双三相永磁同步电机(DTP-PMSM)能以较小功率器件实现大功率化，具有较小的输出转矩脉动、较强的容错能力和较高的效率等特点，正逐步应用于对功率和可靠性等性能有较高要求的场合^[1]. 矢量控制以其良好的控制效果成为设计DTP-PMSM高性能控制系统的重要思想和方法，但是其需要实时检测电机速度及转子位置信号，引入速度传感器是优先的选择.

随着现代电机控制理论、电力电子和数字信号处理器等技术的发展，在难以使用速度传感器的场合，DTP-PMSM的无速度传感器控制得到了广泛关注，其方案主要分为基于基波激励数学模型的无传感器法^[2-4]和基于高频信号注入的无传感器法^[5-7]两大类.

基于基波激励数学模型的无传感器法主要有滑模观测器法^[8-10]、模型参考自适应法^[11]及卡尔曼滤波法^[12]等类型. 本文采用的是滑模观测器法，它具有较强的鲁棒性、较快的响应速度、较简单的实现算法及较少的模型依赖等特点.

本文研究的DTP-PMSM具有两套对应相相差30°电角度的定子绕组，且其两个中性点彼此独立，而每套绕组在空间呈对称分布. 采用矢量空间解耦坐标变换方法，可以将DTP-PMSM的各变量分别映射到几个彼此正交的子空间^[13]，即参与机电能量转换的 $\alpha - \beta $ 基波子空间，以及不参与机电能量转换的 $x - y$ 谐波子空间和 ${o_1} - {o_2}$ 零序子空间，其中， ${o_1} - {o_2}$ 零序子空间的影响可以忽略，而 $x - y$ 谐波子空间的 $6k \pm 1$ $(k = 1, 3, 5, \cdots) $ 次谐波需要被有效地抑制^[14].

对于基于矢量空间解耦的DTP-PMSM无速度传感器控制系统，其常规滑模观测器一般用符号函数作为开关函数获得反电动势信号，用低通滤波器进行滤波，再加入相位补偿模块，进而才得所需转速和位置信号，这使得整个观测器的结构变得较为复杂^[15].

DTP-PMSM控制系统的电流控制部分一般采用旋转参考坐标系下的滞环电流控制或者比例积分(PI)电流控制. 滞环电流控制的输出电流脉动和噪声较大，PI电流控制由于增益和带宽限制，难以对交流信号实现无静差跟踪控制. 而静止参考坐标系下的比例谐振(PR)电流控制不含与电机参数有关的项，能够减少复杂的旋转坐标变换计算，能够无稳态误差地跟踪特定频率的正弦交流信号^[16]，故可用其代替滞环或PI电流控制.

综上所述，本文提出一种基于自适应滑模观测器(SMO)和多重比例谐振(PR)控制器的DTP-PMSM无速度传感器控制方案，并利用理论分析和仿真实验来表明所提控制方案的可行性和有效性.

1 数学模型和无速度传感器控制系统

根据DTP-PMSM的电磁原理可以得到在自然坐标系下的各相绕组的电压、电流及磁链之间的关系表达式，进而得到它的原始数学模型. 为了方便后面的分析和设计，可以采用矢量空间解耦坐标变换方法对此数学模型进行简化.

为了便于简化分析，在此忽略零序子空间的影响，这样将DTP-PMSM在自然坐标系下的各个变量转换到静止坐标系的变换方程为

${\left[ {{f_\alpha }}\;\;{{f_\beta }}\;\;{{f_x}}\;\;{{f_y}} \right]^{\rm{T}}} = {{{T}}_{\alpha \beta }}\left[ {{f_A}}\;\;{{f_B}}\;\;{{f_C}}\;\;{{f_U}}\;\;{{f_V}}\;\;{{f_W}} \right],$

(1)

其中，变换矩阵 ${{{T}}_{\alpha \beta }}$ 为

${{{T}}_{\alpha \beta }} = \displaystyle\frac{1}{3}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} 1&{-\displaystyle\frac{1}{2}}&{-\displaystyle\frac{1}{2}}&{\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{-\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&0 \\ 0&{\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{ - \displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\displaystyle\frac{1}{2}}&{\displaystyle\frac{1}{2}}&{ - 1} \\ 1&{ - \displaystyle\frac{1}{2}}&{ - \displaystyle\frac{1}{2}}&{ - \displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&0 \\ 0&{ - \displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\displaystyle\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\displaystyle\frac{1}{2}}&{\displaystyle\frac{1}{2}}&{ - 1} \end{array}} \right].$

