交叉路口是城市道路网络交通中各向交通流汇聚交错的地点，对它的交通信号控制是城市交通控制系统的核心^[1]。单交叉路口交通信号控制配时方案的设计与优化，是实现干道协调控制系统和区域协调控制系统的基础^[2]。要实现未来城市交通控制的智能化和自动化，单交叉口的信号控制与优化显得极为重要。单交叉口信号控制配时方法按相序变化分为不变相序控制和可变相序控制两种。其中可变相序可以通过提取道路数据选取最有价值通行相位，但是改变交叉口的相序没有考虑驾驶员停车按相位顺序等待绿灯的习惯，而且由于相位切换造成的处理冲突的时间变长。本文研究不变相序控制主要原因有两点: (1)不变相位控制符合驾驶员停车等待通行的习惯; (2)不变相序可以成为滚动优化的基础条件。不变相序控制的配时主要包括Webster配时方法、冲突点法、估算法、临界车道法和感应控制法。

Webster配时方法、冲突点法、估算法、临界车道法这4种方法都属于不变相序定周期控制方法的范畴，这类配时方法虽然在某一交通条件下控制效果良好，但是当交通条件发生变化时，这类方法因受固定配时方案的约束,无法充分有效利用和分配绿灯资源。

常规感应控制没有固定的周期，通过在交叉口入口道上放置检测器，如果检测器检测有车辆通过则增加绿灯时间，但是没有考虑到相位之间的矛盾，增加绿灯时间可能会造成其他相位平均停车时间增大。

本文提出的控制也是一种感应控制，与常规感应控制不同的是，本文在计算执行绿灯时间时考虑了对下一绿灯相位的影响，将执行绿灯的相位和下一相位作为一个整体，把在时间窗内使得整体平均停车时间最低的时间作为执行绿灯时间，以此为基础，每次相位切换选择将要执行绿灯的相位和下一相位为对象，求解出最优绿灯时间，从而达到让所有相位的绿灯时间最优的目的。

设 θ∈(1,2,3,4) 为信号交叉口的4个相位， r∈(1,2) 为每一相位所对应的两个入口道组，在t时刻，每个进口道的到达率为 q_θ^r(t)(r∈1,2)。 假设信号交叉口在t_f时刻发生切换相位，切换后执行绿灯的相位执行时间为t_g。用Q_θ^r(t_f)表示t_f末θ相位的停车数量。用S_θ^r(t_f)表示t_f末θ相位停车所产生的总时间，则t_g时刻某相位的平均车辆停车时间计算方式与特性为：

(1)如某相位θ在t_f到t_f+t_g是红灯，在t_f+t_g时刻，平均每辆车的停车时间为：

点击浏览公式

用MATLAB软件生成了到达车辆在1~2 000 veh/h之间的符合泊松分布的随机车辆，绘制了绿灯时间在0~300 s之间逐渐增大过程中执行红灯相位车辆平均停车时间变化图(图 1)。

图 1 持续红灯时间在0~300 s之间不同流量的车辆平均停车时间变化图 Fig. 1 Changes of vehicle average parking time in different volumes during red light time from 0 s to 300 s

图选项

从图 1可知，执行红灯的相位的车辆平均停车时间随绿灯时间t_g的增大而增多。

(2)如某相位θ在t_f到t_f+t_g是绿灯，在t_f+t_g时刻，令t_f时刻红灯产生的停车数全部消散完，N^*为绿灯期间等待前面排队车启动的车辆数，它在绿灯开启时到启动加速时的时间产生的停车时间为ξ_i。则产生的总停车时间为：

点击浏览公式

通过的车辆总数为：

点击浏览公式

平均每辆车的停车时间为：

点击浏览公式

绿灯开始后， S_θ^r(t_f)，Q_θ^r(t_f) 为常数。当绿灯时间t_g大于排队车辆消散时间t₀时，由于消散过程产生的总停车时间 $\sum\limits_{i = 1}^{{N^*}} {{\xi _i}} $ 变为常数，绿灯期间通过车辆数N¹开始变大。所以当绿灯时间t_g大于排队车辆消散时间t₀时，车辆的平均停车时间随时间的增大而减少。

根据以上分析，两个相邻的相位θ₀和θ₁(其中θ₀相位为t_f末将要执行绿灯的相位，θ₁为θ₀的下一相位)总是存在一种矛盾。随着绿灯时间的增大，执行绿灯θ₀相位的平均车辆停车时间在减少，而执行红灯θ₁相位的平均车辆停车时间在增加。所以t_g绿灯时间越长， d_θ0^r(t_f+t_g) 越短，对θ₀越有利，但t_g绿灯时间越长， d_θ1^r(t_f+t_g) 越长，对θ₁ 越不利。这种关系可以描述成θ₀和θ₁对t_g绿灯资源的博弈，但同时要求整个由θ₀和θ₁组成的联盟效益最高，这种相互竞争又互相合作的关系可以描述为合作博弈。

