现今，电池的寿命一直是现代无线移动设备的一项重要指标之一，大容量电池的可再充电性或可替换性可以有效地延续无线设备的寿命. 随着无线设备的倍增，对无线设备的电池进行更换或再充电将耗费大量人力和物力. 针对这种情况，无线能量传输技术(Wireless Energy Transfer，WET)可以有效解决或缓解电池充电以及频繁更换电池问题. 利用电磁波的远场辐射特性，无线设备收集从能量发射机或能量基站发送的射频信号(Radio Frequency，RF)^[1]，并通过各种可再生能源(太阳能、风力、水力等)补充能量发射机的能量.

能量受限的无线网络面临着能量缺乏的问题，无线能量传输与无线信息传输的结合引起了学术界和工业界的极大关注. 文献[2]研究了点对点通信中，基站发送信息的同时会携带一部分能量，实现无线携能通信(Simultaneous Wireless Information and Power Transfer，SWIPT). 文献[3]研究了多入单出的无线携能通信系统，文献[4]提出两种关于多入多出(Multiple Input Multiple Output，MIMO)的无线广播系统的无线能量和信息传输方案，一种是考虑所有接收节点都是分开并且发射机拥有不同的MIMO信道，提出一种平衡信息接收和能量收集的最优传输策略；另一种方案是考虑具有协同定位的接收节点和可以识别的MIMO信道的发射机，提出时间切换和功率切换两种传输策略求解问题. 文献[5]研究SWIPT的MIMO中继系统的物理层安全问题，引入人工噪声(Artificial Noise，AN)保证信息传输的安全性. 文献[6]考虑实际接收机受硬件电路实现的约束，提出一种动态功率切换优化无线携能通信系统接收机的设计. 此外，无线供电通信网络(Wireless Powered Communication Network，WPCN)也是一种关于能量收集的研究热点^[7]. 文献[8]研究基于WPCN网络正交频分复用(OFDM)的保密通信系统，该系统与干扰机合作，干扰机利用收集到的能量堵塞窃听者，达到有效的通信保密性. 文献[9]研究基于无线供电通信网络的时分多址接入(Time Division Multiple Access，TDMA)系统中吞吐量最大化问题. 文献[10]把WPCN与非正交多址接入(Non-orthogonal Multiple Access，NOMA)相结合，研究吞吐量最大化问题. 为了更有效地完成能量传输，利用波束赋型技术(Beamforming)将能量聚集在一个窄带的能量束. 文献[11]中研究多个MIMO中继beamforming的认知无线电系统的频谱效率的优化问题. 文献[12]研究关于导频污染的beamforming设计问题. 文献[13]和文献[14]分别研究多天线能量基站的WPCN-TDMA和WPCN-NOMA系统.

以上很多研究工作都是假设基站获取到的信道状态信息(Channel State Information，CSI)是完美的. 然而，在实际的应用场景中，CSI需要通过基站发送导频信号和接收机发送反馈信号获取，由于信道估计误差和量化误差，基站获得的CSI都是不完美的，这会给研究带来很多的挑战. 关于CSI错误模型的研究，一般分为关于有界限确定CSI错误模型^[15]的最坏情况问题和关于随机CSI错误模型^[16-17]机会约束问题. 文献[15]提出一些关于对抗最坏情况问题的设计. 而机会约束问题则通过中断概率约束最坏CSI错误的情况，更加适用于实际的场景. 对于机会约束问题，文献[18]研究认知无线电网络的多用户MIMO多中继网络的鲁棒收发机设计问题. 文献[19]研究保密无人机(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)通信的鲁棒资源分配问题. 然而，基于机会约束的鲁棒beamforming问题通常是一个非凸并且难以处理的问题^[16]. 一般地，在求解基于机会约束的鲁棒性优化问题时，只考虑一到两种机会约束，如：信干噪比(SINR)中断概率约束^[17]和概率性的干扰温度约束^[20]. 为了求解这个问题，文献[16-17]提出一些比较保守的方法化简机会约束.

