近年来，有关四元数系数多项式求根方法的研究引起国内外学者关注，并取得可喜成果^[1-7]，如文献[8]给出了求四元数系数多项式纯虚数四元根的一种方法；文献[9]讨论了四元数系数多项式有某些特殊根的充分必要条件；文献[10]给出了毕达哥拉斯运动曲线可由次数较低的另一条曲线生成的充分必要条件是其生成四元数系数多项式有一个复根.

经典的Sturm算法是确定常系数多项式实根个数的一种有效方法^[11]，但对于具有符号系数的多项式，该算法极不方便. 参数多项式完全根的分类已应用于多问题的研究中，并建立了多种方法^[12-16]. 而对四元数系数多项式

$Q(t) = {a_0}{t^n} + {a_1}{t^{n - 1}} + \cdots {\rm{ + }}{a_n},\left( {{a_0},{a_1}, \cdots ,{a_n} \in \mathbb{H}} \right)$

的根进行计数和分类却未发现类似结果， $\mathbb{H}$ 表示实四元数体.

本文通过构造从四元数系数多项式 $Q(t)$ 根的集合到由 $Q(t)$ 确定的某些实(复)多项式的实(复)根集合的一个双射，来确定 $Q(t)$ 的球形根、实根、孤立复根、纯虚数四元根，以及在 $\mathbb{R} + \mathbb{R}{j}$ 或 $\mathbb{R} + \mathbb{R}{k}$ 中根的集合. 结果表明，实(复)系数多项式根的计数和分类适用于四元数系数多项式的根.

1 四元数

$\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{C}$ 分别表示实数域和复数域，实四元数体 $\mathbb{H}$ 中的元素形如 $q = {x_0} + {x_1}{i} + {x_2}{j} + {x_3}{k}$ ，其中 ${x_0},{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R}$ . $q$ 的共轭定义为 $\bar q = {x_0} - {x_1}{i} - {x_2}{j} - {x_3}{k}$ ， $q$ 的实部和虚部分别为 ${\rm{Re}} q = {x_0}$ 和 ${\rm{Im}}q = {x_1}{i} + {x_2}{j} + {x_3}{k}$ . 若 ${\rm{Re}}q= 0$ ，则称 $q$ 是纯虚数四元数； $q$ 的范数 $\left| q \right|$ 定义为数量

$\left| q \right| = \sqrt {q\bar q} = \sqrt {x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} . $

对两个四元数 $q$ 和 $q'$ ，若 $\exists w \in \mathbb{H}\backslash \{ 0\} $ 使得 $q' = wq{w^{ - 1}}$ ，则称它们等价，记作 $q \sim q'$ . 显然， $q \sim q' \Leftrightarrow $ ${\rm{Re}} q = {\rm{Re}} q'$ 且 $\left| q \right| = \left| {q'} \right|$ . $q$ 的等价类集合为

$[q] = \{ q' \in \mathbb{H}|q' \sim q\} = \{ q' \in \mathbb{H}|{\rm{Re}} q = {\rm{Re}} q',\left| q \right| = \left| {q'} \right|\} . $

文献[13]指出，每个 $[q]$ 恰好包含复数 $ z = {x_0} + $ ${\rm i}\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} $ 和其共轭 $\bar z = {x_0} - {\rm i}\sqrt {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} $ .

设 $\mathbb{H}[t]$ 是 $\mathbb{H}$ 上变量 $t$ 的多项式环. 每个 $f(t) \in \mathbb{H}[t]$ 可写成 $f(t) = {a_0}{t^n} + {a_1}{t^{n - 1}} + \cdots + {a_n}$ ，其中 $n \in {\mathbb{Z}^ + }$ ， $ {a_0}, \cdots ,$ ${a_n} \in \mathbb{H}$ 且 ${a_0} \ne 0$ . 对 $\forall q \in \mathbb{H}$ ，定义 $f(t)$ 在 $q$ 处的值为

$f(q) = {a_0}{q^n} + {a_1}{q^{n - 1}} + \cdots + {a_n}. $

一般地，f(t)不是 $\mathbb{H}[t]$ 到 $\mathbb{H}$ 的环同态. 若 $f(q) = 0$ ，则称四元数 $q$ 是 $f(t)$ 的零点或根.

