分形(fractal)一词最早记载于拉丁文，原意为含有断裂和碎片，特征是形体的局部和整体存在着某种相似性。随着分形理论的逐渐发展，目前分形概念广泛应用于看似平常但又不规则、无法用传统几何语言描述的领域，例如数学、材料学、地质地貌学等。该理论的出现弥补了传统理论的不足，揭示了自然界中某些复杂几何形态的自相似性和标度不变性。虽然分形理论的研究对象是自然界中存在的复杂现象，但该理论中的定量参数——分形维数却可以用来很好地表征某项事物复杂程度。在材料学领域，分形理论主要用于材料几何形态、粒径分布和性能评价等方面，合理运用该理论可以作为桥梁媒介起着连接材料宏观性能和微观结构的作用。本研究运用级配分形理论，采用分维度D和相关系数R²指标相结合的方式，从另一个角度对泡沫沥青冷再生基层路用性能进行定量评价，估算相应指标的合理取值范围。

对于分形理论及其基本公式，众多学者已进行过大量研究，因此本文不再对其推导过程进行赘述。式(1)为分形基本公式的数学表达式：

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式中，当E=0时，L和r分别对应于数目，此时 0≤D<1；E=1时，L和r分别对应于长度，此时1≤D<2；E=2时，L和r分别对应面积和长度，此时2≤D<3；E=3时，L和r分别对应体积和长度，此时3≤D<4。L₀为图形是整形时L(r)的数值。r_max为最大码尺的长度。D为分维数。

结合式(1)并根据集料的质量分布函数和体积分布函数可推导得式(2)：

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当集料的r_min较小时，式(2)可简化为:

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分维度D的计算方法为：对式(3)两边各取对数，利用最小二乘法对双对数级配曲线进行拟合，求得斜率K，然后由K=3-D求得集料粒径分布的分维度D=3-K^{[1, 2]}。

本研究基于贵州省山区某国道大中修工程进行了如下试验：现场实体工程采用Wirtgen-2000就地冷再生机配套的专用发泡装置进行就地冷再生试验，室内采用原理相同的WLB-10型沥青发泡机进行沥青发泡及再生混合料性能验证试验^[3]。原材料采用AH-70^#基质沥青，通过一系列对比试验得出最佳发泡条件：发泡用水量为2.5%、温度发泡为150 ℃，膨胀率为22倍，半衰期为12 s。另外，沥青用量暂定为油石比3.0%，混合料拌和及压实用水量取击实试验确定的最佳含水量的80%^{[4, 5]}。

在冷再生合成级配确定前，参照文献[6]进行泡沫沥青在混合料中分散性试验，验证泡沫沥青对矿质集料(铣刨料)具有选择性的特征，即泡沫沥青碎片更青睐于裹覆哪一粒级的集料。通过裹覆该粒级以及更小粒径集料形成沥青胶浆和沥青砂浆，再将粗集料粘结起来形成整体混合料试件。通过对该试验路铣刨料进行分散性试验，得出2.36 mm粒级细料部分对混合料的级配组成及后续物理力学性能的影响最为关键^[6]。

通过水洗筛分试验得到该路段铣刨料的级配组成，根据前述分散性试验，初步确定添加0~5 mm档石屑作为新料。新旧集料级配组成见表 1。

通过改变铣刨料及新料的质量比，初步拟定5种合成级配，涵盖了Wirtgen推荐的级配上下限^{[7, 8, 9]}。级配1～5分别代表铣刨料与新料质量比为90%∶10%～50%∶50%，合成级配见表 2。对合成级配进行相应物理力学性能试验，结果如图 1所示。

由上述分析可知，随新料比例的增加，泡沫沥青冷再生基层新旧料合成级配逐渐由Wirtgen推荐级配范围之外趋向推荐级配范围之内(见图 2)；同时随着细集料的增加，再生基层的物理力学性能均呈先增后减趋势(见图 1)，物理性能指标干捣密度及力学性能指标干湿劈裂强度均在新添料比例为40%时达到最大^[10]。另外，结合表 3分形级配公式计算得出的合成级配分维数Di可以看出，从级配1~级配5，合成集料整体逐渐偏细，而表征集料级配的定量指标——分维度则逐渐增大。将表征级配的分维度指标与相应级配的物理力学性能指标进行相关关系分析，发现当合成级配在某一区间范围内时，再生基层混合料的物理力学性能达到相对最优，经公式计算，此时分维度D大致在2.45～2.55区间范围内。该现象也说明了并不是新填料(细集料)增加得越多，泡沫沥青冷再生基层的路用性能就越好^{[11, 12]}。