(2)

通过计算可得表贴式DTP-PMSM在静止坐标系下 $\alpha - \beta $ 子空间的电压方程为

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{u_\alpha }} \\ {{u_\beta }} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} R&0 \\ 0&R \end{array}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{i_\alpha }} \\ {{i_\beta }} \end{array}} \right] + \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{L_{\rm{s}}}}&0 \\ 0&{{L_{\rm{s}}}} \end{array}} \right]\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{i_\alpha }} \\ {{i_\beta }} \end{array}} \right] + \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{e_\alpha }} \\ {{e_\beta }} \end{array}} \right],$

(3)

$x - y$ 子空间的电压方程为

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x}} \\ {{u_y}} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} R&0 \\ 0&R \end{array}} \right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{i_x}} \\ {{i_y}} \end{array}} \right] + \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{L_{\rm{z}}}}&0 \\ 0&{{L_{\rm{z}}}} \end{array}} \right]\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{i_x}} \\ {{i_y}} \end{array}} \right],$

(4)

其中， ${u_\alpha }$ 、 ${u_\beta }$ 和 ${u_x}$ 、 ${u_y}$ 分别为 $\alpha - \beta $ 和 $x - y$ 子空间的定子电压分量， ${i_\alpha }$ 、 ${i_\beta }$ 和 ${i_x}$ 、 ${i_y}$ 分别为 $\alpha - \beta $ 和 $x - y$ 子空间的定子电流分量， ${L_{\rm{s}}}$ 是 $\alpha - \beta $ 轴系下的电感分量， ${L_{\rm{z}}}$ 为漏感， $R$ 为定子电阻， ${{\rm{d}} / {{\rm{d}}t}}$ 代表微分算子， ${e_\alpha }$ 、 ${e_\beta }$ 分别为 $\alpha - \beta $ 轴系下的反电动势分量，其表达式为

${e_\alpha } = - {\psi _{\rm{f}}}{\omega _{\rm{e}}}\sin {\theta _{\rm{e}}}{\rm{, }}\;\;\;\;{e_\beta } = {\psi _{\rm{f}}}{\omega _{\rm{e}}}\cos {\theta _{\rm{e}}}.$

(5)

式(5)中， ${\psi _{\rm{f}}}$ 是永磁体磁链， ${\omega _{\rm{e}}}$ 为电角速度， ${\theta _{\rm{e}}}$ 是电角度.

由式(3)和式(4)可知DTP-PMSM的数学模型实现了完全的解耦，从而可以将应用于三相PMSM的矢量控制策略推广到DTP-PMSM. 另外由式(5)可知反电动势分量蕴含有电机转速和转子位置信息.

基于自适应滑模观测器和多重比例谐振控制器的DTP-PMSM无速度传感器控制系统的原理框图如图1所示。其中， ${N_{\rm{r}}}$ 是给定的参考速度，与反馈的机械角速度 ${\omega _{\rm{m}}}$ (自适应滑模观测器的输出是电角速度 ${\omega _{\rm{e}}}$ 和电角度 ${\theta _{\rm{e}}}$ ，其中 ${\omega _{\rm{e}}}$ 除以电机的极对数 ${p_{\rm{n}}}$ 得到 ${\omega _{\rm{m}}}$ )进行比较后送往转速控制模块(以PI控制器表示)。同步旋转坐标系下的给定电流 $i_d^ * $ (因基于转子磁场定向，可给定为0)和 $i_q^ * $ (PI控制器的输出)经过反park变换模块(以 ${{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\theta _{\rm{e}}}}}$ 表示)变成静止坐标系下的给定电流 $i_\alpha ^ * $ 和 $i_\beta ^ * $ 。电机相电流 ${i_A}$ ~ ${i_W}$ 经clarke变换模块(以2 s/6 s表示)变成静止坐标系下的电流 ${i_\alpha }$ 、 ${i_\beta }$ 以及 ${i_x}$ 和 ${i_y}$ ，然后分别与给定电流 $i_\alpha ^ * $ 、 $i_\beta ^ * $ 以及 $i_x^ * $ 和 $i_y^ * $ (需要抑制的谐波电流，应设置为0)作比较后送往各自的电流控制模块(以PR控制器表示)。六相空间矢量脉宽调制(SVPWM)模块以各PR控制器的输出作为给定的输入电压矢量 ${{\nu }}_\alpha ^ * $ ~ ${{\nu }}_y^ * $ ，它的输出是各路开关量 ${s_A}$ ~ ${s_W}$ ；通过开关量 ${s_A}$ ~ ${s_W}$ 及电压源逆变器的直流母线电压 ${U_{{\rm{dc}}}}$ 可以计算出电机的各相电压，再经clarke变换得到静止坐标系下的 ${u_\alpha }$ 及 ${u_\beta }$ .

