边坡稳定性问题是岩土工程界的经典问题之一，国内外学者进行了大量相关研究，并取得了一系列成果^[1-6]。近年来，极限分析运动学定理因其较为严谨的理论框架而被学者广泛采用，虽基于相关联流动法则的假设会虚构过大的剪胀，但其计算所得结果被证实非常接近真实解^[7-8]。极限分析运动学定理通过假设合理的滑动面，根据内外功率相等而得出临界坡高或安全系数的一个严格的上限解答，因此常常被称作上限法。Utili^[9]在极限分析法框架内研究了考虑任意位置和深度裂缝影响下边坡的稳定性。Qin和Chian^[10]利用极限分析法研究了坡顶荷载作用下两级边坡的稳定性，分析了土体非均质性对边坡稳定性的影响。最近，极限分析运动学定理被运用于考虑土体拉伸强度折减的边坡稳定性分析^[11]。极限分析运动学定理的运用日益广泛。

在实际工程中，如何快速评估边坡的安全系数对于工程人员来讲尤为重要。Taylor^[12]首次利用摩擦圆法得到了边坡的稳定性图表，其建立图表的缺陷在于安全系数需迭代计算求得。随后，一些学者就建立一系列无须迭代计算安全系数的边坡稳定性图表做出了尝试^[13-14]。Klar等^[15]提出了一种求解安全系数的图像法，该方法消除了迭代计算安全系数的麻烦，并被一些学者采用^[16-17]，但在极限分析的框架内开展的边坡抗震稳定性图表研究仍较少。本研究基于极限分析运动学定理与拟静力方法，建立了二维土质边坡抗震稳定性分析模型，根据边坡处于极限平衡状态时c/γH和tan φ的关系曲线建立了一系列稳定性图表。利用这些稳定性图表无须迭代计算即可获取边坡安全系数及其对应的破坏模式，以期为边坡工程稳定性评估提供一定参考。

根据工程中常使用的强度折减法，边坡的安全系数可定义为：

(1)

式中，c和φ为土体实际的黏聚力与内摩擦角，c_m和φ_m为维持边坡处于极限平衡状态时的黏聚力与内摩擦角。

图 1示出了安全系数读取方法。其中H为边坡高度，γ为土体重度。图中所示曲线为土坡处于极限状态(F_s=1)时的c/γH和tan φ的关系曲线。当边坡的实际强度参数组合(c/γH，tan φ)位于该曲线上方时，则边坡安全系数F_s>1，边坡处于稳定状态。反之，当边坡的实际强度参数组合位于该曲线下方时，F_s < 1，边坡处于不稳定状态。设边坡的实际强度参数组合为G(x₁，y₁)，OG与曲线相交于G_d(x_d，y_d)，则安全系数可定义为：

图 1 安全系数读取方法 Fig. 1 Method for reading safety factor

(2)

式中，l₁为线段OG的长度; l_d为线段OG_d的长度。

引入参数，即OG线的斜率。研究表明^[18]，对于相同的λ_cφ，边坡临界破坏面的位置是相同的。因此，OG线上的点都将产生相同的破坏模式。

假设土体服从相关联流动法则及线性Mohr-Cloumb破坏准则。土质边坡的破坏模型如图 2所示，AB′为对数螺旋破坏机构，破坏面上的间断速度v与破坏面切线间的夹角为土体内摩擦角φ; 边坡坡角β，L为滑动面与坡面的交点至坡肩的水平距离; W为土体重力; k_hW为水平向地震力。其他定义破坏机构的变量β′，θ_h，θ₀，r₀和r_h如图所示。区域AB′O以角速度ω绕O点旋转。当β′=β时，坡底破坏模式退化为坡趾破坏模式。破坏面AB′可表示为：

图 2 破坏模型示意图 Fig. 2 Schematic diagram of failure model

(3)

土重做功功率可表示为：

(4)

式中，f₁~f₄如下所示：

(5)

(6)

