预应力混凝土结构在土木工程特别是桥梁工程中得到广泛使用，使用预应力技术可增加混凝土结构的弹性工作范围，提高结构的强度和承载力，延长结构使用寿命。

通过有限元数值方法准确地揭示和模拟预应力混凝土结构的真实力学状态，对预应力混凝土结构的设计、施工及使用的安全性具有重要意义。对于预应力的模拟，目前普遍采用的方法有等效荷载法和实体力筋法两种。

对于预应力筋的有效预应力，等效荷载法^{[1, 2, 3]}将预应力筋从结构中取出，用一组等效荷载代替预应力筋对混凝土的作用，其优点是建模简单，可以准确模拟考虑各种损失后的有效预应力，其主要缺点是不能考虑预应力筋的刚度贡献和承载作用^{[4, 5]}。黄侨等^[6]在关于预应力的等效荷载数值计算时，提出了基于NURBS预应力束的几何模型，弥补常用折线逼近法的不足，更准确地计算预应力束等效荷载，进行预应力混凝土预应力效应的分析。

实体力筋法是在建模中分别用不同的单元模拟混凝土和预应力筋，通过建立预应力筋节点与混凝土单元的位移约束关系实现两者的连接和共同工作，采用降温法或初应变法模拟预应力的施加^{[7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]}。通过等效降温法或等效应变法这种间接预应力加载方式进行结构分析后发现，如果直接施加预设张拉力，结构变形后筋的最后张拉力发生变化，达不到初张拉力的数值。陈玉峰^[7]提出采用初应变扩大系数或单元生死法，可以准确加载目标预应力效果，但该扩大系数法需不断调整初应变，修正扩大系数，最后得到理想的结果，需要考虑索自重时，杀死该单元，将其自重采用等效节点力同时考虑。周江^[13]提出通过施加等效温度荷载直接计算预应力混凝土结构次内力的方法，以得出更接近实际的计算结果。

本文基于预应力筋与混凝土共同工作、共同承载的理念，通过等效荷载法获得无筋模型的混凝土弹性收缩，根据该弹性收缩量得到预应力筋的等效降温值，从而在有筋模型中实现有效预应力的准确模拟。该方法能便捷地在多种有限元通用软件中得以实现，为模拟预应力混凝土结构张拉加载提供了又一种有效分析方法。

等效荷载法应用自平衡原理，将混凝土结构中的预应力筋与结构分离，用一组等效荷载代替预应力筋对混凝土的作用，并把这种等效荷载如同外荷载一样反向施加到由混凝土和非预应力筋组成的结构上，用以计算预应力对结构产生的效应。

1.2 降温法基本原理

传统降温法的原理是将混凝土和预应力筋的作用一起考虑，通过对预应力筋单元实施温降实现预应力的施加，即为力筋单元设定一个初始温度,并且给定一个温降值,使得力筋单元产生一个收缩变形,此初始应变将使力筋产生预拉力作用,力的大小为所要达到的预应力数值。力筋的温降值按式(1)计算：

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对于先张预应力筋，可以计入混凝土弹性收缩引起的预应力损失；对于后张预应力筋，式(1)根据有效预应力换算的温度降低没有考虑混凝土的弹性收缩，会导致计算后筋的应力达不到预设的应力值。

设通过降温值ΔT′对预应力筋施加预应力σ，在预应力的作用下，混凝土会产生弹性收缩，混凝土的弹性收缩应变即为预应力筋的总应变，该应变用ε表示，则有：

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由此可得到考虑混凝土弹性收缩的等效降温计算公式：

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第一步：建立无预应力筋结构模型，采用等效荷载法，用一组等效荷载代替预应力筋(荷载σ)的作用施加于结构上，此时的计算结果可以正确地反映结构在预设预应力作用下的初始状态，通过力筋两点间的线位移结果，计算得到两点间的相对线位移(收缩)，以及产生的弹性应变ε。

第二步：建立有筋结构模型，利用式(3)，由混凝土弹性应变ε、预设预应力σ、材料参数E和α计算出考虑结构弹性收缩的力筋降温值，施加在力筋单元上，实现对有筋模型中有效预应力的准确模拟。

