传统的汽车零部件可靠性是在静强度框架下，所关注的只是是否失效，而在疲劳框架下还需考虑何时失效。由于工程材料特性的离散性以及测量、加工、制造和安装误差等因素的影响，汽车零部件初始结构参数具有一定的不确定性；同时，在使用过程中难免会出现随时间变化的不确定性因素。因此，在机械工作时其零部件的可靠度随时间不断变化，即一些学者^{[1, 2]}将其定义为时变可靠性。时变可靠性远比静态可靠性复杂得多，可以实时反映汽车零部件的可靠性。时变可靠性灵敏度设计，是在可靠性基础上进行结构的灵敏度设计，可以评价任意时刻设计参数的改变对可靠性的影响，受到越来越多的重视。

SALVATORE等^{[3, 4]}对动态可靠性进行了一定的研究，主要是针对动载荷对零部件的作用进行可靠性分析，但是整个分析过程中没有考虑强度和载荷与时间的关系，因此实质上不属于时变可靠性分析的范畴。石博强等^{[1, 2]}研究了初始结构参数及强度确定的机械零部件在使用过程中结构参数、强度及载荷受到不确定因素影响的时变可靠性。王新刚等^{[5, 6]}建立了变幅随机载荷和强度退化下的机械零部件动态可靠性模型,并研究了初始参数对可靠性的动态灵敏度。王正等^{[7, 8]}运用泊松随机过程描述载荷的作用过程，分别建立强度不退化和强度退化时的零件动态可靠性模型。ANDRIEU-RENAUD等^[9]基于体系可靠性分析技术提出了一种求解时变可靠性的高效方法。黄新萍等^{[10, 11]}针对时变结构可靠度分析方法开展了研究。张义民等^{[12, 13, 14, 15, 16]}在机械零部件可靠性灵敏度分析做了大量的工作，提出多种可靠性灵敏度分析的计算方法，并讨论了任意分布参数的机械零件的可靠性灵敏度设计问题。

目前针对汽车零部件可靠性及其灵敏度的研究相对较多，主要基于初始结构参数对可靠性的灵敏度。而对于初始参数不确定条件下各参数的时变不确定性(例如实际使用过程中零部件的磨损、腐蚀及热变形等导致尺寸的时变，遭遇的工作环境不断恶劣等)，导致汽车零部件本身强度与实际受到应力的时变，对可靠性灵敏度影响的研究很少。本文考虑初始不确定性，推导改进的一维布朗运动随机微分方程，构建载荷和结构参数的时变模型。运用材料 S-N 特性求得剩余强度分布模型，结合应力-强度干涉理论，建立考虑初始结构参数不确定性的汽车零部件时变可靠性模型。在基本参数的概率特性及其时变特性已知的情况下，通过灵敏度与时间的曲线得到汽车零部件在不同使用期间可靠性的灵敏度。

设(Ω,F,P)是一个概率空间，Ω为概率空间中的非空集合，F为Ω上的σ代数，P为Ω上的一个概率测度。假设随机变量X满足：

点击浏览公式

式中，t为时间变量；{B(t),t≥0}为一维标准布朗运动；λ和δ为常系数。

实际中在时间里程下载荷s及结构参数x受到确定性和不确定性因素共同作用，均为概率演化模式，因此其服从方程：

点击浏览公式

点击浏览公式

式中，λ_s与λ_x分别为载荷和结构参数的漂移率，为确定性因素产生的变化效应；δ_s与δ_x分别为载荷和结构参数的波动率，为不确定性因素产生的随机波动;漂移率和波动率均与时间无关。

同时，ln s(t)，ln x(t)服从正态分布^[17]：

点击浏览公式

点击浏览公式

式中波动率和漂移率基于实际测试得到，具体计算可参考文献[17]。

由于汽车零部件初始结构参数x(0)与初始载荷s(0)的不确定性，假设s(0)和x(0)的概率分布函数分别为 F₁[s(0)]和F₂[x(0)]，则在时变条件下ln x(t)的分布是由不同的x(0)时变后的分布加权而得，其中x(0)对应的权重为概率分布F₁[x(0)]，可得 ,，假设结构参数的波动率和漂移率为独立变量，因此时变条件下结构参数的对数ln x(t)时变分布为

点击浏览公式

即

点击浏览公式

同理，可得考虑汽车零部件初始载荷不确定性条件下的载荷时变分布为:

点击浏览公式

因此，结合式(7)、(8)及应力计算模型即可求出应力的时变分布。

(1)基于材料S-N特性的剩余强度的均值

疲劳过程通常也可认为是循环载荷作用下材料强度不断退化的过程。它不仅与载荷的循环次数有关，而且还与加载的应力水平有关，即

点击浏览公式

式中，n为载荷作用的循环次数；S为载荷的大小。

对于金属材料，从疲劳机理而言，初期疲劳载荷作用下产生的缺陷如错位、滑移、空洞等对金属材料的影响很小，但在后期其缺陷-裂纹使得其强度迅速下降，从而发生疲劳断裂，具有如下特征：

