在开展工程结构设计时，总是希望在某种要求下使方案达到最佳，这就是所谓的结构优化。结构优化包括尺寸优化、形状优化、拓扑优化^[1]。拓扑优化是一种具有创新性的概念设计技术，其目的是寻求承受单载荷或多载荷物体的最优材料分配方案，这种方案在拓扑优化中表现为最大刚度的设计^[2-6]。通过对结构进行拓扑优化分析，能在不知道结构拓扑形状的前提下根据已知边界条件和载荷条件确定出较合理的结构形式，以便使结构设计者全面了解结构功能特征，且有针对性地对总体结构和具体结构进行设计。

传统的拓扑优化方法一般是通过求取目标函数导数的零点或一系列迭代计算过程求取最优的拓扑结构^[4]。以往对外倾式矮塔斜拉桥的研究认为外倾式矮塔斜拉桥的模型较为复杂，设计时需要考虑的因素较多，需要对具体结构进行空间受力分析^[7-12]及参数敏感性分析^[13-15]。结构拓扑优化能给设计者提供一个概念，使某种性态指标达到最优，这样不仅可以大大缩短设计周期，显著提高设计质量，同时也较经济，易被工程技术人员所接受^[16-17]。

本研究基于最小柔度拓扑优化准则算法，利用ANSYS有限元软件对矩形实体结构进行建模分析，采用拓扑法对其进行优化，得到拓扑优化后的结构初始模型，然后运用Midas建立全桥的杆系模型，将Y型主塔横桥向主塔外倾角度α、主塔肢间距B、纵桥向塔身厚度A、下塔柱纵桥向桥塔塔身坡率i/1作为结构目标参数对结构进行参数敏感性研究。

以宽52.8 m、高111 m、厚4 m的矩形实体结构为模型，在结构顶部两侧施加空间集中力F_s=100 kN模拟斜拉索，集中力横向间距0.6 m，竖向间距1.5 m。集中力斜向布置，左右两侧各设置8对集中力，该集中力与水平面的夹角为20.38°，左右两侧集中力连线与矩形实体结构竖向中心线夹角为22°，矩形实体底部采用固结约束，材料采用C50混凝土，其弹性模量为E_c=3.45×10⁴ MPa，泊松比λ=0.3, 有限元单元类型为SOLID95，实体单元划分尺寸为横向0.6 m，竖向1.5 m，共划分72 933个节点。采用ANSYS10.0有限元软件对矩形实体结构进行拓扑优化设计，矩形实体结构有限元模型及无量纲结构伪密度图见图 1~图 2。

图 1 矩形实体结构有限元模型 Fig. 1 Finite element model of rectangular solid structure

图 2 结构伪密度图 Fig. 2 Structure pseudo density graphs

通过对矩形实体结构的拓扑优化，从图 2可知，图中深色部分为结构的高密度区域，浅色部分为结构的低密度区域。在保证结构最大刚度的前提下，结构体积由减少30%至减少70%的过程中，Y型主塔可以设计为左右两肢且两肢间设置3道横梁(上、中、下横梁)的结构。考虑主塔两肢外倾及桥梁结构体系，主梁从上横梁上通过，通过拓扑优化可知上横梁位于外倾主塔的上部，可将上横梁移至主梁下侧，且上横梁宜与主梁固结，这样可以有效地增强结构的刚度及整体性^[5]，同时也可以扩大桥面的视野。外倾主塔的平衡可利用主塔、斜拉索、主梁3者的受力平衡来解决。由于主塔外倾上横梁底面宜沿横桥向设置成弧形，这样处理不仅能降低上横梁底缘的拉应力，且使主塔造型美观，中横梁设置于Y型主塔的“瘦腰”段部位。中横梁顶、底面宜设置成弧形，不仅能与上横梁底面形成造型上的统一，且能避免Y型主塔“瘦腰”段部分的应力集中。下横梁设置于中横梁至塔底1/2高度处，设置成矩形截面即可。Y型主塔横截面分两部分设计，即：宽度相等段、宽度线性变化段。下塔柱肢间距可采用固定值，纵、横桥向塔身表面宜设置坡度。Y型主塔纵桥向厚度根据施工状态及成桥状态满足承载能力及各项应力指标要求确定即可。Y型主塔结构见图 3，由所得到的优化结构建立全桥有限元模型，如图 4所示。

