随着人们生活水平的不断提高，飞机已经逐渐成为出行的重要交通工具. 民航事业的发展也成为各国关注的焦点之一. 20世纪70年代美国航空业最早提出了收益管理理念，其中最为主要的决策之一就是关于票价与客座率的决策问题. 机票价格的定价问题，影响着预售期内的市场需求，影响着航空公司整体的收益. 机票销售同其他易逝品销售理念一样，在价格提高的同时，市场需求就会产生相应的反效果，这主要是源于生产者与消费者之间的利益冲突. 因此，国内外有很多学者都对机票价格的动态定价模型进行着研究，其中利用博弈论来解决同一环境下利益冲突各方的平衡问题是最有效的解决途径之一. 但从根本上看，票价与客座率的矛盾却始终是定价模型中最为突出的问题. 基于博弈论的基础，建立的动态模型使客座率与票价达到了平衡，而在模型的基础上，如何进一步地降低甚至是解决这个矛盾从而实现对模型的优化和收益的提高的问题逐渐受到了可拓研究者们的关注.

可拓学是由蔡文教授创立的新型学科，1983年以来，可拓学已经逐步形成了它的理论框架并向应用领域发展. 可拓学以形式化模型，探讨事物拓展的可能性以及开拓创新的规律与方法，用于解决矛盾问题. 本文利用可拓学的方法，解决折扣率和客座率之间的矛盾，使航空收益最大化. 民航票价定价问题属于动态与优化问题，常用的决策方法以动态规划、排队论、对策论、图论和博弈论等为主. 而民航票价的定价方法一般有动态定价、多级价格歧视和两部定价等^[1]. 在这些已成型的定价模型的研究中，模型的建立并没有考虑矛盾问题对定价方面的制约性，同时，应用博弈论所研究的动态定价模型，往往也是要么只考虑了航空公司与旅客之间的博弈，要么只考虑了航空公司之间的博弈. 本文从博弈论和解决矛盾问题的角度出发，同时考虑了航空公司、旅客、共飞公司三者对定价的影响，从而提高运营收益. 同时，本文对可拓学在博弈论定价方面的研究也可为解决市场同类易逝品定价模型的研究提供参考^[2].

关于收益管理定价方法的有效性，Theodore C等^[3]从经济学的效率出发，制定差异定价体系确保旅客按最大支出购买机票使得航空公司收益最大化. Dieter Westermann^[4]提出动态定价收益管理方法，动态定价较传统收益管理方法会更有效. Richard^[5]从价格和出售所剩时间及商品所剩数量的关系出发，在给定的价格区间内调动价格，最优价格为分段常值函数. Beat Burger和Matthias Fuchs^[6]介绍了航空公司的原始随机模型，将价格、所剩舱位作为决策变量，利用动态规划方法建立期望收益函数. 以期望收益最大化为目的，选择最优售票价格. Kyle^[7]将潜在旅客分成虚旅客和实旅客两类，将价格、舱位存量及参数 $c$ 作为决策变量，利用动态递归法建立了一个比较繁复的收益函数. 2006年商红岩^[8]对将价格、所剩舱位数量、预计的实际旅客总数和虚旅客总数当作决策变量，同样利用动态递归办法建立期望收益函数，利用Logit模型来体现旅客买票几率. Miguel与Russell等^[9]利用微积分法建立了一个航空公司最优实时动态定价模型. 模型假定价格是具有连续性的，并给出了一个和时间相关的连续定价函数，模型结论说明机票价格是出售所剩时间的减函数. Fee-Seng Chou和 Mahmut Parlar^[10]也利用微积分法建立了一个动态定价模型，模型假定价格与需求都为机票出销所剩时间的连续型线性函数，并把商品所剩数量作为变量. 杨春燕等^[11]介绍了不相容问题求解研究的总体思路，分别从不相容问题求解的理论基础、基本步骤、计算机实现以及领域等方面对现有研究成果进行了全面阐述，指明不相容问题研究的科学价值. 随着理论和方法研究的不断深入和各领域的研究人员的加入，使得对不相容问题求解系统的研究日益迫切，同时国内的一些学者也开发了一些应用于具体领域的系统软件^[12-14].

