质量集中作用在节点处；(4)挡墙与土体之间完全接触，简化分析模型见图 1。

图 1 悬臂挡墙-岩土系统的简化分析模型 Fig. 1 Simplified analysis model of cantilever retaining wall-soil system

图选项

一般情况下可以忽略阻尼对模态参数的影响，因此，模型中土体附加阻尼系数c_si取为0。

假设土体的水平抗力系数^[17]和单位面积的附加质量随深度成双参数非线性分布，即：

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式中，K₀，t为水平抗力系数待确定参数；M₀，s为单位面积的附加质量待确定参数；z 为计算点深度；H为挡墙高度。

根据杜正国^[17]求解地基刚度矩阵的思想,求解土体附加参数的表达式，即把墙土相互作用所产生的单元反力依据内力平衡条件分配到单元的4个节点上，由图 1分离的单元体，得到单元i的各节点的附加刚度为：

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式中，z₁，z₄分别为单元i节点1和节点4的z方向坐标；a，b为单元长度；其他符号意义同前。

同理，可以得到单元i的各节点的附加质量为：

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式中各符号意义同前。

墙土系统经离散化处理后，根据有限元“单元集总”原则，得到节点i的土体附加刚度和附加质量分别表示为：

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根据文献^[10]的分析，曲率可以综合反映结构刚度和弯矩，若假定内力在损伤前后不变，则结构发生损伤时，在损伤处曲率差将产生突变。但涉及到两个方向的曲率计算，为了便于计算，本文引入微分几何知识中的平均曲率概念来综合考虑两个方向曲率的影响。设悬臂挡墙结构的某阶模态振型 曲面φ=φ(x,z)上任一点的两个主曲率为k₁，k₂，则它们的平均值(k₁+k₂)/2称为振型曲面在该点的模态平均曲率，以MMC表示，即：

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式中

代入式(8)，得到模态平均曲率为：

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式中，φ_x，φ_z和φ_xx，φ_xz，φ_zz分别为振型曲面φ(x,z)的一阶和二阶偏导。

为了求解模态平均曲率，本文采用差分法求解振型曲面φ(x,z)的各阶偏导，考虑到实际检测中测点不可能等间距布置，不等间距时各阶偏导分别表示为:

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式中，l_i,(j,j-1)为测点(i,j)与测点(i,j-1)的间距；l_(i,i-1),j为测点(i,j)与测点(i-1,j)的间距。

将式(10)代入式(9)，可以分别计算得到悬臂挡墙损伤前后的各阶模态振型平均曲率。

如果悬臂挡墙某处发生局部损伤时，在损伤位置附近点的模态平均曲率差的绝对值会产生明显的突变，因此，可以根据模态平均曲率差绝对值的突变点确定悬臂挡墙的损伤位置，损伤识别的基本步骤如下：

(1) 按式(9)求解损伤前、后模态平均曲率MMC^u，MMC^d。

(2) 求模态平均曲率差的绝对值MMCD：

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(3) 根据式(11)计算结果绘制指标MMCD值与节点坐标的三维柱状图，根据突变位置确定悬臂挡墙的损伤位置。

(4) 由步骤(3)确定出挡墙的损伤位置后，建立单元损伤程度DE和指标MMCD的相互关系,代入实际的指标MMCD即可确定单元的损伤程度。

某悬臂挡墙弹性模量E_w=28GPa，泊松比μ_w=0.2，密度ρ_w=2 450 kg/m³，阻尼比ξ_w=0.02；墙后土体的水平抗力系数相关参数K₀=21.721 MN/m³，t=1.875，单位面积的附加质量相关参数M₀=58.623 kg/m²，s=0.625。悬臂挡墙结构见图 2,墙土系统简化分析模型离散化后挡墙有限元网格划分见图 3，图 3中阴影部分为预先设置的损伤单元号及位置。

图 2 悬臂挡墙结构示意图(单位：cm) Fig. 2 Schematic diagram of cantilever retaining wall structure(unit：cm)

图选项

图 3 挡墙有限元网格(单位：cm) Fig. 3 Finite element mesh of retaining wall(unit：cm)

图选项

本文挡墙的损伤程度采用降低单元的弹性模量来模拟，为了研究不同损伤工况下本文方法的有效性，文中模拟的工况见表 1。

图 4~图 8分别为不同损伤工况下第 1阶模态平均曲率差绝对值MMCD的三维柱状图。

图 4 损伤工况1的损伤位置识别结果 Fig. 4 Damage localization result for damage case 1

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图 5 损伤工况2的损伤位置识别结果 Fig. 5 Damage localization result for damage case 2

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图 6 损伤工况3的损伤位置识别结果 Fig. 6 Damage localization result for damage case 3

