地下空间的开发与利用已经受到了人们的广泛重视，在地下岩体的施工过程中，隧洞围岩分类是一项重要的研究内容。围岩类别的确定是对岩体质量和稳定性的一种综合评价，同时也对地下工程稳定性、安全性起着非常重要的作用^[1]。对围岩分类的预测方法研究受到了国内外学者的共同重视，国外的围岩分类方法有很多，如Q分类体系^[2] 和RMR方法^[3]。国内也有很多学者对此做出了研究，如传统的评价方法——普氏分类法^[4]，但是影响围岩稳定性的因素有很多，如地质构造、岩性、岩体结构和地下水等，传统的方法已经无法解决过程如此复杂的围岩分类问题。针对这种复杂性，我国许多学者采用多种地质因素组合来对围岩进行分类，该方法在实际工程应用中取得了一定的成果，并得到了广泛重视

目前，很多不同的方法已经被应用于围岩分类中，如模糊数学方法^[5,6]、人工神经网络^[7]、马氏距离判别法^[8]、层次分析法^[9]、Bayes判别分析法^[10]、特尔菲-理想点法^[11]、支持向量机^[12]、非线性耦合分类技术^[13]等多个指标的综合判别方法。这些方法都是各位学者针对不同的隧道围岩情况所提出的，在各自的研究领域内都作出了非常有意义的探索，但是也都有一定的局限性，如模糊数学方法在确定各个指标的权重时，主要依靠的是专家经验，有一定的主观性和随意性，而权重的确定是否合理直接关系到判别结果的准确性；基于先验知识的智能预测方法，如人工神经网络有其自组织性、极强的非线性逼近等优点，但该方法有收敛速度慢，容易陷入局部极小值的缺点，对参数的选择是否符合工程实际的问题还需要很好地解决；支持向量机方法在处理小样本事件时优势显著，但在应用过程中参数的确定比较困难。如果从作为围岩分类评判指标的因素来研究围岩的类别，避免各个因素之间的信息重合，可以更好地分析各个因素对围岩类别的综合影响。

基于以上研究，本文将借鉴因子分析可以浓缩数据的优点，结合Fisher判别分析(FDA)方法在无须知道原始数据分布情况下而对新样本进行判别的思想，建立隧洞围岩分类的因子分析-Fisher判别模型，对隧道围岩的类别进行预测，将其运用到实际的工程项目中，验证该模型的可行性和可靠性。

1.1 因子分析

因子分析(Factor Analysis)是多元统计分析的一个重要分支，最初由英国心理学家C. Spearman提出。因子分析的主要目的是浓缩数据，通过对诸多变量的相关性研究，用少数变量来表示原来变量的绝大部分信息。目前，常用的因子分析类型有R型因子分析和Q型因子分析，前者是针对变量作因子分析，后者是针对样品作因子分析^[14]。

根据研究需要，选用R型因子分析。设原有变量k个，分别为X₁，X₂，…，X_k，且每个变量经过标准化之后都是均值为0、标准差为1的标准化变量。因子分析的数学模型表示为：

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

1.2 Fisher判别分析法的思想和求解

Fisher判别分析是由Fisher在1936年提出的，其基本思想是投影^[15]，即将高维数据点投影到低维空间上。投影的原则是将总体与总体之间尽可能地分开，然后根据类间距离最大、类内距离最小的原则确定判别分析函数，达到正确分类的目的，进而对新的样本进行分类判别^[16]。

设有m个总体G₁，G₂，…，G_m，各总体的特征指标都是p个，相应均值向量和协方差矩阵分别为μ₁，μ₂，…，μ_m(p维)，V₁，V₂，…，V_m(p×p阶)。

对于样本x=x₁,x₂,…,x_pT，假定其判别函数为：

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

点击浏览公式

1.3 Fisher判别函数效果的检验

为了检验建立的FDA模型的有效性和可靠性，可以采用回代估计法求误判率来进行判断^[17]。将所有的训练样本作为n个新样本，依次代入建立的判别函数并进行判别。误判样本个数N与所有样本的比即为误判率η，η的计算公式为：