1 定价基本模型

根据机票的实际销售情况，将销售期分解为各个时间节点，其中每一个时间节点代表距离航班起飞的天数. 设 $t$ 为时间节点， $T$ 为销售周期，即有 $1 \leqslant t \leqslant T$ . 设 $S$ 为航空公司的机票销售总收益， ${s_t}$ 表示在第 $t$ 天的机票销售收益，从而有

$S=\sum\limits_{t=1}^T {{s_t}}\;. $

(1)

再设 $x$ 表示航空公司与旅客的博弈分析中，机票在销售周期内使二者构成 Nash 均衡的最优价格组合，即 $x=\left({{x_T},{x_{T- 1}}, \cdots,{x_t}, \cdots,{x_1}} \right)$ ， ${d_t}$ 表示距起飞 $t$ 天的订票旅客人数，从而有

${s_t}={x_t}{d_t}\;.$

(2)

然而实际生活中，旅客出行选择的交通工具不只是有飞机这一种，如果让旅客选择飞机出行，就要满足旅客选择其他方式出行所需要的成本 $C$ 要高于出行日机票价格 ${x_t}$ ，即 $C > {x_t}$ . 这里旅客出行成本包括选择其他方式出行所支出的票价费用及个人成本，前者对所有旅客而言是统一的，即选择相同方式出行的旅客所消耗的票价费用是一致的. 而后者因人而异，商务人士可能时间宝贵，旅行者可能时间充裕，所以由时间等因素产生的个人成本不尽相同，无法统一确定. 但对于航空公司而言，它们所关注的是旅客是否会选择飞机出行，因此只要满足 $C > {x_t}$ 的旅客都会接受订票. 设 $Q$ 表示有出行需求的旅客选择飞机出行的概率，则

$Q\left({C > {x_t}} \right)=F\left({{x_t}} \right).$

(3)

其中，F是 $C$ 的分布函数，根据历史数据建立. 这里为简化起见，不妨设其为线性的，即

$F\left({{x_t}} \right)=a{x_t}+b.$

(4)

设旅客接受航空公司全票价 ${f_{\max }}$ 的概率(以下简称全价接受率)为 $\theta $ ，考虑到飞机本身是最高效的出行方式，因此假定旅客接受票价最低价 ${f_{\min }}$ 的概率为1，于是有

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {F\left({{f_{\max }}} \right)=a{f_{\max }}+b=\theta }, \\ {F\left({{f_{\min }}} \right)=a{f_{\min }}+b=1}. \end{array}} \right.$

(5)

解方程组，得

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a=\dfrac{{\theta - 1}}{{{f_{\max }}- {f_{\min }}}}\;,}\\ {b=\dfrac{{{f_{\max }}- {f_{\min }}\theta }}{{{f_{\max }}- {f_{\min }}}}\;.} \end{array}} \right.$

(6)

$F\left(x \right)=\frac{{\left({\theta - 1} \right){x_t}+{f_{\max }}- {f_{\min }}\theta }}{{{f_{\max }}- {f_{\min }}}}\;.$

(7)

最后，设旅客在第 $t$ 天有出行需求的人数为 ${k_t}$ ,则

${d_t}=\left[{F\left({{x_t}} \right){k_t}} \right].$

(8)

其中[·]表示向下取整. 于是，将式(2)~(8)整理后代入式(1)中，得

$S=\sum\limits_{t=1}^T {{x_t}} \cdot \left[{\frac{{\left({\theta - 1} \right){x_t}+{f_{\max }}- {f_{\min }}\theta }}{{{f_{\max }}- {f_{\min }}}}{k_t}} \right].$

(9)

根据式(5)和式(6)易知，当 $a < 0$ 时， $F$ 是关于 ${x_t}$ 的减函数，而当 $\theta $ 增大时，得到的新的 $F$ 的函数值要大于等于原来F的值. 也就是在保持 ${x_t}$ 不变的情况下，增大 $\theta $ ，可以使 $F$ 的取值变大，从而 ${d_t}$ 增大， ${s_t}$ 增大. 通过以上分析可以发现，所要研究的票价与客座率的矛盾，在以上各式中转化为 ${x_t}$ 与 ${d_t}$ 的矛盾，或者说是 ${x_t}$ 与 $\theta $ 的矛盾.