对于无线供电的非正交多址接入网络，本文考虑能量基站到用户的CSI是存在随机误差，在满足用户SINR中断概率约束的条件下，提出一个基于系统吞吐量最大化的资源分配方法. 该方法使用Bernstein^[21]不等式把SINR中断概率约束转化为一个凸约束，把问题转化为一个半定规划问题，可以利用有效的凸优化方法进行求解^[22]. 特别地，本文利用半定松弛的方法去掉秩一约束，然后利用高斯近似的方法根据最优解的结构进行近似.

1 系统模型

考虑一个无线供电的非正交多址接入网络中存在一个天线数为 ${N_t}$ 的多天线能量基站， $K$ 个单天线的用户和一个单天线的信息接收机. 用户的集合用 $U = \{ 1,2, \cdots ,K\} $ 表示. 所有用户在同一时间利用从能量基站接收能量给信息接收机发送信息. 信息接收机利用串行干扰消除技术解码从每个用户接收到信息，这种无线接入方式就是NOMA的接入方式. 考虑一个基于块的准静态信道模型在每一个传输块中是保持不变的，而在块与块之间会改变. 假设一个传输块的时间长度是 $T$ ，能量基站到用户k的信道状态信息为 ${{{g}}_k} \in {\mathbb{C}^{{N_t} \times 1}}$ ，用户k到信息接收机的信道状态信息为 ${{{h}}_k} \in \mathbb{C}$ ( $k \in U$ ). 从能量基站到用户的通信链路是无线能量传输链路，从用户到信息接收机的通信链路是无线信息传输链路. 由于完美的CSI不能应用于实际的场景，本文考虑无线能量传输链路是随机CSI错误模型，该模型可表示为

${{{g}}_k} = {\bar {{g}}_k} + {{{e}}_k},\;k \in U,$

(1)

其中 ${\bar {{g}}_k} \in {\mathbb{C}^{{N_t} \times 1}}$ 表示能量基站估计 ${{{g}}_k}$ 获取到的CSI， ${{{e}}_k}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{{{C}}_k})$ 表示CSI的随机误差，矩阵 ${{{C}}_k} \succ 0$ 表示误差的协方差矩阵.

对于用户的传输机制，考虑先接收无线能量，再利用能量发送无线信息，把每个传输块分为两个时隙，两个时隙的长度分别为 $(1 - \tau )T$ 和 $\tau T$ ， $\tau $ 表示为第二个时隙的时间分配系数，并满足

$0 \leqslant \tau \leqslant 1.$

(2)

第一个时隙，能量基站给用户传输无线能量. 第二个时隙，所有用户在NOMA的接入方式下发送信息给信息接收机.

在第一个时隙中，能量基站通过能量波束赋型给每个用户传输能量. 能量波束赋型向量表示为 ${{w}} \in {\mathbb{C}^{{N_t} \times 1}}$ . 用户 $k$ 接收到的能量表示为

${E_k} = {\xi _k}(1 - \tau )T{{g}}_k^ {\rm{H}}{{w}}{{{w}}^ {\rm{H}}}{{{g}}_k},k \in U.$

(3)

其中 ${\xi _k} \in [0,1]$ 表示用户 $k$ 的能量转换效率. ${P_{\max }}$ 为能量基站的最大发射功率，能量基站最大发射功率约束可以表示为

${\left\| {{w}} \right\|^2} \leqslant {P_{\max }}.$

(4)

在第二个时隙中，所有用户同时发送自己的信息给信息接收机. 对于用户 $k$ ，会在第二个时隙使用接收到的能量 ${E_k}$ 进行无线信息传输，用户 $k$ 的发射功率可以表示 ${P_k}$ ， ${P_k}$ 必须满足能量接收约束：在第二个时隙使用的能量不能超过第一个时隙接收到的能量，即要满足

