0 引言

自然界中黏土经过自然沉积，往往表现出非均质与各向异性的特点，将显著影响土体的抗剪强度^[1]，对土体中基础的稳定带来不确定性。

目前国内外学者在水平地基承载力的研究中已考虑了土体的非均质与各向异性的作用。W.F.Chen^[2]采用地基破坏时滑动面为圆弧面的破坏形式，考虑了非均质和各向异性对承载力的影响。A.S.Reddy^[3-4]，K.Ugai^[5]，M.A.Al-Shamrani^[6]采用极限分析上限法，对地基土的非均质和各向异性情况进行研究。K.Tani和W.H. Craig^[7]采用特征线法研究了非均质对地基承载力的影响。Joon Kyu Lee^[8]采用有限元软件，研究了双层非均质黏土对环形基础地基承载力的影响。Gournenec S^[9]运用有限元分析了条形和圆形基础地基中非均质的影响。Davis E H^[10]通过滑移线法研究了非均质黏土地基的承载力。黄俐^[11]运用极限分析结合离散法推导了非均质与各向异性条形基础地基承载力方程。徐干成^[12]应用塑性极限分析法上限定理及变分原理，确定非均质与各向异性地基的极限承载力。黄茂松^{[1, 13]}、秦会来^{[1, 13-14]}采用多块体上限法研究了非均质和各向异性的地基承载力计算问题。

对于复杂的临坡地基，非均质与各向异性影响研究的成果则较少。本研究采用极限分析上限法分析临坡地基破坏形式下非均质与各向异性的作用机理，考虑其对地基破坏面的影响，并导出地基承载力系数N′_c的变化曲线，揭示非均质与各向异性对临坡基础地基承载力的影响规律。

1 非均质与各向异性的基本原理

黏性土的不排水强度一般随土体深度而变化^[1]，本研究就土体的非均质特性采用如图 1所示的假设，黏聚力大小与深度成线性关系，随着深度的增大而增大。图中c_H为黏聚力大小；h为土体深度；c_h0为基底土体的黏聚力；λ为黏聚力随深度变化的比率，则黏聚力与深度变化关系可表示为：

(1)

土体抗剪强度不仅与土体的非均质特性有关，同时还与黏聚力的各向异性有关。文献[15]提出了各向异性作用下黏聚力的表达方法。参照如图 2所示的模型，其中c_v为土体大主应力方向为竖向时的黏聚力；c_h为土体大主应力方向为水平向时的黏聚力；ζ为大主应力方向与竖直方向的夹角。则土体所对应的黏聚力可表示为：

(2)

为方便分析，提出各向异性系数k=c_h/c_v。对某一特定现场土体，k取值一般可近似为一常数^[1]，则式(2)可表示为:

(3)

2 破坏模式假设

临坡地基现已广泛存在于各类工程项目中，通常边坡的存在会显著降低地基的承载力，易发生倾斜、滑坡等安全问题，对临坡地基的承载力分析就显得尤为重要。然而，临坡地基破坏形式与水平地基存在很大差异，使用水平地基破坏模式无法得到准确解答，因此在分析临坡地基承载力时就需要采用临坡地基所适用的破坏机构。

分析采用如图 3所示的临坡地基单侧破坏模式，图中给出了地基受剪破坏时各滑动面上大主应力方向的变化情况。σ₁为大主应力；σ₃为小主应力；q_u为地基承载力；q为荷载。

根据已有临坡地基破坏模式研究成果，结合工程实际中临坡地基破坏特点，现作出如下假定：

(1) 地基为理想刚塑性体，满足相关流动法则并服从Mohr-coulomb强度破坏准则，破坏机构由3部分块体组成，ABC和BDEF为刚性块体，BCD为变形楔体；

(2) 边坡顶部水平，机构采用宽度为b的条形基础，基础与地基接触面水平且光滑无摩擦，基础与边坡坡顶边缘距离为a×b，a为比例系数；

(3) 在非均质与各向异性影响下，受剪区BCD的曲线滑动面始终保持对数螺旋线形式。

由于破坏临近边坡，有别于水平地基破坏模式，破坏具有非对称性，使得基底AB与破坏面BC，AC的夹角α₁，α₂并不相同，表现为α₂>α₁^[16]。由基础宽度b，可得BC长度r₀及AC长度r₁分别为：

(4)

(5)

块体BCD中BC与BD夹角为θ₁，滑动面CD为对数螺旋线，B点为对数螺旋线中心，则对数螺旋线方程为：

(6)