图 1 级配-物理力学性能图 Fig. 1 Gradation vs. physical and mechanical performance

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图 2 五种合成级配曲线图 Fig. 2 Five synthetic gradation curves

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级配分形理论的另一指标R²用来表征实际级配组成与理想的分形级配模型拟合程度的大小。从图 2合成级配曲线及表 3可以看出，随着细集料的增加，相关系数逐渐减小，合成级配曲线在某一档也逐渐断开。仔细观察图 2并考虑本研究仅添加0~5 mm档石屑新料，发现随细集料的增加，在2.36 mm筛孔处逐渐断裂为两个分形体系。因此当某档新填料较多时，应将其合成级配看作一个多度域分段计算分维数，见式(4)～式(7)，其特征类似于间断级配。

例如对于合成级配曲线5，粒径尺寸范围r_min=0.075 mm，r_max=37.5 mm，分形分界点r_FDP=2.36 mm，将合成级配以2.36 mm划分为两段，对于上下两段分别用式(1)求解，其数值在分形分界点处连续，从而得到多度域级配分形模型(见图 3)。

图 3 多度域级配分形模型 Fig. 3 Model of gradation fractal dimension with multi-degree domain

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同样，当集料的最小粒径r_min较小时，式(4)和式(5)可简化为：

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而当D_f=D_c=D时，多度域分形级配模型与一重分形模型一致。

由表 4可以看出，从级配1到级配5，随细集料的增加，表征集料级配的定量指标分维度仍逐渐增大，这点与前述相吻合。但表征分形级配拟合程度的指标R²则与前述观点相反，即分段回归后，泡沫沥青冷再生基层级配曲线的拟合程度随细集料的增加逐渐变好。虽然其数值略小于一重分形模型，但从原理上讲，当某一档新填料较多时，将其合成级配看作间断级配而以一个多度域分段计算其分维数更为合理。另一方面，参照级配曲线，无论其级配是连续型还是间断型，均可采用式(4)、(5)表征集料级配的分形特征，式(4)、(5)是集料级配分形模型的通用公式。

采用常规间接拉伸疲劳试验，试件为马歇尔圆柱体试件，养生条件为常温不脱模养生24 h，然后脱模40 ℃通风烘箱养生72 h；加载模式为现行半刚性基层规范推荐的应力控制模式，加载设备为MTS-810试验机，荷载波形为正弦波，加载频率为10 Hz。应力比采用0.3~0.6，间隔为0.1；鉴于试验量，本研究只对级配2~4进行疲劳试验，平行试件取4个，结果显示劈裂疲劳应力与疲劳寿命呈对数线性关系，可用如下方程式表示：

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式中，N_f为试件疲劳寿命；K为应力比-疲劳寿命对数曲线的斜率；b为应力比-疲劳寿命对数曲线的截距；σ/s为应力比。具体结果见表 5及图 4所示。

图 4 泡沫沥青再生混合料疲劳曲线 Fig. 4 Fatigue curves of cold recycled mixture with foamed asphalt

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分析上述疲劳试验结果可以得出，K反映疲劳寿命对所施加力的敏感程度，K值越大说明材料越敏感；b代表疲劳曲线的截距，b值越大说明材料的抗疲劳性能越好。由图 5可以得出，泡沫沥青冷再生基层混合料随着细集料的增加，其疲劳寿命对应力水平的敏感性逐渐减小；而抗疲劳性能先减小随后有略微增加趋势，分析其原因可能是因为级配2整体偏粗，集料的嵌挤起主要作用；当增加细集料到级配4时，提高了混合料的柔性，从而再次改善了其疲劳性能。

图 5 级配-疲劳性能关系图 Fig. 5 Curves of gradation vs. fatigue property

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综合以上分析我们可以得出：

(1)2.36 mm档新添料对泡沫沥青冷再生基层混合料的物理力学性能有较大影响。

(2)对于泡沫沥青冷再生基层混合料而言，并非新填料(细集料)越多，其路用性能越好。泡沫沥青冷再生基层的物理力学性能很大程度上取决于其级配组成，推荐混合料合成级配的分维度D取值在2.45~2.55区间范围内。

(3)当某一档新填料较多时，推荐将其合成级配看作间断级配而以一个多度域分段计算其分维数。

(4)耐久性指标疲劳寿命N_f及应力敏感性指标K验证分形级配理论在泡沫沥青混合料中具有较好的适用性,新填料比例为40%时其综合性能相对最优。