0 引言

一般而言岩溶区桩基的处治方法有两种，一种是当溶洞顶板较厚或桩基作用线与溶洞中轴线存在一定偏移量时，可利用顶板的自承力支撑桩端荷载^[1]。另一种是当溶洞顶板厚度较小或者风化严重时，通常将桩穿过溶洞，将桩端嵌入稳定的岩体内，以确保工程的安全进行，但此法成本较高，施工难度较大。因此有条件地优先利用溶洞顶板的自承能力，进行溶洞顶板承载力的研究对岩溶区桩基的设计和施工具有重要意义^[1]。

目前，针对非对称荷载下溶洞顶板极限承载力的研究成果较少。20世纪50年代以来国际著名学者Meyerhof等^[2-6]通过室内模型试验对倾斜荷载下基桩的受力特征进行了研究，并提出了单桩承载力的半经验计算方法。王成华等^[7]基于均布荷载下软弱下卧层土体竖向附加应力的计算方法，利用积分导出荷载偏移时竖向附加应力的简化计算公式，并提出了关于荷载偏移下软弱下卧层承载力的验算基本准则。Waltham等^[8]通过试验研究得到了冲切破坏模式空洞顶板的破坏特征，随着荷载位置偏移量的增大，破坏线由内凹曲线向外凸曲线过渡。林智勇、戴自航等^[9-10]采用数值模拟研究了溶洞位置对上方路基的影响。张慧乐等^[11-12]通过模型试验研究了洞跨、荷载偏移及顶板厚度等因素对桩端承载能力的影响，并推导出一系列简单的岩溶区桩端极限承载力计算方法。雷勇等^[13]通过室内模型试验分析了荷载位置偏移对溶洞顶板破坏模式及承载力的影响。上述研究重点在于试验和数值分析方面分析荷载位置偏移下溶洞顶板的破坏模式和极限承载力，对于荷载位置偏移下溶洞顶板极限承载力的理论求解却鲜有报道。

基于已有的研究成果，对非对称荷载下溶洞顶板冲切破坏模式的极限承载力进行求解。首先基于Hoek-Brown强度准则及极限分析法，建立冲切破坏体的功能方程。然后利用变分求极值原理，得到了荷载位置偏移下冲切破坏模式溶洞顶板极限承载力的计算公式。最后通过室内模型试验验证了理论方法的合理性，并进一步分析了顶板厚度和荷载位置偏移量对溶洞顶板极限承载力的影响，研究结论可为实际工程设计提供参考。

1 Hoek-Brown强度准则

20世纪80年代，Hoek-Brown强度准则开始被广泛应用，之后不少学者根据研究的需要对其进行了改进。A. Serrano等^[14]推导出采用瞬时摩擦角ρ表示的岩体破坏面的切向应力和法向应力表达式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，σ_n，τ_n分别为岩体破坏面上的法向应力和剪应力；GSI为岩体地质力学分类指标；β为强度模数；ζ为岩体抗拉强度系数；m₀为岩体类型参数；σ_c为岩块抗压强度。

由式(1)、式(2)可得τ_n^*的近似解为：

(5)

式中，k和z为待定参数，根据文献[15]k可取0.52，z取0.5。

由式(2)、式(5)得τ^*的表达式为：

(6)

2 冲切破坏模式的上限分析 2.1 荷载位置偏移下顶板破坏模式的假定

由极限分析理论可知^[16]，选取一种合理的破坏机制是利用极限分析上限法解决问题的一个基本要求。一般情况，在倾斜偏心荷载作用下，基础下部的土体会出现3个区域(如图 1所示)，整体为一弹性楔，楔的AC、CD边为圆弧边，其破坏面为对数螺旋线-对数螺旋线-直线^[17]。但按照此破坏形式，在计算和分析桩端下部的溶洞顶板极限承载力问题时比较复杂。