$\tau T{P_k} \leqslant {E_k} = {\xi _k}(1 - \tau )T{{g}}_k^ {\rm{H}}{{w}}{{{w}}^ {\rm{H}}}{{{g}}_k},k \in U.$

(5)

信息接收机同时接收所有用户发送过来的信息并且使用串行干扰消除技术解码各个用户的信息. 不失一般性，假设信息接收机首先解码用户1的信息，最后解码用户K的信息. 当信息接收机解码用户1的信息时，用户2到用户K的信息会被当作干扰，当信息接收机完成解码并解码正确时，用户1的信息干扰就会从接收到的信息中除掉，所以当信息接收机解码用户2的信息时，只有用户3到用户K的信息会被当作干扰. 因此，信息接收机从用户K中接收到的信号可以表示为

${y_k} \!=\! \left\{\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_k}{P_k}{s_k} \!+\! \displaystyle\sum\limits_{j = k + 1}^K {{h_j}} {P_j}{s_j} + {n_k},}&{k \!=\! 1, \cdots ,K \!-\! 1;} \\ {{h_k}{P_k}{s_k} + {n_k},}&{k = K.} \end{array}} \right.$

(6)

其中， ${s_k}$ 表示为用户 $k$ 到信息接收机的信号， ${n_k}$ 表示为加性高斯白噪声，并且 ${n_k}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{N_0})$ . 当用户1到用户K-1的信息都被连续解码完后，信息接收机解码用户K的信息时就不会受到其他信息的干扰. 因此，用户k的可达速率表达式可以表示为

${R_k} \!\!=\! \!\left\{\!\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}} {\tau {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( \!\!{1 \!+\! \displaystyle\frac{{{P_k}|{h_k}{|^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j = k + 1}^K {{P_j}} |{h_j}{|^2} \!+\! {N_0}}}} \right),}&\!\!{k \!\!= \!\!1, \cdots ,K \!- \!1,} \\ {\tau {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \displaystyle\frac{{{P_K}|{h_K}{|^2}}}{{{N_0}}}} \right),}&{k = K.} \end{array}} \right.$

(7)

这个系统的吞吐量可以表示为所有用户的可达速率之和，把式(7)求和，然后进行一系列的数学运算，可以得到以下的吞吐量表达式

${R_{{\rm{thr}}}} = \sum\limits_{k = 1}^K {{R_k}} = \tau {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\left. {1 + \displaystyle\frac{{\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{P_k}} |{h_k}{|^2}}}{{{N_0}}}} \right)} \right..$

(8)

2 具有鲁棒性的时间和功率优化算法

在本节中，研究基于WPCN的NOMA网络中不完美CSI的吞吐量最大化问题. 目的是要联合优化能量波束赋型向量 ${{w}}$ 、所有用户的发射功率 ${P_k}$ 和时间分配系数 $\tau $ 最大化系统的吞吐量. 最大化平均吞吐量的优化问题可以被表示为

$\mathop {\max }\limits_{\tau ,w,{{\{ {P_k}\} }_{k \in K}}} ({R_{{\rm{thr}}}}).$

(9a)

$\begin{array}{l} {\rm{s}}.{\rm{t}}.\\ 0 \le \tau \le 1; \end{array}$

(9b)

${\left\| w \right\|^2} \le {P_{\max }};$

(9c)

$\tau T{P_k} \le {E_k} = {\xi _k}(1 - \tau )Tg_k^{\rm{H}}w{w^{\rm{H}}}{g_k},\;k \in U;$

(9d)

${\rm{Pr}}\{ {\eta _k} \ge {r_k}\} \ge 1 - {p_{{\rm{out}},k}},k \in U.$

(9e)

其中，(9b)表示时间分配系数约束；(9c)表示能量基站最大发射功率约束；(9d)表示第一个时隙用户 $k$ 接收的能量必须大于用户在第二个时隙消耗的能量；(9e)表示用户 $k$ 的中断概率必须要低于系统所要求的中断概率 ${p_{{\rm{out}},k}}$ ^[16]，其中， ${\eta _k}$ 表示为用户 $k$ 的信干噪比(SINR)， ${r_k}$ 表示用户SINR的阈值.

