0 引言

裂缝是沥青路面突出的病害之一。目前研究裂缝问题的方法主要有断裂力学理论、试验以及数值模拟^[1-2]，根据裂缝在路面中受力性状的不同主要可以分为Ⅰ型和Ⅰ-Ⅱ复合型。Majidzadeh^[3]最先将断裂力学引入到路面研究中，通过运用断裂力学对路面裂缝的模拟，Majidzadeh将沥青路面的疲劳破坏分为3个阶段：裂缝初始化阶段、裂缝扩展阶段和极限断裂阶段。黄晓明等人^[4]以裂纹面所受的均匀拉应力为参考荷载，运用单个参考荷载的权函数模型来计算沥青面层底裂纹的应力强度因子。Wagoner等人^[5]通过SEB试验结合数值模拟对沥青混凝土的断裂能和反射裂缝的扩展机理进行了研究，研究表明SEB试验是研究裂缝扩展机理较为有效的方法。基于光弹性法模型试验，张起森等人^[6]研究了开裂后的沥青路面结构在交通荷载作用下裂缝附近的应力状态及裂缝稳定性扩展问题。目前为止，关于沥青路面裂缝的研究主要是围绕着Ⅰ型裂纹来开展的，对Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展的研究尚不多^[7-9]。

研究沥青路面裂缝在不同扩展深度和扩展方向的受力状态及扩展规律，对于预测路面开裂以及进行路面结构优化设计具有重要的意义。本文基于断裂力学和权函数理论，推导并计算了小梁构件裂纹尖端的应力强度因子和能量释放率，并采用带偏置切口的小梁弯曲试验来研究沥青混合料的开裂与裂纹扩展规律。

1 权函数法与Ⅰ-Ⅱ复合型断裂判据 1.1 权函数法基本思想

断裂力学理论要解决的关键问题之一是求解表征裂纹端部应力奇异性强弱的应力强度因子。对于复杂应力条件下的应力强度因子，Bueckner^[10]提出了应力强度因子的权函数法,即任意荷载作用下的裂纹体，其裂纹尖端的应力强度因子可通过式(1)得到：

(1)

式中，a为裂纹长度； σ(x)为裂纹面位置对应的无裂纹时的应力分量；m(x,a)为权函数。

权函数只与裂纹体的几何形式有关，不同裂纹体的权函数有不同的表示方法，Glinka和Shen^[11]提出了一种应用较为广泛的权函数表达式：

(2)

式中M_i(i=1,2,3)是几何参数，其值仅取决于裂纹体的几何形式。

如果已知3个特殊的参考应力分量σ_ri(i=1,2,3)下的参考应力强度因子K_ri(i=1,2,3)， 把σ_ri，K_ri和式(2)代入到式(1)，就可以建立关于M_i的3个方程，从而可以计算出M_i。

1.2 带单边裂纹的矩形板的权函数

为了对比切口小梁试验研究，本文选取了带边缘裂纹的矩形板来进行理论计算。Fett^[2]证明了在边缘裂纹体的裂纹末端(x=0)，裂纹面的曲率为0，进而推导出：

(3)

式(3)可以作为求解M_i的附加条件，这样就只需要寻求两个参考应力强度因子解。对于Ⅰ型裂纹，选取图 1所示的两种参考荷载。

(4)

式中W为小梁试件的高度。

对应的参考应力强度因子解分别为：

(5)

式中F_i(i=1,2)为参考应力强度因子的几何修正系数，通过应力强度因子手册^[12]查得：

(6)

将式(2)、(4)、(5)代入式(1)，式(2)代入式(3)，就可以得到关于M_i(i=1,2,3)的3个方程：

(7)

进而推导出：

(8)

最后，将式(8)代入式(2)就得到Ⅰ型裂纹的权函数表达式。

同样，Ⅱ型裂纹也可以运用上述方式来计算其权函数，但寻找特殊参考荷载作用下的应力强度因子的解析解比较困难。本文运用了Fett^[14]推荐的Ⅱ型裂纹另一种形式的权函数m_Ⅱ(x,a)：

(9)

式中，权函数系数A_νμ通过边界配置法计算得到，具体详见文献^[13]。

1.3 计算算例

本文以切口小梁的试验模型为例来进行应力强度因子的计算，见图 2。小梁试件长250 mm，高W和宽B均为50 mm,跨径S为200 mm；切口长度a分别为10，15，20，25 mm和30 mm。切口与荷载作用线的距离L分别为0，10，20，30 mm和40 mm。梁跨中间作用集中荷载P=500 N。