目前，溶洞顶板易发生冲切破坏模式被广泛接受。由文献[11-12]可知，溶洞顶板冲切破坏时的冲切体是以一定曲线为母线的轴对称旋转体，基于此模型得到的溶洞顶板极限承载力与实际较吻合，计算程序也较简易^[18-20]。因此，本研究在此基础上继续研究荷载位置偏移下溶洞顶板极限承载力的计算方法，顶板的冲切破坏模式如图 2所示。当溶洞顶板上的荷载达到极限荷载时，破坏面出现厚度为δ的塑性区Ⅰ，刚性区Ⅱ和刚性区Ⅲ。

2.2 功能方程的建立

图 2中，A′B′C′D′部分表示完整的冲切体；u为冲切破坏体移动的方向；D=AB表示桩径；e为荷载位置偏移量；D₁=DC为冲切破坏体的底部直径；R为溶洞半径；h为溶洞的顶板厚度；H为冲切体的高度；δ为塑性区的厚度。

为便于计算，作如下假定：

(1) 溶洞顶板为球形溶洞；

(2) 除去A′B′E′部分后，A′E′C′D′部分冲切破坏体为一轴对称旋转体，且不考虑A′B′E′冲切破坏面上产生的承载力(偏于保守)，冲切体位移方向沿O′O方向；

(3) 假定D′=D；

(4) 岩体为理想的刚塑性材料，岩体的破坏机制符合Hoek-Brown准则(图 3)，且服从相关联流动法则。

根据上述假定可知，对于服从Hoek-Brown准则的岩体，其塑性势为：

(7)

塑性应变率为：

(8)

(9)

式中，λ为比例系数；为法向应变率；为切向应变率。

应变率和运动速率的关系可表示^[15]为：

(10)

(11)

联立式(7)~(11)可求得应力的表达式为：

(12)

(13)

由极限分析上限法可知，外荷载所做功率与塑性区耗损功率相等，即：

(14)

忽略冲切体自重，外力做功率为：

(15)

式中θ为外荷载P与冲切破坏体位移方向的夹角，即∠BAE。

塑性区耗散功率为：

(16)

式中, Ḋ为单位面积能量耗散；dS为单位面积积分。Ḋ的表达式为：

(17)

由图 2中的几何关系可知：

(18)

(19)

(20)

(21)

联立式(14)~(21)可得：

(22)

2.3 溶洞顶板极限承载力的求解

为得到式(22)的一个上限解，运用变分原理，首先令：

(23)

根据欧拉方程：

(24)

将式(23)代入式(24)，可得：

(25)

通过式(25)求得冲切体破坏面的母线方程为：

(26)

式中C₁，C₂为待定系数。由上述假定可知D′=D，边界条件有：

(27)

(28)

将式(27)~(28)代入式(26)，求得母线方程为：

(29)

再将式(29)代入式(22)，得到溶洞顶板极限承载力的表达式：

(30)

式(30)中的未知量有θ，H和D₁。其中H可由θ，e，D，h，D′，R和D₁确定，因此式(30)中的未知量只有θ和D₁。

图 2中，由几何关系可得：

(31)

在△CDO中有：

(32)

在△ADO中：

(33)

在△ADO中由正弦定理知：

(34)

式中,

联立式(31)~(34)解得：

(35)

因此，将式(35)代入式(30)就得到极限承载力计算公式，然后令əP/əθ=0，əP/əD₁=0求出相应θ和D₁的值，再将θ和D₁的值代入式(30)就可求得溶洞顶板极限承载力的一个上限解，即极限承载力。

为了便于计算，对冲切破坏体高度H进一步简化。在图 4中，冲切体高度H近似取为MN的长度，其中M为AB的中点。

θ近似取为∠AMO的余角：

(36)

(37)

将式(36)~(37)代入式(30)有：

(38)