2 解决该不相容问题的可拓模型

在分析航空客座率不相容问题之前，先给出可拓学中不相容问题的定义：对已知问题界定目标和条件，并建立问题的可拓模型 $P=G * L$ ，其中， $G$ 是目标，L是条件，它们可以用基元化表示. 如果在条件L下，目标 $G$ 不能实现，则称问题 $P=G * L$ 为不相容问题. 航空票价定价模型中，目标是提高航班客座率，条件包括某一固定航空公司航班，机型固定，服务等级固定等，这里最重要的是保持定价 ${x_t}$ 固定. 换句话说是在定价模型中，保持票价不变的情况下，提高航班的客座率。这样，在其他条件不变的情况下,提高客座率就成为了不相容问题.

首先，对原模型进行修改，在式(3)中添加一个变量，目的是使得不相容问题解决后会使概率增大，这样根据之前分析，客座率就会提高，修改如下

$Q = G\left( {{x_{t}},{\theta ^\prime }} \right){\theta ^\prime } = \theta + \delta g\left( {K\left( P \right)} \right),\left( {\delta \leqslant {\textstyle{1 \over \theta }} - 1} \right). $

其中， $g\left(x \right)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,}&{x \geqslant 0}; \\ {0,}&{x < 0}. \end{array}} \right.$ $\delta $ 表示不相容问题解决后所能提高旅客全价接受率的最小值, $K\left(P \right)$ 表示不相容问题 $P$ 关于评价特征 ${c_0}$ 的相容度函数. 其次，对该不相容问题进行可拓分析：设 $A\left(\delta \right)$ 为自变量 $\delta $ 的函数，指旅客全价接受率提高 $\delta $ 时，对应的客座率提高 $A\left(\delta \right)$ . 则根据问题的目标和条件，建立可拓模型

$\begin{array}{l} P = G * L = \\ \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{提高},}&{\text{支配对象},}&\text{客座率}\\ {}&{\text{程度},}&{{m_0} + A\left( \delta \right)}\\ {}&{\text{接受对象},}&\text{某航班} \end{array}} \right] * \\ \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{某航班},}&{\text{机型}\left( \text{座位数} \right),}&{\text{波音}737{\rm{ - }}800\left( {162} \right)}\\ {}&{\text{起飞时刻},}&{{t^0}}\\ {}&\text{服务等级}&7\\ {}&\text{定价}&{{x_t}}\\ {}&\text{现客座率}&{{m_0}}\\ {}&\text{现全价接受率}&\theta \end{array}} \right]. \end{array}$

取评价特征 ${c_0}$ =现客座率， ${c_{0s}}$ 是目标 $G$ 中接受对象关于 ${c_0}$ 所要求的特征，其值正域 ${X_0}{\rm{ }}={\rm{ }}({m_0}{\rm{ }}+{\rm{ }}A(\delta))$ ， ${c_{0t}}$ 是条件 $L$ 关于 ${c_0}$ 所提供的特征. 作基元集 $U{\rm{ }}={\rm{ }}\{ l|l{\rm{ }}={\rm{ }}\ $ $\.\left({Z,{c_0}{\rm{ }},{c_0}\left(Z \right)} \right){\rm{ }}={\rm{ }}\left({Z,{c_0},x} \right),{z_0} \dashv Z\} $ . 对 $G$ 和 $L$ 进行蕴含分析，有

$\begin{array}{l} G = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{提高},}&{\text{支配对象},}&\text{客座率}\\ {}&{\text{程度},}&{{m_0} + A\left( \delta \right)}\\ {}&{\text{接受对象},}&\text{某航班} \end{array}} \right] \Rightarrow {g_0} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{提高},}&{\text{支配对象},}&\text{全价客座率}\\ {}&{\text{程度},}&{\theta {\rm{ + }}\delta }\\ {}&{\text{接受对象},}&\text{旅客} \end{array}} \right]. \end{array}$

$\begin{array}{l} L{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{某航班},}&{\text{机型}\left( \text{座位数} \right),}&{\text{波音}737{\rm{ - }}800\left( {162} \right)}\\ {}&{\text{起飞时刻},}&{{t^0}}\\ {}&\text{服务等级}&7\\ {}&\text{定价}&{{x_t}}\\ {}&\text{现客座率}&{{m_0}}\\ {}&\text{现全价接受率}&\theta \end{array}} \right] \Rightarrow {l_0}= \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{某航班},}&{\text{现全价接受率},}&\theta \\ {}&{\text{服务等级},}&7 \end{array}} \right]. \end{array}$

