0 引言

锚跨段是通过锚跨索股的张力来控制的^[1]，而锚跨段作为缆索系统的一部分，它直接影响到了中跨及边跨主缆的线形，因而锚跨段索股的张力也是悬索桥监控的一个重要环节，所以锚跨索股张力的精确测量是悬索桥监控的重要影响因素^[2]。

对于悬索桥锚跨张力的控制研究许多是借鉴斜拉桥斜拉索和吊杆等有关研究成果。悬索桥锚跨段索力影响因素众多，宋一凡^[3]的研究中考虑了锚跨段索股的温度效应，提出一种新温度效应计算的挠度理论。许汉铮^[4]提出了锚跨段索股与拉杆的力学模型，并将拉杆作为具有刚度的边界条件，以此运用弦振理论方法，通过测得已有频率对悬索桥锚跨张力进行计算。王达^[5]等人研究了锚跨段索股抗弯刚度对索力计算的影响，结果可以看出当索股直径较小时，索股的抗弯刚度对索力计算影响值只有3%。李宇鹏^[6]于2013年，基于许汉铮^[4]提出的锚跨段索股与拉杆的力学模型上，进行了分析后，认为考虑拉杆段抗弯刚度提高了计算难度。基于Warminski J等人^[7]的提出了组合梁系统的振动研究，而王志搴、赵跃宇等人^[8-10]通过对索梁组合系统的模态分析，得出了理论上索梁组合结构多个参数对结构频率的影响。吴庆熊等人^[11]通过索梁组合结构固有振动试验证明了有限元模型的正确性。从云跃等人^[12]建立斜拉桥单梁-多索力学模型进行了索梁结构的模态分析。

基于上述背景与原因，本研究根据索梁组合结构，提出考虑锚跨段拉杆抗弯刚度的修正算法，根据动力平衡方程及边界条件列式解出索梁组合系统方程，并通过编辑程序给出索梁组合方程中索力的数值解，得出基于考虑锚跨段拉杆抗弯刚度的影响的索力值，并通过工程实例验证该法的正确性，从而提高振弦法测量锚跨段索股张力的精度。

1 锚跨索股的振动 1.1 理想弦的振动

索股的抗弯刚度很小以至于忽略不计时，此时将张紧的弦看作是理想的弦，假定弦长为L，均布质量为m，索股在微小振动时其拉力不变为F。

运用瑞利里兹法计算振弦的频率^[4]，拉索振动时由拉索的动能和势能相互交替，根据动能守恒原理，可知得：

(1)

式中ω_n为索股的n阶振动圆频率，其频率f_n为：

(2)

因此：

(3)

工程上一般都取低阶频率^[13]，此处采用一阶频率化简得到公式(4)的简化算法来计算索力。

(4)

1.2 索梁组合结构的振动 1.2.1 模型建立

悬索桥锚跨段(如图 1)由索股和螺纹拉杆相互铰接，索股段固结在散索鞍内，而拉杆固结在前锚面(固结端)上，索股与梁连接部分(锚头)不承受弯矩，因而为铰接。拉杆部分为梁结构，索股部分为索结构，两者铰接连接，两端固结，其力学模型如图 2所示。

当索股受外界激励后，做自由振动时，其螺纹拉杆会随着索股的振动一起振动，它们组成了同一个结构；而螺纹拉杆的抗弯刚度较大，在这里不可忽略，因此计入拉杆的抗弯刚度进行分析。

索股的长度为L₁，单位长度质量为m₁，拉杆的长度为L₂，抗弯刚度为EI, 单位长度质量为m₂，张力为F，且在微小振动时，其张力不变。

其基本假设条件为：

(1) 考虑微振动，不计索拉力的变化；

(2) 梁为欧拉梁，只考虑弯曲变形，不计轴向变形、剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。

图 3所示索梁结构为自由振动问题，通过Hamilton变分原理列出索、梁结构的振动方程分别为：

(5)

(6)

式中y₁，y₂分别为索和梁的振动方程。

1.2.2 边界条件及索、梁连接条件

(1) 梁端位移及转角为0，索端位移为0。

(7)

(2) 梁与索连接处的约束；①连接处位移相等；②连接处梁的弯矩为0；③连接处截面受力平衡。

梁的弯矩为：

(8)

连接处梁的剪力为：

(9)

连接处索股的微小转角为α，因此索轴力在连接处的竖向分力为：

(10)

(11)

且有：

(12)

故连接处边界条件为：

(13)

设梁与索的各点作同步运动，即y₁(x₁, t)=φ(x₁)q(t)；y₂(x₁, t)=ψ(x₂)q(t)。其中φ(x₁)和ψ(x₂)分别为索和梁的模态函数。

1.2.3 振动方程求解

(1) 方程(5)分离变量求解：

(14)