设 $B(t) \in \mathbb{H}[t]$ . 若 $\exists C(t) \in \mathbb{H}[t]$ 使得 $Q(t) = C(t)B(t)$ ，则称 $B(t)$ 为 $Q(t)$ 的一个右因式. 注意到， $q$ 是 $f(t)$ 的根 $ \Leftrightarrow $ $t - q$ 是 $Q(t)$ 的右因式，即 $\exists g(t) \in \mathbb{H}[t]$ 使得 $ f(t) = g(t)$ $(t - q)$ .

设 $q$ 是 $f(t)$ 的一个根. 若 $q$ 不是实数且对 $\forall z \in [q]$ ，有 $f(z) = 0$ ，则称 $q$ 生成一个球形根，简称 $q$ 是球形根；若 $q$ 是实数或不能生成球形根，则称它为孤立根；若等价类中有两个元素均为 $f(t)$ 的根，则该等价类中的所有元素都是 $f(t)$ 的根^[3]. 由于每个等价类恰好包含复数 $z$ 和其共轭 $\bar z$ ，所以由 $f(t)$ 根的复数对 $\{ z,\bar z\} $ 可确定 $f(t)$ 的所有球形根.

2 纯虚数四元数根

设 $Q(t) = {a_n}{t^n} + {a_{n - 1}}{t^{n - 1}} + \cdots + {a_0}$ . 当 $n$ 为奇数时，令 $g(t) = \displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{(n - 1)/2} {{a_{2m + 1}}{{( - 1)}^m}{t^m}} $ ；当 $n$ 为偶数时，令 $h(t) = $ $ \displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{n/2} {{a_{2m}}{{( - 1)}^m}{t^m}} $ . 再设 ${g_i}(t),{h_i}(t) \in \mathbb{R}[t],(i = 1,2,3,4)$ 使得 $g(t) = {g_1}(t) + {g_2}(t){i} + {g_3}(t){j} + {g_4}(t){k}$ ， $ h(t) = {h_1}(t) +{h_2}(t){i} +$ $ {h_3}(t){j} + {h_4}(t){k}$ . 用 $E(t)$ 表示多项式 ${g_1}(t), \cdots , {g_4}(t),{h_1}(t), \cdots ,$ ${h_4}(t)$ 的最大公因式. 考虑多项式

$ \begin{gathered} F(t) = [g_1^2(t) + g_2^2(t) + g_3^2(t) + g_4^2(t)]t - [h_1^2(t) + \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!h_2^2(t) +h_3^2(t) + h_4^2(t)], \end{gathered} $

$G(t) = {g_1}(t){h_1}(t) + {g_2}(t){h_2}(t) + {g_3}(t){h_3}(t) + {g_4}(t){h_4}(t). $

若令 $L(t) = \gcd (F(t),G(t))$ ，则 $E(t){\rm{|}}L(t)$ .

定理1 　设 ${\varepsilon }$ 和 $\mathcal{L}$ 分别是 $E(t)$ 和 $L(t)$ 的正根集合，且 $L(t)$ 的正根不是 $E(t)$ 的根. 分别用 $S$ 和 $I$ 表示 $Q(t)$ 互异的球形根和孤立纯虚数四元根的集合. 于是，映射

$\begin{gathered} \sigma :{\varepsilon } \to S, \\ N \mapsto \{ {x_1}{i} + {x_2}{j} + {x_3}{k}|{x_1},{x_2},{x_3} \in \mathbb{R},x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = N\} \\ \end{gathered} $

和

$\begin{gathered} \tau :\mathcal{L} \to I, \\ N \mapsto - {g^{ - 1}}(N)h(N) \\ \end{gathered} $

均是双射.

