0 引言

由于城市外围非高峰时段居民出行分散，正常发车频率下公交空载率很大，运营成本较高。但减少公交发车频率会使一部分乘客增加很多候车时间，因此，有学者提出了基于互联网技术的柔性公交调度系统^[1-2]，它能够实现乘客与公交车之间的信息交互，确定公交的发车频率，并在常规路线的基础上对设定的预约站点进行响应。他们已经对单条柔性公交线路的调度方法及模型进行了具体研究，但由于区域内多条公交线路之间存在交互，乘客出行时有1条或多条公交线路可以选择。为此，本研究提出多线路柔性公交的协调调度。

国外对柔性公交的研究起步较早。Nourbakhsh等^[3]针对低需求地区的公交系统建立了最低成本的优化模型，并提出了柔性路径的选择方法。Neven等^[4]通过仿真研究了老人和残疾人对需求响应式公交的需求，并根据不同的需求分配不同的公交车响应。Qiu等^[5]为了提高柔性公交在出行需求不确定的环境下的性能，提出了一种动态站点策略，可以拒绝部分乘客的请求。国内对柔性公交的研究起步较晚。张凯等^[6]阐述了一种新型的柔性公交搭乘方法，运用无返回最近插入算法拓宽公交线路的服务区域，以减少乘客的候车时间。邱丰等^[7]针对可变线路式公交设计了两阶段车辆调度模型。王正武等^[8]基于效用理论研究了响应型接驳公交运行线路与车辆调度的协调方法，并构建了相应的优化模型。

上述研究未考虑多条线路交互对乘客出行选择的影响，因此本研究从整体角度进行多线路柔性公交的协调调度研究。以多线路乘客的整体出行时间最小为目标，构建柔性公交协调调度的上层规划模型；以各线路公交的运营成本最小为目标，构建柔性公交协调调度的下层规划模型，并运用遗传算法求解该模型。通过对重庆市180路和396路公交进行分析，得出多线路柔性公交协调调度所减少的乘客实时预约候车时间和整体出行时间，同时降低公交车的运行成本。

1 柔性公交协调调度分析 1.1 柔性公交运行模式

柔性公交是一种结合常规公交和需求响应式公交服务特点的新型公交^[9-11]，它不改变常规公交现有的基准路线和停靠站点，并且在固定站点外设置可预约站点，根据实际运行调度情况，公交车可以偏离基准路线响应预约站点乘客的请求。其运行模式见图 1。

当没有预约请求时，公交车按基准路线运行，运行模式类似于常规公交；当预约请求出现时，公交车根据公交调度信息偏离基准路线响应预约站点乘客的请求，完成响应后再返回基准路线并沿基准路线继续运行。对于预约站点，有预约时公交车才会响应，没有预约时公交车不会响应，并且每辆公交车在响应预约站点乘客请求时必须保证乘客与公交车的综合效益为正，否则拒绝乘客的预约请求。

柔性公交的运营模式决定了其主要适用于城市外围非高峰时段，而在高峰时段已有投入运营的定制公交，两者存在一定的联系与区别。柔性公交和定制公交均可使用互联网进行公交预约，并能根据乘客的出行需求进行公交调度。定制公交主要在高峰时段满足乘客的个性出行需求，采用1人1座、1站直达的运行方式，无法为常规乘客提供服务；而柔性公交可在满足常规乘客出行的基础上为预约乘客提供服务。

1.2 柔性公交协调调度问题分析

在城市外围非高峰时段的柔性公交系统中，单线路公交的调度问题已经解决，而对于有公共服务站点的两条或多条相互关联的柔性公交线路，则需要根据乘客的出行需求(预约起点、预约人数、目的站点)和各线路公交车的信息(车辆位置、车上人数)，在满足乘客与公交综合效益的约束下，从整体的角度进行多线路柔性公交协调调度。