点击浏览公式

判别因子的恰当选取是建立Fisher判别模型的重要前提，一般情况下，为了使围岩分类更加准确，要尽量选取多个评判指标因子，但需要的工作量也会大大增加，耗费的计算时间会较长。因此，选择的评价因子要能够反映出岩体的岩体结构、地质构造、岩性等基本特征，同时结合各类指标，这些指标应具有广泛性、适用性和可操作性。根据《水工隧道设计规范》(SL279—2002)及国内外围岩分类经验^[18,19]和研究成果^[10]，选取以下几个参数作为判别因子：(1)岩石质量指标RQD(X₁)，该指标反映岩块完整程度及其大小；(2)完整性指数K_v(X₂)，反映岩体的完整性程度；(3)饱和单轴抗压强度R_c(X₃)(单位为MPa)，反映岩块软硬特性及岩性特征；(4)纵波波速vp(X₄)(单位为km/s)，它在一定程度上反映岩体的完整程度以及刚度特征；(5)弹性抗力系数K₀(X₅)，反映了围岩的综合物理力学性质，通常采用查表或者利用弹性公式来确定；(6)结构面摩擦系数f(x₆)， 它反映结构面粗糙程度、蚀变及充填情况^[20]。根据文献^[18]提供的广东省东江—深圳供水改造工程中的数据(表 1)，运用SPSS17.0软件对所选的6个变量进行两两相关分析，以减少变量因素之间信息的冗余，提高相互独立性，求得Pearson Correlation及Sig.(2-tailed)检验结果：6个变量相互之间的t统计量的值显著性概率p均小于0.05，相关系数显著异于0，所以，彼此之间存在较强的相关关系。

由于选取的6个判别因子之间存在较强的相关关系，若直接将其作为Fisher判别模型的判别指标，会因变量之间的重复信息使模型缺乏可靠性，因此有必要对变量进行浓缩。首先检验这6个变量是否适合作因子分析，运用SPSS17.0对其进行KMO检验和Barlett检验并得到结果：样本的KMO值为0.852，很适合作因子分析；同时，Barlett球体检验的概率为0，小于显著性水平0.05，拒绝它的零假设，适合作因子分析。

以《工程岩体分级标准GB50218—94》^[21]为依据，结合工程实践经验，将岩体质量分为Ⅰ级、Ⅱ级、Ⅲ级、Ⅳ级、Ⅴ级5个等级，并将其类别值分别设定为1，2，3，4，5。根据文献^[18]的隧洞工程中共涉及的6条隧洞(分别为观音山隧洞、笔架山隧洞、石山隧洞、窑坑隧洞、凤岗隧洞和走马岗隧洞)所处工程场地的地质条件，将其分类情况列于表 1。选取30个样本(表 1)，建立基于因子分析的Fisher判别模型。对6个相关程度较高的变量作因子分析，提取适当个数的公共因子，将提取的公共因子作为Fisher判别模型的特征因子。根据因子分析理论及Fisher判别分析理论进行计算和学习。

对30个样本进行因子分析的过程主要分为3个步骤^[22]：

(1)提取公共因子。对样本中相关程度较高的6个变量进行因子分析，运行SPSS17.0软件，得出公共因子碎石图，见图 1。从图 1中可以看出，前2个成分的特征值变化比较明显，特征值从第3个成分开始变化平缓，根据碎石准则，提取前2个成分作为公共因子F₁和F₂，其累计方差贡献率为92.106%，即可以解释原始变量信息的92.106%。

图 1 碎石图 Fig. 1Curve of gravel

图选项

(2)构造因子变量。公共因子个数确定后，采用方差最大正交旋转方法对因子载荷矩阵旋转，可以得到因子载荷矩阵，如表 2所示。正交旋转的目的是为了更好地确定公共因子的实际意义。从表 2可知，公共因子F₁解释了岩石质量指标、完整性指数、纵波波速3个指标，同时，碎石图中公共因子F₁的特征值最为明显，说明其在判别围岩类别中起到重要的作用。同样可以确定，公共因子F₂解释了另外3个指标，即饱和单轴抗压强度、弹性抗力系数和结构面摩擦系数。