下面通过设计的线性杆件单元结构、平面单元结构、空间体单元结构验证此法的模拟效果。

对于如图 1所示的平面桁架结构，各杆截面积为A=0.002 m²，弹性模量E=200 GPa，材料的热膨胀系数为α=1.0e－5 ℃^-1。现欲在节点1和5之间、节点2和3之间分别张拉一根截面积和材料与其他杆相同的预应力筋(见图 2)，张拉应力值为100 MPa。

图 1 桁架结构示意图(单位:cm) Fig. 1 Truss structure(unit:cm)

图选项

图 2 含筋桁架结构示意图(单位:cm) Fig. 2 Truss structure with tendons(unit:cm)

图选项

采用二节点桁架单元，现用不同方法模拟结构加上预应力筋张拉后的力学状态。

(1)采用等效荷载法。计算模型为图 1，在节点1和5之间、节点2和3之间施加与预应力荷载等效的相对张拉力：F=Aσ=0.002×100e⁶=200 kN。

(2)采用实体力筋法，计算模型为图 2，采用式(1),由张拉应力100 MPa可换算得预应力筋相应的降温值ΔT=50 ℃，即在单元15杆和23杆施加降温荷载50 ℃。

(3)根据本文方法，采用模型2，由等效荷载法的位移结果可计算得到力筋15、23节点间总应变值为-3.487 4e-4；利用式(3) 计算得考虑弹性收缩的相应降温值ΔT′=84.874 ℃；在模型2的15杆和23杆单元施加降温荷载84.874 ℃。

采用SAP2000软件，三种模拟方法计算结果见表 1、表 2。

(4)分析对比

等效荷载法是用一组等效荷载代替有效预应力对结构的作用，可以正确地反映结构在有效预应力作用下的初始状态，即等效荷载法的节点位移、杆件轴力是在预设预应力状态下的正确值。但由于结构中没有预应力筋，预应力筋没有与混凝土一起参与结构的后期受力，当进一步加载时，此模型计算结果显然与实际情况不相符合。

计算结果可以看出，不计弹性收缩实体力筋法，即用式(1)换算的温度降幅在23杆产生的实际轴力只有117.826 kN，即58.913 MPa，并未达到预设的100 MPa，也就是说最终的预应力与预设有效预应力存在差异，5节点位移也和等效荷载法的结果间存有很大差异，说明这种模拟不能和预设效果相符，没有能够准确地模拟有效预应力下的结构力学状态。

考虑弹性收缩的实体力筋法，即用式(3)换算的等效降温在23杆产生的实际轴力几乎和预设应力100 MPa对应的轴力200 kN一致，两者误差仅为0.001 5%，节点位移结果也和等效荷载法下的几乎一致，说明此法可以正确模拟结构在有效预应力下的受力状态，且结构中含有力筋单元，与混凝土一起参与结构的后期受力，当进一步加载时，此模型能计算出与实际情况相符的结果。

对图 3所示的平面简支梁问题，结构尺寸1.2 m×0.2 m，厚度取0.01 m,混凝土弹性模量E_c=2e10 Pa，泊松比μ_c=0.166 7，现欲在离下边界0.02 m处张拉一根预应力筋，筋截面面积A=0.000 1 m²，钢筋弹性模量E_s=2e11Pa，泊松比μ_s=0.3，材料的热膨胀系数为α=1.0e－5 ℃^-1。筋单元6等分，设从左至右各段的预设张拉应力分别为200，210，220，230，230，250 MPa。现用3种方法(平面单元均采用四节点单元)模拟结构预应力筋张拉后的力学状态。

图 3 平面简支梁结构示意图(单位：cm) Fig. 3 Plane simply supported beam structure(unit:cm)

图选项

(1)采用等效荷载法，结构计算模型见图 3(a)，混凝土单元网格划分如虚线示意。根据预应力等效的相对张拉力F=Aσ，可知应该施加在混凝土节点0上的集中力荷载为20 kN，方向向右;施加在节点1,2,3,4,5上的集中力荷载为1 kN，方向向右;施加在节点6上的集中力荷载为25 kN，方向向左。