如图 2所示，两条交互的柔性公交线路l₁和l₂都可对预约站点z₁，z₂及换乘站点S提供服务。假设线路l₁和线路l₂的公交车运行至图 2所示位置时，z₁站点出现了乘客的预约请求，当预约请求的目的站点为z₂时，乘客有两条公交线路可以选择，此时需要根据当前车上乘客增加的乘车时间和预约乘客的候车时间确定响应z₁站点的公交车。当乘客请求的目的站点为i时，同样有两条公交线路可以选择，而选择线路l₂的公交车响应预约站点，然后乘客在站点S换乘线路l₁，则可减少预约乘客的候车时间。因此，从整体角度对相互影响的柔性公交线路进行协调调度，可以减少乘客的整体出行时间。

1.3 柔性公交协调调度流程分析

柔性公交协调调度是根据乘客的预约请求和各线路公交车的实时信息，利用柔性公交协调调度模型，计算各线路公交车响应预约站点时乘客整体出行时间的变化和公交车的运营成本，选择使乘客出行最优的公交车进行调度，其协调调度流程见图 3。

多线路柔性公交协调调度的具体流程如下：

(1) 根据历史数据和乘客的预约信息，生成各线路的初始行车计划，并将行车计划发送至公交车车载终端，各线路按初始行车计划发车运行。

(2) 若没有动态预约请求，各线路的公交车按初始行车计划继续运行；若出现动态预约请求，根据预约乘客的位置，选出各线路中运行方向与乘客出行方向相同且距离预约站点最近的公交车。

(3) 根据预约乘客人数，计算各线路公交车响应预约请求时乘客整体出行时间的变化和公交车的运行成本，从中选择使乘客整体出行时间最短且公交运营成本较低的公交车作为响应预约站点的最优车辆，计算其响应预约站点时乘客与公交的综合效益，判断其效益是否为正。为正则生成调度信息，为负则执行步骤(2)，直至选出合适的公交车。

(4) 将生成的调度信息发送给预约乘客。若乘客接受本次调度，则将调度信息发送至公交车载终端进行公交调度；若乘客拒绝但接受调整，则执行步骤(2)，直至选出合适的公交车；若乘客拒绝且不接受调整，则乘客流失, 本次调度结束。

2 柔性公交协调调度模型 2.1 模型假设

在城市外围地区，高峰时段居民出行比较集中，可通过增加公交发车频率来满足居民的出行需求；而在非高峰时段，居民出行需求低，可根据居民出行分散的特点和公交的运营情况进行柔性公交协调调度。对调度模型做以下假设：

(1) 公交行驶速度固定，不存在超车情况。

(2) 不考虑交通拥堵情况，不考虑交叉口的影响。

(3) 公交到站后，乘客能全部上车，没有乘客滞留现象。

(4) 运营车辆均为全程车，能为所有固定站点提供服务。

(5) 不考虑公交车辆在各站点的停留时间。

(6) 固定站点乘客的到达率服从均匀分布。

2.2 乘客的出行时间 2.2.1 乘客的候车时间

由于柔性公交既能沿基准路线运行为固定站点的乘客提供服务，也能偏移基准路线响应预约站点的乘客，因此，乘客的候车时间包括非预约乘客的候车时间和预约乘客的候车时间。

(1) 非预约乘客(np)的候车时间

非预约乘客的候车时间是指未进行公交预约的乘客在固定站点候车所用的时间。设研究时段为[T₁, T₂]，公交线路集合B={l₁, l₂, …, l_M}, 公交车的运行趟数E={1, 2, …, k}, 非预约乘客的候车时间为第k趟与第k-1趟公交车抵达固定站点i的间隔时间内到达该站点乘客的候车时间之和：

(1)

式中，T_np^l_jk为柔性公交线路l_j第k趟公交运行时非预约乘客的候车时间；q_i^l_j为线路l_j中固定站点i的乘客到达率；r为第k-1趟公交车离开站点i的时间；N为固定站点数量；T_{k, k-1}^l_j为线路l_j第k趟与第k-1趟公交车到达站点i的间隔时间，公式为：

