目前我国各大城市地下轨道交通网络正处于迅速发展阶段。在多数城市地铁隧道修建中，受地质条件限制或为满足线路规划的要求，会遇到近接工程的施工相互影响问题。特别是地铁区间盾构隧道在设计上大多采用双孔并行形式，近距离相互平行、重叠和交叉的情况越来越复杂。由于盾构隧道埋深浅，开挖土体稳定性差，施工扰动产生的地层变形可能会对隧道周围的地下结构物和地表环境产生不利影响。因此，如何预测与控制地层变形一直以来是隧道界的一个研究热点。

目前，针对地层变形的研究方法主要有经验法、解析法和有限元法。其中，经验法的代表是Perk公式^[1]，该理论假定地层损失量等于地表沉降槽体积，地表沉降槽为一高斯曲线，预测结果与实际情况较符合，但该方法只适用于实测数据丰富的地区，且浅埋大断面隧道的沉降预测结果会受具体开挖断面形状和收敛情况的影响^[2]。解析法是基于弹塑性力学理论推导出的土层位移解和应力解，Sagaseta^[3]利用地层损失的概念给出了土体的应变解；Verruijt & Booker^[4]考虑泊松比和圆形隧道断面椭圆化的影响，给出了地层位移场和应力场的近似解；Loganathan & Poulos^[5]对地层损失参数进行修正并代入Verruijt & Booker的近似解中预测地层位移；魏刚(2009)^[6]提出了考虑开挖面支护力和盾壳摩擦力影响的地层位移弹性力学Mindlin解。有限元法方面的研究主要有：Lee^[7]对实际隧道的开挖的土体位移进行了三维弹塑性分析；姜忻良^[8]利用有限元程序ABAQUS对盾构施工地层变形进行了动态模拟，计算值与实测值较吻合；刘维^[9]采用数值方法对富水地层中重叠隧道施工引起的土体变形进行了研究。

当隧道穿越含有桩基、埋地管道和管线等地层时，深部地层位移会影响到地下构筑物，而现有对隧道地层内部位移的研究较少，特别是对双孔并行隧道在不同空间位置关系下(平行对齐、重叠对齐和倾斜对齐)，地层内部位移预测与分布规律的研究更少。以后我国城市隧道工程将会遇到越来越多的近距离双孔并行情况，当第2条隧道处于第1条隧道的开挖影响范围之内时，两隧道之间的相互影响将不可忽略。本文以随机介质理论为基础，针对近距离双孔并行隧道在不同空间位置关系下的地层变形预测和位移场分布规律进行了详细的探讨，得出了一些有意义的结论，可为盾构掘进过程中的地层位移预测提供参考，同时可为合理制订保护既有地下桩基和管线等结构的安全措施提供依据。

随机介质理论是波兰学者J. Litwiniszyn通过砂箱试验提出的，我国学者刘宝琛^{[10, 11]}对其进行了完善，并将该理论成功地应用到矿山和地铁隧道等工程的地层位移预测中。

岩土运动受到大量已知与未知因素控制，该理论将土体视为一种随机介质，假设土体不固结、不排水，采用随机方法来研究隧道开挖后的岩土体运动，如图 1所示。平面问题下，对岩土开挖单元采用局部坐标系εoη来表示，对地表采用全局坐标系XOZ来表示。中心埋深η、坐标(ε,η)处的一个微开挖单元dεdη完全塌落时，引发的上部地层中某一点(x,z)处的沉降值W_e(x,y)和水平位移值H_e(x,y)分别为：

图 1 隧道开挖引起的地层收敛变形 Fig. 1 Convergence deformation of stratum induced by tunneling excavation

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式中β为隧道上部岩土性质决定的地层主要影响角。

从概率统计观点出发，整个隧道开挖对地层位移的影响可以视为构成这一开挖的无数个微开挖单元dεdη对地层位移影响的总和。因此，对式(1)进行积分即可得到隧道开挖过程中上覆地层内任意一点(x，z)的沉降位移W(x，z)和水平位移H(x，z) 为：