图 3 Y型主塔结构(单位：cm) Fig. 3 Y-type main pylon structure(unit:cm)

图 4 有限元模型 Fig. 4 Finite element model

选取Y型主塔横桥向主塔外倾角度α、主塔肢间距B、纵桥向塔身厚度A、下塔柱纵桥向桥塔塔身坡率i/1作为结构目标参数对结构进行研究，具体结构参数见图 5。

图 5 主塔塔肢轴线与索面空间位置 Fig. 5 Axis of main pylon and space position of cable plane

主塔外倾角α为Y型主塔左右两肢与桥梁中心线的夹角，主塔外倾角度与斜拉索索面空间位置见图 5。可以看出，斜拉索S_x和S_d轴线与主塔上塔柱塔肢轴线相较于C点，Y型主塔上塔柱结构自重的平衡主要依靠斜拉索索面A1CA2与主塔上塔柱塔肢轴线所形成的夹角θ来平衡，主塔上塔柱与斜拉索空间受力见图 5。可以看出，小、大桩号侧斜拉索S_x和S_d索力均可分解为沿斜拉索索面A1CA2的面内力F_m1F_m2(该分力的方向垂直于直线A1A2)、纵桥向两个分力F_x1和F_d1，小、大桩号侧斜拉索纵桥向分力相互抵消，斜拉索索面力F_m1+F_m2可分解为F_t和F_p两个分力，F_t是沿上塔柱塔肢轴线向下的分力，F_p是横桥向垂直于上塔柱塔肢轴线向桥梁中心线方向的分力。

斜拉索在主梁上的锚固点横桥向间距一定的情况下，在图 6三角形CEN中，主塔外倾角α的增大会使θ角减小，桥面视野扩张，主塔中横梁上移。主塔外倾角α的减小会使θ角增大，桥面视野压缩，主塔中横梁下移。取主塔外倾角α分别为15°，18°，22°，26°，29°，在主塔施工完成阶段承载能力极限状态下对主塔结构上塔柱进行分析，上塔柱塔底弯矩及横桥向应力见图 7、图 8(拉应力为“+”，压应力为“-”)。

图 6 主塔上塔柱与斜拉索空间受力图 Fig. 6 Space force diagram of main pylon upper column and stay cable

图 7 上塔柱根部弯矩图 Fig. 7 Bending moment diagram of pylon upper column root

图 8 上塔柱根部截面横桥向应力图 Fig. 8 Transverse stress diagram of pylon upper column root section

从图 7可以看出，在主塔施工完成阶段，随着主塔外倾角α的增大，主塔上塔柱根部的弯矩呈增加趋势，弯矩由27 131.9 kN·m增大到61 684.6 kN·m，主塔外倾角α=29°较α=15°时弯矩增加2.27倍，主塔上塔柱左、右肢根部弯矩在固定角度下其大小相等方向相反。从图 8可以看出，主塔上塔柱左、右肢根部截面中心横桥向外侧A，D点受压，横桥向内侧B，C点受拉；随着主塔外倾角α的增大，A，B，C，D点应力绝对值呈增加趋势。

在主塔横桥向外倾角α=22°不变的情况下，取主塔肢间距B分别为5，8，10，12 m。R1和R2分别为中横梁处主塔两肢外侧、内侧的弧线半径，采用主塔施工完成阶段(工况1)、成桥阶段持久状况正常使用极限状态(工况2)，对主塔结构上横梁、中横梁段主塔应力进行分析。应力点位布置见图 9，工况1、工况2计算结果见图 10~图 11 (拉应力为“+”，压应力为“-”)。

图 9 上、中横梁主塔段应力点位布置图 Fig. 9 Layout of stress points of upper and central cross beams of main pylon

图 10 上横梁主塔段点位应力图 Fig. 10 Stresses of upper cross beam of main pylon (working condition 2)