证明 　设 $x = {x_1}{i} + {x_2}{j} + {x_3}{k} \ne 0$ 是 $Q(t)$ 的一个纯虚数四元根，则 ${x^2} = - (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) = - {\left| x \right|^2}$ . 令 $ N = x_1^2 +x_2^2 +$ $ x_3^2$ ，有 ${x^2} = - N$ . 因此， $Q(x) = 0$ 意味着 $g(N)x + h(N) = 0$ . 进一步，因为 $x \ne 0$ ，所以 $g(N) = 0$ $ \Leftrightarrow $ $h(N) = 0$ . 假设 $x$ 定义了 $Q(t)$ 的一个球形根，则 $\forall y \in [x]$ 都有 $Q(y) = 0$ . 因 $y$ 是满足 $\left| x \right| = \left| y \right|$ 的纯虚数四元数，故 $ {y^2} = - {\left| y \right|^2} = - {\left| x \right|^2} =$ $ {x^2} \ne 0$ . 于是，对 $\forall y \in [x]$ 有 $g(N)y = - h(N)$ . 从而， $g(N) = $ $ h(N) = 0$ . 又因 $N$ 是实数，且 $E(N) = 0$ ，故 $N \in {\varepsilon }$ . 反过来，若 $N \in {\varepsilon }$ ，则 $g(N) = h(N) = 0$ . 因此，对每个纯虚数四元数 $x$ ，其中 $\left| x \right| = \sqrt N $ ，都有 $Q(x) = g(N)x + h(N) = 0$ . 于是， $[x]$ 是 $Q(t)$ 的一个球形根. 综上可知， $\sigma $ 是双射.

因 $E(t)|F(t),G(t)$ ，故 $E(t)|L(t)$ . 设 $L(t) \ne E(t)$ ， $x$ 是 $Q(t)$ 的满足 $g(N)h(N) \ne 0$ 的孤立纯虚数四元数根. 于是，有 $g(N)x + h(N) = 0$ ，从而 ${\left| {g(N)} \right|^2}{\left| x \right|^2} = {\left| {h(N)} \right|^2}$ . 所以， $N$ 是 $F(t)$ 的一个根. 此外， $x = - {g^{ - 1}}(N)h(N) = {{{ - \overline {g(N)}}}} h{(N)}/$ ${ {\left| {g(N)} \right|}^2}$ . 又因 ${\rm{Re}} x = 0$ ，故 $G(N) = 0$ . 因此， $N$ 是 $L(t)$ 的一个正实根，即 $N\! \in \!\mathcal{L}$ . 反过来，设 $N \!\in\! \mathcal{L}$ ， $ x = {{{ - \overline {g(N)} h(N)}}}/$ ${{{\left| {g(N)} \right|}}^2}$ . 因 $G(N) = 0$ ，故 ${\rm{Re}} x = 0$ . 此外，由于 $N$ 是 $F(t)$ 的一个根，故 $N = {{{{{\left| {h(N)} \right|}^2}}/{\left| {g(N)} \right|}}^2} = {\left| x \right|^2}$ . 从而， $x$ 是纯虚数四元数且 ${x^2} = - {\left| x \right|^2} = - N$ ， $Q(x) = g(N)x + h(N) = 0$ . 综上可知， $\tau $ 是双射.

推论1 　 $Q(t)$ 球形根的数量等于 $E(t)$ 正根的数量，同时， $Q(t)$ 的孤立纯虚数四元数根的数量等于 $L(t)$ 的正根(非 $E(t)$ 的根)数量.

推论2 　设 ${l_1}, \cdots ,{l_v}$ 是 $L(t)$ 的满足 $ g({l_i})h({l_i}) \ne 0,\,(i = $ $1, \cdots ,v)$ 的正实根. 于是，四元数 $ {q_i} = - {g^{ - 1}}({l_i})h({l_i}),$ $(i = 1, \cdots ,v)$ 均为 $Q(t)$ 的孤立纯虚数四元数根.

