广东工业大学学报  2018, Vol. 35Issue (6): 24-30.  DOI: 10.12052/gdutxb.180081.
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引用本文 

张国英, 姜浩, 张涛, 肖才, 刘冠峰, 肖晓兰, 骆少明. 三自由度类球面并联机构的动力学建模及分析[J]. 广东工业大学学报, 2018, 35(6): 24-30. DOI: 10.12052/gdutxb.180081.
Zhang Guo-ying, Jiang Hao, Zhang Tao, Xiao Cai, Liu Guan-feng, Xiao Xiao-lan, Luo Shao-ming. Dynamic Modeling and Analysis of 3-DOF Spheroid Parallel Mechanism[J]. JOURNAL OF GUANGDONG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, 2018, 35(6): 24-30. DOI: 10.12052/gdutxb.180081.

基金项目:

广东省联合基金重点项目(U1401240);国家国际科技合作专项(2015DFA11700)

作者简介:

张国英(1980–),女,讲师,博士研究生,主要研究方向为机器人机构学与运动控制。

通信作者

刘冠峰(1975–),男,教授,博士,博士生导师,主要研究方向为机器人操作理论与运动规划、机构分析及设计、机器人操作系统. E-mail: inrobot.liu.gf@gmail.com

文章历史

收稿日期:2018-05-22
三自由度类球面并联机构的动力学建模及分析
张国英1, 姜浩1, 张涛1, 肖才1, 刘冠峰1, 肖晓兰1, 骆少明2     
1. 广东工业大学 机电工程学院,广东 广州  510006;
2. 仲恺农业工程学院 机电工程学院,广东 广州  510225
摘要: 提出一种可应用于电子装配领域的三自由度(2R1T, R表示旋转, T表示平移)类球面并联机构. 该机构由上下2个等半径的动、定平台通过3个相同的RSR(R表示转动副, S表示球关节)支链连接而成. 在运动过程中, 动平台与定平台始终关于一个中间平面对称, 且动平台可绕着对称面内的任意轴线连续旋转和沿着两平台中心连线方向连续平移. 基于机构特殊的几何对称性, 建立了其等效运动学模型, 在此基础上运用Lagrange方法建立了机构的动力学模型, 并通过具体的运动算例, 利用Mathematica计算和ADAMS(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems, 机械系统动力学自动分析)仿真验证了该动力学模型的正确性和有效性, 为进一步研究机构的动态特性及系统运动控制提供理论指导.
关键词: 并联机构    Lagrange方法    动力学    
Dynamic Modeling and Analysis of 3-DOF Spheroid Parallel Mechanism
Zhang Guo-ying1, Jiang Hao1, Zhang Tao1, Xiao Cai1, Liu Guan-feng1, Xiao Xiao-lan1, Luo Shao-ming2     
1. School of Electromechanical Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China;
2. School of Electromechanical Engineering, Zhongkai University of Agriculture and Engineering, Guangzhou 510225, China
Abstract: A three-degree-of-freedom (2R1T, R denotes rotation, T denotes translation) spheroid parallel mechanism that can be applied in the field of electronic assembly is proposed. The mechanism is composed of two equal-radius moving platform and base which are connected by three identical RSR (R denotes rotational pair, S denotes spherical pair) branches. The moving platform and the base are always symmetrical about a middle plane during the movement, and the moving platform can rotate around any lines within the plane of symmetry and translate along the center line of the two platforms. Based on the special geometric symmetry of the mechanism, its equivalent kinematics model was established. Then the dynamic model of the mechanism was established by using the Lagrange method. Through specific motion examples, the dynamics were validated using Mathematica calculations and ADAMS (Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems) simulations. The correctness and validity of the learning model provide theoretical guidance for further research on the dynamic characteristics of the mechanism and system motion control.
Key words: parallel mechanism    Lagrange method    dynamic    

少自由度并联机构相对于串联机构,具有高速、高精、大刚度和无累积误差等优势,在搬运、测试、装配等自动化等领域中有着广泛的应用. 其中,常见的一类2自由度(2R,R表示旋转)类型的并联机构以其构型对称和半球内无奇异自由转动等优点,吸引了国内外众多学者的关注和研究[1-5]. 随着新的应用的不断涌现,相应地带来了新的技术难点. 例如电子行业中某些异型件的装配需要将元器件调整空间姿态后迅速插入到指定的位置,这就要求机构至少具备2旋转和1平移3个自由度.