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随机介质理论分析方法的优越性表现在：(1)与解析法相比，该方法可以计算任意的隧道断面形状下开挖引起的土体位移，同理也适用于计算双孔并行盾构隧道的地层位移；(2)与有限单元法相比，随机介质理论是一种简化理论方法，具有运用简便、便捷实用等优点。此外，该方法计算参数较少，可根据实测数据进行位移反分析来确定参数取值，以达到更精确的预测地层位移的目的，省去了有限单元法中相对复杂的建模过程和大量力学参数的确定。

Perk理论和随机介质理论均属于经验法范畴，两种理论都认为地层沉降槽是由于隧道开挖断面的收敛变形而引起的。现有地层位移计算中，大多假定隧道收敛模式为均匀收敛，即开挖半径R均匀收敛g/2，见图 2(a)。实际上，盾构隧道在软土地层开挖后，管片壁后拱顶和侧壁处的土体在重力和土侧压力作用下的收敛变形往往比较大，而拱底处土体由于应力释放产生的微量隆起变形在盾构机和管片自重的消减作用下，基本可以忽略不计。因此，由地层损失产生的收敛变形在管片壁后实际上应呈非均匀分布形式，见图 2(b)，在拱顶处的下沉值达到最大值g，拱底处隆起值为0。

图 2 盾构隧道收敛形式 Fig. 2 Convergence modes of shield tunnel

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为了比较不同收敛模式对地表沉降槽的影响，采用随机介质方法分别计算了两种收敛模式的地表沉降槽。算例计算参数：管片半径3.0 m，主要影响角tan β=0.92，隧道开挖断面收敛值g=2.0 cm。隧道中心埋深分别为5.0，10.0 m和15.0 m条件下的地表沉降槽计算结果见图 3。

图 3 隧道收敛模式与埋深对地表沉降槽的影响 Fig. 3 Influence of tunnel convergence mode and buried depth on ground settlement trough

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从图 3可见，同一埋深条件下收敛模式不同时，沉降槽有明显的差异。与均匀收敛相比，非均匀收敛模式下的沉降槽显得更加窄而深。随着埋深的增大，这种差异性不断减小：当埋深5.0 m时，最大沉降量差异为30.1%；当埋深15.0 m时，最大沉降量差异减小至16.6%。此外，埋深很浅时，均匀收敛引起的地表沉降槽的最大值并没有出现在隧道纵轴线上方处，而在轴线附近两侧(见图 3曲线1a所示)，这与实际情况不符合，而采用不均匀收敛模式计算结果的最大沉降值仍在轴线正上方。这表明超浅埋情况下隧道断面的具体情况和收敛形式对地表沉降的影响不可忽视，隧道不均匀收敛模式要比均匀收敛模式更符合实际情况。

本文假定盾构隧道为非均匀收敛模式，双孔并行隧道计算横断面如图 4所示。隧道1开挖断面w的圆心坐标为o₁=(x₁，z₁)，开挖半径为R₁，断面收敛值为g₁。为简化计算，不考虑隧道收敛过程中断面椭圆化的影响，断面收敛后仍为圆形，则收敛断面Ω的圆心坐标为o_1Ω=(x₁,z₁-g₁/2)，半径为R_1Ω= R₁- g₁/2。

图 4 双孔并行盾构隧道计算断面图 Fig. 4 Calculation sections of double-tube parallel shield tunnel

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从图 4可知，地层变形计算过程中需要分别求解圆形区域w和Ω上的二重积分，为方便计算，将图 4中直角坐标系XOZ(εoη)变换成两圆心区域内圆心坐标的局部极坐标系ro′θ，坐标变换公式为：

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根据式(2)，单独开挖隧道1引起的上覆地层中某点(x，z)的沉降位移W₁(x,z)和水平位移H₁(x,z) 分别为：