证明 　因映射 $\tau $ 是双射，故 $L(t)$ 的根(也是 $E(t)$ 的根) $\rho $ 满足 $g(\rho ) = h(\rho ) = 0$ ，而其他的根则满足 $g(\rho ) \ne 0$ 和 $h(\rho ) \ne 0$ . 因此，这些根 $\rho $ 生成 $Q(t)$ 的孤立纯虚数四元数根 $ - {g^{ - 1}}(\rho )h(\rho )$ .

3 球形根和 $\mathbb{C}$ ， $\mathbb{R} + \mathbb{R}j$ ， $\mathbb{R} + \mathbb{R}k$ 中的根

设 $Q(t) \in \mathbb{H}[t]\backslash \mathbb{C}[t]$ 且 $\deg (Q(t)) \geqslant 1$ 是首1多项式. 记 $Q(t) = {f_1}(t) + {f_2}(t){i} + {g_1}(t){j} + {g_2}(t){k}$ ，其中 $ {f_1}(t),{f_2}(t),{g_1}(t),$ ${g_2}(t) \in \mathbb{R}[t]$ . 令 $\Delta (t) = \gcd ({f_1}(t),{f_2}(t),{g_1}(t),{g_2}(t))$ ， $f(t) = $ ${f_1}(t) \!+ \!\!{f_2}(t){i}$ , $g(t)\! =\! {g_2}(t)\! +\! {g_1}(t){i}$ , $E(t) \gcd (f(t),g(t))$ , $\Lambda (t) \!=$ $ {{E(t)}/{\Delta (t)}}$ .

定理2 　1) $Q(t)$ 的实根集合与 $\Delta (t)$ 的实根集合相同；

2) $Q(t)$ 的球形根可由 $\Delta (t)$ 的一对共轭复根表示；

3) $Q(t)$ 的孤立复根集合与 $\Lambda (t)$ 的根集合相同.

证明 　1) 设 $x \in \mathbb{R}$ . 由 $Q(x) = 0\Leftrightarrow {f_1}(x) ={f_2}(x) =$ $ {g_1}(x) = {g_2}(x) = 0$ ，即 $\Delta (x) = 0$ 可知 $Q(t)$ 的实根集与 $\Delta (t)$ 的实根集相同.

2) 设 $z \in \mathbb{C}$ ，由 $Q(t) = f(t) + {k}g(t)$ 可知 $Q(z) = 0\Leftrightarrow $ $f(z) + {k}g(z) = 0$ ，即 $f(z) = g(z) = 0$ . 假设 $Q(t)$ 有一个球形根 $q$ ，令 $z$ 和 $\bar z$ 是 $q$ 的等价类中唯一的一对共轭复数，则 $Q(z) = Q(\bar z) = 0$ ，即有 $f(z) = f(\bar z) = 0$ 且 $g(z) = g(\bar z) = 0$ . 由此可见，实系数多项式 $(t - z)(t - \bar z)$ 整除 $f(z)$ 和 $g(z)$ . 进而， $(t - z)(t - \bar z)$ 整除多项式 ${f_1}(t),{f_2}(t),{g_1}(t),{g_2}(t)$ . 因此， $z$ 和 $\bar z$ 是 $\Delta (t)$ 的一对共轭复根. 反过来，假设 $z$ 和 $\bar z$ 是 $\Delta (t)$ 的一对共轭复根. 于是， $z$ 和 $\bar z$ 是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的根，进而是 $Q(t)$ 的根. 因此， $z$ 是 $Q(t)$ 的一个球形根. 可见，由 $Q(t)$ 的球形根到 $\Delta (t)$ 的一对共轭复根之间存在一个双射.