在没有切口的情况下，梁上任一点的应力为：

(10)

考虑到集中荷载位置剪力突变的影响，引入系数。通过有限元软件得到不同点的剪应力数据，进而算出对应不同位置的值，最后运用Origin软件拟合这些值得到:

(11)

通过预制不同位置的切口，可以模拟不同状态的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹。对应的应力强度因子可分为Ⅰ型和Ⅱ型两种，分别用K_Ⅰ和K_Ⅱ表示。将式(10)结合对应的权函数代入到式(1)，则有：

(12)

(13)

式中，

经过计算，得到了不同切口长和不同切口位置的应力强度因子。为了方便比较，以切口长与梁高比ρ=a/W以及切口相对位置γ=2L/S作为变量来进行分析。Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子随ρ的变化关系见图 3和图 4。可以看出，两种应力强度因子都随着切口长度的增大而增大。其中，K_Ⅰ呈现出非线性增长的变化规律，增长速率逐渐增大；K_Ⅱ则在切口偏置位移非零时接近线性增长。当ρ从0.2变化到0.4(即切口长度从10 mm增长到20 mm)，K_Ⅰ增长了68.7%，K_Ⅱ则增长了138.9%，这说明切口长度对切口尖端的应力场有显著的影响。同一切口的K_Ⅰ均显著大于K_Ⅱ，表明张开型断裂模式在复合型裂纹扩展中起着关键的作用。K_Ⅰ和K_Ⅱ随γ的变化关系如图 5和图 6所示。可以看出，在相同切口长度的条件下，K_Ⅰ随着切口偏离加载点距离的增大而减小，且与γ呈线性变化关系；K_Ⅱ则随γ呈现出非线性增长的规律，且增长速率逐渐减小直至趋近为0，表明切口偏离荷载位置越远，滑移型断裂模式表现得越明显。当γ≥0.3(L≥30 mm)时，切口与荷载距离的增长对K_Ⅱ的影响趋于稳定。

1.4 Ⅰ-Ⅱ复合型断裂判据

复合型裂纹扩展要解决两个基本问题：开裂角和断裂判据，即研究裂纹什么条件下沿什么方向开始扩展。本文运用最大能量释放率准则来研究Ⅰ-Ⅱ复合型断裂判据。Hussain等人^[15]提出了Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹沿θ方向的能量释放率G(θ)表达式：

(14)

式中，θ为分支裂纹与原裂纹面的夹角；E′对于平面应变为，对于平面应力为E(E为材料的弹性模量,ν为材料的泊松比)。

根据最大能量释放率准则，裂纹沿G(θ)取最大值方向扩展，故开裂角θ₀满足：

(15)

裂纹起始扩展的判据是G(θ)_max达到某临界值，这一临界值通常假设为材料在Ⅰ型断裂时的断裂韧性G_Ⅰc。由此建立起来的断裂判据为：

(16)

记λ=K_Ⅱ/K_Ⅰ，开裂角θ₀由式(15)确定，即：

(17)

把θ₀和式(14)代入到式(16)可得Ⅰ-Ⅱ复合型断裂判据：

(18)

仍以图 2所示的预切口小梁为例，假设小梁的弹性模量为E=1 500 MPa，其他条件不变。式中应力强度因子由上文权函数计算得到。在平面应力情况下，应用上述公式计算的开裂角θ₀和对应的最大能量释放率G(θ₀)见图 7～图 10。可以看到，当γ=0(切口位于集中荷载正下方)时，开裂角θ₀=0，表明当切口位于梁跨正中间并对称加载时，小梁会沿原裂纹方向开裂，表现为纯Ⅰ型开裂模式。切口偏离荷载位置时，θ₀随着ρ的增大呈现先增大后减小的趋势。当ρ增大到0.4时，θ₀最大，说明此时Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展模式在小梁中表现得最为明显。最大能量释放率G(θ₀)随着ρ的增大而增大，增长速率也逐渐增加。可见，切口越长，就越容易使G(θ₀)达到材料的断裂韧性G_Ⅰc，小梁就越容易开裂。当切口长度一定时，θ₀随切口相对位置γ的增大而增大，增长速率逐渐减小，G(θ₀)则随着γ增大而逐渐减小。这表明同样的荷载作用下，γ越大越不容易开裂；换言之，切口偏离荷载位置越远，要使小梁开裂的荷载越大。

