随着我国城市化进程的加速，城市群之间的同城化效应越来越明显，为了促进城市间经济协调发展，城市群建设轨道交通系统显得非常重要。为此，许多城市提出并规划建设大容量的城际轨道交通系统，以加快城市间人、物、资金及信息的流动，引导区域空间结构重构^{[1, 2]}。

目前，我国关于城际轨道交通的规划方法研究尚处于初级阶段，如何合理规划城际线网，整合城市资源，优化产业结构成为需要研究的重要问题。其中，城际轨道交通主骨架的确定是城际轨道交通线网布局的关键环节，对这个多目标的优化问题需要进行深入研究^{[3, 4]}。

对于本文提出的问题，国内外学者在相关领域进行了多方面的研究。

在节点选取分级方面，汤有富^[5]认为中心城镇是城际枢纽(站点)布局的首选位置，分析了客流集散点大的区位客流量、流向和出行分布等因素，划分了节点规模和等级。房新智^[6]构建了引力和场强模型划分城市层次，结合各城市人口、基年全社会客流量OD表及未来各节点客流量增长倍数的分析来确定节点等级。邹芳^[7]考虑节点间的出行密度和交通空间距离来计算节点综合隶属度，以划分节点等级。赵长江^[8]运用层次分析法，选取人口、工业生产总值、国民生产总值、客运量和连接铁路条数为指标层，衡量了各节点权重划分节点层次。国内外关于节点方面的研究采取定性与定量相结合的方法，定量选取主要从节点的经济指标、客流量、出行密度等方面建立指标。

在轨道交通线网布局方面，Church等^[9]对研究区域划分单元格并进行打分，累计单元格的分数得到单元格的权重值，用最短路径法选取权重最小线路。Current等^[10]运用启发式算法求解了线网最短路径和最短行程。汤有富^[4]提出了从枢纽到网络的城际轨道线网布局方法，根据交通区位的理论分析，对每条走廊的经济水平、城镇布局、交通布局和交通需求等特点进行综合分析，确定了城际轨道交通的主骨架线路。房新智^[6]运用点、线、面层次分析法，选取划分节点，分析了主要交通走廊的基础，同时考虑城际轨道对城市群发展的引导作用，分析了必选城际轨道交通线网的主骨架。赵长江^[11]采用点线面和功能层次分析法相结合的线网规划方法，考虑城市空间布局、产业布局等因素结合客运走廊分析，确定了城际线网的主骨架。

国外轨道线网研究主要是针对单线网，尚未应用至整个网络，且方法的实证性研究很少。我国城际轨道交通线网规划刚起步，主要借鉴城市轨道交通和公路网规划理论和方法，采用的规划方法主要有点线面要素层次分析法、功能层次分析法、逐线规划扩充法、效率最大优化法、主客流方向线网规划法等。目前线网规划方法以定性分析为主，考虑客流集散点、客流分布、线网结构、产业以及城市功能形态等因素规划线网方案。定量分析只体现在客流预测上，在客流分析的基础上确定城际轨道交通主骨架。

然而，城际轨道交通节点和主骨架的确定不仅受客流影响，还要考虑区域政治、产业和文化旅游等因素。同时由于城际轨道与城市轨道在规划范围、吸引范围和客流量特性等方面存在差异，因此，本文针对城际线网确定过程中定性因素较多的特点，分析影响节点选取和主骨架确定的多方面影响因素，通过计算节点重要度和城市间经济引力，构建双层优化模型，为城际轨道交通线网主骨架的确定提供定量分析的方法。

城际轨道交通主骨架的确定问题可以简化为在既定区域内如何选定节点并确定线网走向两大步骤。借鉴城市轨道交通线网规划的理论和方法，考虑城镇群发展水平差异，产业发展布局、客流特征、客流的总体分布和不同城市节点的交通特性等因素，结合以城镇节点重要度层次、城市间经济引力和客运需求预测得到的交通走廊分布，分析路线走向，确定城际轨道交通线网主骨架，其具体流程图如图 1所示。

图 1 城际轨道交通线网规划流程图 Fig. 1 Flowchart of intercity rail transit network planning

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不同于城市轨道交通，城际线网一般选取核心城市、次核心城市、重要的县、旅游景区和工业园区等为节点，同时还要考虑各城市节点功能、地位以及在区域发展中的作用^{[6, 7]}。

节点的功能和性质与节点所在区域政治、经济和交通等状况密切相关。因此，选取人口、国内生产总值、工业总产值、客货运量和节点衔接的铁路条数5个基础指标^[8]。根据层次分析法建立影响节点重要度的目标层(城际线网节点重要度)和指标层(人口、国内生产总值、工业总产值、客货运量、节点衔接的铁路条数)，如图 2所示。

图 2 节点重要度的评价指标体系 Fig. 2 Evaluation index system of node importance

图选项

节点重要度用来描述1个节点在区域内重要程度的相对指标，可用来衡量比较不同节点功能的强弱。通过专家打分法确定指标层和次指标层中各指标的权重。城镇群中各节点i(i=1,2,…,n)的重要度R_i计算如下。

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式中，R_i为节点i的重要度；P_ij为节点i处j(j=1,2,…,n) 的指标值；P_kj为节点k处j(j=1,2,…,n)指标值；n为节点数量；m为所选取的评价指标数量；ω_j为各指标的权重。

根据计算结果，对规划范围内各节点的重要度进行排序，并依据节点重要度将节点分成3级。在确定城际线网主骨架时，主要考虑第1级和第2级节点。第1级节点是城镇群的重要支撑点，是城际轨道交通的枢纽点节点；第2级节点与第1级节点构成线网主骨架的主要走向，满足主要城际客运需求。在考虑线网完整、规模和照顾沿线县市区出行需求的条件下，串联3级节点。