需要指出，用于观测电机转速和转子位置的自适应滑模观测器是实现无速度传感器控制的核心单元，而由4个PR控制器构成的多重比例谐振控制器则是进一步提升控制性能的核心部分. 对于图1中的自适应滑模观测器(图中最下面的虚线框内部分)，其原理框图如图2所示. 该观测器包括电流滑模观测器和反电动势自适应观测器两部分，其中电流滑模观测器采用双曲正切函数(tanh)作为开关函数来代替符号函数. 因为双曲正切函数具有连续光滑性，故其可以有效地削弱自适应滑模观测器的滑模抖动. 电流滑模观测器的后一级采用的反电动势自适应观测器能够有效地估计和提取反电动势信号，免除了低通滤波器和相位补偿模块，并进而实现电机转速和转子位置的估计.

2 自适应滑模观测器设计

前已述及，DTP-PMSM数学模型经过矢量空间解耦坐标变换后，自适应滑模观测器的设计和分析可以在静止坐标系下的 $\alpha - \beta $ 子空间进行. 自适应滑模观测器包括电流滑模观测器和反电动势自适应观测器两部分，可以对这两个部分分别进行设计，具体如下.

2.1 电流滑模观测器设计

为了方便设计和分析DTP-PMSM控制系统，以及为了方便仿真模型的搭建，现将DTP-PMSM数学模型写为状态方程的形式. 选用电流分量作为状态变量，根据式(3)可得表贴式DTP-PMSM的状态空间表达式为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{{\rm{d}}{i_\alpha }}}{{{\rm{d}}t}} = - \displaystyle\frac{R}{{{L_{\rm{s}}}}}{i_\alpha } + \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{u_\alpha } - \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{e_\alpha }}, \\ {\displaystyle\frac{{{\rm{d}}{i_\beta }}}{{{\rm{d}}t}} = - \displaystyle\frac{R}{{{L_{\rm{s}}}}}{i_\beta } + \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{u_\beta } - \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{e_\beta }}. \end{array}} \right.$

(6)

根据滑模变结构控制理论，考虑将DTP-PMSM的电流滑模观测器设计为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{{\rm{d}}{{\hat i}_\alpha }}}{{{\rm{d}}t}} = - \displaystyle\frac{R}{{{L_{\rm{s}}}}}{{\hat i}_\alpha } + \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{u_\alpha } - \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{k_1}\tanh \left( {{{\hat i}_\alpha } - {i_\alpha }} \right)}, \\ {\displaystyle\frac{{{\rm{d}}{{\hat i}_\beta }}}{{{\rm{d}}t}} = - \displaystyle\frac{R}{{{L_{\rm{s}}}}}{{\hat i}_\beta } + \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{u_\beta } - \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{k_2}\tanh \left( {{{\hat i}_\beta } - {i_\beta }} \right)}. \end{array}} \right.$

(7)

其中， ${\hat i_\alpha }$ 、 ${\hat i_\beta }$ 分别为 $\alpha - \beta $ 轴系下滑模观测器的电流估计值， ${k_1}$ 、 ${k_2}$ 分别为滑模观测器的增益， $\tanh \left( \cdot \right)$ 表示双曲正切函数，用来代替滑模观测器中常用的符号函数，其表达式为

$\tanh \left( {ax} \right) = \frac{{\exp \left( {ax} \right) - \exp \left( { - ax} \right)}}{{\exp \left( {ax} \right) + \exp \left( { - ax} \right)}}.$

(8)

式(8)中， $a$ 是可调的正的常数，它的大小将影响双曲正切函数的拐点变化快慢.

双曲正切函数的形状特性如图3所示，其中列出了 $a = 1$ 以及 $a = 0.25$ 的情形，另外还画进了符号函数 ${\rm{sgn\; }}x$ (自变量小于零时，其函数值为–1；自变量大于零时，其函数值为1)以作对照. 由图3可知，随着参数 $a$ 的值变大，双曲正切函数的曲线也随之变得陡峭，从而趋近于符号函数. 另外双曲正切函数具有光滑连续、可微可导的特性，它的使用将有助于抖振的改善以及获得更为光滑的反电动势信号.