1.5 数值模拟对比

为了验证上文理论计算的准确性，本文采用ABAQUS内置的扩展有限元(XFEM)对预切口小梁进行了模拟计算，并将数值模拟计算的结果与理论计算的结果进行对比分析。采用结构化网格技术将模型划分成25 200个C3D8R六面体单元，共计28 224 个节点，对预制切口左右各30 mm范围内的网格进行加密,如图 11所示。

取ρ=0.2(即a=10 mm)时不同切口位置的计算结果进行对比(其他条件同理论计算的条件一致)。应力强度因子和最大能量释放率的对比结果见表 1。可以看出切口偏离荷载的情况下，理论计算的K_Ⅰ和G(θ₀)相比数值模拟的结果偏小，K_Ⅱ则偏大，但总体上比较接近。这说明本文推导的权函数在计算小梁断裂问题上具有一定的可靠度。

2 单边预切口梁的试验研究 2.1 试验概况

本文采用AC-13的沥青混凝土切口小梁进行三点弯曲试验。小梁试件是通过尺寸为300 mm×300 mm×50 mm的标准板试件切割而成，具体操作采用了《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG—E20—2011)中的方法。小梁的切口通过金刚石锯片切割机制作，由于锯片自身厚度的影响和其他试验条件的限制，预制的裂纹并非尖锐的“V”形，而是呈相对粗糙的“U”形，如图 12所示。成型的切口小梁试件的尺寸以及切口位置同理论计算的模型一致，见图 2，切口深度则采用了10，20，30 mm这3种。

试验加载设备为长沙亚星沥青混合料弯拉试验系统，全部试验过程在20 ℃温度下进行，加载速率为50 mm/min。试验操作具体方法见《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG—E20—2011)中沥青混合料弯曲试验(T 0715—2011)。

2.2 试验结果分析

试验获得了不同切口位置和不同切口长度的小梁在裂纹出现时的最大荷载P_B(也称“起裂荷载”)。P_B随切口相对位置γ的变化关系如图 13所示。可以看出，在相同切口长度条件下，切口距离荷载作用位置越远，起裂荷载P_B越大，这与权函数法推导的结论一致。另外，从图上也可以看出同一位置的切口，ρ越大(即切口越长)，P_B越小，表明小梁越容易产生裂纹。当ρ=0.6(即a=30 mm)时，沥青混合料小梁在很小的外部荷载作用下就会发生断裂。

对裂纹扩展的观察发现，裂纹会先经历一段稳定的发展过程，当裂纹扩展到一定程度时便会迅速贯穿小梁而发生断裂。如图 14所示，切口尖端的裂纹是朝着荷载作用位置的方向开裂的，且切口偏移量越大，开裂角越大，表现为Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹的扩展行为。 同时可以看到，裂纹扩展路径存在不同程度的转折，这主要是由于沥青混合料并非均质材料，集料颗粒的存在影响了裂纹在沥青混合料中的扩展形式。裂纹扩展到一定长度后，应力重分布使小梁切口的受力状态逐渐接近Ⅰ型裂纹的受力状态，因而出现了裂纹向竖直方向转折的现象。

3 结论

本文通过断裂力学理论和三点弯曲试验对小梁切口尖端的应力强度因子和裂纹扩展规律进行了研究。研究结果有助于认识沥青混合料的裂纹产生和扩展机理，对后期相应计算程序的编制以及沥青路面开裂的预测有着一定理论和工程价值。本文主要结论如下：

(1) 相同荷载作用下，切口越长，其尖端的应力强度因子和最大能量释放率越大，小梁越容易开裂；当切口长与梁高比达到0.4时，Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展模式表现得最为明显。

(2) 相同荷载作用下，切口偏离加载点越远，Ⅰ型应力强度因子和最大能量释放率越小，开裂角和Ⅱ型应力强度因子越大；Ⅰ型断裂模式在复合型裂纹扩展中起着关键作用。

(3) 当切口偏离加载位置时，小梁表现出Ⅰ-Ⅱ复合型开裂；起裂荷载随着切口偏离距离的增大而增大；裂纹向上扩展过程中逐渐接近Ⅰ型裂纹形式。

(4) 本文推导的权函数在计算切口小梁的应力强度因子上具有良好的精度。