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隧道2开挖断面的圆心坐标分别为 (x₂,z₂)；开挖半径为R₂；断面收敛值为g₂。同理，可以求得单独开挖隧道2引起的上覆地层中某点(x,z)的沉降位移W₂(x,z)和水平位移H₂(x,z)。根据叠加原理，双孔并行盾构隧道施工导致地层中任意一点(x，z)的沉降位移W(x,z)和水平位移H(x,z)分别为：

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计算过程中涉及到的复杂函数二重积分运算可采用Gauss-Legendre数值积分法进行求解，本文采用matlab编制了相应的计算代码。

根据上面地层位移计算公式，计算过程中需要确定以下几个参数的取值：双孔隧道开挖半径R₁，R₂；圆心坐标o₁=(x₁,z₁)，o₂=(x₂,z₂) ；地层主要影响角β；隧道断面收敛值g₁和g₂。针对某具体的隧道工程，参数R₁，R₂和o₁，o₂是确定的。因此，实际上需要确定的未知位置参数为：β，g₁和g₂。

(1)地层主要影响角β

地层主要影响角β示意图见图 5，β反映了隧道所处地层的土质条件，是上覆地层特征的综合反映，其取值大小直接决定了沉降槽的宽度。根据文献^[12]的研究，软质黏性土层中β的计算式为：

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图 5 地层主要影响角 Fig. 5 Main influence angel of stratum

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当缺乏详细地层参数时，β的取值也可根据式求得^[2]。其中，i(z)是由Perk公式^[1]求得的沉降槽宽度系数。

(2)隧道断面收敛值g₁，g₂

Rowe & Kack^[13]在预测地表沉降中提出了等效间隙参数概念，将盾构管片与开挖面之间的物理间隙、开挖面土体三维变形和施工工艺因素导致的地层损失等效成一个平面二维等效间隙g，其计算公式为：

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本文认为，由隧道开挖断面收敛变形而产生的土体损失是上部地层形成沉降槽的直接因素，而在二维平面计算条件下，该土体损失量应是隧道三维变形因素(盾尾间隙、开挖面土体变形、施工工艺等)的综合反映。因此，收敛变形与等效间隙参数的概念具有相同的内涵，即可以用等效间隙参数来表示隧道断面收敛值。根据式(8)确定g的取值时，参数Δ，δ和δ_x的取值可由设计参数和施工监测数据直接获取；施工工艺水平诱发的土体损失w和开挖面变形诱发的土体损失U_3D^*的取值根据实测沉降数据通过位移反分析法确定。反分析时，定义目标函数J(x)为：

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由于被积函数表达式不可积，且反分析参数x_k较少(2个变量)。反分析时不适合选用导数梯度法，而只能选用不需要求导的直接逼近方法求解。这类方法中，本文选取修正Powell法进行计算，其迭代过程为由初始点出发沿一系列共轭方向求目标函数的极小值，这组共轭方向的形成仅使用迭代点的目标函数值，并在每轮产生新的搜索方向后对原搜索方向组是否作为下一轮迭代搜索方向进行判断，适用于函数形式复杂且不易求导的情况。本文基于修正Powell法编写了用于位移最优反演计算的Matlab程序，可方便的获取未知参数x_k的取值。

选取深圳地铁3号线红岭中路站—老街站段(简称红老段)和老街站—晒布站段(简称老晒段)区间双孔并行盾构隧道为例，采用本文方法预测了地层位移并与现场实测数据进行了对比分析。隧道位置关系过渡示意图如图 6所示：红老段左、右线隧道先以水平平行关系始发，为满足线路规划要求，逐渐向上、下重叠关系过渡，过渡段两隧道呈倾斜对齐关系，到老街站时两隧道呈完全垂直重叠关系。采用土压平衡式盾构机施工。老街站西端隧道重叠段最小净距仅1.6 m(0.26D)，拱顶最小埋深6.0 m(1D)；最后两隧道再逐渐过渡成水平平行关系并到达晒布站。整个研究区间段隧道净距变化由1.62 m(0.27D)逐渐增大到18.0 m(3.0D)。两隧道之间的空间位置关系如图 7所示。工程段位于繁华市区，地下桩基、管道和管线布置复杂。上覆土层依次为人工填土层、砂质粉土层和砾质黏土层。由于隧道穿越灵敏度高的饱和软土，推进过程中地层扰动容易造成过大的地层位移，危及城市地表建筑和地下临近桩基结构物的安全。