图选项

图 7 损伤工况4的损伤位置识别结果 Fig. 7 Damage localization result for damage case 4

图选项

图 8 损伤工况5的损伤位置识别结果 Fig. 8 Damage localization result for damage case 5

图选项

由图 4~图 8分析可知：

(1) 在悬臂挡墙损伤位置处，文中提出的指标MMCD均发生明显的突变，因此，根据指标MMCD可以清楚地确定悬臂挡墙的损伤位置；

(2) 对于挡墙单处损伤、多处损伤、同一损伤程度或不同损伤程度均能准确地识别出损伤位置；

(3) 指标MMCD随着损伤程度增加而增加，且每个损伤单元的MMCD受其他损伤单元的影响很小，因此，根据单元损伤程度和指标MMCD的相互关系可以确定每个损伤单元的损伤程度。

对本文提出的新指标和文献^{[11, 12, 13]}提出的基于高斯曲率的薄板损伤指标进行对比分析。图 9为按文献^{[11, 12, 13]}的损伤指标计算的损伤工况5的结果图形，限于篇幅其他工况未贴出相应的计算图形。

图 9 损伤工况5的模态高斯曲率差 Fig. 9 Gauss curvature modal difference in damage case 5

图选项

对比分析图 8和图 9可知：损伤识别指标MMCD在损伤位置处产生明显突变，能准确地识别出单元44和50发生损伤；而模态高斯曲率差虽然在损伤位置处产生突变，但是在损伤位置周边也产生了明显突变，容易存在误判。故本文提出的识别指标MMCD能更好地识别出损伤位置。

由于每个损伤单元的MMCD受其他损伤单元的影响很小，因此，在识别出悬臂挡墙的损伤位置后，可以逐步确定每个损伤单元的损伤程度。本文通过单元损伤程度DE和指标MMCD之间的相互关系来确定单元的损伤程度。图 10和图 11分别为单元44和50损伤程度和指标MMCD的关系，图中MMCD值为损伤单元各节点MMCD值的平均值。

图 10 单元44损伤程度和指标MMCD的关系 Fig. 10 Relationship between damage extent of element 44 and MMCD

图选项

图 11 单元50损伤程度和指标MMCD的关系 Fig. 11 Relationship between damage extent of element 50 and MMCD

图选项

根据图 10和图 11的拟合曲线，将实际损伤单元MMCD值代入拟合曲线公式就可以确定每个损伤单元的损伤程度，并与文献^[16]相比较，各工况的损伤程度识别结果见表 2。

由图 10、图 11和表 2分析可知：单元的损伤程度和指标MMCD成抛物线关系；单处损伤时损伤程度的预测精度高于多处损伤情况，且识别误差基本保持在5%以内，基本能满足工程精度的要求；虽然文献^[16]损伤程度识别精度高于本文识别结果，但文献^[16]仅限于等间距测点布置，在现场健康检测应用中受到很大局限性。

本文中敏感性定义为损失识别指标MMCD值随某一附加参数变化条件下指标MMCD值的相对变化值，文中将指标MMCD值的相对变化值定义为敏感值。敏感值绝对值越大，该附加参数对指标MMCD值计算的敏感性越强，该附加参数对指标MMCD值的影响就越大。

本文附加参数(K₀，t，M₀，s)的初始参数取实例中的值，为了建立在同等程度影响下MMCD值的变化程度，方便敏感性对比分析，分别考虑附加参数(K₀，t，M₀，s)值变化程度为-40%，-20%，20%和40%等工况。经数值计算，各工况下敏感值见表 3。

由表 3可知，土体附加刚度对损失指标MMCD值的敏感性强，并随着附加刚度增加MMCD值增加；土体附加质量对MMCD值的敏感性弱，并随着附加质量增加MMCD值减小；同时各附加参数的敏感性为t>K₀>M₀>s。

根据以上理论分析和数值仿真分析，主要得到以下结论：

(1) 本文提出利用悬臂挡墙损伤前、后模态平均曲率构建了基于模态平均曲率差的挡墙损伤识别方法。在损伤位置处识别指标MMCD值均发生明显的突变，该方法能准确地识别挡墙的损伤位置。

(2) 识别指标MMCD值随着损伤程度增加而增加，且损伤单元的MMCD值主要和该单元的损伤程度有关，因此，提出利用单元损伤程度和指标MMCD值的相互关系确定单元的损伤程度。

(3) 对本文方法和基于模态高斯曲率差和柔度差平均曲率的损伤识别方法进行对比分析，表明本文方法能准确地识别挡墙的损伤位置和满足工程精度的要求，且能够满足不同布置测点要求，适用性更广泛，具有工程实际应用价值。

(4)土体附加刚度对识别指标MMCD值的敏感性强，其中参数t敏感性最强，参数K₀次之；土体附加质量对MMCD值的敏感性弱，其中参数s最弱，参数M₀次之，因此在悬臂挡墙损伤识别中准确确定墙后土体附加刚度值尤为重要。