3) 设 $C(t) \in \mathbb{C}[t]$ . $C(t)$ 是 $Q(t)$ 的一个右因式 $ \Leftrightarrow $ 存在 $A(t) \in \mathbb{H}[t]\backslash \mathbb{C}[t]$ 使得 $Q(t) = A(t)C(t)$ . 发生这种情况 $ \Leftrightarrow C(t)$ $|f(t),g(t)$ ，即 $C(t)|E(t)$ . 因此， $C(t)$ 是 $Q(t)$ 的一个右因式 $ \Leftrightarrow $ $C(t)|E(t)$ . 同理，在 $C(t) \in \mathbb{R}[t]$ 时，有 $C(t)$ 是 $Q(t)$ 的一个右因式 $ \Leftrightarrow $ $C(t)|\Delta (t)$ . 因此， $\Delta (t)|E(t)$ 且 $\Lambda (t) = {{E(t)}}/{{\Delta (t)}}$ 无实因式. 若 $z$ 不是 $Q(t)$ 的孤立复根，则 $\bar z$ 就不是 $Q(t)$ 的根. 所以， $\bar z$ 不是 $E(t)$ 的根. 从而， $z$ 是 $\Lambda (t)$ 的根. 反过来，设 $z$ 是 $\Lambda (t)$ 的根. 若 $\bar z$ 也是 $\Lambda (t)$ 的根，则 $(t - z)(t - \bar z)$ 是 $\Lambda (t)$ 的一个实因式. 矛盾！因此， $\bar z$ 既不是 $E(t)$ 的根，也不是 $Q(t)$ 的根. 于是， $z$ 只能是 $Q(t)$ 的非实孤立复根. 可见， $Q(t)$ 的非实孤立复根恰好就是 $\Lambda (t)$ 的根.

设 $\bar f(t) = {f_1}(t) + {g_1}(t){j}$ ， $\bar g(t) = {g_2}(t) - {f_2}(t){j}$ ， $ \bar E(t) = $ $\gcd(\bar f(t),\bar g(t))$ ， $\tilde f(t) = {f_1}(t) + {g_2}(t){k}$ ， $\tilde g(t) = {g_1}(t) - {f_2}(t){k}$ ， $\tilde E(t) = \gcd (\tilde f(t),\tilde g(t))$ .

定理3 　1) $Q(t)$ 在 $\mathbb{R} + \mathbb{R}{j}$ 中的根集合与 $\bar E(t)$ 的根集合相同.

2) $Q(t)$ 在 $\mathbb{R} + \mathbb{R}{k}$ 中的根集合与 $\tilde E(t)$ 的根集合相同.

证明 　a) 记 $Q(t) = \bar f(t) + {k}\bar g(t)$ ，令 $x \in \mathbb{R} + \mathbb{R}{j}$ . 则 $Q(x) = 0 \Leftrightarrow \bar f(x) = \bar g(x) = 0$ 或 $\bar E(x) = 0$ .

3) 记 $Q(t) = \tilde f(t) + {i}\tilde g(t)$ . 同理可证所要的结果.

4 应用举例

例1 求多项式 $P(t) = {t^3} + (2 + {k})t + {i} - {j}$ 的纯虚数四元数根.

解：沿用第3节的符号， $g(t) = - t + 2 + {k}$ ， $ h(t) = {i} -$ $ {j}$ . 于是， ${g_1}(t) = - t + 2$ ， ${g_2}(t) = {g_3}(t) = 0$ ， ${g_4}(t) = 1$ ， $ {h_1}(t) =$ $ {h_4}(t) = 0$ ， ${h_2}(t) = 1$ ， ${h_3}(t) = - 1$ ，则它们的最大公因式 $E(t) = 1$ . 因此， $P(t)$ 无球形的纯虚数四元数根. 又多项式 $F(t) = ({( - t + 2)^2} + 1)t - (1 \!+\! 1) = {t^3} - 4{t^2} + 5t \!-\! 2$ ， $G(t) =0$ . 于是， $L(t) = \gcd (F(t)$ ， $G(t)) = {t^3} - 4{t^2} + 5t - 2$ . $L(t)$ 的实根为1和2. 通过计算可得 $ - {g^{ - 1}}(1)h(1)= - {(1 + }$ $ {k})^{ - 1}({i} - {j}) = {j}$ ， $ - {g^{ - 1}}(2)h(2) = - {{k}^{ - 1}}({i} - {j}) = {j} + {i}$ . 因此，由推论2可知 $P(t)$ 的孤立的纯虚数四元数根是 ${j}$ 和 ${i} + {j}$ .