图 6 双孔并行盾构隧道研究区间示意图 Fig. 6 Schematic diagram of research interval of double-tube parallel shield tunnel

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图 7 双孔并行隧道空间位置关系 Fig. 7 Spatial configuration of double-tube parallel shield tunnel

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选取区间隧道同一地层条件下多个断面的现场实测沉降数据作为参数反分析的依据，采用编写的程序对未知参数x_k向量的取值进行反演分析，并将x_k代入式(8)计算出两盾构隧道的等效间隙取值为g₁= 1.04 cm，g₂=0.98 cm。

为了验证本文计算方法的合理性，将反分析参数x_k用于同一地层条件的K10+106断面做位移正分析计算，并与该断面的实测沉降数据进行对比。其中K10+106断面浅埋隧道1的中心埋深为11.0 m，两隧道呈倾斜对齐关系(见图 7c)，横向间距S_x=5.2 m，竖向间距S_y=6.5 m，开挖直径d=6.24 m，管片外径D=6.0 m，隧道1和隧道2的土仓压力分别为0.2，0.22 MPa，注浆压力分别为0.18，0.2 MPa，推进速度为2.5 cm/min。由地质详勘提供的地层资料，根据式(7)求得地层主要影响角取值为tan β=1.12；

采用本文方法计算K10+106断面地表沉降槽并绘制于图 8中。其中，曲线1为理论公式计算结果，曲线2为现场实测地表沉降数据。可见，理论公式计算出的地表沉降槽宽度、深度、反弯点位置和沉降量大小等信息都与实测沉降槽数据基本一致，吻合度较高，表明反分析参数具有较好的应用价值，也对比验证了本文方法用于预测和分析双孔隧道地层位移的合理性。

图 8 沉降槽计算值与实测值对比 Fig. 8 Comparison between measured value and calculated value of settlement trough

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目前地层变形监测点大都布置在地表，对地层内部位移监测情况较少。本节采用提出的地层位移计算方法，着重分析双孔并行隧道不同空间位置关系以及不同埋深条件下，地表和地层内部位移场分布规律。计算参数为：隧道收敛半径R_1Ω=R_2Ω=3.0 m；地层主要影响角tan β=1.32；等效间隙参数g₁=g₂=2.4 cm。

双孔隧道呈水平对齐时，见图 7(a)，隧道中心埋深取为H=18 m(3.0D)。采用轴线间距S_x与洞径D之比S_x/D来表示两隧道相对间距的变化。图 9为S_x/D分别为1.25，1.5，2.0，3.0和5.0时的地表沉降槽分布。图 9表明：当S_x/D=1.25时，两隧道相对间距较小，沉降槽呈单峰形式，沉降最大值W_max位于纵轴线之间中点的正上方，沉降槽宽度约为22 m；随着两隧道相对间距的增大，沉降最大值不断减小，沉降最大值位置也不断发生变化，沉降槽由单峰形式逐渐过渡成双峰形式；当S_x/D=5.0时，沉降最大值位置分别出现在两隧道纵轴线正上方，沉降槽宽度达33 m。表明相对间距变化对地表沉降槽的分布形式和沉降量大小有直接影响。

图 9 水平对齐隧道在不同相对间距条件下的地表沉降槽分布 Fig. 9 Distribution of ground settlement trough of horizontal parallel tunnels in different intervals

