0 引言

山区公路桥梁建设投资规模大、结构复杂、施工困难多，建设周期长，受到多个因素的影响，确定科学合理的桥型方案，对于整个桥梁工程的实施是至关重要的^[1-2]。目前山区桥型方案的确定主要采用调查分析、估算造价等方法来评价设计方案的各项指标，受到设计人员主观因素的限制，评价过程繁琐复杂，比选结果客观程度低，公认度差。虽然国内一些学者对桥梁选型决策做了许多研究，构建了基于突变优选理论^[3-4]、层次分析理论^[5]、模糊层次理论^[6-7]、灰色关联分析理论^[8-9]、模糊综合评价理论^[10-11]、多属性评价决策理论^[12]等桥型方案优选模型，但是这些模型都有一定局限性，应用范围相对有限，并不能完全适用于山区桥型方案的选择。

为此，本研究基于层次分析法、灰色关联分析和逼近理想解法的基本理论，建立山区桥型方案综合评价模型。该模型可以测度不同备选方案靠近理想解和远离负理想解的距离，引入各方案对正负理想解的相对贴近度作为评判标准，对各备选方案的可行性进行排序以确定最佳方案。该评价模型将加权TOPSIS方法与灰色关联分析相耦合，既能考虑曲线趋势，又能够综合分析桥型评选过程中各种隐蔽、复杂的因素，使得评判结果更为科学合理。将本研究所建立的评价模型应用于贵州普安县山区某公路桥型方案评价比选，获得其最优桥型方案，为该工程的决策提供科学依据。

1 层次分析法 1.1 评价体系的建立

桥型方案综合评价体系的建立是方案评价与决策的基础，选取科学、合理的评价指标是决定评判结果的关键。本研究从经济、技术、社会3个方面分析，建立桥型评价指标集U=U₁(建设期成本)、U₂(后期维护成本)、U₃(安全性能)、U₄(适用性)、U₅(耐久性)、U₆(先进性)、U₇(施工难易程度)、U₈(施工风险)、U₉(工期)、U₁₀(桥梁景观)、U₁₁(环境影响)、U₁₂(交通限制)。根据指标的属性，将指标值越小越好的划分为成本型指标，将指标值越大越好的划分为效益型指标。根据AHP法的基本原理，建立山区桥型方案综合评价指标体系以及递进层次结构框架，如表 1和图 1所示。

1.2 指标权重的确定 1.2.1 建立判断矩阵

山区桥型方案综合评价体系建立完毕后，邀请有经验的桥梁专家采用Saaty提出的九标度法，对评价体系中的各上层元素所对应的下层元素进行两两比较和判断，构造判断矩阵B。通过MATLAB计算程序直接求得每一个判断矩阵的最大特征值和其对应的权重向量(特征单位向量)。

1.2.2 一致性检验

由于建立判断矩阵过程中，专家评判具有主观片面性，为评价判断矩阵B的客观程度是否合理，需对判断矩阵进行一致性检验。一致性检验公式为：

(1)

(2)

式中，CI为一致性指标，其表征评判矩阵B非一致性的严重程度；CR为随机一致性比率，其作为度量判断矩阵的非一致性是否接受的标准；RI为平均随机一致性指标，其取值依据判断矩阵的阶数，通过查表获得^[13]，具体取值见表 2；λ_max为判断矩阵B的最大特征根；n为矩阵阶数。

当CR < 0.10时认为判断矩阵一致性检验通过，若CR≥0.10则应重新调整判断矩阵B中的元素使其具有可接受的一致性。满足一致性检验的要求后，可得到层次总排序, 即山区桥型方案比选评价指标的权重向量为：

(3)

2 灰色关联TOPSIS的山区桥型方案评价模型

山区桥型方案的选取是一个典型的多目标决策，在决策过程中利用模糊数学理论中的隶属度函数确定方法对各备选方案进行定量分析得到隶属度矩阵^[14]。对隶属度矩阵做灰色关联分析以形成关联度矩阵，该矩阵表示待评价方案与相对最优方案之间的距离。该关联度矩阵即为决策矩阵，应用TOPSIS法得出各备选方案的优劣排序。