为了证明所设计的电流滑模观测器的稳定性，先给出其滑模面以及有关的李雅普诺夫函数的定义. 定义电流滑模观测器的滑模面为

${{s}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde i}_\alpha }} \\ {{{\tilde i}_\beta }} \end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat i}_\alpha }-{i_\alpha }} \\ {{{\hat i}_\beta }-{i_\beta }} \end{array}} \right].$

(9)

式(9)中， ${\tilde i_\alpha }$ 、 ${\tilde i_\beta }$ 分别为观测器的电流估计误差. 与电流滑模观测器的稳定性有关的李雅普诺夫函数的定义为

$V = \frac{1}{2}{{{s}}^{\rm{T}}}{{s}} = \frac{1}{2}\left( {{{\tilde i}_\alpha }^2 + {{\tilde i}_\beta }^2} \right).$

(10)

显然，李氏函数式(10)是正定的，下面证明其导数还是负定的. 对式(10)求导，有

$\dot V = {{{s}}^{\rm{T}}}{\dot{ s}} = {\tilde i_\alpha }{{\dot{\tilde{i}}}_{\alpha }} + {\tilde i_\beta }{{\dot{\tilde{i}}}_{\beta }}.$

(11)

其中， ${{\dot{\tilde{i}}}_{\alpha }}$ 、 ${{\dot{\tilde{i}}}_{\beta }}$ 分别为滑模观测器的电流估计误差导数.

将式(7)减去式(6)，可得

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{{\tilde i}_\alpha } = - \displaystyle\frac{R}{{{L_{\rm{s}}}}}{{\tilde i}_\alpha } + \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{e_\alpha } - \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{k_1}\tanh \left( {{{\tilde i}_\alpha }} \right)}, \\ {\displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}{{\tilde i}_\beta } = - \displaystyle\frac{R}{{{L_{\rm{s}}}}}{{\tilde i}_\beta } + \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{e_\beta } - \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}{k_2}\tanh \left( {{{\tilde i}_\beta }} \right)} . \end{array}} \right.$

(12)

将式(12)代入式(11)中，可得

$\begin{split} &\dot V = - \displaystyle\frac{R}{{{L_{\rm{s}}}}}\left( {{{\tilde i}_\alpha }^2 + {{\tilde i}_\beta }^2} \right) + \displaystyle\frac{1}{{{L_{\rm{s}}}}}\left\{ {{{\tilde i}_\alpha }{e_\alpha } - {k_1}{{\tilde i}_\alpha }{\rm tanh}\left( {{{\tilde i}_\alpha }} \right)} \right.+\\ &\left. { {{\tilde i}_\beta }{e_\beta } - {k_2}{{\tilde i}_\beta }{\rm tanh}\left( {{{\tilde i}_\beta }} \right)} \right\}. \end{split}$

(13)

当取 ${k_1} > \left| {{e_\alpha }} \right|$ 和 ${k_2} > \left| {{e_\beta }} \right|$ 时，可知式(13)中的 $\dot V$ 是负定的. 选择适当的系数 ${k_1}$ 和 ${k_2}$ 就可以保证电流滑模观测器的稳定性. 当电流滑模观测器系统进入滑动模态运动时，有

${{s}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde i}_\alpha }}&{{{\tilde i}_\beta }} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = 0{\rm{, }}\;\;\;\;{\dot{ s}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\dot{\tilde{i}}_\alpha }}&{{\dot{\tilde{i}}_\beta }} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = 0.$

(14)

将式(14)代入式(12)，可得

${e_\alpha } = {k_1}\tanh \left( {{{\tilde i}_\alpha }} \right){\rm{, }}\;\;\;\;{e_\beta } = {k_2}\tanh \left( {{{\tilde i}_\beta }} \right).$

(15)

2.2 反电动势自适应观测器设计

考虑前述的表贴式DTP-PMSM数学模型中的反电动势表达式(5)，可得其估计值表达式为

${\hat e_\alpha } = - {\psi _{\rm{f}}}{\hat \omega _{\rm{e}}}\sin {\hat \theta _{\rm{e}}}{\rm{, }}\;\;\;\;{\hat e_\beta } = {\psi _{\rm{f}}}{\hat \omega _{\rm{e}}}\cos {\hat \theta _{\rm{e}}}.$