图 11 中横梁主塔段点位应力图 Fig. 11 Stresses of central cross beam of main pylon

由图 10(a)、图 11(a)可以看出，主塔施工完成后, 上横梁主塔段塔肢横桥向外侧A，D点出现压应力-11.29 MPa，横桥向内侧B，C点出现拉应力9.73 MPa。中横梁主塔段塔肢横桥向外侧E，H点、横桥向内侧F，G点均出现压应力。主塔肢间距变化对A，B，C，D点无影响，对E，F，G，H点影响小。从图 10(b)、图 11(b)可以看出，在持久状况正常使用极限状态成桥阶段，随着主塔肢间距由5 m变化到12 m，上横梁主塔段塔肢横桥向外侧A，D点、横桥向内侧B，C点均出现压应力。A，D点压应力由-11.29 MPa变化为-3.432 MPa，B，C点由拉应力9.73 MPa变化为压应力-10.109 MPa。中横梁主塔段塔肢横桥向外侧E，H点出现拉应力且呈逐渐减小趋势，拉应力由15.83 MPa降低到0.3 MPa，减小率达98.11%。塔肢横桥向内侧F，G点出现压应力且压应力绝对值呈逐渐减小趋势，压应力由-42.35 MPa降低到-18.88 MPa，减小率达55.4%。

比较图 10~图 11上横梁主塔段A，B，C，D点应力及中横梁主塔段E，F，G，H点应力变化。由于斜拉索索力的影响，B，C点由受拉变化为受压，E，H点由受压变化为受拉，当主塔肢间距B=10 m时，其结构受力较为合理。可见主塔结构肢间距的变化对上、中横梁主塔段应力影响较大。

纵桥向塔身厚度A分别取3.5，4.0，4.5，5.0，5.5 m，下塔柱纵桥向塔身坡率1:60，在主塔施工至最大悬臂状态下，对主塔结构进行第1类稳定性分析^[18-19]，主塔结构稳定安全系数及失稳模态特征见表 1。

从表 1可以看出，主塔施工至最大悬臂状态时，纵桥向塔身厚度A增加，主塔结构1~4阶的稳定安全系数增加，且结构1~4阶失稳模态特征均表现为主塔纵桥向弯曲失稳，主塔纵桥向塔身厚度A的增加对结构的稳定性是有效的。根据以往的设计经验，稳定系数大于5是比较稳妥的设计。

在主塔纵桥向塔身厚度A=4 m不变的情况下，取主塔纵桥向塔身坡率i/1分别为40/1，50/1，60/1，70/1，80/1，在主塔施工至最大悬臂状态下，对主塔结构进行第1类稳定性分析^[18-19]，主塔结构稳定安全系数及失稳模态特征见表 2。

从表 2可以看出，主塔施工至最大悬臂状态时，在主塔纵桥向塔身厚度固定的情况下，随着塔身坡率i/1的增加，主塔结构1~4阶的稳定安全系数降低。相对于纵桥向塔身厚度A的变化，其对主塔结构稳定性效应的影响要小，但是下塔柱纵桥向塔身坡率的设置对结构稳定性是有益的。

通过对外倾式矮塔斜拉桥Y型主塔结构的参数优化设计，得到如下结论。

(1) 在保证结构最大刚度的前提下，结构体积由30%减少至70%的过程中，Y型主塔可以设计为左右两肢且两肢间设置3道横梁的结构。考虑主塔两肢外倾及桥梁结构体系，建议主梁从上横梁上通过。

(2) 主塔施工完成阶段，随着主塔外倾角度α的增大，主塔上塔柱根部的弯矩与横桥向应力均有增加。同时，主塔肢间距对主塔施工完成阶段与成桥阶段的上、中横梁主塔段应力影响较大。

(3) 主塔施工至最大悬臂状态时，纵桥向塔身厚度A的增加可以明显提高主塔结构的稳定性。同时，在主塔厚度不变的情况下，随着塔身坡率i/1的增加，主塔结构1~4阶的稳定安全系数降低，相对于纵桥向塔身厚度A的变化，其对主塔结构稳定性效应的影响要小。