多室箱梁在大跨度桥梁结构中应用广泛，其剪力滞效应不容忽视，而目前针对箱梁剪力滞效应的能量变分法研究多局限于单室箱梁^{[1, 2, 3, 4, 5]}，文献^{[6, 7]}研究多室箱梁时对不同翼板采用相同的纵向位移差函数并设参数进行修正，简化了计算但计算精度有待提高，并且未考虑剪力滞效应引起截面中性轴变化的影响。

本文对多室箱梁不同翼板设置不同剪滞纵向位移差函数，纵向翘曲位移函数横向分布规律采用k次抛物线以便于分析不同翘曲位移函数的精度，同时考虑全截面轴力自平衡的条件以自动修正截面中性轴变化的影响，根据能量变分法推导出多室箱梁剪滞效应的控制微分方程组及其闭合解，并通过双室和三室梯形箱梁数值算例来验证本文分析方法的正确性。

多室箱梁截面几何参数以及各翼板局部坐标系，如图 1所示，其中h为箱梁截面高度；b₁,2b₂和t₁,t₂分别为悬臂翼板、梯形室顶板的宽度和厚度； 2b_i,t_i,t′_i(i=3,m－1) 分别为矩形室顶、底板宽度和厚度；2b_m,t_m为梯形室底板的宽度和厚度； t_wi(i=1,n+1) 为各腹板宽度；θ为外腹板的倾角；z_i,z_j分别为顶板和底板中心轴竖向坐标。顶、底板局部坐标系原点均取在该翼板中心投影到截面形心轴的位置，悬臂板局部坐标系原点取在悬臂自由端，x轴方向根据yz轴由右手螺旋法则确定，本章所指纵向、横向及竖向分别指沿x，y，z轴方向。

图 1 室箱梁截面几何参数及局部坐标系 Fig. 1 Geometric parameters of n-cell box girders cross-section and local coordinate system

图选项

关于m的取值：n=2t－1,2t时，m=t+2，其中t=1,2,…。

(1)腹板变形仍采用平截面假定；

(2)忽略翼板竖向压缩和横向位移及板面外剪切应变的影响；

(3)荷载作用线与腹板中线重合，且每一腹板上加载与腹板面积成正比，因而腹板的变形大致相同；

(4)对悬臂板、顶板和底板分别采用不同纵向位移差函数，由于翼板宽度相同时纵向位移差函数也相同^[8]，则矩形室顶底板采用同一个纵向位移差函数，翼板和腹板的纵向翘曲位移函数分别假设为 U(x,y,z)=－zw′(x)+ξ(x,y)，即：

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考虑横截面翘曲正应力自平衡，由轴力为零可得：

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2 控制微分方程组及其闭合解 2.1 多室箱梁结构总势能

外力势能为 箱梁腹板和翼板应变能为：

则多室箱梁结构总势能为：

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由最小势能原理δП=0可得以下控制微分方程组：

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将式(4)联立消去含w项，可写成如下形式：

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式(6)对应的齐次微分方程组的通解^[10]为：

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当分布集度q(x)=f₁x+f₂时，式(6)的特解为：

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由边界条件可求常数L₁~L_2m，则翼板纵向应力：

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根据理论推导过程利用Matlab软件编写程序求解简支梁和悬臂梁的剪力滞效应，并通过单箱双室箱梁(图 2)、单箱三室箱梁(图 3)两个算例将本文变分法与Ansys有限元法计算结果进行对比，材料弹性模量E=31 GPa，泊松比μ=0.166 7。

图 2 双室箱梁截面尺寸及计算节点(单位:m) Fig. 2 Geometry dimensions and calculating nodes of double-cell box girder (unit:m)

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图 3 三室箱梁截面尺寸及计算节点(单位:m) Fig. 3 Geometry dimensions and calculating nodes of 3-cell box girder (unit:m)