式中，r为对数螺旋线上的点到B点的距离；θ为螺旋受剪区计算点同B点的连线与BC的夹角；$φ$为土体的内摩擦角。

对于块体BDEF，DE与坡面夹角为ε，边坡坡度为δ，由几何关系可得DE长度r₂为:

(7)

当δ=0°，a=0时，破坏模式由临坡地基化为水平地基破坏，此时，DE的长度r₂为：

(8)

3 非均质和各向异性地基承载力上限计算 3.1 上限定理

极限分析上限定理，即对于满足速度机动许可及应变与速度相容条件下的破坏模式，根据外力功率与塑性变形区内部能量耗损率相等建立起平衡方程，从而得到上限解的方法，化为公式可表示为：

(9)

式中，为满足机动许可的速度场；为机动许可的塑性应变场；σ_ij为与对应的应力场；T_i和F_i分别为表面力和体力。

3.2 构建机动许可速度场

根据极限分析上限定理，构造出如图 4所示的机动许可速度场。

基础竖直向下运动，速度为V₂，螺旋线受剪区BCD初始速度为V₀，块体ABC与块体BDEF做刚体运动，速度分别为V₁和V₃，其中V₃为螺旋线受剪区末端BD的速度，数值大小表示为V₃=V₀e^{θ₁tan $φ$}。在外部静止土体与内部运动土体间断面AC，CD，DE，以及螺旋线受剪区BCD内部间断面上都存在速度差，因此在计算时需考虑其上的能量耗损。

为更直观地反映速度场中各速度分量之间的关系，现给出如图 5所示块体ABC的速度关系图。根据几何关系可知

(10)

(11)

(12)

式中，V_r为V₀与V₁的矢量差，即BC面的间断速度，因此在速度间断面BC上存在能量耗损。根据假设，破坏模式满足相关流动法则和Mohr-coulomb强度破坏准则，可以得到各间断速度与速度间断面间的夹角为$φ$，即V₁，V_r，V₃分别与速度间断面AC，BC，DE所成夹角为$φ$，对数螺旋线CD上速度与其所对应曲线上点的切线成夹角为$φ$。

3.3 各向异性在破坏模式中的应用

由上限理论可知，内部能量耗损发生在机构的速度间断面上，即AC，BC，CD，DE面及螺旋线受剪区BCD内部，因此在考虑机构的非均质与各向异性时，需分别考虑各速度间断面上非均质与各向异性对内能耗散的影响。

块体ABC上各向异性情况如图 6所示。由假设可知，滑动面AC，BC上大主应力方向并不相同，ζ₁，ζ₂分别为BC，AC上大主应力与竖直方向夹角，ψ分别为两个滑动面上大主应力与滑动面的夹角，由Mohr-coulomb破坏准则可知ψ=π/4-$φ$/2。

经几何关系推导可得ζ₁=π/2-α₁-ψ，ζ₂=ψ+α₂-π/2，则滑动面AC上土体在非均质与各向异性影响下的黏聚力可表示为:

(13)

式中h为滑动面上土体某一点处的深度。

滑动面BC上土体的黏聚力为：

(14)

块体BCD，BDEF的各向异性情况如图 7所示。

螺旋受剪区BCD内大主应力方向连续变化，BCD内部虚线表示一个速度间断面，其上大主应力与竖直向夹角ζ₃=ψ+α₁+θ-π/2，则螺旋受剪区土体的黏聚力可表示为：

(15)

螺线CD上虚线表示滑动面上某一点处的切线，其上大主应力σ₁与切线成ψ角，大主应力与竖直向夹角ζ₄=α₁+θ-ψ-$φ$，则螺旋线CD上土体黏聚力可表示为：

(16)

对于块体BDEF上滑动面DE，图中DE表现为螺旋线CD在点D处的切线，大主应力方向始终保持一致，与竖直向夹角ζ₅=π/2+ε-ψ-δ，则滑动面DE上土体黏聚力可表示为：

(17)

3.4 上限解的计算

根据以上的分析，可以得到破坏模式在土体非均质和各向异性作用下的能量耗散率。

滑动面AC上的能量耗散率为：

(18)

滑动面BC上的能量耗散率为:

(19)

螺旋线受剪区BCD内部的能量散率为:

(20)

螺旋线CD上的能量耗散率为:

(21)

式中，通过对螺旋线微元进行分析，得到dL=。

滑动面DE上的能量耗散率为:

(22)

由此可得地基承载力q_u的计算公式为:

(23)

式中，W_G为地基土自重所作的功率；W_q为边坡均布荷载所作的功率。

实际工程中，计算地基承载力多采用K.Terzaghi提出的计算表达式

(24)

