随着大跨度缆索桥梁建设的快速发展，对结构的分析也需要更为精细化，并且随着缆索截面尺寸的增大，缆索弯曲刚度的分析就成为其中的一项重要内容。对斜拉索弯曲刚度的分析主要集中于索的疲劳^[1]、振动^{[2, 3]}及频率法测定索力^[4]等方面，而对于更大截面的主缆来说，由于受到鞍座、索夹和缠丝等因素的影响，其弯曲刚度对主缆线形和受力的影响就更为复杂。目前主缆弯曲刚度的研究主要包括小截面主缆模型试验^[5]、解析法^[6]、采用直梁单元模拟主缆^{[7, 8]}以及采用曲梁单元模拟主缆^[9]等方面。在小截面主缆模型试验中主缆弯曲刚度较小且受限于测试精度，不能反映主缆弯曲刚度对线形和内力影响的更多细节。在对主缆弯曲刚度的有限元分析中，采用直梁单元则无法考虑主缆在自重作用下的初始弯曲，而曲梁单元刚度矩阵推导非常复杂，同时这些分析均是针对主缆弯曲刚度对悬索桥成桥后主缆内力和线形的影响，没有考虑到其在施工过程中对主缆线形和受力的影响，未能完全反映主缆弯曲刚度对悬索桥成桥状态的线形和内力的影响。

本文提出一种新型的模拟主缆弯曲刚度并考虑其初始弯曲的梁单元，称之为初弯曲梁单元。通过虚功增量方程推导初弯曲梁单元的切线刚度矩阵，编制基于U.L.列式的主缆非线性有限元程序，并考虑鞍座处主缆线形的修正及缠丝引起的主缆弯曲刚度的变化,建立大跨度悬索桥主缆有限元计算模型，分析在施工过程中主缆弯曲刚度对其线形和内力的影响，并对比分析不同加劲梁吊装顺序对主缆弯矩的影响。

由于主缆的单元的长细比非常大，因此不考虑梁单元的剪切变形，并且将主缆作为均质梁，不考虑其在弯曲变形过程中的钢丝滑移。

梁中性轴上点的位移分量分别为u(x)，v(x)和θ(x)，中性轴的初始弯曲为v(x)，则梁上任一点的位移分量为：

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假设空缆状态下主缆离散为小段后的初始弯曲形状为二次抛物线，如图 1所示，梁中性轴在局部坐标系下的初始线形为：

图 1 初弯曲梁单元的坐标系 Fig. 1 Coordinate system of original curvature beam element

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初弯曲梁单元的位移模式取为：

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下面推导Δv的表达式。

由单元的几何性质可得其弧长表达式为：

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其增量表达式为：

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定义T为单元的弦向拉力，则由单元的物理方程可得：

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比较式(6)和式(7)即有：

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由式(2)和式(8)可得：

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将式(10)代入到式(4)中可得单元的位移模式：

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在U.L.列式法中，格林应变增量正好等于格林应变本身，现把t 到 t+Δt 时刻的应变增量 ε_ij 分解为线性应变增量 ε^L_ij 和非线性应变增量 ε^NL_ij，有

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式中，

根据梁单元的本构关系和应力应变状态，经推导^[10]，可得t+Δt 时刻的虚功增量方程为：

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在U.L.列式法中，格林应变增量正好等于格林应变本身，现把t到t+Δt 时刻的应变增量ε_ij分解为线性应变增量ε^L_ij和非线性应变增量ε^NL_ij，有

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将式(2)和式(11)代入到式(12)中即可得梁单元的应变增量，然后将应变增量及其变分代入到虚功增量方程(12)中，并引入梁截面的几何关系和内力关系，即可得到初弯曲梁单元的切线刚度矩阵。忽略位移二次非线性项对刚度矩阵的影响，则平面初弯曲梁单元基于U.L.列式法的切线刚度矩阵为：

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上述刚度矩阵中各元素的表达式为：

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鞍座是主缆线形的重要组成部分，如图 2所示，OA段为在鞍座内的主缆，A点为主缆与鞍座的切点。在不考虑主缆抗弯刚度的情况下，可以采用鞍座-索单元来模拟^[11]，能够满足主缆与鞍座相切的条件。若将主缆模拟为梁单元，除了需要满足相切的条件之外，还必须满足主缆在A点的弯矩，为：

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图 2 主缆与鞍座计算模型 Fig. 2 Calculation model of main cable and saddle

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无论采用何种单元进行计算，都需要考虑鞍座内的主缆OA段在轴力作用下的弹性伸长。假设OA段主缆的水平力不变，且单元的弹性伸长按照形状长度来计算，并忽略梁与鞍座间的摩擦力，那么OA段主缆的弹性伸长为：