图选项

(1)简支梁计算跨径l=50 m，荷载形式有3种：跨中集中力P=20 kN，满跨均布力q=2 kN/m和梯形分布力q(x)=(1+0.05x)kN/m；

(2)悬臂梁计算跨径l=20 m，荷载形式有3种：自由端集中力P=20 kN,满跨均布力q=2 kN/m和梯形分布力q(x)=(2－0.05x) kN/m。

利用Ansys有限元软件对上述6种计算工况建模分析，双室简支箱梁和悬臂箱梁有限元模型，见图 4。

图 4 双室箱梁有限元模型 Fig. 4 Finite element model of double-cell box girder

图选项

由表 1和图 5、图 6分析可知：

(1)集中力作用时，本文方法和有限元法求得上翼板应力相对误差范围为-5.9%~6.6%，底板相对误差范围为-2.3%~7.0%；

(2)满跨均布力作用时，上翼板相对误差范围为-2.9%~9.5%，底板为0.4%~2.2%；

(3)梯形分布力作用时，上翼板误差比范围为-4.0%~14.0%，底板为-0.1%~3.0%；

(4)上翼板最大误差均发生于悬臂板外端，底板最大误差简支梁发生于边腹板底部、悬臂梁发生于中腹板底部；

(5)当纵向翘曲位移横向分布规律的抛物线次数取3时(即k=3)，箱梁顶板计算结果更接近于有限元解；当抛物线次数取2时(即k=2)，箱梁悬臂板计算结果更接近于有限元解；抛物线次数取值对箱梁腹板顶部计算结果影响较小。

图 5 双室简支箱梁跨中截面上翼板纵向应力对比图 Fig. 5 Comparison of wing plate’s longitudinal stresses at mid-span section of 2-cell simple-supported box girder

图选项

图 6 双室悬臂箱梁固定端截面上翼板纵向应力对比图 Fig. 6 Comparison of wing plate’s longitudinal stresses at fixed end cross-section of 2-cell cantilever box girder

图选项

计算工况同3.1节，三室简支箱梁和悬臂箱梁有限元模型，如图 7所示。

由表 2和图 8、图 9分析可知：

(1)集中力作用时，本文方法和有限元法求得上翼板应力相对误差范围为-6.3%~7.7%，底板相对误差范围为-3.9%~7.7%；

(2)满跨均布力作用时，上翼板相对误差范围为-4.4%~9.2%，底板为-1.5%~8.3%；

图 7 三室箱梁有限元模型 Fig. 7 Finite element model of 3-cell box girder

图选项

(3)梯形分布力作用时，上翼板误差比范围为-5.0%~16.5%，底板为-3.0%~9.8%；

(4)上翼板最大误差均发生于悬臂板外端，底板最大误差均发生于中腹板底部；

(5)当抛物线次数取3时，顶板计算结果更接近于有限元解；当抛物线次数取2时，悬臂板计算结果更接近于有限元解；抛物线次数取值对腹板顶部计算结果影响较小。

综上可知，本文分析方法和Ansys有限元法相对误差很小，两种方法计算的翼板应力沿横向变化规律基本一致。

图 8 三室简支梁跨中截面上翼板纵向应力对比图 Fig. 8 Comparison of wing plates longitudinal stresses at mid-span section of 3-cell simple-supported girder

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图 9 三室悬臂梁固定端截面上翼板纵向应力对比图 Fig. 9 Comparison of wing plates longitudinal stresses at fixed cross-section end of 3-cell cantilever gieder

图选项

本文针对多室箱梁利用能量变分法推出n室箱梁剪滞效应的控制微分方程组及其闭合解，并通过两室和三室梯形箱梁进行验证，主要结论如下：

(1)本文假定的剪滞翘曲位移函数能反映多室箱梁不同翼板纵向翘曲位移的差异，变分法计算结果与Ansys有限元解比较吻合，两种方法计算的翼板应力沿横向变化规律基本一致，证实了本文所作假定和理论推导的正确性。

(2)纵向翘曲位移横向分布规律取不同抛物线次数对计算精度的影响：当抛物线取3次时，箱梁顶板计算结果更接近于有限元解；当抛物线取2次时，悬臂板计算结果更接近于有限元解；抛物线次数取值对箱梁腹板顶部计算结果影响较小。

(3)本文方法可直接用于分析简支梁和悬臂梁的剪力滞效应，还适用于等截面多室连续箱梁，只需将连续梁根据反弯点肢解成若干简支梁和悬臂梁即可；另外，本文所得位移模式可用于有限段法以分析变截面、连续多室箱梁等复杂结构。