(2)

(3)

式中，T^l_jk为柔性公交线路l_j第k趟与第k-1趟公交车的发车间隔；ΔT_{k-1, i}^l_jk为第k趟与第k-1趟公交车到达固定站点i之前响应预约站点的行驶时间差；l_izs^jk和l_izs^jk-1分别为第k趟与第k-1趟公交车偏移基准路线响应预约乘客的行驶距离；l_is^jk为站点i到站点s的常规路线距离；v_l为公交车的行驶速度。

则线路集合B中所有线路的第k趟公交车在运行时，非预约乘客的时间为：

(4)

式中，T_np^Bk为线路集合B中所有线路的第k趟公交车运行时非预约乘客的候车时间；M为公交线路的数量。

(2) 预约乘客(rp)的候车时间

预约乘客的候车时间包括提前预约乘客的候车时间和实时预约乘客的候车时间。提前预约的乘客可以通过实时反馈的信息实现零等待，实时预约的乘客根据公交车的实际运行情况存在相应的等待时间。柔性公交单线调度容易造成实时预约乘客的候车时间过长，而多线路协调调度时可以通过线路间的协调或换乘减少实时预约乘客的候车时间，因此，实时预约乘客的候车时间包括非换乘候车时间和换乘候车时间。

① 预约乘客的非换乘(rpn)候车时间。预约乘客的非换乘候车时间指乘客完成预约后在预约站点等候公交车的时间：

(5)

式中，T_rpn^l_jk为线路l_j第k趟公交车运行时预约乘客的非换乘候车时间；m_{r, z}^l_jk为第k趟公交车运行时预约站点z处实时预约的人数；x为可预约站点的个数；Δt_{r, z}^l_jk为每位实时预约乘客的候车时间。

② 预约乘客的换乘(rpt)候车时间。预约乘客的换乘候车时间指在柔性公交协调调度中预约乘客由一条线路换乘另一线路时，在换乘站点的候车时间：

(6)

式中，T_rpt^l_jk为线路l_j第k趟公交车运行时预约乘客的换乘候车时间；m_S^l_yk为线路l_j第k趟公交车上的预约乘客在站点S处换乘其他线路l_y的人数；u为换乘站点的个数；Δt_S^l_yk为每位预约乘客在换乘站点处的换乘候车时间。

则线路集合B中，所有线路的第k趟公交车运行时，预约乘客的候车时间为：

(7)

式中，T_rp^Bk为线路集合B中所有线路的第k趟公交车运行时，预约乘客的候车时间；M为公交线路的数量。

2.2.2 乘客增加的乘车时间

柔性公交偏离基准路线响应预约站点时，将增加公交车的行驶距离，进而增加车上乘客的乘车时间。假设在固定站点i和s之间有预约站点z，则线路集合B中所有线路的第k趟公交车运行时，因响应预约站点而造成车上乘客增加的乘车时间为：

(8)

式中，T_e^Bk为第k趟公交车运行时乘客总共增加的乘车时间；l_izs^jk为线路l_j第k趟公交车从固定站点i到s并响应预约站点z时柔性路线的距离；l_is^jk为公交车从固定站点i到s时常规路线的距离；m_{c, i}^l_jk为线路l_j第k趟公交车离开站点i时车上的乘客数量，其公式为：

(9)

式中，m_{c, i-1}^l_jk为公交车从站点i-1处离开时车上的乘客数量；G_i^l_jk为站点i处乘客的下车人数；A_i^l_jk为站点i处乘客的上车人数。其中:

(10)