式中，N_c，N_q，N_γ分别为在黏聚力c，荷载q，土体容重γ影响下的承载力系数。

结合式(23)，式(24)，承载力系数N_c的表达式为:

(25)

上述分析即为运用极限分析上限法求解非均质和各向异性影响下的单侧临坡地基极限承载力的计算过程。根据上述计算过程可知，极限承载力q_u大小与块体ABC底角α₁，α₂及螺旋受剪区角度θ₁有关，而三参数取值无法事先确定，同时，土体的非均质与各向异性也影响着各滑动面的位置及形状，进而改变三参数的大小关系，影响最小上限解的取值。为此通过MATLAB软件编制优化程序，依据破坏模式假设给定相应约束条件，求得在土体非均质与各向异性影响下的承载力最小上限解。

4 数值计算及分析

为验证上述求解方法的可靠性，现通过具体数据，引入其他学者的研究成果进行对比分析。为表示方便，引入无量纲参数η=λb/c_h0表示非均质性。

现对临坡地基破坏模式的特殊情况进行考虑，即探究当δ=0°化为水平地基临坡破坏模式时是否仍具有合理性，进行如表 1、表 2的数值分析。表 1就δ=0°，a=0，k=1，λ=0时，即地表水平且在均质和各项同性情况下计算得到的N_c与其他学者的结果进行比较。从表中可以看出，在$φ$取值不同时，计算结果与其他学者的结果基本一致。

为区别于均质与各向同性地基承载力系数，定义非均质与各向异性条件下地基承载力系数N′_c。表 2为δ=0°，a=0，η=1.2，k=1条件下，非均质N′_c与均质N_c的比值。

下面讨论δ>0°时，临坡地基土体非均质与各向异性条件下地基承载力的变化规律。图 8(a)给出了土体非均质特性对承载力的影响，在坡度δ=20°，a=1，k=1，$φ$分别取5°，10°，20°，30°时非均质系数η对N′_c的影响。从图 8(a)可以看出:当$φ$逐渐增大时，承载力系数N′_c也逐渐增大; 当η不变时，$φ$取值越大，N′_c增大幅度也越大。同时，非均质系数η也与N′_c呈现出正相关关系，且近似线性相关，当$φ$取值逐步增大时，η对N′_c作用越明显。

图 8(b)给出了非均质特性在不同坡度条件下对承载力的影响。由图可见，N′_c随着坡度的增大而减小，在一定的坡度条件下，N′_c与η成近似线性正相关关系，对不同坡度条件下，η对N′_c影响差异不明显。

表 3、图 9分别从不同角度给出了各向异性对承载力的影响。表 3为a=0，$φ$=20°，k=0.6~1.6条件下，计算得到不同坡度所对应的N′_c，并与文献[18]的结果进行了对比分析。从表 3可以看出，当各向异性系数k为1时，计算数据与文献[18]数据基本一致。坡度不变时，k越大，N′_c越小，且影响效果逐渐减弱，而随着坡度δ的逐渐增大，N′_c同样逐渐减小。相较表 3，图 9(a)更能直观地看出不同坡度δ，k值对承载力系数N′_c的影响。图 9(b)则表示对于不同的内摩擦角$φ$，承载力系数k对N′_c的影响程度。从图 9中可以看出，在内摩擦角$φ$和坡度δ取值不同时，各向异性系数k对N′_c影响程度的差异不显著。

图 10给出了k=0.4~1.6时，N′_c随η从0到1的变化情况。从图中可以看出，N′_c与η成正相关性，与k成负相关性，k越小，对N′_c的影响越明显。

5 结论

从极限分析上限法出发，在计算临坡地基承载力时，引入了土体的非均质与各向异性，得到了非均质与各向异性条件下临坡条形基础地基的极限承载力。通过分析，可以得到如下结论：

(1) 临坡地基破坏模式化为水平地基破坏模式时，在均质及非均质条件下得到的承载力与陈希有^[17]、徐干成^[12]等的计算结果相近，可用于分析水平地基承载力问题。

(2) 在土体均质与各向同性情况下，临坡地基承载力系数N_c与杨峰^[18]的计算结果基本一致，说明计算方法适用于求解临坡地基承载力问题。

(3) N′_c与土体非均质系数η近似成线性正相关，当$φ$取值逐步增大时，非均质特性对N′_c作用越明显，η对N′_c的影响程度与坡度δ关系较小。

(4) N′_c与各向异性系数k成负相关性，且影响效果随k的增大而逐渐减弱，k对N′_c的影响程度与δ，$φ$关系较小。