根据公式(8)， ${R_{{\rm{thr}}}}$ 是一个关于 ${P_k}$ 的增函数，最优的 ${P_k}$ 是在式(5)取等时求得. 因此，最优的 ${P_k}$ 为

${P_k} = \frac{{{\xi _k}(1 - \tau ){{g}}_k^ {\rm{H}}{{w}}{{{w}}^ {\rm{H}}}{{{g}}_k}}}{\tau },k \in U.$

(10)

将式(10)插入到问题(9)中，并令 ${{X}} = {{w}}{{{w}}^ {\rm{H}}}$ ，问题(9)可以表示为

$\mathop {\max }\limits_{\tau, \mathit{\boldsymbol{X}} ≽ 0} \mathbb{E}\left[ {\tau {{\log }_2}\left({1 + \sum\limits_{k = 1}^K {{\beta _k}{\text{Tr}}\left({{\mathit{\boldsymbol{g}}_k}\mathit{\boldsymbol{g}}_k^{\text{H}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)} } \right)} \right].$

(11a)

$\begin{array}{l} {\rm{s}}.{\rm{t}}.\\ (9b),(9c); \end{array}$

(11b)

${\rm{Tr}}(X) \le {P_{{\rm{max}}}};$

(11c)

${\rm{Rank}}(X) = 1.$

(11d)

其中 ${\beta _k} = \displaystyle\frac{{(1 - \tau ){\xi _k}|{h_k}{|^2}}}{{\tau {N_0}}}$ . 目标函数(11a)很难找出一个准确的表达式，所以考虑优化它的上界，通过使用Jensen不等式找到目标函数(11a)的上界，优化目标函数的上界从而优化目标函数(11a). 因此，把以上的优化问题转化为：

$\mathop {\max }\limits_{\tau, \mathit{\boldsymbol{X}} ≽ 0} \tau {\log _2}\left({1 + \sum\limits_{k = 1}^K {{\beta _k}{\text{Tr}}\left[ {\left({{{\mathit{\boldsymbol{\bar g}}}_k}\mathit{\boldsymbol{\bar g}}_k^{\text{H}} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_k}} \right)\mathit{\boldsymbol{X}}} \right]} } \right).$

(12a)

$s.{\rm{t}}.({\rm{9b}}),({\rm{9c}}),({\rm{11c}}),({\rm{11d}}).$

(12b)

其中等式 $\mathbb{E} [(\tilde {{g}}_k+{{e}}_k)(\tilde {{g}}_k+{{e}}_k)^ {\rm{H}}]=\tilde {{g}}_k\tilde {{g}}_k^{\rm{H}}+{{C}}_k$ 被使用在目标函数中.

解决问题(12a)的挑战在于中断概率约束(9e)是一个非凸的形式且没有一个明确的闭式表达式,不能直接求解. 因此，接下来将考虑通过一个比较保守的方法^[23]把约束(9e)转化为凸的形式.

首先，用户 $k$ 的SINR可以表示为

${\eta _k} = \frac{{{\beta _k}{{g}}_k^{\rm{H}}{{X}}{{{g}}_k}}}{{1 + \displaystyle\sum\limits_{j = k + 1}^K {{\beta _j}} {{g}}_j^ {\rm{H}}{{X}}{{{g}}_j}}}.$

(13)

把式(13)代入约束(9e)，经过一系列的化简，(9e)可以表示为

${\rm{Pr}}\left\{ {\frac{{{\beta _k}}}{{{r_k}}}{{g}}_k^ {\rm{H}}{{X}}{{{g}}_k} - \sum\limits_{j = k + 1}^K {{\beta _j}} {{g}}_j^ {\rm{H}}{{X}}{{{g}}_j} \geqslant 1} \right\} \geqslant 1 - {p_{{\rm{out}},k}},k \in U.$