(2)采用实体力筋法，钢筋处理为嵌入混凝土的桁架单元，计算模型见图 3(b)。用式(1)可得各段筋单元的降温荷载值为100,105,110,115,120,125 ℃。

(3)本文方法，采用计算模型3(b)，由等效荷载法的位移结果计算得到的力筋01至56节点间总应变值分别为-0.001 19，-0.001 215，-0.001 28，-0.001 34，-0.001 385，-0.001 495，用式(3) 计算得考虑弹性收缩的相应降温荷载值ΔT′为：-219,-226.5,-238,-249,-258.5,-274.5 ℃。

计算结果见表 3、表 4。

(4)分析对比

从计算结果可看出，对不计弹性收缩的实体力筋法，根据有效预应力换算的温度降低，产生的节点位移和等效荷载法的结果存有很大差异，在01筋单元至56筋单元上实际产生的应力未达到预设值，没有能准确地模拟出有效预应力状态。

对考虑弹性收缩的实体力筋法，得到的各节点位移与等效荷载法计算结果一致，产生的预应力筋实际应力值和预设有效预应力值误差很小，表明了本方法对于平面问题有效预应力模拟的正确性。

对图 4所示的空间简支梁问题，结构尺寸1.2 m×0.2 m×0.1 m,混凝土弹性模量E_c=2e10 Pa，泊松比μ_c=0.166 7，现欲在离下边界0.02 m，厚度中间位置处张拉一根预应力筋，筋截面面积A=0.000 1 m²，钢筋弹性模量E_s=2e11Pa，泊松比μ_s=0.3，材料的热膨胀系数为α=1.0e－5 ℃^-1。设力筋01段、12段、23段、34段、45段、56段的有效张拉应力分别为200，210，220，230,240,250 MPa，同上进行3种建模方法的模拟对比分析。

图 4 空间简支梁结构示意图(单位:cm) Fig. 4 Structure of space simple supported beam (unit:cm)

图选项

(1)等效荷载法，结构计算模型为图 4(a)，虚线为混凝土单元划分情况。同平面问题计算得在混凝土节点0上的集中力荷载为20 kN，方向向右；施加在节点1，2，3，4，5上的集中力荷载为1 kN，方向向右；施加在节点6上的集中力荷载为反方向25 kN。

(2)采用实体力筋法，计算模型为图 4(b)。用式(1)可得各段筋单元的降温荷载值为100，105，110，115，120，125 ℃。

(3)采用本文方法，仍然采用计算模型4(b)，由等效荷载法的位移结果计算得到的力筋01至56节点间总应变值分别为-0.000 140 275，-0.000 12，-0.000 125，-0.000 135，-0.000 135，-0.000 18，用式(3) 计算得考虑弹性收缩的力筋相应降温荷载值ΔT′为：-114.027 5，-117，-122.5，-128.5，-133.5，-143 ℃。

计算结果见表 5、表 6。

(4)分析对比

对比计算结果的结论同平面问题，对不计弹性收缩的实体力筋法，根据有效预应力换算的温度降低，产生的节点位移和等效荷载法的结果存有很大差异，在01筋单元至56筋单元上实际产生的应力未达到预设值，没有准确地模拟出有效预应力效果。

对考虑弹性收缩的实体力筋法，得到的各节点位移与等效荷载法计算结果一致，预应力筋的实际应力值和预设的有效预应力值吻合很好，表明了本方法对于空间问题有效预应力结构模拟的准确性。

4 结论

本文通过研究预应力模拟的等效荷载法和实体力筋法，提出了考虑混凝土弹性收缩引起预应力损失的等效温度计算公式，通过无筋模型和有筋模型的两次建模计算，以达到准确模拟预设预应力加载状态目的。该实体力筋法能在多种有限元通用软件中得以实现，通过实例验证计算，结果表明该方法简便实用，能实现有筋模型中有效预应力的准确模拟，为真实模拟预应力混凝土结构张拉加载、后续加载的受力分析，提供了又一种有效的方法。