文献[6]采用构型演变法提出了一种可应用于电子装配领域的三自由度(2R1T)类球面并联腕部机构,该机构由上下2个等半径的动、定平台通过3个相同的RSR支链连接而成. 在运动过程中,动平台与定平台始终关于一个中间平面对称,且末端可绕着对称面内的任意轴线连续旋转和沿着两平台中心连线方向连续平移,该机构不仅具有上面2自由度并联机构半球内无奇异自由运动的优点,还能实现单自由度平移(旋转)和三自由度混合运动. Duan等[7]研究了一种具有相同几何特征不同构型的3-RSR并联机构的瞬轴面和瞬时运动特性,为该类机构的运动仿真提供了较为直观的认识. 对于这类3-RSR并联机构的运动控制,如果仅采用运动学方法,虽然可以实现一些既定的运动轨迹,但相对于动力学控制更消耗能量,响应速度更慢. 因此有必要对其进行动力学建模和分析.

目前,进行机器人动力学研究较为成熟的方法有:Newton-Euler法、虚功原理和Lagrange法等[8-9]. DC Carp-Ciocardia等[10]基于虚功原理对Clavel的三自由度Delta并联机器人进行了逆动力学研究;Shiau T N等[11]采用牛顿欧拉法对一种3-PRS并联机构进行了非线性动力学研究,重点分析了机构的关节灵巧性、间隙和摩擦对动力学动态响应的影响;CHEN等[12]基于Lagrange法对一种2-DOF类球面并联转台进行了动力学建模和分析. 通过文献了解到Newton-Euler法易于形成递推形式的动力学方程,但计算量大,容易出错. 虚功原理法在处理受理想约束的力学平衡问题时,其坐标系的选择是有条件的. 相比之下,Lagrange法推导较为简便,并且总能得到形式较为简洁的动力学方程,既能用于并联机构的动力学控制,又可以清楚地表示出各构件之间的耦合关系[13].

本文在文献[7]的基础上,采用Lagrange法建立了机构的动力学模型,结合理论计算和仿真实例,对比分析了机构末端不同运动轨迹下驱动力矩的变化规律,验证了动力学模型的正确性和有效性.

1 机构描述

3-RSR并联机构由等半径的动平台和定平台以及3个相同的支链组成. 在初始位形下,机构构型结构简图如图1所示.

图 1 3-RSR结构简图 Figure 1 Schematic diagram of 3-RSR mechanism

3个支链呈120°均匀分布于基座和动平台之间. 与基座相连的转动副(即驱动副)记为 ${B_i}$ ,它们的轴线相交于基座中心点 ${O_1}$ ,与动平台相连的运动副记为 ${D_i}$ ,它们的轴线相交于动平台中心点 ${O_2}$ ;每条支链上的球关节记为 ${S_i}$ ,其空间布置为:每条支链中的球关节中心与基座中心的连线始终垂直于驱动副的轴线,即 ${O_1}{S_i} \bot {O_1}{B_i}$ , $i = 1,2,3$ ,垂足为 ${O_1}$ ,球关节中心与动平台中心的连线也始终垂直于与之相连的转动副轴线,即 ${O_2}{S_i} \bot {O_2}{D_i}$ $i = 1,2,3$ ,垂足为 ${O_2}$ . 每个支链中连接各运动副的连杆长度相等, ${B_i}{S_i}$ ${S_i}{D_i}$ 分别为支链上的主动杆和从动杆. 各球关节中心的连线组成平面 $P$ ,其特点是在运动过程中动、定平台始终关于此平面对称. 该机构可以实现绕平面 $P$ 上的任意直线连续转动和沿 $\overrightarrow {{O_1}{O_2}} $ 方向连续平移.

