0 引言

城市大量不透水铺装的弊端越来越明显，海绵城市建设试点工作已经全面铺开^[1]，透水沥青路面的应用越来越广泛^[2]。我国的透水路面及其排水技术研究重点是在渗透率和空隙率关系、材料力学性能指标、生态效益、环境效益等方面^[3]。为了研究和解决透水沥青路面水损害和渗流堵塞问题，有必要研究水在沥青路面材料内部的渗流问题。

由于水的渗流和压力的复杂多变性^[4]，大量科研人员展开了研究。由于水在多孔介质中渗流及其机理的复杂性，目前的研究还不够深入和完善。根据Lindquist-Kovacs理论，界于层流和紊流之间的流动状态也可应用达西定律来研究，只是需要对达西定律取值加以修正^[5]：

(1)

式中，V为平均流速; β为通过雷诺数R_e确定的系数; K_D为达西渗透系数; J为水力坡度^[5]。

由于达西定律应用有一定的局限性，近年来一种介观的模拟方法格子Boltzmann方法(LBM)，由于处理复杂的边界条件容易、同时具备良好的并行计算性能，在多孔介质领域研究中被广泛应用^[6-8]。该方法在微观的粒子尺度建立离散模型，计算密度、流速等宏观的变量。格子算法借助了计算机强大的计算能力，更好地研究复杂多孔介质中的渗流问题^[9-11]。

传统的方法着重从宏观上研究路面渗水性能与空隙率等指标的关系，无法从微观机理上揭示水在沥青混合料空隙内部的输运规律^[12-17]。本研究创新性地应用格子Boltzmann方法在空隙尺度下研究水在透水沥青路面材料中的输运规律。研究不同集料形状对渗流的影响，对于解决此类问题有一定理论意义和指导作用。

1 透水沥青路面材料特征分析

透水沥青路面材料与常规沥青路面材料不同，有其独特的结构和水力学特征^[18]。结构特征是混合料设计空隙率为18%~25%，空隙大小比较一致。其水力学特征是雨水不是通过路面表面水平方向排走，而是通过路面材料竖向渗入到土基里，路面内部发生渗流时以竖向渗流为主。

1.1 透水沥青路面材料的结构特征

透水沥青路面材料结构为骨架-空隙型结构，混合料结构主要取决于集料。集料为良质粒料，采用间断级配，细集料很少。混合料的设计空隙率高，可以通过严格控制集料大小和组成，粗集料严格选择颗粒接近立方体的。参考文献[10]，确定透水沥青混合料的集料级配范围如表 1所示。

结合料采用高黏度沥青，沥青用量较少，添加纤维后，结构沥青较多，自由沥青较少。

1.2 透水沥青路面材料水力学特征

最新研究成果^[11]，对马歇尔试样的X-ray CT扫描图像进行了分析和处理，从试样的扫描二维切片中，对空隙在沿试样的高度方向和在试样的横截面平面内的径向分布进行了研究，并得出如下的规律：空隙沿试件的高度方向分布基本对称，空隙率沿径向分布较均匀，空隙率在水平横截面内沿行车方向和垂直行车方向基本相同^[11]。正因为空隙率沿径向分布较均匀，空隙率在水平横截面内沿行车方向和垂直行车方向基本相同，而主要变化反映在试样的高度方向上。从集料及其空隙分布角度来看，在水平向和竖直向有同样的分布特征^[11]。

透水沥青路面材料水力学特性主要取决于集料的组成和结构，混合料特殊的设计确保形成比较畅通的竖向排水通道。当透水沥青路面采用装配式混凝土预制块基层时，透水效果更好。

2 Lattice Boltzman Method 2.1 LBM基本原理

LBM(BGK)的标准演进方程^[12-17]为：

(2)

式中，f_i为粒子非平衡态的分布函数；f_i^eq为粒子局部平衡态的分布函数；t为弛豫时间；x为节点的位置向量；e_i为节点微观速度向量；i是节点离散速度方向^[6]。下面用经典的D2Q9模型为例，DdQq命名规则；d为维数；q为离散速度数目，其离散速度的模型如图 1所示。