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以初弯曲梁单元的切线刚度矩阵为基础，编制基于U.L.列式的悬索桥主缆非线性有限元计算程序，程序中还引入了不考虑弯曲刚度的悬链线索单元，其刚度矩阵见文献^[12]。有限元程序采用增量法和Newton-Raphson法相结合的双重平衡迭代法求解式(14)，其迭代流程如图 3所示。

图 3 非线性有限元求解流程图 Fig. 3 Solving process of nonlinear finite element program

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在主缆有限元计算模型中，空缆状态时主缆的初始节点坐标和内力采用传统悬链线理论来确定，将工况1的空缆状态作为有限元计算的初始状态，并保证初始状态是一个完全平衡状态。采用迭代的方式得到鞍座处主缆切点的位置，首先给定主缆在鞍座切点处的切线角初值θ₀，在一个工况计算完成后其值为θ_t，若|θ_t-θ₀|>ε，则将θ_t赋值给θ₀重新进行计算，直到|θ_t-θ₀|≤ε为止。

南京长江四桥是两塔三跨悬索桥，主跨跨度为1 418 m，主跨单根主缆共有89个吊索吊点。主跨主缆包含索股135股，每根索股由127根直径5.35 mm的高强镀锌钢丝组成，索夹外主缆直径为0.783 m，主缆截面积为0.385 42 m²，弹性模量为196.5 GPa，桥塔鞍座内主缆的弯曲半径为7 m。缠丝后主缆的弯曲惯性矩可以取全截面共同受弯时的惯性矩，为0.014 76 m⁴，缠丝前主缆的弯曲惯性矩取为缠丝后的0.4倍^[4]。

按照索夹的位置将主缆离散为92个单元，分别建立基于初弯曲梁单元和悬链线索单元的主缆有限元模型。根据悬索桥的施工状态共划分为93个工况，见表 1，其中将加劲梁吊装划分为工况2至工况90，包括索夹安装工况、加劲梁吊装工况(根据节段实际吊装顺序，共有87个工况)、拆除缆载吊机工况。主跨加劲梁的吊装顺序为由跨中向两侧桥塔对称吊装，合龙段为靠近桥塔的第2个梁段。工况91为桥塔无索区梁段体系转换工况，工况92为主缆缠丝工况，此工况主缆的弯曲惯性矩发生改变。

4.1 施工过程中主缆弯曲刚度的影响 将加劲梁吊装过程，即工况2至工况90中各工况荷载作用下采用初弯曲梁单元计算的主缆节点位移值减去采用索单元计算的位移值，即为弯曲刚度引起的主缆节点位移差值，然后分别提取所有89个工况中各个节点位移差值的最大值和最小值组成位移差值包络图，见图 4，图 4中累计值为加劲梁吊装完成时的累计位移差值，其中纵向位移以向右为正，竖向位移以向上为正。同样提取89个工况中采用初弯曲梁单元计算的主缆所有节点弯矩的最大值和最小值组成主缆弯矩包络图，见图 5，图中累计值为加劲梁吊装完成时的累计主缆弯矩。

图 4 加劲梁吊装过程中的主缆位移差值包络图 Fig. 4 Envelope diagram of displacement difference of main cable in process of stiffening girder lifting

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图 5 加劲梁吊装过程中的主缆弯矩及弯曲应力包络图 Fig. 5 Envelope diagram of bending moment and bending stress of main cable in process of stiffening girder lifting

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从图 5中可以看出，弯曲刚度使主缆的竖向变形减小，在梁段吊装时的吊点位置处，位移差值和弯矩都在此时达到最大值，在跨中梁段吊装时尤为明显。后续梁段的吊装使已吊装梁段的吊点位置处的位移差值和弯矩都逐渐减小，加劲梁吊装完成时在靠近桥塔处的主缆截面存在较大的累计弯矩。

图 6和图 7分别为主缆在加劲梁吊装、体系转换、主缆缠丝和二期恒载4个主要施工阶段的主缆位移差值和弯矩。可以看出主缆位移差值及主缆弯矩主要由加劲梁吊装及体系转换工况中产生，这与加劲梁重量占总恒载的比例较大且是分段吊装有关。桥塔无索区梁段体系转换会显著增大靠近桥塔吊索的吊索力，致使主缆产生了非常大的弯矩，因此在成桥状态时由于受到加劲梁合龙段的设置及体系转换的共同影响，桥塔附近主缆的弯矩最为明显。

图 6 主要施工状态的主缆位移差值图 Fig. 6 Displacement difference of main cable in key construction state