① r(0)=σ_b，初始边界条件，即剩余强度的初始值等于材料的抗拉强度；

② r(N)=S_p，终了边界条件，为破坏准则，即当剩余强度等于疲劳载荷峰值时材料发生破坏，此时的循环次数为疲劳寿命N；

③ R(n)是单调递减函数，疲劳开始作用时强度退化很慢，即趋于0，而在载荷作用后期具有“突然死亡”行为。

根据疲劳损伤过程的特点^[18]，强度退化模型可以写成如下形式：

点击浏览公式

式中,σ_r(n)为第n个循环时的剩余强度;σ_a为作用的循环应力;A和B均为强度退化系数。根据热力学观点，损伤是不可逆的。对于强度退化模型，剩余强度σ_r(n)应为单调递减的函数。对式(10)求导得：

点击浏览公式

可见，只有当A＜1时，该强度退化模型为一凸函数。

在区间[0,n]对强度退化模型进行积分可得：

点击浏览公式

即

点击浏览公式

当n=N时，疲劳失效，则有σ_r=σ_a，因此，可得：

点击浏览公式

对于高周疲劳的金属材料BN一般大于10，A则小于1，因此，可对式(14)进一步简化，即：

点击浏览公式

将式(14)代入式(12)得到：

点击浏览公式

因此，结合材料的疲劳试验数据，采用非线性拟合或最大似然估计法计算得到强度退化系数。

载荷S₁作用n₁次循环后的强度与载荷S₂作用n₂₁次循环等效，即唯象地有:

结合式(14)可得：

点击浏览公式

载荷S₁作用n₁次循环，载荷S₂又作用n₂次循环后的剩余强度为：

点击浏览公式

以此类推，在载荷S_i作用n_i后的剩余强度的均值为：

点击浏览公式

令n_j=1，对式(19)进行计算，即可用于计算任意分布载荷作用下剩余强度的均值。

(2)剩余强度的分散性

假定不同寿命分数n/N剩余强度r(n)的分散性相似是合理的，即对于不同的n/N，剩余强度r(n)的分布函数相同。假定剩余强度r(n)服从正态分布，在不同寿命分数n/N的分布函数^[19]为：

点击浏览公式

当n/N=0时，剩余强度r(n)的分布就是静强度σ_b的分布，均值μ_r(0)与标准差σ_r(0)可采用最大似然估计或最小二乘法等计算得到，同时可以计算出变异系数V_r(0)。

当n/N=1时，剩余强度r(n)的分布即是疲劳强度的分布，一般很难通过疲劳试验获得疲劳强度分布，但可由疲劳寿命的分布去分析疲劳强度的分布。不少研究学者表明：给定载荷S下疲劳寿命大于N的条件概率和指定疲劳寿命N下的疲劳强度大于S的条件概率相等，即:

点击浏览公式

对S求导可得:

点击浏览公式

由此可以求出n/N=1时剩余强度的分布，其均值μ_r(1)、标准差σ_r(1)及变异系数V_r(1)也可采用最大似然估计或最小二乘法等计算得到。

如果F_r(n|N)是在寿命分数x=n/N时的剩余强度概率密度函数，文献[8]提出假定不同寿命分数时剩余强度均值和变异系数的分散性是线性变化的，即:

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

文献[20]提出零部件的疲劳寿命的分散性与应力水平存在线性关系，又由于疲劳寿命的均值与应力水平也存在线性相关，因此，疲劳寿命的分散性与疲劳寿命的均值也存在一定线性关系，即

点击浏览公式

(3)时变下剩余强度分布模型

载荷的寿命分数x_j=n_j/N_j，它和 与时间t/T等效，因此，在时变下载荷S₁作用n₁次循环加载到载荷S_i作用n_i次循环，零部件的剩余强度均值和标准差分别为：

点击浏览公式

点击浏览公式

由式(27)和(28)可得时变条件下剩余强度的分布。

根据应力-强度干涉理论，令时变条件下汽车零部件可靠性的状态方程为：

点击浏览公式

式中，X(t)为基本随机参数矢量，因此零部件的可靠度可以表示为：R(t)=P[r(t)－σ(t)>0]，即

点击浏览公式

失效概率F(t)=1－R(t)。

失效率的定义可知，它是单位时间内发生故障的概率，其表达式为:

点击浏览公式

可靠度对初始参数均值μ_x和标准差σ_x的灵敏度为:

点击浏览公式

点击浏览公式

可靠度对时变参数漂移率λ和波动率δ的灵敏度为：

点击浏览公式

点击浏览公式

(1)基本参数

以某汽车驱动桥半轴为例，材料为45^#钢，其扭转剪切应力计算公式为：

点击浏览公式

式中，T_b为驱动桥半轴所受到的转矩；D为驱动桥半轴最小直径。

假设驱动桥半轴初始值扭矩T_b(0)=1.7×10⁴ N·m ，转矩的漂移率为λ_T=10^－4，波动率为δ_T=8×10^-3；由于制造工艺的差异性，驱动桥半轴直径D(0)服从正态分布D(0)～N(62,0.31²)，单位mm，其直径时变的漂移率为λ_D=-2×10^－5，波动率为δ_D=2×10^-4；扭转破坏试验得到驱动桥半轴的初始抗扭强度服从r(0)～N(600,15²)。根据45^#钢的疲劳试验数据，拟合得到S－N特性为ln S=－0.050 7ln N+6.523，因此强度退化系数约为0.050 7；疲劳极限为219 MPa，疲劳寿命的标准差与疲劳寿命的均值的关系为ln σ_N=1.129 2 ln N-2.793 9。计算该汽车工作1年后驱动桥半轴的可靠度、失效率及各参数对可靠性的灵敏度。以上主要数据来自于参考文献[3, 4, 9]。

对式(36)两边取对数ln τ=ln(16/π)+ln T_b－3ln D由于驱动桥半轴初始参数D(0)的不确定性，时变条件下ln[D(t)]的分布函数为:

点击浏览公式

在考虑驱动桥半轴初始结构参数强度不确定条件下初始结构参数、剩余强度及载荷的时变应力的对数ln τ(t)分布有:

点击浏览公式

点击浏览公式

驱动桥半轴的时变可靠度为:

点击浏览公式

因此，结合式(27)，(28)，(38)及(39)即可求得可靠度、失效率及各参数对可靠性的灵敏度。

(2)结果分析

采用Matlab计算得到驱动桥半轴初始的可靠度R(0)=1，失效概率P_f(0)=0。因此，如果不考虑半轴直径、剩余强度及载荷随时间变化，则在设计工作期内可靠度为R(0)=1，失效概率P_f(0)=0。

如果考虑驱动桥半轴最小直径、剩余强度及载荷随时间变化，计算得到1年后驱动桥半轴的可靠度为R(365)=0.985，失效概率P_f(365)=0.015。可靠度随时间的变化规律如图 1所示，失效率随时间变化规律如图 2所示。

图 1 可靠度随时间的变化规律 Fig. 1 Curve of reliability varying with time

图选项

图 2 失效率随时间变化规律 Fig. 2 Curve of failure rate varying with time

图选项

由图 1可知，驱动桥半轴的可靠度随工作时间增加在逐渐降低，而且后期较为明显。由图 2可知，由于主要考虑疲劳损伤对强度退化、初始结构参数的不确定性以及结构参数、强度和载荷随时间变化，没有考虑零件的缺陷、工艺、质量控制等其他形式失效，因此其本身就不具有早期失效的因素，驱动桥半轴失效率随工作时间增加在逐渐增加。

驱动桥半轴直径的均值、标准差、漂移率、波动率对可靠性的灵敏度分别如图 3~图 6所示。

图 3 直径均值的可靠度灵敏度随时间变化规律 Fig. 3 Curve of reliability sensitivity of mean of diameter varying with time

图选项

图 4 直径标准差的可靠度灵敏度随时间变化规律 Fig. 4 Curve of reliability sensitivity of standard deviation of diameter varying with time

图选项

图 5 直径时变漂移率的可靠度灵敏度随时间变化规律 Fig. 5 Curve of reliability sensitivity of time-dependent drift rate of diameter varying with time

图选项

图 6 直径时变波动率的可靠度灵敏度随时间变化规律 Fig. 6 Curve of reliability sensitivity of time-dependent fluctuation ratio of diameter varying with time

图选项

从图 3~图 6可知，驱动桥半轴任意时刻的可靠性均随直径均值与时变漂移率(负数)的增加而增加，随直径分散性与时变波动率的增加而减小。任意时刻直径均值对可靠性的灵敏度约是标准差的10倍。漂移率对驱动桥时变可靠性的灵敏度影响相对较大，因此在实际结构设计中，应考虑结构参数的时变性。

(1)从汽车零部件的实际工况和载荷实际作用效果出发，推导出了一种考虑初始不确定性的基于一维布朗运动随机微分方程的载荷和结构参数的时变模型，运用材料S-N特性建立了剩余强度分布模型，结合应力-强度干涉模型，提出了一种既考虑初始结构参数及强度不确定性又考虑实际使用过程中不确定性的可靠性及其灵敏度的计算方法。

(2)以某汽车驱动桥半轴为例，计算了时变条件下驱动桥半轴的可靠度、失效率及各参数对可靠性的灵敏度。