(7)

(8)

根据几何关系可得：

(9)

(10)

基于拟静力法，地震力以作用在滑动土体重心处不变的静力来考虑，从而可得水平向地震力做功功率为：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

沿速度间断面AB′的内能耗散率为：

(16)

令总外功率与内能耗散率相等，可得无量纲边坡高度：

(17)

利用MATLAB优化β′，θ_h和θ₀这3个变量即可得到γH/c的最小上限解答。进而得到最大下限解答c/γH。

在实际工程中，除了安全系数以外，临界滑动面的深度也是评估边坡稳定性时考虑的一项重要指标, 如图 3所示。将边坡的破坏模式分为3类：浅层坡趾破坏、深层坡趾破坏和坡底破坏。坡底破坏属于深层破坏模式一类。对于坡趾破坏模式，在优化程序中需计算无量纲系数：

图 3 破坏模式 Fig. 3 Failure mode

(18)

式中，Y为破坏面最深处距坡趾平面的垂直距离。若Δ>0，破坏模式为深层坡趾破坏；若Δ=0，破坏模式为浅层坡趾破坏。

基于以上分析，绘制了坡角分别为30°，45°，60°，75°和90°时的边坡稳抗震定性图表，如图 4所示。

图 4 稳定性图表 Fig. 4 Stability charts

由图可知，坡底破坏模式仅在坡角及内摩擦角均较小的情况下发生，且随着地震荷载的增大，坡底破坏模式更易发生。例如，对于坡角为30°，内摩擦角10°的边坡，临界滑动面呈坡趾破坏模式，而当k_h=0.2时，其临界滑动面转变为坡底破坏模式。随着内摩擦角的增大，边坡逐渐由深层破坏模式转变为浅层破坏模式。当边坡的坡角较大时，边坡临界滑动面总是呈浅层破坏模式。随着地震荷载的增大，极限状态下逐渐向外扩展，即边坡安全系数逐渐减小。

对于纯黏土(φ=0)而言，当坡角较小且边坡受到地震荷载影响时，在优化过程中会出现破坏机构深度趋向于不符合实际的较大值而很难优化得到c/γh值。此外，由图 4(a)和图 4(b)可知，当内摩擦角趋向于0时，也将优化得到过大的c/γh值。因此有必要将破坏深度限制在一定范围内，这也与实际情况相符合。假设基岩将坡体破坏深度限制于1.3H和2H范围内，分别绘制了以上两种情况下，坡角为30°和45°边坡的稳定性图表示于图 5和图 6中。经修正后的图表得出较为合理的曲线分布。在实际工程中，针对不同基岩深度可利用本研究方法重制图表。

图 5 破坏深度限于1.3H时的稳定性图表 Fig. 5 Stability charts for failure depth limited to 1.3H

图 6 破坏深度限于2H时的稳定性图表 Fig. 6 Stability charts for failure depth limited to 2H

为了验证本研究方法的合理性，考虑一坡角为30°，高度为10 m的边坡。其他参数取值如下：c=10 kN/m²，φ=20°，γ=17 kN/m³，k_h=0。则可得c/γh=0.058 8，tan φ=0.363 9。图 5(a)中点(0.058 8，0.363 9)和原点连线与k_h=0曲线交点的横坐标为0.044 3。则安全系数为F_s=0.058 8/0.044 43=1.33。这与文献[11]中的解答F_s=1.3十分接近。

本研究基于极限分析运动学定理与拟静力分析法，建立了土质边坡抗震稳定性分析模型。绘制了一系列稳定性图表，得出主要结论如下：

(1) 坡底破坏模式仅在坡角及内摩擦角均较小的情况下发生。当边坡的坡角较大时，边坡临界滑动面总是呈浅层破坏模式。

(2) 对于纯黏土(φ=0)或内摩擦角接近于0的土体，当坡角较小且边坡受到地震荷载影响时，需要对破坏深度作一定限制以得到合理解答。