拱结构^[1]在土木、机械和航天航空等工程领域有着广泛的应用。拱作为一种基本结构构件具有优良的受力特性，其动力和静力行为受到了国内外学者^{[2, 3, 4, 5, 6]}的广泛关注，如周期激励下内共振^{[7, 8]}时的分岔和混沌特性，冲击荷载作用下弹性浅拱的跳跃屈曲^[9]等。静力方面，近年来Pi及其合作者^{[10, 11, 12]}采用解析法与有限元法对各种荷载与边界条件下拱结构的非线性屈曲特性进行了深入系统的研究;卫星等^[13]探讨了多种参数对拱结构考虑二阶效应时弹性屈曲特性的影响；程鹏和童根树^[14]综述了径向均布荷载下圆弧拱的面内屈曲特性；郭彦林等^[15]提出了压弯圆弧拱平面内稳定承载力的设计建议公式。

这些研究侧重于研究边界为理想固结或铰支时拱的力学性能，结构的复杂分析在很多情况下需考虑复杂边界。如：大跨度系杆拱桥中系杆将两端连起来，系杆与竖向弹性支座、地基的作用可抽象为轴向和径向的弹性约束；机械拱臂或曲臂与相邻结构弹性连接，共同受力，可将其考虑为弹性约束；弹性地基上的拱型结构在外荷载作用下边界考虑为弹性更加合理。

本文考虑集中荷载作用下径向和轴向同时弹性约束的圆弧拱，通过能量变分原理^[16]建立拱结构的非线性平衡方程，得到外荷载与结构内力及位移的关系，并分析结构的屈曲特性及与结构参数的关系。

图 1所示角坐标系下的两端径向、轴向弹性约束的圆弧拱，图中Q为集中荷载,2Θ为展开角，R为半径，θ为角坐标，k_v±Θ和k_w±Θ为两端径向、轴向约束刚度。Q增至一定程度时会发生屈曲，屈曲前结构变形已出现非线性，求解屈曲荷载与变形时需考虑屈曲前非线性的影响。拱上任意一点P总的轴向应变ε_P=ε_m+ε_b中，薄膜应变ε_m和弯曲应变ε_b分别为：

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图 1 集中荷载作用下弹性约束圆弧拱结构示意图 Fig. 1 Schematic diagram of elastic constraint circular arch under concentrated load

图选项

Q作用下径向、轴向弹性约束圆弧拱的无量纲总能量可以表示为：

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轴向平衡方程:

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径向平衡方程:

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轴向边界条件：

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径向边界条件：

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由式(3)知ε_m为常数，沿拱轴取平均并将其写为ε_m=－N/EA，其中N是实际轴力。此外定义无量纲轴力参数μ²=NR²/EI和荷载参数Q=QR²Θ/(2EIμ)，因此ε_m可重新写为：

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利用式(5)中w_±Θ的边界条件可得：

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对于弹性约束圆弧拱的分岔屈曲，外荷载接近临界荷载时，屈曲前结构平衡形态与屈曲时的平衡形态无限接近，在结构发生屈曲的过程中前后外荷载和轴向力可视为常数，屈曲时的轴向压力N^*等于屈曲前的轴向压力N，结构屈曲变形引起的薄膜应变ε_mb=w′_b－v′_b+v′v′_b=0(b表示屈曲过程)，变形v_b的求解方程^[17]为：

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将式(10)中v值代入式(17)，并解满足边界条件式(19),(20)的微分方程可得：

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发生极值点屈曲时，对应有dQ/dμ=0，利用式(13)中隐函数关系F(Q,μ)=0可以得到极值点失稳的临界荷载，对式(13)取dQ/dμ=0同样可以得到如式(23)所示的Q_st与η的关系。对于λ,Θ,α_v±Θ,α_w±Θ已知的情况下可通过式(13)和式(23)求极值点屈曲临界荷载。

本节用数值方法对理论解进行参数分析，并与有限元结果进行对比验证，研究弹性约束参数α_v±Θ,α_w±Θ和深浅参数λ及对集中荷载作用下圆弧拱屈曲路径及临界荷载的影响。

图 2给出了本文方法和有限元法对λ=8和15两种情况下弹性约束圆弧拱屈曲路径的对比结果，其中α_v±Θ,α_w±Θ,S,r_x已知，有限元分析时E=200 GPa，A=5.5×10³ mm²，I=6.6×10⁷ mm⁴。图 2中横坐标为用矢高f进行无量纲处理的跨中径向位移，纵坐标为采用相同截面、跨径铰支边界柱的二阶屈曲荷载N_EA无量纲化的外荷载。由图可知两种方法在求解弹性约束拱的屈曲路径时，结果吻合很好，屈曲荷载相差很小，这说明了本文方法求拱的屈曲荷载是可行的。另外由图 2(a)(λ=8)可知在荷载-位移曲线上，在位移不断增加的过程中外荷载先增至一个极限值后再下降至另外极限点，随后一直增加，失稳过程为典型的跳跃屈曲失稳。图 2(b)表明λ=15时荷载-位移曲线十分复杂，荷载和位移经历3次增-减过程后再一直增加，整个曲线上面6个极值点，3个为上极值点，3个为下极值点。由此可知，边界约束刚度的大小以及深浅参数λ在结构的屈曲过程有非常重要的影响。