由于该机构是由Omni-Wrist V演变而来[14],机构的3个支链之所以都采用弯曲结构的杆件,有两方面的原因:(1) 为了装配的需要,弯曲杆件可以实现一种类似Omni-Wrist V的异侧装配. 本文选择了同侧装配的原因请参见文献[15];(2) 为了保证支链上的球关节与两平台中心的连线始终垂直于上下两个转动副的轴线,在设计时需要对球关节的位置做一定的偏移,这个偏移量刚好是动平台或者定平台的半径,因此需要将杆件设计成弯曲的形状,这样的设计对后文运动学等效建模提供了便利.

2 机构运动学分析

利用机构几何上的特殊性,可对其作如下等效处理:将各支链中与基座铰链的关节平移至中心 ${O_1}$ 处,与动平台铰链的关节平移至中心 ${O_2}$ 处,如图2所示,简化后的运动学模型为一个六面体 ${O_1}{S_1}{S_2}{S_3}{O_2}$ . 在 ${O_1}$ 点处建立参考坐标系 ${O_1}XYZ$ ,选取过旋转副 ${B_3}$ 的轴线为 ${O_1}Y$ 轴正向, ${O_1}Z$ 轴垂直于定平台朝上, ${O_1}X$ 轴按右手法则确定. 在动平台中心 ${O_2}$ 处建立动坐标系 ${O_2}xyz$ ,坐标轴定义规则与参考坐标系相同.

图 2 旋转 ${\theta _1}$ 角后的等效运动学模型 Figure 2 Equivalent kinematic model after rotating by ${\theta _1}$

球关节 ${S_i}$ 的位置由驱动副的转角 ${\theta _{ia}},(i = $ $ 1,2,3)$ ${\bf{O}}{{\bf{S}}_i}$ 的长度 $L$ 决定, ${\bf{O}}{{\bf{S}}_i} = {{{T}}_i}{\left[ { - Lc{\theta _{ia}}0Ls{\theta _{ia}}} \right]^\prime }$ ,其中, ${{{T}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {c{\beta _i}}&{ - s{\beta _i}}&0 \\ {s{\beta _i}}&{c{\beta _i}}&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]$ ${\;\beta _i} = \displaystyle\frac{{(6 - 2i){\text{π}} }}{3},i = 1,2,3$ . ${{{T}}_i}$ 表示 ${B_i}$ 关节轴线绕 ${O_1}Z$ 轴旋转 ${\beta _i}$ 角的变换矩阵; $c$ $s$ 分别表示余弦函数和正弦函数,下标为其变量(角度).

当动平台绕对称面内过点 $Q$ 的任意直线旋转 ${\theta _1}$ 角度后,动平台中心由 ${O_2}$ 转至 $O_2^\prime $ ,动坐标系也相应地转至 $O_2^\prime x'y'z'$ ${O_2}^\prime $ ${O_1}$ 关于新的平面 ${S_1}{S_2}{S_3}$ 对称, $O_2^\prime {O_1}$ 与平面 ${S_1}{S_2}{S_3}$ 交于点 $M$ $M$ 即为线段 $O_2^\prime {O_1}$ 的中点,且 $O_2^\prime {O_1} \bot \vartriangle {S_1}{S_2}{S_3}$ ,所以 $O_2^\prime {O_1} \bot MQ$ , $\vartriangle Q O_2^\prime {O_1}$ 为等腰三角形, $\angle O_2^\prime {O_1}Q = {\theta _1}/2$ . 设点 ${O_2}^\prime $ 在参考坐标系下的位姿可由 $({X_p},{Y_p},{Z_p},{\theta _1},{\theta _2})$ 表示,其中前3个参数表示动平台位置,偏转角 ${\theta _1}$ 为动平台新的 $z'$ 轴与 ${O_1}Z$ 轴的夹角,方位角 ${\theta _2}$ $z'$ 轴在 ${O_1}XY$ 平面上的投影与 $X$ 轴的夹角.