(14)

然后将式(1)代入式(14)，并令

${\tilde {{e}}_k} = {[{{e}}_k^ {\rm{H}},{{e}}_{k + 1}^ {\rm{H}}, \cdots ,{{e}}_K^ {\rm{H}}]^ {\rm{H}}},$

${\tilde {{g}}_k} = {[\bar {{g}}_k^ {\rm{H}},\bar {{g}}_{k + 1}^ {\rm{H}}, \cdots ,\bar {{g}}_K^ {\rm{H}}]^ {\rm{H}}},$

${\tilde {{X}}_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{{\beta _k}}}{{{r_k}}}{{X}}}&0& \cdots &0 \\ 0&{ - {\beta _{k + 1}}{{X}}}& \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & {\rm{}} & \vdots \\ 0& \cdots & \cdots &{ - {\beta _K}{{X}}} \end{array}} \right].$

经过一系列的化简，约束(14)可以表示为

$\begin{array}{l}{\rm{Pr}}\left\{ {\tilde {{e}}_k^ {\rm{H}}{{\tilde {{X}}}_k}{{\tilde {{e}}}_k} + 2 {\rm{Re}}\{ \tilde {{e}}_k^ {\rm{H}}{{\tilde {{X}}}_k}{{\tilde {{g}}}_k}\} + \tilde {{g}}_k^ {\rm{H}}{{\tilde {{X}}}_k}{{\tilde {{g}}}_k} \geqslant 1} \right\} \geqslant \\1 - {p_{{\rm{out}},k}},k \in U, \end{array}$

(15)

此外，令 ${{{e}}_k} = {{C}}_k^{1/2}{{{z}}_k}$ ，其中 ${{{z}}_k}\~\mathcal{C}\mathcal{N}(0,{{{I}}_N})$ ，然后令 ${\tilde {{z}}_k}$ 和 ${\tilde {{C}}_k}$ 的表达式分别如下：

${\tilde {{z}}_k} = {[{{z}}_k^ {\rm{H}},{{z}}_{k + 1}^ {\rm{H}}, \cdots ,{{z}}_K^ {\rm{H}}]^ {\rm{H}}},$

${\tilde {{C}}_k} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{C}}_k^{1/2}}&0& \cdots &0\\0&{{{C}}_{k + 1}^{1/2}}& \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & {\rm{}} & \vdots \\0& \cdots & \cdots &{{{C}}_K^{1/2}}\end{array}} \right].$

可以把约束(15)进一步地表示为

${\rm{Pr}}\left\{ {\tilde {{z}}_k^ {\rm{H}}{{{A}}_k}{{\tilde {{z}}}_k} + 2{\rm{Re}}\{ \tilde {{z}}_k^ {\rm{H}}{{{u}}_k}\} + {s_k} \geqslant 0} \right\} \geqslant 1 - {p_{{\rm{out}},k}},k \in U,$

(16)

其中，

${{{A}}_k} = {\tilde {{C}}_k}{\tilde {{X}}_k}{\tilde {{C}}_k},{{{u}}_k} = {\tilde {{C}}_k}{\tilde {{X}}_k}{\tilde {{g}}_k},s_k=\tilde {{g}}_k^ {\rm{H}}\tilde {{X}}_k \tilde {{g}}_k-1.$

现在，使用以下的引理，约束(16)可以被转化为凸表达式.