以 ${X_0}{\rm{ }}({X_0} \subset X)$ 为正域，建立L关于 ${c_0}$ 的相容度函数： $k\left(x \right)={\rm{ }}x- \left({\theta {\rm{ }}+{\rm{ }}\delta } \right)$ . 则问题 $P$ 的核问题的可拓模型为

$\begin{array}{l} {P_0} = {g_0} * {l_0} = \\ \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{提高},}&{\text{支配对象},}&\text{全价客座率}\\ {}&{\text{程度},}&{\theta {\rm{ + }}\delta }\\ {}&{\text{接受对象},}&\text{旅客} \end{array}} \right] * \\ \;\;\;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{某航班},}&{\text{现全价接受率},}&\theta \\ {}&{\text{服务等级},}&7 \end{array}} \right]. \end{array}$

作可拓集

$\begin{gathered} E\left(T \right)=\{ (l,y,y\prime)|l \in U,y=k\left(l \right)={\rm{ }}k\left(x \right) \in R{\rm{ }}, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{T_l}l \in {T_U}U,y\prime ={T_K}K\left({{T_l}l} \right) \in R\} . \\ \end{gathered} $

记 ${K_0}\left({{P_0}} \right)={\rm{ }}K\left({{l_0}} \right)={\rm{ }}k\left({{c_{0t}}\left({{Z_0}} \right)} \right)={\rm{ }}k(\theta)$ ，可见 ${\rm{ }}k(\theta) < 0$ ，故问题P为不相容问题.

在其他条件不变的情况下，若存在一个变换T= $\left({{T_U},{T_K},{T_l}} \right)$ ，其中 ${T_U}$ 是对论域 $U$ 的变换, ${T_K}$ 是对相容度函数的变换, ${T_l}$ 是对元素 $l$ 的变换，使得 $ {T_K}K\left({{T_{l0}}{l_0}} \right)=$ $K' (l_0') > {\rm{ }}0$ ，从而将原不相容问题转化为相容问题.

为了找到变换 $T$ ，现在需要对现有条件进行共轭分析，同时重点还应对消费者的需求进行拓展分析.

首先对条件进行共轭分析

$\text{实部}{L_{re}} \!= \left[ \!\!\!{\begin{array}{*{20}{l}} {\text{某航班},}&{\text{机型}\left( \text{座位数} \right),}&{\text{波音}}737{\rm{ - }}800\left( {162} \right)\\ {}&{\text{机龄},}&{2\text{年}}\\ {}&{\text{承运人},}&{\rm MF}\\ {}&{\text{公司性质},}&\text{政府出资}\\ {}&\text{起飞时刻}&{{t^0}}\\ {}&{\text{价格}\left( \text{折扣} \right)}&{{x_t}} \end{array}} \!\!\!\right],$

$\text{虚部}{L_{im}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{某航班},}&{\text{公司影响力},}&{6.4}\\ {}&{\text{飞行安全指数},}&{10}\\ {}&{\text{会员优惠政策},}&{7.7}\\ {}&{\text{旅客服务},}&{7.2}\\ {}&{\text{客舱舒适度},}&8 \end{array}} \right].$

其中，虚部基元中量值的值表示的是对应特征的指标等级，满级为10.

接下来对消费者进行发散分析，并建立发散树. 消费者对乘坐飞机的基本需要可以用事元表示为

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{乘坐},}&{\text{支配对象},}&\text{飞机}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{旅客}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{安全}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{快捷} \end{array}} \right].$

当然，不同层次的旅客，对选择飞机出行的关注点和选择理由不尽相同. 因此需要根据发散方法，建立发散树

$\begin{array}{l} {A_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{乘坐},}&{\text{支配对象},}&\text{飞机}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{高端消费者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{服务}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{舒适} \end{array}} \right] - {\rm{|}} \;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {A_{11}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{选择},}&{\text{支配对象},}&\text{某承运人}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{商务出行者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{时间}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{会员优享服务} \end{array}} \right],\\ {A_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{选择},}&{\text{支配对象},}&\text{某承运人}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{旅行者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{服务质量}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{受到尊重} \end{array}} \right]. \end{array} \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} {A_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{乘坐},}&{\text{支配对象},}&\text{飞机}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{中层消费者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{公司品牌}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{性价比} \end{array}} \right] - {\rm{|}} \;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} {A_{21}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{选择},}&{\text{支配对象},}&\text{某承运人}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{较少乘飞机出行者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{公司品牌}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{名气高} \end{array}} \right],\\ {A_{22}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{选择},}&{\text{支配对象},}&\text{某承运人}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{周期性乘飞机出行者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{价格}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{便宜} \end{array}} \right],\\ {A_{23}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{选择},}&{\text{支配对象},}&\text{某承运人}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{频繁飞机出行者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{公司品牌}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{会员积分优惠} \end{array}} \right]. \end{array} \right. \end{array}$