对称面方程 $ax + by + cz + d = 0$ 由各球关节的位置坐标决定,满足式(1):

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{S_1}(x)}&{{S_1}(y)}&{{S_1}(z)}&1 \\ {{S_2}(x)}&{{S_2}(y)}&{{S_2}(z)}&1 \\ {{S_3}(x)}&{{S_3}(y)}&{{S_3}(z)}&1 \\ x&y&z&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a \\ b \\ c \\ d \end{array}} \right] = 0.$ (1)

根据点关于平面对称点的求解原理,容易得到 ${X_p} = - 2ad/A,{Y_p} = - 2bd/A,{Z_p} = - 2cd/A$ . 其中 $A = {a^2} + $ $ {b^2} + {c^2}$ . 进一步展开即可获得机构的运动学正解:

$\left\{ \begin{array}{l}{X_p} = \displaystyle\frac{{ - 6L{k_1}{k_4}}}{{{k_2}^2 + 3{k_3}^2 + 3{k_4}^2}},\\{Y_p} = \displaystyle\frac{{ - 2\sqrt 3 L{k_1}{k_2}}}{{{k_2}^2 + 3{k_3}^2 + 3{k_4}^2}},\\{Z_p} = \displaystyle\frac{{6L{k_1}{k_3}}}{{{k_2}^2 + 3{k_3}^2 + 3{k_4}^2}},\end{array} \right.$ (2)

其中,

$\left\{\!\! {\begin{array}{*{20}{l}}{{k_1} = {c_1}{c_3}{s_2} + {c_2}{s_{13}},}\\{{k_2} = 2{c_3}\left( {{s_1} - {s_2}} \right) + {c_2}\left( {{s_1} - {s_3}} \right) + {c_1}\left( {{s_3} - {s_2}} \right),}\\{{k_3} = {c_2}{c_3} + {c_1}\left( {{c_2} + {c_3}} \right),}\\{{k_4} = {s_{12}} - {s_3}({c_1} + {c_2}),}\end{array}} \right.$

${{{s}}_{{i}}}$ 表示 ${\sin}{\theta _{ia}}$ ${{{c}}_{{i}}}$ 表示 ${\cos}{\theta _{ia}}$ ${{{s}}_{12}}$ 表示 ${\sin(}{\theta _{1a}} + {\theta _{2a}})$ ${{{s}}_{13}}$ 表示 ${\sin(}{\theta _{1a}} + {\theta _{3a}})$ ,以上符号简写均适用于后文.

在参考坐标系下很容易推导动平台的位置坐标 ${X_p},{Y_p},{Z_p}$ 与其姿态角 ${\theta _1},{\theta _2}$ 之间存在以下关系:

$\left( {{X_p},{Y_p},{Z_p}} \right){\rm{ = }}\left( {l{s_{{\theta _1}/2}}{c_{{\theta _2}}},l{s_{{\theta _1}/2}}{s_{{\theta _2}}},l{c_{{\theta _1}/2}}} \right)$ ,其中 $l$ 为两平台中心连线的长度,即 $l = \sqrt {{X_p}^2 + {Y_p}^2 + {Z_p}^2} $ . 由于本文重点研究机构的动力学建模及其计算和仿真,其运动学详细分析可参阅文献[6].

3 机构的简化动力学建模

动力学建模问题在机器人动力学性能分析和实际运动控制中占有重要的地位. 本文采用拉格朗日法建立3-RSR并联机构的动力学模型,在对模型精度影响较小的情况下对该机构做了如下简化和假设:

(1) 无关节摩擦和间隙;

(2) 将曲形的主、从动杆视为直杆;

(3) 考虑到从动杆对本机构的动力学建模不起主导作用,将每根从动杆的质量平均分为两部分,集中于两点,一个是球关节处,另一个是动平台的中心点.

3.1 系统的动能求解

主动杆的动能应为主动杆自身的动能加上从动杆质量分配到主动杆上的动能. 沿用前面的参考系 ${O_1}XYZ$ ,动坐标系 ${O_2}{{xyz}}$ . 质量的重新分配将带来杆件质心的重新测量. 工程上,杆件的质心测试尚未有统一的标准和规范. 主要测试方法有几何作图法、零位法、悬挂法、摇摆法、质量反应法、平台支撑反力法、配平法[16]. 这些方法均建立在物体平衡状态时所受的合力或者合力矩为零的原理上. 本机构主动杆质心以合力矩为零的原理确定,在不作特别说明的情况下,后文所述的主动杆均为质量重新分配后的等效主动杆,简称主动杆.

设从动杆质量被平均分配到主动杆和动平台后,主动杆质心②相对于原质心①偏移的距离为x,如图3所示.