求得：

(15)

(16)

其中令：

(17)

式中，C₁，C₂为待定系数，与边界条件有关。

(2) 方程(6)分离变量求解：

(18)

求得：

(19)

(20)

其中令：

(21)

式中，C₃，C₄，C₅，C₆为待定系数，与边界条件有关。

(3) 代入边界条件及索梁连接条件求解：

① 由梁端及索端边界条件得：

φ(0)=0，即C₁=0；

ψ(0)=0，即C₃+C₅=0；

ψ·(0)=0，即C₄+C₆=0。

索和梁的模态函数简化为：

(22)

(23)

② 由梁与索连接处的边界条件得：

φ(L₁)=ψ(L₂)，即

(24)

，即

(25)

，即

(26)

关于C₂、C₃、C₄的其次线性方程组有非零解，即：

(27)

进而求得ω_n的一组取值，方程较复杂，使用符号运算没有解析解，可使用数值解法。求得的ω_n即为该梁索组合结构的固有频率，确定ω_n之后即可确定梁与索的模态函数φ(x₁)及ψ(x₂)。

由上述方程编辑一个修正算法小程序，即可求得F的数值解。计算流程如图 4所示。

2 工程实例分析

现今锚跨索股张力主要运用锚索测力计、振弦法等方法^[14]。锚索测力计测试精度高^[15]，但是由于其成本昂贵，无法对所有锚跨索股布设。振弦法采用动测仪^[16]进行测量，其测试精度高，成本低廉，操作简单，适宜运用于全范围测量锚跨张力，但是振弦法测量锚跨张力时，多种因素影响。

本研究依托于湖北省恩施州水布垭清江大桥，该桥为主跨420 m，重力式锚定的悬索桥。取3根装有XB-110型锚索测力计(图 5)的索股，表 1为索股与拉杆的参数。考虑到索股的长度、单位质量和张力，以及拉杆的长度、单位质量和抗弯刚度。运用有限元软件计算出结构的索力及自振频率，采用动测仪测出索力频率，并用简化算法(4)对索力进行计算，再通过索梁组合结构修正算法计算程序计算索力，并比较有限元计算结果、简化算法、修正算法以及锚索测力计实测结果的误差。

拉杆的弹性模量为210 GPa，截面形式如图 6所示。可得拉杆对X轴和Y轴的抗弯刚度。图中单位为mm，外部方形部分为拉杆锚头，忽略其刚度。

利用ANSYS建立索梁组合结构有限元模型进行模拟^[17-18]计算，如图 7所示。节点1至2为BEAM188弹性蠕变梁单元，节点2至7为LINK8预应力索单元。两段边界条件为全部约束。节点2处直接连接，因为索单元在此处不会承受弯矩，因为等同于铰接。索单元建立时，需打开预应力开关，根据输入初始应变，即输入了索力，求解分析选择模态分析中的子空间迭代法^[19]，显示前10阶模态，通过索力算出频率，即可得到工程实例测得频率所对应的理论计算索力。

以锚索测力计测得结果为准，对比有限元计算结果、简化算法及修正算法的结果，并分析误差。

通过表 2和表 3的结果比对，可以看出，当锚跨拉杆抗弯刚度较大时，运用简化算法计算所得索力最大影响值达到了11.6%；3根索股的索力平均误差为9%。而运用修正算法计算所得索力最大影响值为1.8%，3根索股的索力平均误差为0.8%，与有限元计算结果接近。由于简化算法直接忽略了锚头拉杆的抗弯刚度，即将索梁组合结构简化为了索单元，进而带来了索力计算上的误差，因此运用索梁组合结构的修正算法，考虑了锚头拉杆的抗弯刚度，计算结果更加符合结构索力的真实状态。

3 结论

本研究通过Hamilton变分原理，列出悬索桥锚跨段拉杆与索组成的索梁组合结构的动力方程，并根据实际边界条件解出索力。

(1) 锚跨索力测试时，锚跨拉杆作为锚跨段主缆的边界，不能直接作为固定连接进行分析，应将两者连接处作为铰接边界，考虑锚跨拉杆的抗弯刚度。

(2) 以往锚跨段只考虑索的振动，而当锚跨拉杆抗弯刚度较大时，用传统的简化计算方法会得到比实际索力值大10%的索力计算结果，是不符合实际情况的，并且有很大偏差的。通过索和梁分开假设，来得到各自的模态函数，进而利用梁的抗弯刚度、结构频率和索力相互的关系来达到工程中所需求解的索力。