1997年，He和Luo^[11]推导出了相应平衡分布函数表达式：

(3)

式中，ρ为流体的密度; u为粒子的运动速度矢量；w_i为第i速度方向权重系数^[11]。对于D2Q9模型有：

(4)

e_i的表达式：

(5)

宏观物理量的密度r和速度u在离散速度空间表达式^[11]为：

(6)

(7)

2.2 边界条件

边界条件的处理在格子Boltzmann方法很重要，格式很多，这里仅介绍研究涉及到的多孔介质中常用的周期性边界和流固反弹边界^[6]。

周期性边界是流体粒子在一侧的边界离开流场，下一个时步将会在另外一侧的边界进入。以图 2所示的平面内绕规则排列圆柱流为例，对于沿着直线a和沿着直线b有如下特点：

沿线a：

沿线b：

反弹边界主要用于无滑移边界条件，一个流体节点上的粒子“流动”到达边界，沿原来运动方向反向弹回到原节点。根据反弹的位置又可以分为全反弹格式和半步长反弹格式，如图 3所示。

半步长反弹格式模拟具有二阶的精度，因此采用半步长反弹的格式模拟流固边界。

3 数值模拟

文中在水平面上把沥青路面分成了行车方向和垂直行车方向两个方向，另外在垂直水平面方向的重力方向上是铅垂方向。由于在透水沥青路面材料中任意水平面内空隙分布是随机的，所以在水平面内方向各方向上是均匀的。另外，相对于空隙这种相对微观的尺度，大面积且基本处于水平状态下的沥青路面，在平面上的各个方向其边界为无限边界，但在铅垂方向的尺寸要小得多。由于路面在平面的尺寸远比厚度的尺寸大得多，所以在沿路长方向完全可以简化为周期性边界条件。在这个特征单元上，考虑到路面积水深度是相同的，即作用水头相同。同时竖向水的重力作用，透水路面中水在水平向渗流很少，水以竖向渗流为主。因此可以只考虑铅垂方向的渗流，而且由于路面材料在各处厚度相等，透水沥青路面材料中水的渗流问题，可以看成二维的问题。路面材料渗流问题主要表现为二维的平面问题。本研究建立二维模型研究透水沥青路面材料中渗流问题。在文献[10]中，长安大学沙爱民教授阐述了全空隙率和连通空隙率有着非常好的线性相关性，VV_connect=0.688VV+1.895 5，式中VV_connect为连通空隙率，VV为全空隙率^[10]。为了建模方便，本研究用空隙率代替连通空隙率。

考虑透水路面材料独特的结构和水力学特征，可以采用本研究的人工理想多孔介质理论模型分析和研究其中的渗流问题。

3.1 模型建立

选取了一个特征单元为代表进行模拟计算，如图 4所示。左右边界是压力边界^[6]；顶边和底边是周期性边界^[6]；多孔介质内的固体颗粒部分为两种：流固接触处是无滑移边界的条件半步长反弹的格式^[6]，固体内部是固体格点，不作任何处理以减少所用计算资源。

格子大小采用：N_x×N_y=299×299。左右侧压差p=0.000 05，流体密度r=1.0，流体运动黏度n=1/6，弛豫因数t=1。

这里模拟包括圆、椭圆和矩形3种形状有序的人工理想多孔介质，与上文的集料情况比较吻合，如图 5所示。

空隙率ε的计算如下：

(8)

式中，S为颗粒之间的间距；d为圆的直径；a和b依次为椭圆的长半轴和短半轴；w和h依次为矩形的宽和高(当w=h=l时，为正方形)。

为了不同形状颗粒的多孔介质渗水性能便于比较，定义一个无量纲的量K/L_p²。这里特征长度L_p定义如下：L_p=4×面积/湿周。L_p=2r=d(圆形)，L_p=4pab/[2pb+4(a-b)](椭圆形)，L_p=c(正方形)和L_p=wh/[2(w+h)](矩形)。

