0 引言

张弦梁结构是近20年发展起来的一种新型组合结构体系，特别适用于大跨度空间结构，并且开展了相关应用研究^[1-10]。它由3类基本构件组成，即承受压弯的上弦刚性主梁，承受拉力的下弦索(主缆)和连接二者的受压撑杆组成。由于外部采用简支约束条件，张弦梁结构是一种典型的预应力自平衡结构体系。张弦梁结构主要应用于大跨度工业与建筑结构^[11-14]，如体育馆、会展中心和航站楼、站台雨棚等屋盖结构，在桥梁结构中应用极少。近年来在城市人行桥设计中开始出现这种结构体系，本研究主要就张弦桥的受力特点进行分析与探讨。

主梁是张弦桥保证车辆行驶、承受人群荷载、提供结构刚度的压弯构件，根据张弦桥的结构特点，一期恒载对主梁不会产生较大的整体弯矩，主梁的弯曲内力主要来自结构二期恒载与活载。由于张弦桥区别于普通的悬索桥，下面基于弹性理论方法和挠度理论方法提出了张弦桥的内力分析方法，推导了主梁在典型工况竖向荷载作用下内力与位移计算公式。

1 弹性理论方法

弹性理论是早期中小跨径悬索桥设计采用的设计理论方法，它没有考虑主缆的几何非线性，计算结果偏大，但当主梁刚度较大，跨径较小时，采用弹性理论计算能满足工程设计的要求。张弦桥不同于普通的悬索桥，属于自平衡结构体系，如图 1所示。基于张弦桥的结构受力特点，采用弹性理论方法推导如下。

弹性理论与挠度理论方法的一个基本假定是将等间距布置的撑杆近似视作介于主缆和主梁之间的薄膜，该薄膜只承担竖向支撑力。建立力法方程为:

(1)

式中, Δ_1p为外荷载p(x)引起的主缆切口两侧的相对水平位移; l为张弦桥计算跨径见图 1。δ₁₁为单位水平力引起的主揽切口两侧的相对水平位移。

(2)

(3)

式中，H_p为二期恒载或活载引起的主缆水平力增量；E为主梁的弹性模量；I为主梁的抗弯惯性矩；E_k为主缆弹性模量；A_k为主缆的截面积；M₁，T₁分别为单位荷载H₁=1作用下主梁产生的弯距及主缆产生的拉力；M_p为外荷载p(x)作用于基本结构上对主梁产生的弯距。

由方程(1)求出赘余力H_p后，就能方便求出主梁任意截面的内力和位移。

2 挠度理论的等代梁方法

挠度理论是大跨径悬索桥计算的理论基础，该方法考虑了悬索桥几何非线性的影响。由于挠度理论的非线性方程求解的复杂性，李国豪教授于1941年提出了线性挠度理论的等代梁求解方法^[15]，近年来在该方法基础上对悬索桥开展了相关研究^[16-17]。本研究基于等代梁方法推导了张弦桥的内力与位移的计算方法。

挠度理论的平衡微分方程为：

(4)

由于张弦桥为自平衡体系，主缆对主梁产生的轴压力刚好与等代梁计算模型中的虚拉力方向相反(如图 2、图 3所示)，相互抵消，从而使式(4)变为：

(5)

张弦桥下弦主缆成桥后线形(在恒载作用下)一般为二次抛物线，f为矢高，则有：

(6)

这时式(5)可以写成如下形式：

(7)

利用全桥主缆长度变化的水平投影等于主梁受压缩短的长度这一条件有:

(8)

(9)

积分函数按级数展开并取前面两项为：

(10)

式中，p(x)为作用在梁上的任意荷载；vH_p为作用在整个梁上的均布荷载，其绝对值为vH_p。

(11)

由均布荷载挠度函数方程求出荷载为vH_p的挠度面积为:

(12)

(13)

同样，采用挠度理论方法计算出H_p后，利用公式(5)能方便求出结构的内力与位移。

3 弹性理论与挠度理论方法计算结果比较

由上面的分析可知，张弦桥弹性理论与挠度理论方法关键是先求出荷载作用下主缆水平索力增量H_p，后面的内力计算方法均相同。

弹性理论方法中，δ₁₁的计算推导如下:

(14)

(15)

根据虚功原理，有：

(16)

式中，η(x)为外荷载p(x)的位移函数；p₁为单位荷载H₁产生的竖向支撑膜力。

把式(15)、式(16)代入式(2)，可得

(17)

式(17)与按挠度理论求出的式(13)完全一样，即采用两种方法计算的水平力增量H_p完全相同，上述计算结果证明了张弦桥受力性能接近于线弹性的受力特点，因此和普通悬索桥相比，张弦桥主缆的几何非线性影响较小。