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图 10表示了隧道上方地层内部不同深度 (z=0.0，3.0，6.0，9.0 m)处，土体沉降最大值W_max随两隧道纵轴线相对间距S_x/D的变化曲线。可见，土体沉降最大值随两隧道相对间距增大而减小，并逐渐趋近于稳定。以W_max随S_x/D的变化达到稳定时所对应的S_x/D作为判定两隧道之间的相互影响范围的依据，从图 10可知：地表处(z=0.0 m)，约S_x/D≥2.6 之后，W_max变化趋近于稳定，稳定值为-5.86 mm，相互影响范围为2.6D；随着地层深度z的增大，两隧道之间相互影响范围不断减小，同时沉降最大值W_max不断增大；地层深度z=9.0 m处，W_max稳定值增大到-9.61 mm，相互影响范围缩小为1.8D。

图 10 不同深度下地层最大值沉降隧道相对间距变化曲线 Fig. 10 Curves of stratum maximum settlement varying with interval in different depths

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图 11表示了水平间距S_x=9.0 m时，地层内部z=0.0，-5.0 m和-10.0 m时不同深度水平处土体位移分布曲线。可见，地层位移呈对称分布；与沉降位移相比，水平位移量值很小，表明地层变形主要以沉降变形为主；不同深度的地层变形分布形式、变形量和影响范围都不相同，表现为：(1)随着地层深度z的增大，沉降最大值的位置向两侧隧道纵轴线位移发生偏移，双峰特征越来越明显；(2)隧道上方深部地层最大沉降位移和水平位移都要比浅层的位移大。同时，深部地层变形影响范围比浅层小。表明距离隧道轴线越近，施工对土体扰动作用越大，但扰动范围越小。所以，开挖附近有桩基或地下管线时，需特别注意控制地层变形。

图 11 水平对齐隧道不同地层深度处地层位移分布 Fig. 11 Distributions of stratum displacement of horizontal parallel tunnels in different depths

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图 12给出了双孔呈重叠对齐时(见图 7b)，地层内部不同深度(z=0.0 m，z=4.0 m，z=8.0 m)处土体位移分布曲线，其中，隧道1中心埋深H=12.0 m，相对间距S_y/D=0.5。

图 12 重叠对齐隧道地层不同深度处位移分布 Fig. 12 Distributions of stratum displacement vertical parallel tunnels in different depths

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可见，不同深度处地层位移具有相同的分布特征；与平行对齐隧道相比，重叠对齐关系下的地表 (z=0.0 m)沉降值更大；地层越深，地层沉降和水平位移的最大值越大，但位移影响范围越小；同一地层深度上，水平位移约在沉降速率最大点(沉降槽反弯点)处达到最大值；随着地层深度z的增大，水平位移最大值有逐渐向隧道轴线移动靠拢的趋势。分析表明，无论是沉降变形还是水平变形，隧道开挖附近土体位移值都明显比地表位移值大。

双孔隧道呈倾斜对齐时，见图 7(c)。图 13给出了两隧道在不同间距条件下地表沉降槽曲线。计算中取隧道1中心埋深H=12 m。

图 13(a)为竖向间距S_y=10.0 m，横向间距S_x分别取8，10，14，18 m的沉降槽曲线。可见：两隧道倾斜对齐时的地表沉降呈不对称分布；当横向间距S_x较小时，沉降最大值的位置将发生偏移，出现在两隧道纵轴线之间，且偏向埋深较浅的隧道1；随着横向间距的增大，沉降最大值逐渐减小，且沉降最大值的位置逐渐向隧道1轴线靠拢，同时，沉降槽宽度逐渐增加；当S_x=18 m时，沉降槽由单峰形式过渡为双峰形式。此时，沉降峰值分别出现在两隧道轴线正上方，两隧道在横向的相互影响可以忽略。

图 13 倾斜对齐隧道在不同间距条件下的地表沉降槽分布 Fig. 13 Distributions of ground settlement trough of inclined parallel tunnels in different intervals

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图 13(b)为横向间距S_x=10 m，竖向间距S_y分别取9，12，15，18 m时的沉降槽曲线。可见，随着S_y的增大，沉降最大值逐渐增大，但沉降最大值随着S_y的增加梯度在不断减小，S_y=15.0和S_y=18.0的最大沉降值基本相等，表明两隧道在竖向的相互影响范围为15.0 m(约1.5D)。无论何种情况下，最大沉降量总是发生在埋深较浅的隧道轴线附近上方，表明浅埋隧道对地表沉降影响更大。因此，施工中应加强埋深较浅的隧道上方的变形监测和沉降控制。