图 2 本文方法与有限元法所得屈曲路径对比图 Fig. 2 Comparison of buckling paths from proposed method and FE method

图选项

图 3和图 4分别给出了λ=8和λ=15两种情况下集中荷载Q作用下两端径向、轴向弹性约束圆弧拱在屈曲过程中的位移和内力分布图，其中S=10.8 m，r_x=0.108 m。两个图中轴向弹性约束设为刚性(α_w±Θ=0)，径向弹性约束一端大小固定(α_v+Θ=1)，另外一端α_v－Θ则取[0,100]范围内的5组典型值。

如图 3(a)所示，α_v－Θ取0和0.1时整个荷载-位移曲线显示圆弧拱结构未发生屈曲；α_v－Θ取1.5和100时圆弧拱发生了跳跃屈曲，有上、下两个极值点，对比可以发现α_v－Θ的增大使得屈曲临界荷载变小，也就是结构越柔其承载能力越低，但是整体上来说这种变化有限；α_v－Θ取0.5时圆弧拱介于发生与不发生跳跃屈曲的临界值，这说明了λ=8时约束刚度的大小值对结构的屈曲模式起决定性的作用。另外，图 3(b)中的内力变化值η可以看出α_v－Θ对应不同的屈曲模式，不同的α_v－Θ值对最大的内力值改变不大，但是α_v－Θ取0和0.1时荷载-内力曲线无交叉点；α_v－Θ取1.5和100有交叉点；α_v－Θ取0.5则是处于一种有与无的临界状态。

图 3 集中荷载下径向约束刚度对圆弧拱屈曲 特性的影响(λ=8) Fig. 3 Effect of radial constraint stiffness on buckling of circular arch under concentrated load (λ=8)

图选项

图 4 集中荷载下径向约束刚度对圆弧拱屈曲 特性的影响(λ=15) Fig. 4 Effect of radial constraint stiffness on buckling of circular arch under concentrated load (λ=15)

图选项

当λ=15时，图 4(a)中荷载-位移曲线显示不同的屈曲路径，α_v－Θ取0和0.1时整个荷载-位移曲线来回折返一次，曲线上有2个上极值点和2个下极值点；α_v－Θ取0.5时荷载-位移曲线来回折返一次且曲线交叉，圆弧拱发生跳跃屈曲；α_v－Θ取1.5和100时荷载-位移曲线很接近，且均来回折返两次，曲线上有3个上极值点和3个下极值点，曲线多次交叉，这说明了λ=15时约束刚度的大小决定结构的屈曲模式，起决定性的作用，α_v－Θ越大荷载-位移曲线越复杂。另外，由图 4(b)中的内力变化值η可以看出α_v－Θ对应不同的屈曲模式，且α_v－Θ值越大圆弧拱屈曲过程中的内力值越大。

总的说来，在α_v－Θ增加的过程中，屈曲过程中荷载-位移曲线来回折返次数及荷载-内力曲线交叉次数发生变化，曲线越来越复杂，上、下极值点的个数发生变化，且同一位置上极值点对应的荷载变化不大而下极值点对应的荷载则随着α_v－Θ的增加而逐渐减小。

图 5则给出了不同深浅参数λ时屈曲路径及变形过程中的内力分布图，纵坐标为N_EA无量纲化的外荷载，横坐标为v_c/f和η，其中S=10.8 m，r_x=0.108 m，α_w±Θ=0,α_v+Θ=1，α_v－Θ=0.001。由图 5(a)中可以看到：λ=5时圆弧拱未发生屈曲，荷载-位移曲线上无极限点，荷载-内力曲线上未出现交叉点；λ=6.865时结构处于发生屈曲与未发生屈曲的临界点，荷载-位移曲线上无极限点，荷载-内力曲线的右端位于发生交叉与不发生交叉的临界点；而当λ在(6.865,15)内取值时，结构发生跳跃屈曲，临界荷载可通过联立方程(13)和(23)求得，曲线上有2个上极值点和2个下极值点，且λ越大上极值点对应的屈曲临界荷载越大，下极值点对应的荷载越小，结构对应的内力值越大；当λ=15时，结构发生跳跃屈曲，曲线有上、下极值点，此时的荷载-内力曲线显示除了中间的一个交叉点之外，右端处于另一个交叉点的边缘；当λ>15(λ=30)时将出现两个交叉点，对应有3个上极值点和3个下极值点。

图 5 集中荷载下深浅参数对弹性约束圆弧拱屈曲特性的影响 Fig. 5 Effect of shallowness on buckling of elastic constraint circular arch under concentrated load

图选项

(1) 所得屈曲路径与临界荷载与有限元结果吻合良好，证明了本文方法是可行的。

(2) 径向约束参数对圆弧拱失稳过程中的屈曲路径和临界荷载起决定性的作用，约束刚度减小时相同位置上极值点对应的跳跃屈曲荷载有较小的降低，下极值点对应的荷载则变化很明显。

(3) 深浅参数λ决定屈曲路径的形式：λ较小时结构不发生屈曲；λ增至一定范围内时结构发生跳跃屈曲，屈曲过程的位移、内力曲线复杂，有上、下极值点各1个，2个或3个。