3 试验与理论对比 3.1 模型试验

为验证理论方法的合理性，在室内进行了下伏溶洞的顶板极限承载力试验。采用一定配比的石膏、水泥、砂以及黏土模拟溶洞基岩^[13]，试验加载装置及试验如图 5所示。溶洞直径l=33 cm，荷载板的直径D=5.75 cm，通过试验测得砂浆的单轴抗压强度为σ_c=2.97 MPa。进行了h/D=1，2，3，4的4组试验，每一组按不同偏心位置设加载点进行加载。

图 6为加载点的平面布置图，图中的编号“1-1”代表第1组第1个加载点，其他以此类推。

当顶板厚度h为1-3D时，试验成功取出了8个加载点的冲切破坏体。h为4D，无荷载位置偏移时，顶板发生了不完全的冲切破坏，因此未能取出冲切体，具体破坏模式见文献[13]。

3.2 理论与实测结果的对比分析

按基岩模拟材料的性质、完整情况及室内基岩材料的参数测试，采用Hoek-Brown强度准则时，相关计算参数见表 1^[15]。

通过荷载板试验得出的基岩承载力如表 2所示。试验和理论得出的不同顶板厚度h及荷载位置偏移量e时溶洞顶板各加载点处的极限承载力如表 3所示。

3.2.1 P与h/D的关系

图 7为荷载位置偏移量e一定时，试验与理论得到的顶板极限承载力P随h/D的变化情况，其中l=2R，代表溶洞的直径。

由图可得，当e一定时，随着厚径比h/D的增加，顶板极限承载力P大致呈线性增长，理论结果与实测结果相吻合。当e达到l时，不同顶板厚度相对应加载点的极限承载力均与基岩承载力基本相等，且顶板均未发生冲切破坏，此时理论方法不再适用，因此图 7中未给出理论结果。

3.2.2 P与e的关系

图 8为顶板厚度h一定时，试验与理论得到的顶板极限承载力P随e/l的变化情况。

由图 8可知，理论结果与实测结果较吻合，且随着荷载位置偏移量e的增加，溶洞顶板极限承载力呈非线性增长。当e增大到一定值时，顶板极限承载力趋向平稳，并逐渐达到基岩承载力。

3.2.3 P与GSI的关系

由式(3)和式(4)可知，参数b和ζ与岩体地质力学分类指标GIS相关。由文献[15]可知：对于自然条件下稳定的岩溶顶板，可取GSI分别为44，65，85，100进行研究。

图 9给出了h为2D时，顶板极限承载力随GSI的变化情况。由图可知，随着GSI的增大，溶洞顶板极限承载力呈非线性增长，增长的幅度逐渐变大。当GSI为44(顶板的岩体质量一般)，e为0，0.25l，0.5l时，顶板的极限承载力分别为1.8，2.2，3.6 kN；当GSI为100(顶板的岩体质量非常好)时，相应的极限承载力分别为24，29，43 kN，近似为前者的12倍，说明岩体质量的好坏对溶洞顶板承受能力的影响较大。在实际工程中，要尽可能选取岩体质量较好的地域进行设计与施工才能获取安全及经济效益。

4 结论

采用Hoek-Brown强度准剪应力的抛物线形式，基于极限分析法提出了荷载位置偏移下溶洞顶板极限承载力的计算方法，并通过模型试验验证了理论的合理性，得到如下结论：

(1) 对于厚度h在1~4D范围内的溶洞顶板，当荷载位置偏移量一定时，随着厚径比h/D的增加，顶板极限承载力大致呈线性增长。

(2) 对于发生冲切破坏的溶洞顶板，当顶板厚度h一定时，随着荷载位置偏移量e的增大，顶板极限承载力呈非线性增长。

(3) 对于h为2D的溶洞顶板，随着GSI的增大，顶板极限承载力呈非线性增长，增长的幅度逐渐变大，且当GSI为44，e为0，0.25l，0.5l时，顶板的极限承载力分别为1.8，2.2，3.6 kN；当GSI为100时，相应的极限承载力分别为24，29，43 kN，近似为前者的12倍。