图 3 主动杆质心位置 Figure 3 Center-of-mass position for master link

利用力矩平衡原理: ${m_a}gx - \displaystyle\frac{1}{2}{m_s}g\left(\displaystyle\frac{L}{2} - x\right) = 0$ . 重新分配质量后主动杆的质心为

${l_c} = x + \frac{1}{2}L = \frac{{{m_a} + {m_s}}}{{2{m_a} + {m_s}}}L.$ (3)

式(3)中, ${m_a}$ 为主动杆质量, ${m_s}$ 为从动杆质量, $L$ 为主动杆的长度(等效杆长). 每个主动杆的质心位置 ${\mathbb{C}_i} = {{{T}}_i}{\left[ { - {l_c}c{\theta _{ia}}{\rm{ }}0{\rm{ }}{l_c}s{\theta _{ia}}} \right]^\prime }$ ,这里的 ${{{T}}_i}$ 见上文. 接下来计算主动杆的总动能.

$i$ 个主动杆的动能 ${E_{ki}}$ 可以表示为

${E_{ki}} = \frac{1}{2}{m_i}{v_i}^{\rm{T}}{v_i} + \frac{1}{2}{w_i}^{\rm{T}}{J_i}{w_i},(i = 1,2,3).$ (4)

式(4)中,第1项是由杆件质心线速度 ${v_i}$ 产生的动能,第2项是由杆件质心的角速度 ${w_i}$ 产生的动能. ${m_i} = {m_a} + {m_s}/2,(i = 1,2,3)$ ${v_i}$ ${w_i}$ 分别为 ${\theta _{ia}}$ ${\dot \theta _{ia}}$ 的函数. 因此主动杆的总动能为

${E_a} = \sum\limits_{i = 1}^3 {{E_{ki}}} = \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{1}{2}{m_i}{{\dot {\mathbb{C}}}_i}^{\rm{T}}{{\dot {\mathbb{C}}}_i} + \frac{1}{2}{{\dot \theta }_{ia}}^{\rm{T}}{J_i}} {\dot \theta _{ia}}.$ (5)

其中 ${J_i}$ 为原主动杆自身的转动惯量加上从动杆分配过来的转动惯量:

${J_i} = \frac{1}{3}{m_a}{L^2} + \frac{1}{2}{m_s}{L^2}.$ (6)

下面求解动平台的动能 ${E_m}$ .

${E_m} = \frac{1}{2}{m_j}{v_m}^2 + \frac{1}{2}{J_m}{w_m^2}.$ (7)

式(7)中, ${m_j}$ 为动平台的等效质量,即 ${m_j} = {m_m} + $ $ 3{m_s}/2$ ${m_m}$ 为动平台自身的质量. ${{{v}}_m}$ 为动平台线速度, ${J_m}$ 为动平台转动惯量, ${w_m}$ 为动平台角速度,下面分别求 ${{{v}}_m}$ ${J_m}$ ${w_m}$ .

根据运动学分析,很容易得到:

${{{v}}_m}{\rm{ = }}\left[ {{{\dot X}_p},{{\dot Y}_p},{{\dot Z}_p}} \right].$ (8)

动平台的转动惯量公式为

${{{J}}_m} = {{R}}{J_0}{{{R}}^{\rm{T}}},$ (9)

其中 ${{{J}}_m} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{mx}}}&{{J_{mxy}}}&{{J_{mxz}}} \\ {{J_{mxy}}}&{{J_{my}}}&{{J_{myz}}} \\ {{J_{mxz}}}&{{J_{myz}}}&{{J_{mz}}} \end{array}}\!\!\! \right]$ ${J_0} = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{xx}}}&0&0 \\ 0&{{J_{yy}}}&0 \\ 0&0&{{J_{zz}}} \end{array}}\!\!\! \right]$ ${J_{xx}} = \displaystyle\frac{1}{2}{m_m}{r^2} + \displaystyle\frac{3}{4}{m_s}{r^2}$ ${J_{yy}} = \displaystyle\frac{1}{2}{m_m}{r^2} + \displaystyle\frac{3}{4}{m_s}{r^2}$ ${J_{zz}} = {m_m}{r^2} + $ $ \displaystyle\frac{3}{2}{m_s}{r^2}$ ${{R}}$ 为动坐标系相对参考系的旋转矩阵,设 ${{R}} = {\left[ {{{U}},{{V}},{{W}}} \right]^{\rm{T}}}$ ,各分量表示动坐标系单位矢量轴在参考系单位方向上的投影,即