3.2 模拟结果

这里模拟了3种形状的人工有序多孔介质，控制空隙率为70%。流速云图如图 6所示。

图中显示了在相同的压力梯度下，其水平方向的流速情况。除圆形的固体格点外，该位置流速为0。速度云图中，流场灰度越大，其速率越大。不同形状对无量纲渗透率的影响如图 7所示。

图 7表明，多孔介质(不同形状颗粒)的无量纲渗透率是一个关于空隙率的函数，随着空隙率的增大，无量纲渗透率也有所增大。同时，在较小空隙率(大概e < 0.6)时，空隙率对无量纲渗透率影响较小，且各形状的多孔介质无量纲渗透率区别不大；然而在较大空隙率(大概e>0.8)时，空隙率对无量纲渗透率影响非常明显，3种不同形状多孔介质的这一特点基本相同。在相同空隙率情况下，椭圆形人工多孔介质(a/b=2)的无量纲渗透率最大，正方形次之，圆形人工多孔介质的最小。

不同长短半轴(a/b)的椭圆形人工多孔介质在不同空隙率的无量纲渗透率的变化如图 8所示。

可以看出，相同空隙率情况下，无量纲的渗透率与椭圆形状的长短轴之比近似为线性关系，图 8中近似为直线，随着空隙率增大，直线的斜率也增大。

不同长宽比(w/h)的矩形人工多孔介质在不同空隙率的无量纲渗透率变化如图 9所示。

其变化规律基本与椭圆形的大体相同。只是无量纲渗透率与长宽比(w/h)的线性关系没有椭圆形明显。当椭圆形粒径长短轴足够随机排列时，空隙率在各个方向上也是随机分布的。当取的样本单元足够大时(即具有代表性时)，此时表现的渗流规律特性与圆介质的基本一致。

保持同一空隙率不变的情况下，当矩形的长宽比(w/h)增大到某一限值时，彼此独立的小矩形会形成一整块连通矩形“薄板”，这样就形成了平板(Poiseuille)流动。水平的流速场如图 10所示，x方向为主流的方向，y轴为垂直主流的方向。

此时，两平板的流速呈二次抛物线变化，这点与平板Poiseuille流动理论解是吻合的。此时，平板间的平均流速、压强梯度p/L和两平板间距h_s之间的关系由表达式(9)给出：

(9)

平均流速与最大流速u_max之间的关系为u_max=1.5。表 2列出了在不同空隙率下，矩形形成“薄板”时，平板Poiseuille流动最大流速u_max的理论解与Lattice Boltzmann Method模拟值之间的对比。

从表中可以看出Lattice Boltzmann Method模拟值与理论值吻合得相对比较好，其相对误差小。

4 结论

本研究借助格子Boltzmann方法的D2Q9模型解决透水沥青路面材料中的流体流动，得出的主要结论如下：

(1) 在同一空隙率下，椭圆形状的多孔介质无量纲渗透率最大，而圆形的最小，矩形形状的多孔介质渗透率介于两者之间。主要由立方体集料组成的透水沥青路面材料的渗透率介于两者之间。

(2) 当空隙率较低的情况下(约e < 0.6)，空隙率对无量纲渗透率影响较小；当空隙率增大到某一值(约e>0.8)时，空隙率对渗透率的影响明显。3种不同形状的多孔介质都满足这一规律。

(3) 对于椭圆形状的人工多孔介质在相同空隙率情况下，无量纲的渗透率大致与椭圆形状的长短轴之比近似为线性关系。矩形形状的多孔介质的渗透率变化规律基本与椭圆形的大体相同。只是无量纲渗透率与长宽比(w/h)的线性关系没有椭圆形明显，并且这一结果得到了“平板Poiseuille流动”解析解的验证。

(4) 如果能获得沥青路面真实几何微结构，就可以更精确模拟渗流。