式中，g_i^l_j为线路l_j中站点i处乘客的下车率；q_i^l_j为站点i处乘客的到达率。

2.2.3 乘客减少的步行时间

柔性公交的预约站点通常设置在居住区和集散地附近，乘客进行公交预约时按最短距离的原则选择预约站点能够减少自身的步行距离。设定提前预约乘客减少的步行距离为min(l_iz^jk，l_zs^jk), 实时预约乘客减少的步行距离为1/2 min(l_iz^jk，l_zs^jk)，则线路集合B中所有线路的第k趟公交车运行时乘客减少的步行时间为：

(12)

式中，T_b^Bk为所有线路的第k趟公交车运行时乘客减少的步行时间；m_{a, z}^l_jk为提前预约的乘客数量；l_iz^jk为固定站点i到预约站点z的距离；l_zs^jk为预约站点z到固定站点s的距离；v_p为乘客的步行速度。

2.3 公交的运行成本 2.3.1 公交的常规运行成本

公交的运行成本包括油耗成本和车辆的磨损成本^[12-13]。油耗成本与公交车的行驶距离有关，而车辆的磨损成本则与公交车的运行时间有关。公交车的常规运行成本指公交车从起点出发沿基准路线运行到终点时的油耗成本和磨损成本之和：

(13)

式中，C_g^Bk为所有线路的第k趟公交车运行时公交车的常规运行成本；c_a为公交车每分钟的磨损成本；t_j为线路l_j的公交车1次运行的时间; f_c为公交车每公里的燃油费；L_j为线路l_j的全程距离。

2.3.2 公交增加的运行成本

柔性公交响应预约站点时将增加公交车的行驶距离和运行时间。因此，柔性公交的运行成本除了常规运行成本，还包括响应预约站点时增加的运行成本。公交车响应预约站点时增加的运行成本为：

(14)

式中，C_z^Bk为线路集合B中所有线路的第k趟公交车运行时增加的运行成本；l_izs^jk为公交车响应预约站点z时柔性路线的距离；l_is^jk为公交车从站点i到s常规路线的距离；v_l为公交车的行驶速度。

2.4 协调调度模型的构建

为最大限度地满足预约站点乘客的预约请求，同时减少乘客的整体出行时间和降低公交的运营成本，建立柔性公交协调调度的双层规划模型^[14-18]。上层模型从乘客的角度出发，考虑乘客的候车时间、乘客增加的乘车时间和乘客减少的步行时间，其目标函数为：

(15)

下层模型从公交运营的角度，考虑公交车的常规运营成本和增加的运营成本，其目标函数为：

(16)

(17)

(18)

式(17)为柔性公交线路l_j响应预约站点z时乘客与公交车的综合效益约束，公交车响应每个预约站点时其综合效益不能为负。式中C_t为乘客的时间价值，C_t=P/120 000 (P为人均生产总值)；T_{b, z}^l_jk为预约站点z处乘客减少的步行时间；a为公交的票价；T_{e, z}^l_jk为公交车响应预约站点z时乘客增加的乘车时间；C_z^l_jk为公交增加的成本。式(18)为柔性公交协调调度时上层目标函数的时间约束，式中T_cp^Bk为所有线路的常规运行时乘客的候车时间。为体现柔性公交的快捷性，上层目标函数值不能超过常规公交乘客的整体候车时间。

2.5 模型求解

由上述多线路柔性公交协调调度模型可知，上层模型是在满足预约乘客请求的基础上使乘客的整体出行时间最少，下层模型是在上层模型的基础上优化公交的运营成本。采用传统的迭代搜索方法进行计算容易陷入局部最优解，而采用枚举法逐一对比计算效率极低，因此本研究利用遗传算法求解该模型^[19]，其求解步骤如下。

(1) 初始化种群。输入各线路常规站点的乘客候车时间、增加的乘车时间和减少的步行时间，对响应预约站点时车上的乘客数量进行编码，给出有N个染色体的初始种群。

(2) 适应度函数。本研究是求目标函数的最小值，把函数值的倒数作为个体的适应度值，其函数值越小，则个体越优，适应度计算函数为F=T。

(3) 选择操作。遗传算法选择操作有轮盘赌法、锦标赛法等多种方法。本研究选择轮盘赌法，即基于适应度比例的选择策略，个体i被选中的概率为：

(19)