合作博弈论又称联盟博弈论，由于在解决世界上各类资源共享问题和避免冲突方面有独到的方法，近年来在运筹学中的地位与日俱增^[3]。合作博弈有3个要素：局中人、参与者的策略集合和价值函数^{[4, 5, 6, 7, 8, 9]}。

结合以上分析，局中人集合 S={θ₀,θ₁}， 参与者的策略集合T为t_g∈[g₀,g₁] ，对θ₀来说，t_g=g₁时，即绿灯时间达到策略集合的上限时，θ₀相位将获得最大收益，即θ₀的平均停车时间最小，此时的收益为θ₀的目标收益d_θ0^r(t_f+g₁)。那么在时间窗 t_g∈[g₀,g₁] 内，θ₀的收益损失为 d_θ0^r(t_f+t_g)－d_θ0^r(t_f+g₁)，t_g 时刻的相对目标收益损失率为：

点击浏览公式

对θ₁来说，t_g=g₀时，即绿灯时间达到策略集合的下限时，θ₁相位将获得最大收益，即θ₁的平均停车时间最小，此时的收益为θ₁的目标收益 d_θ1^r(t_f+g₀)。 那么在时间窗 t_g∈[g₀,g₁] 内，θ₁的收益损失为 d_θ1^r(t_f+t_g)－d_θ1^r(t_f+g₀)，t_g 时刻的相对目标收益损失率为：

点击浏览公式

要使由θ₀和θ₁组成的联盟效益最高，则使得局中人相对目标收益的损失率之和最小即可,即在时间窗[g₀,g₁]内，找出使z=w₀+w₁最小的时间点t_g，意味着此时合作联盟效益最大。

2.1 建立模型

根据参数分析和建模思想建立如下模型：

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

为了使局中人θ₀和θ₁在合作博弈中的{θ₀,θ₁}联盟效益最高，所以选取式(7)为目标函数。约束条件式(8)中，C_θ0^r为r车道组的饱和流量，ζ为车辆启动时间，这个约束条件是为了保证排队车辆都可以消散。约束条件式(9)作用在于规定g₀为决策变量绿灯时间t_g下限，当车队消散时间比最小绿灯时间g_min小时取g_min，当消散时间大于等于g_min时取消散时间。式(10)规定g₁为决策变量绿灯时间t_g的上限，目的在于缓解滚动优化过程中绿灯时间过长而造成其他未参加相位停车过多的现象。约束条件(11)为决策变量t_g的范围。约束条件(12)表示选择每一相位中最大到达率的入口道作为研究对象,r^*为θ相位中最大到达率的入口道,q_θ^r*≥q_θ^r表示选取r^*的方法。式(13)为执行绿灯相位t_g时刻相对目标收益的损失率。式(14)为执行红灯相位t_g时刻相对目标收益的损失率。

本文建立的单交叉口滚动控制是按照相位顺序依次进行滚动从而求出每次绿灯时间的控制模式^[10]。主要思想是在信号灯第k次相位切换时，把将要执行绿灯的相位和此相位的下一相位视作参加合作博弈联盟的两名局中人，以整个联盟平均车辆停车时间的相对目标收益损失率之和为目标函数，将要执行的绿灯时间作为两名局中人的决策变量，在对应的绿灯时间范围内，求出使联盟平均车辆停车时间的最小绿灯时间，总体控制流程如图 2所示。

图 2 滚动优化图 Fig. 2 Rolling optimization process

图选项

根据停车时间计算公式，令函数g(t)为t时刻到达率下的停车时间的函数:

点击浏览公式

利用定积分原理

点击浏览公式

点击浏览公式

本文假设用一台频率为1(即每s照1次照片)的照相机悬停在交叉口上方进行拍照，那么可以将时间段t_g划分成t_g个微小的时间区间，则每个时间序列为1 s，那显然在任意一个微小的时间序列ξ_i=1里，q_θ^r(ξ_i)为第i秒拍摄的图片上某进口道的停车数量，此时用M_i表示，那么g(ξ_i)为这个时间序列的停车时间，此处可以近似看成1 s。

综上所述，

点击浏览公式

基于VISSIM二次开发，利用上面提出的方法提取了某进口道在80~184 s之间从遇到红灯到绿灯后消散的车辆数，见图 3。

图 3 某进口道在80~200 s之间每秒停车数量统计图 Fig. 3 Parking quantity statistics of an entrance lane per second from 80 s to 200 s

图选项

在80~200 s之间,此车道红灯产生的停车总时间为85~175 s的停车时间累计和，等于856 s，从图 3看即为85~175 s的阴影面积。175 s时排队开始消散，红灯排队车数为18 veh。平均停车时间为47.56 s。