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图 7 主要施工状态下的主缆弯矩图 Fig. 7 Curves of bending moment of main cable in key construction state

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将图 6中各施工阶段的位移差值累加，可以看到成桥状态时采用初弯曲梁单元计算得到的主缆跨中竖向位移要小约4 cm，即成桥状态主缆线形标高更高，但是对于主缆这种长细比大且初始弯曲较小的构件来说，弯曲刚度对主缆线形的影响不明显。相较于悬索桥计算中采用不考虑主缆弯曲刚度的索单元的计算结果来说，由弯曲刚度引起的主缆线形的计算偏差可以满足工程精度的要求。

图 8为当加劲梁由两侧桥塔向跨中对称吊装时的主缆弯矩包络图，可以看到吊梁过程中大部分主缆的弯矩包络值要明显大于图 5中的数值，特别是靠近桥塔位置处的主缆。但是在加劲梁吊装完成时，由于合龙段设置在跨中，因此靠近桥塔的主缆弯矩比采用前一种吊梁顺序时要小。比较两种吊梁顺序可知加劲梁吊装顺序及合龙段的设置会明显影响吊梁过程中主缆的弯矩。在不考虑施工条件及其他一些因素的情况下，仅从加劲梁吊装初始阶段导致主缆产生过大弯矩及弯曲应力来考虑，由桥塔向跨中的吊梁顺序也是不可取的。

图 8 加劲梁不同吊装顺序时主缆的弯矩及弯曲应力包络图 Fig. 8 Envelope diagram of bending moment and bending stress of main cable with another sequence of lifting stiffening girder

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在有限元计算中初弯曲梁单元采用平截面假定，认为主缆的弯曲刚度在每一个工况中都是均匀的、恒定的，因此计算得到的主缆弯曲应力也就非常大。采用从跨中向桥塔的顺序吊梁时，如图 5所示，吊梁过程中主缆的最大弯曲应力在跨中达到285 MPa，而成桥状态时在靠近桥塔的吊索吊点处主缆的弯曲应力最大，为280 MPa。实际上主缆是由数万根平行钢丝组成的离散体，截面在钢丝之间摩擦力的作用下保持为一个整体截面。对于这种离散体结构，比如斜拉索在较大的弯曲变形时钢丝之间会发生相对滑移^[13]，而主缆钢丝滑移现象在加劲梁吊装过程中同样也能观察到^[14]。本文中基于均质梁计算的主缆弯曲应力可以作为主缆弯曲应力的参考值，而对于大直径主缆在弯曲变形过程中的滑移机理及其产生的弯曲应力还需要更进一步的研究。

主缆钢丝的滑移使截面的整体性发生破坏，主缆的受弯模式由整体受弯变为分层受弯，那么主缆截面的弯矩由各层主缆的弯矩和不均匀轴力产生的弯矩共同承担，在弯曲和轴向不均匀受力的共同作用下，主缆截面会存在较大的不均匀应力。由于主缆截面的不均匀应力会降低主缆的安全系数，因此在施工过程中应采取措施尽量减小主缆的弯矩以及其所产生的弯曲应力和钢丝不均匀拉力，比如选择从跨中向桥塔吊梁的方式并设置合理的合龙梁段，以及在吊梁时按照吊梁顺序分段紧固索夹的方式等。

(1)本文提出了一种同时考虑主缆弯曲刚度和初始弯曲的初弯曲梁单元，通过虚功增量方程推导初弯曲梁单元的切线刚度矩阵，并编制基于U.L.列式的主缆精细化有限元计算程序，程序中还考虑了主缆在鞍座位置处线形的修正和主缆缠丝引起的弯曲刚度的变化。

(2)通过对大跨度悬索桥主缆在施工过程中弯曲刚度的影响进行实例分析，结果表明加劲梁吊装过程中弯曲刚度对吊点位置处主缆的竖向变形和弯矩都有较明显的影响，同时通过对比采用两种加劲梁吊装顺序时主缆的弯矩，认为由两侧桥塔向跨中吊梁的顺序是不合适的。

(3)成桥状态时弯曲刚度使主缆跨中标高约偏高4 cm，在工程允许精度范围内。由于受到体系转换及吊装顺序的影响，使成桥状态时在靠近桥塔主缆的弯矩及其产生的弯曲应力显著，这是大跨度悬索桥主缆设计和施工中必须要考虑的问题。

(4)由于主缆在较大的弯曲变形作用下钢丝之间会产生滑移以减小主缆截面的弯矩，因此需要进一步对主缆在弯曲变形过程中的滑移机理进行研究，本文基于均质梁单元计算主缆在施工过程中的弯曲应力，其数值可以作为主缆弯曲应力的参考值。