$\left\{ \begin{array}{l}{{V}} = {\rm Unit}\left( {\overrightarrow {{{{O}}_2}{{{D}}_3}} } \right)\\ \quad= \left[ {\displaystyle\frac{{{X_{{D_3}}} - {X_p}}}{r}\;,\displaystyle\frac{{{Y_{{D_3}}} - {Y_p}}}{r}\;,\displaystyle\frac{{{Z_{{D_3}}} - {Z_p}}}{r}} \right];\\{{W}} = \displaystyle\frac{{\overrightarrow {{{{O}}_2}{{{D}}_3}} \times \overrightarrow {{{{O}}_2}{{{D}}_2}} }}{{\left\| {\overrightarrow {{{{O}}_2}{{{D}}_3}} \times \overrightarrow {{{{O}}_2}{{{D}}_2}} } \right\|}};\\{{U}} = {{V}} \times {{W}}.\end{array} \right.$ (10)

式(10)中, $\left[ {{X_{{D_i}}},{Y_{{D_i}}},{Z_{{D_i}}}} \right],\left( {i = 1,2,3} \right)$ 为动平台上3个转动副在参考系下的位置,可根据点关于平面对称点的求解原理获得. $r$ 为动平台半径. 将 ${{R}}$ ${{{J}}_0}$ 代入到式(9)中可知各分量为

$\left\{ \begin{array}{l}{J_{mx}} = {J_{xx}}{U_x}^2 + {J_{yy}}{V_x}^2 + {J_{zz}}{W_x}^2;\\{J_{my}} = {J_{xx}}{U_y}^2 + {J_{yy}}{V_y}^2 + {J_{zz}}{W_y}^2;\\{J_{mz}} = {J_{xx}}{U_z}^2 + {J_{yy}}{V_z}^2 + {J_{zz}}{W_z}^2;\\{J_{mxy}} = {J_{xx}}{U_x}{U_y} + {J_{yy}}{V_x}{V_y} + {J_{zz}}{W_x}{W_y};\\{J_{mxz}} = {J_{xx}}{U_x}{U_z} + {J_{yy}}{V_x}{V_z} + {J_{zz}}{W_x}{W_z};\\{J_{myz}} = {J_{xx}}{U_y}{U_z} + {J_{yy}}{V_y}{V_z} + {J_{zz}}{W_y}{W_z}.\end{array} \right.$

动平台相对于参考系的角速度矩阵可表示为[17]

${{\hat{ w}}_m} = {\dot{ R}}{{{R}}^{\rm{T}}},$ (11)

其中 ${\hat {{w}}_m} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {w_z}}&{{w_y}} \\ {{w_z}}&0&{ - {w_x}} \\ { - {w_y}}&{{w_x}}&0 \end{array}} \right]$ ,对应角速度分量为 ${w_x} = {\dot U_z}{U_y} + {\dot V_z}{V_y} + {\dot W_z}{W_y}$ ${w_y} = {\dot U_x}{U_z} + {\dot V_x}{V_z} + {\dot W_x}{W_z}$ ${w_z} = {\dot U_y}{U_x} + {\dot V_y}{V_x} + {\dot W_y}{W_x}$ . 至此可得系统的总动能为

${E_k} = {E_a} + {E_m}.$ (12)
3.2 系统的势能求解

势能的大小与选取的零势能面有关,对于本机构,规定参考系 ${O_1}XY$ 平面为零势能面,第 $i$ 个主动杆的势能 ${u_i}$ 可表示为

${u_i} = - {m_i}g{\mathbb{C}_i}\left( z \right),\left( {i = 1,2,3} \right),$ (13)

其中, $g$ 是重力矢量, ${\mathbb{C}_i}\left( z \right)$ 为第 ${{i}}$ 个主动杆质心坐标的 ${{z}}$ 值,因此主动杆总势能为

${u_a} = \sum\limits_{i = 1}^3 {{u_i}}. $ (14)

动平台的势能可表示为

${u_m} = - {m_j}g{Z_p}.$ (15)