例2 求多项式 $Q(t) = {t^6} + {j}{t^5} + {i}{t^4} - {t^2} - {j}t - {i}$ 的根.

解：沿用第4节的符号， ${f_1}(t) = {t^6} - {t^2}$ ， ${f_2}(t) = {t^4} - 1$ ， ${g_1}(t) = {t^5} - t$ ， ${g_2}(t) = 0$ . 于是， $\Delta (t) = \gcd ({f_1}(t),{f_2}(t), {g_1}(t),$ ${g_2}(t)) = {t^4} - 1$ . 由定理2， $Q(t)$ 有实根 $ \pm 1$ ，一对共轭复根 ${t_3} = {{(1 - {i} - {j} - {k})}/2},{t_4} = {{( - 1 + {i} - {j} - {k})}/2}$ 和一个由 ${t_5} = $ ${i} $ 生成的球形根.

例3 求多项式 $ R(t) = {t^4} - (2 + {k}){t^3} + (3 + {j} + 2{k}){t^2} -$ $2(1 + {j} + {k})t + 2(1 + {j})$ 的根.

解： 沿用第4节的符号，记 $R(t) = f(t) + {k}g(t)$ ，其中 $f(t) \;=\; {t^4} - 2{t^3} + 3{t^2} - 2t + 2$ ， $g(t) \;= - {t^3} + (2 + {i}){t^2} - 2(1+ $ $ {i}) t +2{i}$ . 于是，

$E(t) = \gcd (f(t),g(t)) = {t^3} - (2 + {i}){t^2} + 2(1 + {i})t - 2{i}. $

记 $R(t) = {f_1}(t) + {f_2}(t){i} + {g_1}(t){j} + {g_2}(t){k}$ ，其中 $ {f_1}(t) = $ $ {t^4} -2{t^3} + 3{t^2} - 2t + 2$ ， ${f_2}(t) = 0$ ， ${g_1}(t) = {t^2} - 2t + 2$ ， $ {g_2}(t) =$ $ - {t^3} + 2{t^2} - 2t$ . 于是，有

$\Delta (t) = \gcd ({f_1}(t),{f_2}(t),{g_1}(t),{g_2}(t)) = {t^2} - 2t + 2. $

$\Delta (t)$ 的共轭复根为 $1 \pm {i}$ ，其生成了 $R(t)$ 的一个球形根. 因 $\Lambda (t) = {{E(t)}/{\Delta (t)}} = t - {i}$ ，故 ${i}$ 是 $R(t)$ 的孤立复根.

沿用第3节的符号， $g(t) = - 2 + 2t - 2{j} + ( - 2 + t){k}$ ， $h(t) = 2 - 3t + {t^2} + (2 - t){j} - 2t{k}$ . 于是， $ F(t) = 28t - 30{t^2} +$ $11{t^3} - 8 - {t^4}$ ， $G(t) = - 4t + 6{t^2} - 2{t^3}$ . 于是， $ L(t) = \gcd (F(t),$ $G(t)) = {t^2} - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2)$ ， $ - {g^{ - 1}}(1)h(1) ={i},- {g^{ - 1}}(2)$ $ h(2) = {k} + {i}$ . 因此，多项式 $R(t)$ 无其他根.

综上可知， $R(t)$ 的孤立复根为 ${i}$ ，纯虚数四元数根为 ${i} + {k}$ ，球形根为 $1 + {i}$ .