引理1 对于Hermitian矩阵 ${{A}} \in {\mathbb{C}^{N \times N}}$ ，复向量 ${{u}} \in {\mathbb{C}^{N \times 1}}$ 和标量 $s \in \mathbb{R}$ ，下面的概率不等式

${\rm{Pr}}\left\{ {{{x}}^{\rm{H}}{{{A}}}{{ {{x}}}} + 2{\rm{Re}}\{ {{x}}^{\rm{H}}{{{u}}}\} + {s_k}0} \right\}\geqslant 1 - \rho ,$

(17)

在随机变量 $x\sim {\mathcal {CN}}(0,{{I}}_N)$ 上等于以下的不等式

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{Tr}}({{A}}) - \sqrt { - 2\log (\rho )} {{w}} + \log (\rho )y + s \geqslant 0} ,\\ {\left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{vec}}({{A}})} \\ {\sqrt 2 {{u}}} \end{array}} \right]} \right\| \leqslant v} ,\\ {q{{{I}}_N} + {{A}} \succcurlyeq 0} .\end{array}} \right.$

(18)

其中 $v$ 和 $q$ 定义为松弛变量.

这个引理的证明可以在文献[17]中找到. 利用引理1和介绍的松弛变量 ${{v}} = {[{v_1}, \cdots ,{v_K}]^ {\rm{T}}}$ 和 ${{q}} = {[{q_1}, \cdots ,{q_K}]^ {\rm{T}}}$ ，可以用以下的表达式等价于约束(16)：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{Tr}}({{{A}}_k}) - \sqrt { - 2\log ({p_{{\rm{out}},k}})} {{{w}}_k} + \log ({p_{{\rm{out}},k}}){y_k} +} \\\qquad\quad{ \tilde {{g}}_k^ {\rm{H}}{{\tilde {{X}}}_k}{{\tilde {{g}}}_k} \geqslant 1,k \in U} ;\\ {\left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{vec}}({{{A}}_k})} \\ {\sqrt 2 {{{u}}_k}} \end{array}} \right]} \right\| \leqslant {v_k},k \in U} ;\\ {{q_k}{{{I}}_N} + {{{A}}_k} \succcurlyeq 0,k \in U.} \end{array}} \right.$

(19)

然后，再把问题(12)表示为

$\left\{\begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_{\tau ,{{X}} \succcurlyeq 0,{{v}},{{q}}} \tau {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \sum\limits_{k = 1}^K {{\beta _k}} {\rm{Tr}}\left[ {({{\bar {{g}}}_k}\bar {{g}}_k^ {\rm{H}} + {{{C}}_k}){{X}}} \right]} \right), \\ {\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. (9b), (11c), (11d), (19a)}}.\end{array}\right. $

(20)

把问题(20)转化成以下的嵌套形式，然后进行求解：

$ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_\tau \tau F(\tau ),\\ {\rm{s}}.{\rm{t}}.0\tau 1.\end{array} \right.$

(21)

其中

$\left\{\begin{array}{l}F(\tau ) = \mathop {\max }\limits_{{{X}} \succcurlyeq 0,{{v}},{{q}}} {\rm{ }}{\log _2}\left( {1 + \sum\limits_{k = 1}^K {{\beta _k}} {\rm{Tr}}\left[ {({{\bar {{g}}}_k}\bar {{g}}_k^ {\rm{H}} + {{{C}}_k})X} \right]} \right), \\ {\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. (11c), (11d), (19a)}} .\end{array} \right. $

(22)

通过使用半正定松弛的方法求解内层问题(22). 首先忽略秩一约束(11c)，把问题转化为一个松弛问题. 此松弛问题是一个标准的凸问题，可以使用内点法^[15]进行求解. 如果求解出问题(22)的松弛问题的解是秩一的，那么松弛问题的解为原问题(22)的解. 否则，利用高斯近似的方法把问题的解转化为可行的秩一解.