(16)

另外，对式(5)两边分别求导，并考虑到电机的机械时间常数远大于电气时间常数，故可认为电机的电角速度在一个估算周期内不变，即 ${\dot \omega _{\rm{e}}} = 0$ ，这样可得

$\left\{\!\!\!\begin{array}{l} {{\dot e}_\alpha } = - {\psi _{\rm{f}}}{{\dot \omega }_{\rm{e}}}\sin {\theta _{\rm{e}}} + \left( { - {\psi _{\rm{f}}}{\omega _{\rm{e}}}\cos {\theta _{\rm{e}}}} \right) \cdot {{\dot \theta }_{\rm{e}}} = - {\omega _{\rm{e}}}{e_\beta },\\ {{\dot e}_\beta } = {\psi _{\rm{f}}}{{\dot \omega }_{\rm{e}}}\cos {\theta _{\rm{e}}} + \left( { - {\psi _{\rm{f}}}{\omega _{\rm{e}}}\sin {\theta _{\rm{e}}}} \right) \cdot {{\dot \theta }_{\rm{e}}} = {\omega _{\rm{e}}}{e_\alpha }. \end{array} \right.$

(17)

根据自适应观测器设计方法，并考虑到反电动势微分表达式(17)，可以将反电动势自适应观测器设计为

$\left\{ \begin{array}{l} {\dot{\hat{e}}_\alpha } = - {{\hat \omega }_{\rm{e}}}{{\hat e}_\beta } - {k_1}\left( {{{\hat e}_\alpha } - {e_\alpha }} \right) = - {{\hat \omega }_{\rm{e}}}{{\hat e}_\beta } - {k_1}{{\tilde e}_\alpha },\\ {\dot{\hat{e}}_\beta } = {{\hat \omega }_{\rm{e}}}{{\hat e}_\alpha } - {k_2}\left( {{{\hat e}_\beta } - {e_\beta }} \right) = {{\hat \omega }_{\rm{e}}}{{\hat e}_\alpha } - {k_2}{{\tilde e}_\beta },\\ {\dot{\hat{\omega }}_{\rm{e}}} = {{\tilde e}_\alpha }{{\hat e}_\beta } - {{\hat e}_\alpha }{{\tilde e}_\beta } - {k_3}{{\tilde \omega }_{\rm{e}}}. \end{array} \right.$

(18)

其中， ${\hat e_\alpha }$ 、 ${\hat e_\beta }$ 分别为反电动势自适应观测器的反电动势估计值， ${\tilde e_\alpha } = {\hat e_\alpha } - {e_\alpha }$ 、 ${\tilde e_\beta } = {\hat e_\beta } - {e_\beta }$ 分别为反电动势估计误差， ${\tilde \omega _{\rm{e}}} = {\hat \omega _{\rm{e}}} - {\omega _{\rm{e}}}$ 是电机的电角速度的估计误差， ${k_1}$ 、 ${k_2}$ 、 ${k_2}$ 分别为反电动势自适应观测器的增益.

为了证明所设计的反电动势自适应观测器的稳定性，构造相应的的李雅普诺夫函数如下

$V = \frac{1}{2}{\tilde e_\alpha }^2 + \frac{1}{2}{\tilde e_\beta }^2 + \frac{1}{2}{\tilde \omega _{\rm{e}}}^2.$

(19)

显然，所构造的李氏函数式(19)是正定的. 现在对式(19)求导，考虑到 ${\dot \omega _{\rm{e}}} = 0$ (前面已对此式进行了分析)，这样可得

$\begin{split} &\dot V = {{\tilde e}_\alpha }{{\dot {\tilde e}}_\alpha } + {{\tilde e}_\beta }{{\dot {\tilde e}}_\beta } + {{\tilde \omega }_{\rm{e}}}{{\dot {\tilde \omega} }_{\rm{e}}}=\\ &{{\tilde e}_\alpha }\left( {{{\dot {\hat e}}_\alpha } - {{\dot e}_\alpha }} \right) + {{\tilde e}_\beta }\left( {{{\dot {\hat e}}_\beta } - {{\dot e}_\beta }} \right) + {{\tilde \omega }_{\rm{e}}}\left( {{{\dot {\hat \omega} }_{\rm{e}}} - {{\dot \omega }_{\rm{e}}}} \right)=\\ &- \left( {{k_1}{{\tilde e}_\alpha }^2 + {k_2}{{\tilde e}_\beta }^2 + {k_3}{{\tilde \omega }_{\rm{e}}}^2} \right). \end{split}$