${A_{22}} - {\rm{| }}{A_{221}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{选择},}&{\text{支配对象},}&\text{某承运人}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{周期性乘飞机出行者}\\ {}&{\text{关注点},}&{\text{机票服务}\left( \text{退改签等} \right)}\\ {}&{\text{选择理由},}&{\text{效率高},\text{服务好}} \end{array}} \right].$

${A_{23}} - {\rm{| }}{A_{231}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{选择},}&{\text{支配对象},}&\text{某承运人}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{频繁乘飞机出行者}\\ {}&{\text{关注点},}&{\text{机票服务}\left( \text{退改签等} \right)}\\ {}&{\text{选择理由},}&{\text{效率高},\text{服务好}} \end{array}} \right].$

${A_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{乘坐},}&{\text{支配对象},}&\text{飞机}\\ {}&{\text{施动对象},}&\text{底层消费者}\\ {}&{\text{关注点},}&\text{价格}\\ {}&{\text{选择理由},}&\text{便宜} \end{array}} \right].$

$A- {\rm{| }}\left\{ \begin{gathered} \!\!\!\! \!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{A_1}- {\rm{|}}\left\{ \begin{gathered} {A_{11}} \\ {A_{12}} \\ \end{gathered} \right. \\ {A_2}- {\rm{|}}\left\{ \begin{gathered} \! \!\!\! \!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\! \!\!\! \!\!\!\!\!\!\! {A_{21}} \\ {A_{22}}- {\rm{|}}{A_{221}} \\ {A_{23}}- {\rm{|}}{A_{231}} \\ \end{gathered} \right. \\ \!\!\!\! \!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{A_3} \\ \end{gathered} \right. \text{。}\;\;$

根据此发散树，对旅客进行市场调查可以发现，随着人们的生活水平的不断提高，大多数旅客更关注生活质量. 相对应的在乘坐飞机出行时，旅客们除了关注价格之外，更关注的是服务质量，其中包括购票服务、机场服务、退改签服务、会员服务、机上餐饮服务等等，所以提高服务质量，做品牌式服务可以吸引更多旅客的眼球. 因此，可以实施传导变换，提高服务质量来增加客座率. 即

$T = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{传导},}&{\text{支配对象},}&{{l_0}}\\ {}&{\text{传导结果},}&{{{l_0'}}}\\ {}&{\text{工具},}&\text{培训与宣传} \end{array}} \right],$

其中，

${l'_0}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\text{某航班},}&{\text{现全价接受率},}&{\theta {\rm{ + }}\delta '\left( {\delta ' > \delta } \right)}\\ {}&{\text{服务等级},}&{9.5} \end{array}} \right].$

这样， ${T_K}K\left({{T_{l0}}{l_0}} \right)=k^\prime (l{^\prime _0})=\delta^\prime - \delta > 0$ ，从而使原不相容问题转化成为相容问题，使矛盾得以解决. 在以上模型中， $\delta $ 作为参数可以取任意非负数，而 $\delta '$ 可以通过历史数据与社会调查进行评估. 当其他条件(主要是票价)不变的情况下，提高某航空公司的服务质量等级，一定存在一个 $\delta > 0$ ，使得客座率增加量 $\delta ' > \delta $ .

3 结论

航空票价模型在国内外有很多的研究，着手点也不尽相同. 本文选取以航空公司与旅客之间的博弈作为模型基础，应用可拓学中包括不相容问题及解决方法、发散树、可拓变换、可拓集在内的知识与工具在理论上对原模型进行了分析和优化. 根据此模型特点，该模型不仅仅为民航票价与客座率的矛盾提供了解决方案，也在一定程度上适用于解决其他易逝品销售中价格与销量的矛盾问题.