2.1 隶属度矩阵的建立

定义以下方案集和其指标集：

桥型方案集：A= (A₁, A₂, …, A_m)；方案评判指标集：U= (U₁, U₂, …, U_n)。指标集中的部分指标可以用确定的值进行描述，即定量指标；定量评判指标按其属性可细分为成本型指标和效益型指标。将数据作适当变换进行无量纲化处理，则可确定定量指标的隶属度，计算见式(4)和式(5)。

成本型指标计算公式为：

(4)

效益型指标计算公式为：

(5)

式中，x_kj为第j种方案在第k个评价指标下的特征值；r_kj为第j种方案在第k个评价指标下的隶属度。

指标集中的另一部分指标难以有效地用明确的数值进行衡量，只能给出好或者坏的评价，即定性指标。对于不同桥型方案在同一定性指标下的优越性比较，可采用二元定量比较法^[15-16]。将m个方案两两比较，若A_k比A_l优越，则令e_kl=1，e_lk=0；若A_k与A_l同等优越，则令e_kl=0.5，e_lk=0.5；若A_l比A_k优越，则e_kl=0，e_lk=1(k，l=1，2，…，m)定义e_kl，e_lk为两个方案通过比较获得的比较值。由此即可得二元比较矩阵E为：

(6)

当0≤e_ij≤1，e_ij+e_ji=1，e_ij=e_ji(i=j)时，E为优越性二元对比矩阵，e_ij为定性排序标度。将矩阵E按行求和后排序，将排序最高的方案依次与其他备选方案进行优越性比较，运用“同样”、“较为”、“十分”等语气副词，来体现优越程度的差异。语气算子可以将模糊的语气比较转变为明确的数值比较，即将语气副词定量化，每个语气副词对应的确定数值即为定量标度。通过查询语气算子与定量标度关系表^[17](见表 3)，将定性的优越程度比较转变为定量的评价值以及相对隶属度。

本研究通过上述两种方法，消除不同量纲的影响，实现数据规范化，即可得到隶属度一致矩阵：

(7)

2.2 灰色关联矩阵的建立

定义r_j⁺为理想最优桥型方案评价向量，按式(8)计算：

(8)

隶属度矩阵中挑选出的最优指标向量组M = (r₁⁺, r₂⁺, …, r_n⁺)为理想最优方案评价向量。各备选方案A_i的评价指标r_ij与相对理想最优方案评价向量中的r _j⁺的灰色关联系数为^[18]:

(9)

式中，ρ∈[0, 1]为比较环境调节因子，通常取0.5。

灰色关联系数矩阵为：

(10)

由于在桥型方案评选中各指标的重要性程度不同，需构造加权灰色关联系数决策矩阵H。

(11)

(12)

式中, w_j为评价指标的评价向量中第j个评价指标所对应的权重值；ξ_ij为灰色关联矩阵中第i行第j列所对应的值。

2.3 灰色关联逼近理想解求解

(1) 计算加权灰色关联系数矩阵H = (w_jξ_ij)的正负理想解V⁺和V^-，可得：

(13)

(14)

式中，H_ij为加权灰色关联决策矩阵中第i行第j列所对应的值；J⁺为极大值指标; J^－为极小值指标。

(2) 各待评备选方案到正负理想解的欧式范数，即第i个桥型方案距正理想解和负理想解的距离，计算公式如下：

(15)

(16)

(3) 计算各备选方案指标特征值与灰色关联理想解的相对贴近度：

(17)

相对贴近度c_i^*反映各备选桥型方案靠近正理想解远离负理想解的程度，c_i^*∈ [0, 1]。

(4) 按照相对贴近度c_i^*的大小，完成对备选方案排序，相对贴近度大者为优，表明可行性好，相对贴近度小者为劣，表明可行性差。c_i^*中的最大值所对应的备选方案为最优方案。

2.4 山区桥型方案评选决策流程

将上述评价决策过程通过MATLAB实现程序化，计算流程图如图 2所示。

3 工程实例应用

某桥为贵州普安县城至沪昆高铁普安站城市主干道上重要桥梁，地处乌蒙山脉南部，属低中山、中山侵蚀地貌。该桥上跨虎跳河，桥址下游为在建的沪昆高铁普安站，桥区位于河谷、冲沟地带，距沟底最大深度为23 m。虎跳河为北盘江中游流域北东岸支流系，属典型山区雨源型河流，常水位较低，在强烈的暴雨时期，易产生陡峻洪峰，该河流无通航要求。根据现场勘查，桥区地层从新到老依次为：第四系、二叠系上统峨眉山组第二段。第四系覆盖层主要为耕植土，二叠系上统峨眉山组第二段岩性主要为中厚-厚层状玄武岩。