式中，P_i为个体选择概率；F_i和F_j均为个体的适应度。

(4) 交叉操作。从父代中选择部分染色体，两两分组进行如下操作：随机产生1个1到j的整数作为交叉的公交线路；随机确定交叉的起讫点，交换每组染色体中公交线路对应的基因，得到新的染色体。

(5) 变异操作。对N个染色体进行变异：随机产生1个1到j的整数作为变异的公交线路；在选择的公交线路上随机产生两个变异位置j₁和j₂，重新计算乘客的出行时间，得到新的染色体。

(6) 采用最佳个体综合目标值控制准则，当连续G代的综合目标值不变化时，终止算法。

3 算例分析

选择重庆市外围地区包括巴南区和南岸区作为柔性公交的服务区域，并根据柔性公交协调调度的条件以180路和396路公交线路为例。180路公交从鹿角到长生共24个公交站点，线路全程长13.5 km，每趟运行时间为40 min，运营时间为6:30—20:30；396路公交共19个公交站点，线路全程长10.5 km，每趟运行时间为33 min，运营时间为6:00—19:40。两线路有5个公共站点。根据柔性公交协调调度原理设置了Z₁，Z₂，Z₃，Z₄共4个可预约公交站点，两线路公交车的行驶路线及预约站点的位置见图 4。

由图 4可知，两线路的公交车都能对4个预约站点进行响应，但由于两线路的基准路线不同，预约站点到两线路固定站点的前后距离不同，因此公交车响应预约站点时的柔性路径和增加的行驶距离均不同，其相关信息如表 1所示。

通过实际调查和查阅相关资料，取公交车的运行速度为307 m/min, 乘客的步行速度为75 m/min，非高峰时段公交车的发车间隔为15 min，2018年重庆人均生产总值26 386元。重庆市的公交车多数使用压缩天然气(CNG)燃料，单价为3.7元/Nm³, 公交车每百公里消耗CNG燃料52 Nm³, 费用为192.4元，公交车每公里的燃油费用为1.924元。设定公交车的使用年限为8 a，购买1辆公交车的费用为100万元，根据两线路公交车的运营时间，可计算出180路公交车的磨损成本为0.41元/min, 396路公交车的磨损成本为0.42元/min。在非高峰时段14:00—17:00内，分别对两线路公交运行时各站点的上下车人数进行了多次采集，并取各站点上下客流的平均值，如图 5所示。

由图 5可知，180路公交车在非高峰时段内每趟运行的平均客流为40人，396路公交车在非高峰时段内每趟运行的平均客流为34人。

本研究以4种不同的预约比例对180路和396路公交柔性协调调度的可行性、乘客的整体出行时间和公交的运营成本进行分析。4种预约比例分别为：第1种20%提前预约，10%实时预约，70%常规候车；第2种30%提前预约，10%实时预约，60%常规候车；第3种30%提前预约，20%实时预约，50%常规候车；第4种40%提前预约，20%实时预约，40%常规候车。

3.1 实时预约乘客的候车时间分析

假设两线路的公交车发车时4个预约站点均没有预约乘客，当180路行驶至迎宾大道2站，396路行驶至况家塘时，Z₁站点出现2名实时预约的乘客, 其目的站点为长电路2站; 当180路行驶至长电路，396路行驶至茶花小镇时，Z₂站点出现3名实时预约的乘客，其目的站点为南岸新区府；当180路行驶至江南小区，396路行驶至轨道茶园站时，Z₃站点出现2名实时预约乘客，其目的站点为长生；当180路行驶至南岸新区府，396路行驶至邱家湾时，Z₄站点出现3名实时预约乘客，其目的站点为长生，进行单线调度与协调调度实时预约乘客候车时间见表 2。