4 典型荷载工况张弦梁内力与位移

对于悬索桥静力计算，有3种典型荷载计算工况，即全跨对称均布荷载、半跨非对称荷载以及跨中集中荷载布置工况，如图 4所示。下面推导3种荷载工况下主梁控制截面的内力和位移。

(1) 全跨对称均布荷载

在全跨均布荷载作用下，可以求得其挠度面积为:

(18)

代入式(17)可得：

(19)

则跨中处弯矩为:

(20)

式中，

则l/4处弯矩为:

(21)

则跨中处相应位移为：

(22)

则l/4处相应位移为:

(23)

(2) 半跨非对称均布荷载

在半跨非对称均布荷载作用下，可以求得其挠度面积为:

(24)

(25)

则跨中处弯矩为：

(26)

则l/4处弯矩为：

(27)

则跨中处相应位移为：

(28)

则l/4处相应位移为:

(29)

(3) 跨中集中荷载

在跨中集中荷载F作用下，可以求得其挠度面积为：

(30)

(31)

则跨中处弯矩为：

(32)

则l/4处弯矩为：

(33)

则跨中处相应位移为:

(34)

则l/4处相应位移为：

(35)

由张弦桥主梁弯矩与位移推导的公式可知，和普通简支梁桥相比，张弦桥能较大地减小主梁跨中的弯矩与位移，主梁内力与位移的主要影响因素为主缆的矢高f，其他影响因素有主梁截面抗弯刚度与轴向刚度比λ₁和主梁截面抗弯刚度与主缆截面轴向刚度比λ₂。对于小垂度主缆的张弦桥，一般来说，主梁的矢跨比n影响较小。

对于张弦桥或悬索桥，矢跨比n基本在0.1左右，对于内力与位移来说影响非常小，上述公式可以更加简化，例如式(20)可以简化为：

(36)

为了和其他张弦梁分析方法进行比较，本研究采用文献[18]中的算例，张弦梁结构跨度27 m，梁为钢箱梁，其中, E=2.1×10⁵ MPa，A=4.696×10⁴ mm，I=5.006×10⁹ mm⁴，下弦索为高强钢绞线，其中E=1.9×10⁵ MPa，A=4.808×10³ mm。在均布荷载q=27 kN/m作用下，跨中位移计算值在文献中有限元分析为45.92 mm，该文献方法计算值为45.456 mm，本研究方法按公式(22)的计算值为45.79 mm。3种方法计算结果接近完全一致。

5 工程实例分析

某市张弦梁人行桥，计算跨径为55 m，矢跨比为1/11，主梁采用扁平钢箱结构，梁高0.8 m，桥面宽度为3 m；主缆基本线形设计为悬链线，主缆共设计10道V形撑杆，撑杆中心间距为5.5 m。该桥建立的MIDAS/ civil有限元模型如图 5所示。

为了验证上述公式推导的正确性，以及比较主缆非线性对结构内力和位移的影响，结构分析采用两种有限元模型：一种是主缆采用弹性的桁架单元(主缆为桁架单元模型)，一种是主缆采用非线性索单元(主缆为索单元模型)，主梁与V形撑杆均采用空间梁单元，桁架单元模型时采用弹性分析方法，索单元模型采用非线性分析方法。荷载工况为全跨对称均布荷载、半跨非对称均布荷载与跨中集中荷载布置的3种工况。有限元分析与公式计算结果比较如表 1~表 3所示。各计算工况位移偏差值均小于3%；弯矩值偏差除1个值为8.6%外，其他弯矩偏差值均小于5%。

表 1~表 3的结果表明，2种模型计算结果接近一致，和推导公式计算结果偏差较小，计算公式与有限元模型的计算差别主要源于等间距分布的撑杆和理论推导的薄膜假定有关。

常规大跨径悬索桥的一个重要特性是主缆重力刚度效应，即悬索桥的几何非线性效应。为了进一步验证张弦桥的弹性受力特点，将主缆索力增加5倍和10倍分别建立有限元模型进行非线性分析，分析重力刚度对张弦桥结构内力和位移的影响，计算结果如表 4~表 6所示。

表 4~表 6的计算结果表明，3种有限元模型分析结果基本一致，张弦桥主梁弯矩和位移增量与主缆张拉的索力无关，即索力的变化基本没有改变张弦桥的刚度。重力刚度属于几何非线性的范畴，因此，张弦桥主缆非线性影响较小，张弦桥结构具有弹性受力的特点。

6 结论

(1) 张弦桥采用弹性理论、挠度理论的等代梁法分析结果相同，从理论上证明了张弦桥结构具有弹性的受力特点。

(2) 基于工程实例的张弦桥有限元分析，验证了本研究推导的主梁内力和位移公式的正确性。

(3) 通过有限元方法验证了主缆索力变化对张弦桥的刚度基本没有影响，张弦桥主缆非线性影响较小，这是张弦桥区别与普通悬索桥的一个重要特点。