城镇群之间同时存在互补和辐射两种作用方式，表现为交通现象的空间集散。交通需求和经济发展存在着极为密切的关系，城镇间经济联系越强则说明其交通需求越大。为了量化这一指标，引入城市之间经济应力F_ij，根据各个城镇的人口、经济和距离计算不同城镇之间的经济引力F_ij^{[12, 13]}。

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式中，F_ij为i城镇和j城镇间的经济引力；P_i，P_j分别为i城镇与j城镇的人口；V_i，V_j分别为i城镇与j城镇的经济指标；d_ij为i城镇和j城镇间的距离；λ为经济结构属性指标，对于城市群内部λ取值为1。

定义图G(V,E)，其中V={1,2,…,N}为节点集合，E={(i,j)/i≠j,i,j∈V}为边集合。R_i为节点i的重要度；实数对(d_ij,F_ij)定义在边E=(i,j)上，其中d_ij为节点i和j间的距离；F_ij=F(i,j)，F_ij为节点i和j间的经济引力，如图 3所示。

图 3 节点网络示意图 Fig. 3 Schematic diagram of node network

图选项

第1层模型：以最短路径上的节点间经济引力总和最大建立数学模型。

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第2层模型：以线路所经过节点重要度之和最大建立数学模型。

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式中,F_ij为远景年节点V_i和节点V_j之间的经济引力；X_ij为决策变量，X_ij=1表示边(i,j)在城际线网上，X_ij=0表示边(i,j)不在城际线网上；R_i为规划基础年节点V_i的节点重要度；N为选取的节点个数；d_ij为节点V_i和节点V_j之间的距离。L_min为城际铁路的最小站间距；R_max为第3层次节点重要度最大值。

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)是一种基于迭代的优化算法。PSO 算法属于进化算法的一种，与模拟退火算法相似，它也是从随机解出发，通过迭代寻找最优解，它比遗传算法规则更为简单，没有遗传算法的交叉 (Crossover) 和变异 (Mutation) 操作，它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。这种算法具有实现容易、精度高、收敛快等优点。系统初始化为一组随机解，每次迭代，粒子通过跟踪两个极值来更新自己^{[14, 15]}。改进的PSO算法在确定主骨架时首先考虑最短路径上节点间的经济引力总和最大化。考虑线路所经过节点重要度之和最大，采用双层优化模型优化，具体步骤如下^[16]：

步骤1：选取各中心城市作为起迄点，建立节点间的距离矩阵和经济引力矩阵。在满足全部约束条件的情况下，按照Dijkstra算法搜索每对起迄点之间的最短路径，并计算每对起迄点最短路径上节点间的经济引力总和F₁。

步骤2：搜索最短路组。按照Dijkstra算法搜索，其长度不能超过最短路长度的5%，搜索第2~5条最短路径，并计算搜索到的线路上节点间的经济引力总和，但是，后搜索的线路须满足所有约束条件。

步骤3：最短路组按照经济引力总和由大到小排序。搜索的第2~5条最短路径，如果∃F_i < F₁(i=2,3,4,5)，则舍去此条路径，然后按照经济引力大小进行排序。

步骤4：确定最优线路。计算最短路组中节点重要度之和R_i，如果∃F_i > F₁，R_i > R₁则取之，否则继续搜索，直到找到该线路(找到最后，可能是最短路径为最优线路)。

以宁夏沿黄河经济区城市群(以下简称沿黄经济区)为例，应用本文提出的上述方法。根据相关规划，沿黄经济区规划范围包括银川市、吴忠市、石嘴山市、中卫市4个地级市13各县(市、区)，共有60个重点乡镇，600个中心村。涉及兴庆区、金凤区、西夏区、永宁县、贺兰县、灵武市、利通区、青铜峡市、惠农区、大武口区、平罗县、沙坡头区、中宁县和海原县13个县(市、区)，为宁夏的精华地带。该区国土面积2.87×10⁴km²，占自治区总面积的43%。

首先，通过专家打分法，确定节点重要度中指标层的权重。获得各指标权重后，利用基年沿黄经济区域各城市的相关指标，计算城际轨道交通网络中各节点i(i =1,2,…,n)的重要度指数。分析计算节点重要度如表 1所示。

根据城市重要度的计算对城市进行分级。第1级节点城市(区、县)为：银川市、石嘴山市、沙头坡区和灵武市；第2级节点城市(区、县)为：利通区、青铜峡市、中宁县和平罗县；第3级节点城市(区、县)为：永宁县、贺兰县、盐池市、同心县和红寺堡区。

根据沿黄经济区主要城市基年、规划年度的人口指标及不同城市间的距离，根据经济引力的公式计算各城市间2030年经济引力，如表 2所示。

可以看出，沿黄经济区以银川为中心，银川与各城市节点的经济引力比较大，经济发展联系紧密。

沿黄经济区城际轨道交通网络拓扑图如图 4所示。按照Dijkstra算法搜索5条最短路径，计算结果如表 3所示。

图 4 城际轨道交通线网网络拓扑图 Fig. 4 Topology of intercity rail transit network

图选项

以改进POS算法进行搜索，1—5—3—4—7—11—13—12为沿黄城际轨道交通主骨架，如图 4所示。该主骨架应该体现以银川—吴忠为核心，以石嘴山和中卫为两翼，以主要交通通道为轴线的空间开发格局，比较符合实际。

本文基于数学规划的方法提出了确定城际轨道交通的主骨架模型和方法。考虑城市间的经济相互联系，满足城市间经济联系的需求，以定量分析为主，定性分析为辅。引入节点重要度和经济引力建立双层优化模型，以改进的POS算法确定主骨架。将沿黄经济区城际线网主骨架进行了实证性应用，具有一定的应用价值。