(20)

取 $k = \min \left( {{k_1}, {k_2}, {k_3}} \right)$ ，根据式(20)，有

$\dot V \leqslant - k\left( {{{\tilde e}_\alpha }^2 + {{\tilde e}_\beta }^2 + {{\tilde \omega }_{\rm{e}}}^2} \right) = - 2kV.$

(21)

由式(21)可得

$V\left( t \right) \leqslant {{\rm{e}}^{ - 2k\left( {t - {t_0}} \right)}}V\left( {{t_0}} \right).$

(22)

因 $k$ 是正的常数，故由式(22)可知 $V\left( t \right)$ 以指数形式收敛到零，从而 ${\tilde e_\alpha }$ 、 ${\tilde e_\beta }$ 也以指数形式收敛到零，即反电动势 ${e_\alpha }$ 、 ${e_\beta }$ 的估计值将以指数形式收敛到它的真实值.

至此，可以直接由反电动势的估计值得到电机的电角速度和转子位置. 根据反电动势 ${e_\alpha }$ 、 ${e_\beta }$ 的估计值表达式(16)，可知表贴式DTP-PMSM的的电角速度和转子位置的估计值为

${\hat \theta _{\rm{e}}} = - \arctan \left( {\frac{{{{\hat e}_\alpha }}}{{{{\hat e}_\beta }}}} \right){\rm{, }}\;\;\;\;{\hat \omega _{\rm{e}}} = \frac{{\sqrt {{{\hat e}_\alpha }^2 + {{\hat e}_\beta }^2} }}{{{\psi _{\rm{f}}}}}.$

(23)

考虑到实际运行过程中电机的永磁体磁链 ${\psi _{\rm{f}}}$ 会受到温度、负载等多方面因素的影响， ${\psi _{\rm{f}}}$ 不是一个常值，因此由式(23)估计出的转速 ${\omega _{\rm{e}}}$ 的精确性会受到影响. 为了获得更好的控制性能，可以通过自适应滑模观测器得到的反电动势估计值构成锁相环结构来得到电机速度和转子位置，限于篇幅，此处不再赘述.

3 多重比例谐振控制器设计

理想的PR控制器由比例调节器和谐振调节器组成，因为其在谐振频率处具有无穷大增益，故能够实现无静差地跟踪控制特定频率的交流输入信号，但是其高增益频带过窄，从而对输入信号的频率变化会十分敏感，进而造成系统波动. 在实际应用中，为了拓宽系统频带，增强系统稳定性，一般采用改进的准PR控制器^[17]，其传递函数为

${G_{{\rm{PR}}}}\left( s \right) = {K_{\rm{p}}} + \frac{{2{K_{\rm{i}}}{\omega _{\rm{c}}}s}}{{{s^2} + 2{\omega _{\rm{c}}}s + {\omega _0}^2}}.$

(24)

其中， ${\omega _0}$ 为谐振频率， ${K_{\rm{p}}}$ 为比例增益， ${K_{\rm{i}}}$ 为积分增益， ${\omega _{\rm{c}}}$ 为准PR控制器的截止频率. 为了使准PR控制器具有较好的控制效果，一般通过调节 ${K_{\rm{i}}}$ 来消除系统的稳态误差，调节 ${\omega _{\rm{c}}}$ 来克服频率波动带来的影响.

若非特别说明，本文后面提到的PR控制器皆是指准PR控制器，两者之间不再加以区分.

3.1 $\alpha - \beta $ 子空间的PR电流控制器设计

因为静止参考坐标系下的PR电流控制器能够减少复杂的旋转坐标变换计算，能够无稳态误差地跟踪特定频率的正弦交流输入信号，加之基于矢量空间解耦的DTP-PMSM模型的3个子空间实现了完全解耦，故可以在静止坐标系下的 $\alpha - \beta $ 子空间独立设计PR电流控制器实现对参考电流的无静差跟踪控制.