根据信号交叉口的间断流理论，当信号转为绿灯时，车队开始进入交叉口，第1辆车的车头时距比较长，因为第1辆车的驾驶员最先看到绿灯信号，然后产生反应，使车辆进入交叉口。第2车头时距是第1辆和第2辆的保险杠通过标线的时间间隔，这个值比较小，因为第2辆车的驾驶员对红灯的反应几乎重合，第3车头时距比第2车头时距更小，以此类推。最后(通常在第4和第6时距之间)，各车辆到达观察标线均已充分加速。假设在排队的车辆只有紧靠它的前面的车辆启动才可以启动，且每辆车的启动时间相同，每名驾驶员的反应时间相同，启动损失时间加反应时间为常数A。所以对于一个排队的驾驶员序列,设ξ_i为第i名驾驶员的停车等待时间，则存在以下关系：

点击浏览公式

为了预测有可能在绿灯时间t_g内通过交叉口的车辆及其时间，假设在进口道处行驶的车辆车速变化波动不大，即认为它是匀速，在离停车线S(现取600 s)处放置一个数据检测器，如图 4所示。数据检测器可以记录车辆vehicle_i通过检测器的时刻t_i和车辆速度v_i，那么可以推算出vehicle_i到达停车线的时刻为^{[11, 12]}：

点击浏览公式

图 4 检测器的放置 Fig. 4 Place schematic detector

图选项

当t_i^a≥t_f+t_g时，vehicle_i没有在绿灯时间内到达交叉口，如果θ相位在t_f到t_f+t_g内执行绿灯，那么当t_f≤tai≤t_f+t_g时，可以认为vehicle_i可以在绿灯时间t_g通过交叉口。如果θ相位在t_f到t_f+t_g内执行红灯，那么当t_f≤t_i^a≤t_f+t_g时，可以认为vehicle_i参与了排队，结合式(20)，则vehicle_i在t_f+t_g末的停车时间可以表示为：

点击浏览公式

由上述所建模型可知，此模型是关于绿灯时间t_g的整数非线性规划问题，而且t_g的可行解解集有限，因此用全枚举法对每个可行解进行罗列，从中提取出最优解来。

Step1：通过检测数据罗列出每个可行解下的目标函数值。

Step2：比较每个可行解的目标函数，求出最优解。

VISSIM是交通微观仿真软件，本文用VISSIM的com接口与Excel VBA编辑器搭建仿真平台^{[13, 14, 15]}，对相邻相位合作博弈的滚动优化模型进行仿真^[16]，总体模型计算及仿真流程如图 5所示。

图 5 基于相邻相位合作博弈的滚动控制仿真流程图 Fig. 5 Flowchart of simulating rolling control based on cooperation game during adjacent phases

图选项

为了对基于相邻相位合作博弈论滚动控制的特性进行对比，本文选取一个四 相位信号控制交叉口进行仿真，如图 6所示。感应控制方法中，线圈检测器布置在进口道上游距离停止线30 m处，最大绿灯时间50 s，最小绿灯时间20 s。

图 6 基于相邻相位合作博弈的滚动控制仿真过程截图 Fig. 6 Screenshot of simulating rolling control based on cooperation game during adjacent phases

图选项

选择每200 s对节点进行一次评价，评价参数为节点平均车辆延误和节点平均排队长度。

试验结果见图 7和图 8。图 7表明，当前入口道流量下，基于博弈论的滚动控制节点平均延误稍优于感应控制。

图 7 每200 s节点平均延误对比图 Fig. 7 Contrast curves of node average delay per 200 s

图选项

图 8 每200 s节点平均排队长对比图 Fig. 8 Contrast curves of node average queue length per 200 s

图选项

图 8表明，当前入口道流量下，基于博弈论的滚动控制节点平均排队长度稍优于感应控制。

通过节点评价，对所有时间序列取平均值，感应控制每200 s节点平均延误为41 s、每200 s节点平均排队长度为21 m，基于相邻相位合作博弈的滚动控制每200 s节点平均延误为38 s，比感应控制少3 s；每200 s节点平均排队长度为19 m，比感应控制少2 m。虽然在有的时间序列里，基于相邻相位合作博弈的滚动控制相关评价参数会稍微超过感应控制，但是超出的差值较小。

综合以上分析，在此流量下，基于相邻相位合作博弈的滚动控制优于感应控制。

首先建立了基于相邻相位合作博弈的滚动优化模型，并通过搭建仿真平台将其实现。对比同等条件下的感应控制，得到了良好的控制效果，证明基于相邻相位合作博弈的滚动优化模型具有可行性。论证了在信号交叉口中绿灯相位与红灯相位间存在对绿灯资源的博弈，并将合作博弈论运用于信号配时当中。其次提出了基于拍照法采集和计算停车时间的方法，同时利用VISSIM软件和VBA搭建的仿真平台求解模型并对其仿真。本文存在不足之处在于对绿灯时间内将要通过交叉口或到达交叉口的车辆预测方法有待改进，同时对模型中的相关常数参数还需进行校正。下一步工作包括：(1)改进预测和数据采集方法，提高准确性。(2)研究将4个相位同时参加合作博弈的滚动优化。