3.1 桥型方案

根据桥位处自然地理情况，初步拟定3种桥型方案。方案1(A₁)：采用桥跨组合为(3×30+3×40+3×30)m的装配式预应力混凝土先简支后连续T梁桥。该桥型结构形式简单，施工工艺成熟，在山区公路应用广泛。方案2(A₂)：采用(80+140+80)m的三跨预应力混凝土连续刚构桥，截面为单箱单室，支点到跨中截面高度以二次抛物线渐变。该桥型跨越能力强，在中西南部山区高速公路桥梁中得到大量应用。方案3(A₃)：采用(80+140+80)m预应力混凝土矮塔斜拉桥，受力模式以梁为主斜拉索为辅的索梁配合承载体系，兼有连续梁桥和斜拉桥的优点，桥型美观与周围环境适应性好，在国内外山区公路桥梁建造中得到成功实践。

3.2 桥型方案综合评价

根据1.1节中建立的山区桥型方案综合评价体系，对建设期成本U₁、施工风险U₇、工期U₈这3项进行定量评判，其中施工风险评判采用《公路桥梁和隧道工程施工安全风险评估指南》中的桥梁施工安全总体风险计算方法^[19]确定3种方案的风险值。其余指标则依据5位专家给出的综合评价意见进行定性评判，3种方案综合评判见表 4。

3.3 指标权重计算

运用层次分析法计算各判断矩阵，并满足一致性检验，得各指标层次总排序权重：

(18)

3.4 求解灰色关联理想解

依据表 4数据，对于定量指标运用式(2)、(3)计算其隶属度，对于定性指标采用二元比较查询语气算子确定其隶属度。定性指标计算以后期维护成本为例，根据专家给出的评判结果，将3个方案两两相比，得出二元比较矩阵E：

(19)

A₁方案比A₃方案较为优越，A₁方案与A₂方案同样优越，根据“较为”和“同样”语气副词，查询表 3，可得出隶属度矩阵R₂^T=[1 1 0.538]。同理计算出其他定性指标下的隶属度矩阵，最终计算出一致矩阵隶属度R。

(20)

将R输入MATLAB中编写好的GC-TOPSIS计算程序可得：加权灰色关联系数决策矩阵H；

(21)

灰色关联正理想解V⁺；

(22)

灰色关联负理想解V^－；

(23)

备选桥型方案到灰色关联正理想解的距离：

(24)

备选桥型方案到灰色关联负理想解的距离：

(25)

备选桥型方案与灰色关联正理想解的相对贴近度：

(26)

综合上述计算结果，A₁，A₂，A₃方案的灰色关联理想解的贴近度分别为：0.599 7，0.315 6，0.400 3，对3个方案进行排序，结果为：A₁>A₃>A₂。由此得出普安县城至沪昆高铁普安站上跨虎跳河的最优桥型方案为A₁方案，即桥跨布置为(3×30+3×40+3×30)m的装配式预应力混凝土连续T梁桥。

4 结论

本研究通过山区桥型方案评价模型建立及其应用研究，获得了如下结论：

(1) 针对山区公路桥梁初步设阶段桥梁最优方案选择的特点，运用层次分析法从经济、技术、社会3个方面确定了12个评价指标，建立了山区桥型方案综合评价体系，并计算得出各指标权重。

(2) 运用模糊理论中的隶属函数法和二元对比优先关系法得出各备选方案在不同指标下的评价定量特征值，形成隶属度矩阵。通过对隶属度矩阵进行灰色关联分析，结合加权TOPSIS求解方法，得出各备选方案与正负理想解的相对贴近度，以此体现备选方案可行性好坏的程度，完成对方案的优劣排序，以普安县山区桥型比选实例对灰色关联TOPSIS的山区桥型方案评价模型进行了验证，证明GC-TOPSIS方法在桥梁工程实践中是有效可行的。

(3) 利用MATLAB实现层次分析法确定指标权重和灰色关联理想解求解程序化，提高了山区桥型方案决策过程中的计算精度和自动化程度。