$\alpha - \beta $ 子空间的PR电流控制的实现框图如图1中上面的虚线框内所示. 从图1中可以看出，其设计方法是先将PI速度控制器输出的参考电流 ${i_q}^*$ 以及给定的参考电流 ${i_d}^*$ (因基于转子磁场定向，可给定为0)转换成两相静止坐标系下的 ${i_\alpha }^*$ 、 ${i_\beta }^*$ ，再与检测到的实际电流(已转换成两相静止坐标系下的 ${i_\alpha }$ 、 ${i_\beta }$ )进行比较，最后利用PR控制器进行控制，使其谐振频率 ${\omega _0}$ 与电机转速一致(即 ${\omega _0} = {\omega _{\rm{e}}}$ )，这样即可对参考电流进行无静差跟踪控制. 对比传统PI控制方法，从下文的仿真实验结果可知基于PR控制器的控制系统不但简化了计算，能有效地跟踪调节特定频率的参考输入电流，而且因为不含与电机参数有关的项，从而提高了控制系统的鲁棒性.

3.2 $x - y$ 子空间的PR电流控制器设计

受到谐波磁链、互漏感等因素的影响，双三相永磁同步电机容易产生大量的 $6k \pm 1$ ( $k = 1, 3, 5, \cdots $ )次谐波分量，另外电机本体受到一些非理想因素的影响(如永磁体本身产生的非正弦磁场分布，以及齿槽效应和磁极饱和效应等)也会产生许多谐波分量^[18]，而这些谐波分量仅取决于电机的附加感应电动势(谐波电压)、定子电阻和漏感. 定子电阻和漏感一般都较小，故较小的附加感应电动势也会产生较大的谐波电流，理论方面的定量分析可参考DTP-PMSM在 $x - y$ 谐波子空间的电压方程式(4)(类似于一个RL串联电路模型).

谐波电流不但增加电机损耗和额外增大逆变器容量，还影响电机的控制性能，需要被有效地抑制. 根据矢量空间解耦理论，不参与机电能量转换的 $6k \pm 1$ ( $k = 1, 3, 5, \cdots $ )次谐波分量被映射到 $x - y$ 子空间. 因PR控制器能够对静止坐标系下的交流输入信号实现无静差跟踪控制，故可利用PR控制器的此特性对 $x - y$ 子空间中的谐波电流进行直接控制，从而有效地抑制电机定子相电流中的谐波电流，其实现框图如图1中间的虚线框内所示. 从图1中可以看出， $x - y$ 子空间中的PR控制设计方法是先将给定的谐波电流参考值分别设置为 ${i_x}^* = 0$ 和 ${i_y}^* = 0$ ，再与检测到的实际谐波电流(已转换成两相静止坐标系下的 ${i_x}$ 、 ${i_y}$ )进行比较，最后利用PR控制器进行控制，使其谐振频率 ${\omega _0}$ 与电机转速一致(即 ${\omega _0} = {\omega _{\rm{e}}}$ )，这样即可对谐波电流进行无静差跟踪控制.

4 仿真实验及分析

对于所设计的的DTP-PMSM无速度传感器控制系统，为了验证所提出的自适应滑模观测器和多重PR控制器的有效性，利用Matlab/Simulink仿真软件，根据如图1所示的原理框图搭建仿真模型.

所用电机的参数为：定子交、直轴的电感为 ${L_d} = {L_q} = 8.8 \; {\rm{ mH}}$ ，定子电阻为 $R = 1.4 \; \Omega $ ，永磁体磁链为 ${\psi _{\rm{f}}} = 0.68 \; {\rm{ Wb}}$ ，磁极对数为 ${p_{\rm{n}}} = 3$ ，转动惯量为 $J = 0.015 \; {\rm{ kg}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ .

仿真参数设置为：直流侧电压为 ${U_{{\rm{dc}}}} = 300 \; {\rm{ V}}$ ，给定的参考机械角速度为 ${\omega _{\rm{m}}} = 50 \; {\rm{ rad/s}}$ ，电机在初始时刻的负载转矩为 ${T_{\rm{L}}} = 0 \; {\rm{ N}} \cdot {\rm{m}}$ ，在 $t = 0.15 \; {\rm{ s}}$ 时给电机加上负载，其负载转矩为 ${T_{\rm{L}}} = 50 \; {\rm{ N}} \cdot {\rm{m}}$ .

基于速度传感器和PI电流控制器的DTP-PMSM速度控制系统(简称为SensorPI系统)能够较好地实现速度或位置控制，是一种成熟的解决方案，广泛应用于实际的工程场合，但是其电机相电流中的谐波成份较多. 为了表明本文所提出的自适应滑模观测器和多重PR控制器的有效性，本文将此成熟方案的实验结果一并给出以作为对比，所用的电机参数和仿真参数与基于自适应滑模观测器和多重PR控制器的DTP-PMSM无速度传感器控制系统(简称为SensorlessPR系统)相同.