(3)计算因子得分。采用回归方法得出因子得分系数矩阵(见表 3)，根据得分系数矩阵可以写出因子得分计算公式如下：

点击浏览公式

根据式(10)和式(11)计算出公共因子F₁与F₂具体得分，并列入表 1中。

将因子分析后得到的两个公共因子F₁和F₂作为Fisher判别分析模型的判别因子。应用上述理论，可以得到Fisher判别函数为：

点击浏览公式

在Fisher判别分析中，判别函数的方差所占的比例体现了判别函数的解释，见表 4。从表 4可以看出，所得到的两个判别函数的判别能力是显著的。第1个判别函数的方差贡献率为98.4%，其判别效率较高，可以解释样本98.4%的信息，其正则相关系数是0.984，使用一次函数可以完成绝大部分样本的判别，但并不能完成全部样本的判别。运用2个判别函数来对样本进行判别，可以使得累计方差贡献率达到100%，即可以解释样本全部信息，因此，利用2个判别函数能够进行更准确的判别。表 4中的组中心值表示各个判别函数在各组别中的中心值。以第1个判别函数为例，其在第Ⅱ类围岩的中心得分为7.604，在Ⅲ类围岩的中心得分为1.473，在Ⅳ类围岩的中心得分为-3.356，在Ⅴ类围岩的中心得分为-6.607。同理可知第2个判别函数在4类围岩中的中心得分。以此为基础，结合Fisher判别分析的计算理论，通过比较待判岩体的函数值与此4类围岩类别的中心值的距离就可以对新样本的围岩类别进行判别。

为了检验建立的基于因子分析的Fisher判别分析模型的有效性，采用回代估计法计算误判率，将30个建模样本的数据代入到Fisher判别分析模型中，得到的分类结果列入表 1，可以看出，只有样本8与实际出现偏差，判别的正确率为96.7%。而传统Fisher围岩判别模型^[20]回判结果中误判样本有2个，其序号为8和23，判别正确率为93.3%。因此，可认为基于因子分析的Fisher判别分析模型的正确率较高，比较可靠，可以运用到实际的工程项目中。此外，从判别函数分组图(图 2)可观察到，误判样本8介于类别3和类别4之间，比较容易发生误判。分析其原因可能是：(1)个别不同岩体类别的样本在岩性上比较相近，有较强的关联性；(2)训练样本数据有限，所得到的训练函数精度还不够高。

图 2 判别函数分组图 Fig. 2Grouping figure of discriminant functions

图选项

根据学习好的因子分析与Fisher判别模型对文献^[18]中的走马岗隧洞中6个不同桩段的围岩类别进行判别，其具体岩性和指标数据如表 5所示。结合式(10)和(11)计算其公共因子F₁和F₂的因子得分，将其结果列入表 5中，并将得到的数值代入判别函数Y₁(X)(式(12))中，得到6个不同围岩的Fisher函数得分值，见表 6。根据Fisher判别理论，计算各个围岩得分到各类别的中心值的距离D。距离D的计算公式可表示为：距离D=各类别中心值-各围岩Fisher函数得分。以第1个围岩为例，可计算得D₂为6.478，D₃为0.347，D₄为4.482，D₅为7.733。由于它与第3类围岩的中心点的距离D₃最小，则可以判别第1个围岩属于第3类。同理，可对其他围岩的类别进行判别，其判别结果见表 6，同时与神经网络模型^[18]、Bayes方法^[10]相比较。可见，3种方法的预测结果一致，与实际类别也完全相符，正确率为100%。神经网络方法有较强的自学习功能，预测精度较高，但需要专业的技术人员进行操作才会得到理想效果。而Bayes模型在应用过程中处理指标个数较多时效率较低。由此可见，基于因子分析的Fisher判别模型预测隧洞围岩的类别是完全可行和高效的。

以上的研究表明，基于因子分析的Fisher判别模型的预测能力较强，科学合理，性能可靠，为隧洞围岩的分类预测提供了一条数学化、定量化的新途径。

(1)应用因子分析理论研究隧洞围岩分类的指标，对各个指标的相关性进行分析，避免了信息之间的重合，简化了Fisher判别分析过程的工作量。同时，经过因子分析得到岩石质量指标、完整性指数和纵波波速这3个指标对于识别隧洞围岩的类别重要性较大。

(2)利用对样本中相关性强的指标进行因子分析得到的公共因子F₁和F₂，建立Fisher判别模型，对隧洞围岩的类别进行判别，预测结果与实际类别完全相符，具有较强的适用性。

(3)基于因子分析的Fisher预测模型以有限的勘测数据为基础，学习样本的数量、代表性和正确性对判别结果的准确性有着直接的影响，对分界点附近的样本判别能力也比较有限。在以后的研究中，要广泛收集工程实例资料，选取合适数量的训练样本，提高其代表性和正确性，以提高隧洞围岩分类模型的判别精度。