为了分析倾斜对齐隧道地层内部位移场分布特征，取埋深H=18 m，纵轴线间距S_x=12.0 m，S_y=6.0 m。分别选取z=-2.0，0.0，-2.0，3条路径来分析两隧道之间地层内部不同位置处的水平变形，如图 14所示。

图 14 倾斜对齐隧道地层水平位移计算路径 Fig. 14 Computation routes of stratum horizontal displacement of inclined parallel tunnels

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图 15给出了3条路径上的水平位移分布。可见：(1)双孔隧道倾斜对齐时，地层内部水平位移呈不对称分布，两隧道附近的土体分别发生指向开挖方向的水平位移。其中，路径1上隧道1右侧处土层水平位移达到最大，为-1.35 mm；路径3上隧道2左侧处土层水平位移达到最大，为1.16 mm。

图 15 不同位置竖向路径上地层水平位移分布 Fig. 15 Distribution of stratum horizontal displacement along different vertical routes

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这表明埋深较浅隧道对土层内部水平位移的影响更大。(2)从路径2上的水平位移分布可知，左上方(隧道1)和右下方(隧道2)的两处开挖对土体造成共同扰动，使得两纵轴线之间区域内的上部土体(隧道1附近)和下部土体(隧道2附近)具有不同方向的水平变形，土体内部出现明显的剪切变形层。如果两隧道之间的土层中有竖直桩基、管道和剪力墙等地下构筑物时，双孔开挖会对结构造成附加剪应力，容易出现变形过大和裂缝等危害，施工时需特别注意并采取必要的保护措施。

埋深是影响地层位移的关键参数之一^{[14, 15, 16]}，为了探讨双孔盾构隧道在不同埋深条件下的地层位移分布规律，以上面双孔隧道倾斜对齐的计算参数为例，分析了隧道1中心埋深H分别取12，15，18 m时，3种 工况条件下的地表位移分布规律。图 16表示了不同埋深条件下地表位移分布曲线。可见，埋深对地表位移的分布形式有直接的影响，当H=12.0 m时，地表最大沉降值为12.9 cm，当H=18 m时，最大沉降值为10.5 cm。表明隧道埋深越小，地表最大沉降值和水平位移值越大，但位移分布影响范围越小；反之，隧道埋深越大，位移分布影响范围越大。

图 16 不同埋深条件下地表位移分布曲线 Fig. 16 Distributions of stratum displacement in different buried depths

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(1)隧道不均匀收敛模式的地表沉降计算结果要比均匀收敛模式更符合实际情况，能避免超浅埋情况下隧道具体断面情况对计算结果的影响；通过实际工程应用发现，地层变形的理论计算结果和现场实测数据具有较高的吻合度，验证了本文方法的有效性；

(2)双孔隧道空间位置和相对间距对地层位移有重要影响。地层内部变形以沉降变形为主；地层深度越大，土层位移越大，且沉降槽的双峰特征越明显；本文采用不同深度水平上的地层最大沉降值W_max随相对距离S_x/D的变化达到稳定时所对应的S_x/D作为判定两隧道之间的相互影响范围的依据，发现深部土层隧道之间的相互影响范围明显要比浅部土层小；

(3)双孔隧道呈倾斜对齐时，最大沉降量位于两隧道轴线之间，且偏向埋深较浅的隧道一侧；浅埋隧道对地表沉降的影响更大，施工中应加强埋深较浅的隧道上方变形监测和沉降控制；同时，两纵轴线之间区域内的土体向隧道开挖方向发生的水平位移呈非对称分布，使土层发生不同方向的剪切变形，对该区域内的地下结构造成附加剪切力，容易出现裂缝，施工时需对此特别注意并采取必要的保护措施。