在额定转速以及随后突加负载转矩的条件下，仿真实验结果如图4~10所示，其中图4、图5、图7和图8的上半部分是SensorPI系统的实验结果，而相应的下半部分是SensorlessPR系统的实验结果. 需要指出，因自适应滑模观测器依赖电机转速，故在电机的起始的零低速阶段会失效，需要借助其他技术手段予以解决，由于篇幅所限，本文不予赘述.

图4和图5给出了SensorPI系统和SensorlessPR系统中电机的转速及转子位置的对比情况. 图4中，除了起始的零低速阶段，两者的转速图形较为吻合，都能有效地跟踪给定转速，都能克服在 $t = 0.15{\rm{ s}}$ 时突加的负载转矩对转速带来的冲击. 图5中，因积分效应带来的平滑作用，两个系统的转子位置图形几乎相同. 所有这些表明了SensorlessPR系统在速度和位置控制方面具有类似SensorPI系统的性能，从而表明了SensorlessPR系统的自适应滑模观测器能够有效地跟踪实际电机转速和转子位置信号，且具有较好的抗干扰性，另外，这些事实也从侧面反映了在SensorlessPR系统中电机的 $\alpha - \beta $ 子空间使用PR控制器替代PI控制器的有效性.

图6给出了SensorlessPR系统的自适应滑模观测器对反电动势 ${e_\alpha }$ 及 ${e_\beta }$ 的估计值(SensorPI系统没有观测器部分). 从图可知两者互差90°相位角，除了起始的零低速阶段，两条曲线都较为平滑，正弦度较好，突加负载转矩对反电动势信号波形的影响十分有限，这些情况表明SensorlessPR系统的自适应滑模观测器具有较好的抗干扰性，能够有效地观测反电动势信号，且其使用双曲正切函数代替符号函数能够有效减少高频谐波信号，从而改善观测到的反电动势信号波形.

图7是SensorPI系统和SensorlessPR系统中电机的相电流波形的对比情形. 图中，除了起始的零低速阶段，两者的相电流波形总体上较为相似，两者对 $t = 0.15 \; {\rm{ s}}$ 时突加的负载转矩都能够较好地响应，但是明显可见，前者的相电流中的谐波成份较多，而后者的较少.

图8是SensorPI系统和SensorlessPR系统中电机的 $x - y$ 子空间的谐波电流 ${i_x}$ 的对比情况. 由图可知，除了起始的零低速阶段，前者的谐波电流 ${i_x}$ 的幅值较大，而后者的则小得多，另外，在 $t = 0.15 \; {\rm{ s}}$ 时突加的负载转矩对两者的不参与机电能量转换的 $x - y$ 子空间的谐波电流 ${i_x}$ 没有影响. 需要指出，对于 $x - y$ 子空间的谐波电流 ${i_y}$ ，情况类似，本文不再予以讨论.

图9~10分别给出了SensorPI系统以及SensorlessPR系统中电机相电流的FFT分析图. 由图可知，相较于前者，后者的电机相电流中的 $6k \pm 1$ ( $k = 1, 3, $ $ 5, \cdots $ )次谐波电流得到了较好的抑制.

综合图7~10可知，SensorlessPR系统中电机的 $\alpha - \beta $ 子空间引入的PR控制器能够有效地跟踪参考电流，且具有较好的抗干扰性，其 $x - y$ 子空间引入的PR控制器能有效地抑制电机相电流中的 $6k \pm 1$ ( $k = 1, 3, 5, \cdots $ )次谐波.

5 结论

基于矢量空间解耦理论，本文对DTP-PMSM无速度传感器控制系统设计了自适应滑模观测器和多重PR控制器. 除了起始的零低速阶段，所设计的自适应滑模观测器能够有效地观测反电动势信号，能够有效地跟踪实际电机转速和转子位置，且具有较好的抗扰性，此外其稳定性通过构造的李雅普诺夫函数也得到证明. 对于所设计的多重比例谐振控制器， $\alpha - \beta $ 子空间引入PR控制器能够有效地跟踪控制参考电流，且具有较好的抗干扰性； $x - y$ 子空间引入PR控制器能够有效地抑制电机相电流中的 $6k \pm 1$ ( $k = 1, 3, 5, \cdots $ )次谐波，从而减少电机损耗和逆变器容量，提高电机运行性能.