此时，外层问题(21)对应的是时间分配问题，通过优化 $\tau $ 求解，里层问题对应的能量波束赋型求解问题在给定的时间分配系数 $\tau $ 中求解. 因此，首先在给定的 $\tau \in [0,1]$ 的情况下，通过求解问题(22)，然后利用黄金搜索在 $[0,1]$ 区间内求解问题(21). 以下就是本文设计的算法：

1：while 使用黄金分割法求出问题(21)的最优时间分配系数 $\tau $

2：do

3：通过省略之约束(11d)构造(22)的松弛问题，然后使用内点法求解松弛中最优的 ${{X}}$

4：if ${\rm{Rank}}(X) = 1,$

　　 则 ${{X}} = {{x}}{{{x}}^ {\rm{H}}}$ ,能量波束赋型向量就是 ${{w}} = {{x}}$

5：else

6：使用高斯近似技术求解能量波束赋型向量 ${{w}}$ :生成随机样本 ${\varepsilon _i} \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{{X}}),$ ${\rm{ }}i = 1,\cdots,S,$ 然后缩放这些随机样本来满足问题(22)的约束，直到等于问题(22)吞吐量最大化所对应的样本.

7：end if

8：end while

9：使用(10)求解用户k的最优发射功率.

3 仿真结果与分析

本节通过计算机仿真验证本文提出的鲁棒性算法的性能，并将本文所提出的算法与非鲁棒性算法的性能作比较. 在仿真中，系统的能量基站配备 ${N_t} = 5$ 根天线，能量基站右侧有5个单天线用户，用户的右侧为信息接收机. 假设用户间的距离比较近，能量基站到信息接收机、能量基站到用户、用户到信息接收机的距离分别是 ${d_{{\rm{PI}}}}$ 、 ${d_{{\rm{PU}}}}$ 和 ${d_{{\rm{UI}}}}$ ，所以有 ${d_{{\rm{PI}}}} = {d_{{\rm{PU}}}} + {d_{{\rm{UI}}}}$ .

把无线能量传输和无线信息传输的信道增益建模为 ${10^{\^3}}d_{{\rm{PU}}}^{ - \alpha }$ 和 ${10^{\^3}}d_{{\rm{PU}}}^{ - \alpha }$ ，其中 $\alpha = 2$ 为路径损耗因子，信道的小尺度衰落为瑞利衰落， ${d_{{\rm{PU}}}}$ 和 ${d_{{\rm{UI}}}}$ 分别为3 m和7 m. 能量基站的最大发射功率为 $30\;{\rm{dBm}}$ . 用户 $k$ 的能量转换效率为 ${\xi _k} = 0.9$ ， $k \in U$ ，噪声功率为 $ - 110\;{\rm{dBm}}$ . 系统的用户数量为 $K = 2$ . 用户的CSI误差协方差矩阵为 ${{{C}}_k} = {\sigma ^2}{{{I}}_N}$ ，其中 ${\sigma ^2}$ 为CSI的错误协方差系数.

图1显示了当CSI的错误协方差系数 ${\sigma ^2}$ 为0、0.025、0.05时，本文算法所取得的吞吐量性能随系统所要求用户中断概率变化的趋势. 可以看出系统吞吐量是随用户中断概率阈值增大而增大. 这是因为用户中断概率越大，表示对系统的约束越松，所以算法有更多的自由度去提高吞吐量. 值得一提的是，当 ${\sigma ^2} = 0$ 时，系统的吞吐量不会受用户中断概率约束影响，这是因为此时的CSI是完美的，用户没有因为CSI误差而产生通信中断，因此中断概率约束对算法的吞吐量没有影响.

图2是本文算法随不同协方差系数变化的情况，把本文的具有鲁棒性算法与非鲁棒性的算法进行对比，非鲁棒性的算法是把不完美CSI当作完美CSI^[14]，联合优化时间系数和功率分配使得吞吐量最大化. 显而易见本文提出的鲁棒性算法明显优于非鲁棒性的算法. 同时，系统的吞吐量随错误协方差系数增大而减少.

4 结语

本文针对不完美CSI的情况，研究基于无线供电的非正交多址接入网络的资源分配问题，联合优化基站发射功率、用户发射功率、能量和信息传输时间分配系数，提出具有鲁棒性的吞吐量最大化算法. 仿真结果表明，所提的算法在系统吞吐量性能上要优于非鲁棒性算法.