柔性公交协调调度和单线调度的综合效益见表 3。

由表 3可知，协调调度和单线调度的综合效益均为正，公交车均可响应4个预约站点乘客的实时预约请求。由表 2可知，协调调度与单线调度相比能减少实时预约乘客的候车时间，因此选择柔性公交协调调度的方式响应实时预约乘客的请求。

3.2 乘客的整体出行时间分析

假设预约乘客均匀分布于4个预约站点，对两种运行情况下乘客的整体出行时间进行分析。第1种运行情况：有1/2预约乘客的目的站点为180路和396路公交的公共站点；第2种运行情况：所有预约乘客的目的站点均为180路和396路公交的公共站点。对180路和396路公交实施柔性调度后，乘客的候车时间包括固定站点候车时间和预约站点候车时间。设定实时预约乘客的平均候车时间为发车间隔的1/2，根据式(1)、式(5)和式(12)可分别计算出4种预约比例下两线路乘客在固定站点的整体候车时间、在预约站点的整体候车时间和乘客整体减少的步行时间，见表 4。

由表 4可知，随着预约比例增加，乘客在固定站点的整体候车时间减少，乘客整体减少的步行时间增加。

利用遗传算法求解乘客的整体出行时间，通过不断试验和模拟，在最大遗传代数MAXGEN=200, 种群规模SIZEPOP=20, 交叉概率P_c=0.8，变异概率P_m=0.01时求得较优解。第1种运行情况进行协调调度时，两线路的公交车都需要对预约站点进行响应，通过协调车上乘客的数量来减少4种预约比例下乘客的整体出行时间，其中预约比例4的计算进化过程如图 6所示。第2种运行情况进行协调调度时，每个预约站点只需1辆公交车进行响应。两种情况下协调调度与单线调度乘客的整体出行时间对比如表 5所示。

由表 5可知，两种运行情况下柔性公交协调调度与单线调度相比，乘客的整体出行时间减少，有公共目的站点的预约乘客数量越多，乘客减少的整体出行时间越多。在非高分时段14:00—17:00内，可运行12趟公交车。第1种运行情况下，4种预约比例乘客的整体出行时间分别减少21.72，27.96, 34.56，42.12 min；第2种运行情况下，乘客的整体出行时间分别减少837.72，801.6，765.6，729.6 min。

3.3 公交的运行成本分析

由于第1种运行情况进行协调调度时，两线路的公交车都需要响应预约站点，在每趟运行中公交车的运营成本与单线调度时公交的运营成本相同，为90元。而第2种运行情况所有预约乘客的目的站点都是两线路的公共站点，协调调度时每个预约站点只需1条线路的公交车响应，可以减少另一条线路在响应预约站点时增加的成本。协调调度时，响应各预约站点增加的运营成本与单线调度时增加的运营车本对比如图 7所示。

由图 7可知，协调调度时公交车响应每个预约站点增加的运营成本比单线调度时增加的运营成本少，相较于单线调度，协调调度在每趟运行过程中可减少运营成本6.69元，在非高峰时段内则可减少公交的运营成本80.28元。

4 结论

(1) 针对柔性公交系统中乘客预约出行时公交线路选择的多样性以及实时预约乘客候车时间长等问题，对相关联的柔性公交线路进行了协调调度研究，建立了协调调度模型。

(2) 利用遗传算法，对响应预约站点时车上的乘客数量进行了编码，能对协调调度模型进行求解。

(3) 当有多条线路可以响应预约请求时，多线路柔性公交协调调度能减少实时预约乘客的候车时间。线路柔性公交协调调度情况下，有共同目的站点的乘客数量越多，多乘客减少的整体出行时间就越多；当预约站点所有乘客有共同的目的站点时，公交的运营成本最低。

(4) 本研究未建立公交车早到或晚到预约站点的惩罚系数和分析预约站点位置对柔性公交协调调度的影响。接下来可将这些因素量化，进一步优化柔性公交的调度。