根据所有构件的势能表达式,可得系统的总势能为

${E_p} = {u_a} + {u_m}.$ (16)
3.3 机构的动力学方程

基于Lagrange法的并联机构动力学方程可表示为

$\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\text{∂} L}}{{\text{∂} \dot \theta }} - \frac{{\text{∂} L}}{{\text{∂} \theta }} = \tau ,$ (17)

式(17)中, $L$ 为拉格朗日算子,表达式为: $L = {E_{{k}}} - {E_p}$ . 根据复合函数的链式求导法则,并考虑到机构的 ${E_{{p}}}$ 中不包含 $\dot \theta $ 项,式(16)可展开为

${\tau _i} = \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\frac{{\text{∂} {E_k}}}{{\text{∂} {{\dot \theta }_i}}} - \frac{{\text{∂} {E_k}}}{{\text{∂} {\theta _i}}} + \frac{{\text{∂} {E_p}}}{{\text{∂} {\theta _i}}},\left( {i = 1,2,3} \right).$ (18)
4 算例分析

结合并联机构样机(见图4),通过Mathematica软件计算与ADAMS运动仿真对动力学模型进行验证. 机构参数如表1所示.

图 4 机构样机图 Figure 4 Prototype of mechanism
表 1 并联机构样机参数表 Table 1 Parameters of prototype of mechanism

对4种不同的运动情形分别进行计算与仿真:

(1) 单自由度平移. 即沿 $\overrightarrow {{O_1}{O_2}} $ 方向作纯平移运动. 定义动平台的运动轨迹为

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0;\\y = 0;\\z = 0.085 + 0.082t.\end{array} \right.$

(2) 单自由度旋转. 如:固定关节 ${S_1},{S_2}$ ,让 ${S_3}$ 自由运动. 定义动平台的运动轨迹为

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0.042t - 0.002;\\y = 0;\\z = 0.02t + 0.085.\end{array} \right.$

(3) 先单自由度旋转一定角度后再在该姿态下沿两平台中心连线方向做单自由度平移运动. 定义动平台的运动轨迹为

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0.4{t^4} - 0.71{t^3} + 0.28{t^3} + 0.11t - 0.001;\\{{y = }}0;\\z = - 0.23{t^4} + 0.54{t^3} - 0.42{t^2} + 0.15t + 0.085.\end{array} \right.$

(4) 多自由度运动(旋转的同时进行平移). 固定关节 ${S_1}$ ,让 ${S_2},{S_3}$ 自由运动. 定义动平台的运动轨迹为

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 0.005{t^3} + 0.005{t^2} + 0.002t;\\y = 0.006{t^3} - 0.024{t^2} - 0.022t;\\z = - 0.005{t^3} - 0.02{t^2} + 0.09t + 0.085.\end{array} \right.$

上述4种运动轨迹中的时间取值范围为t∈[0,1]。根据式(9)~(18)可计算出机构末端在4种运动情形下力矩 ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ 的变化,并将其与ADAMS动力学仿真软件的仿真结果进行对比,结果如图5~8所示.

图 5 平移时 ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ 仿真值和计算值对比 Figure 5 Comparison of simulation and calculation results of the torque ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ whenonly translation
图 6 旋转时 ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ 仿真值和计算值对比 Figure 6 Comparison of simulation and calculation results of the torque ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ when only rotation
图 7 先旋转后平移时 ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ 仿真值和计算值对比 Figure 7 Comparison of simulation and calculation results of the torque ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ when rotationfirst then translation
图 8 混合运动时 ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ 仿真值和计算值对比 Figure 8 Comparison of simulation and calculation results of the torque ${\tau _1},{\tau _2},{\tau _3}$ when compound motion

4种运动情形下,驱动力矩的理论值与仿真值之间的误差对比如表2所示.

表 2 力矩的计算值和仿真值误差比较 Table 2 Comparison of the torque error between calculation and simulation N·m

综合以上分析知,使用该模型计算和仿真出来的力矩值都有着相同的变化趋势和一定程度上的吻合. 通过表2的误差对比可观察到机构在第(1)、(2)、(4)种运动情形下的力矩仿真值与计算值之间的误差均能控制在0.1%~0.3%以内,只有第(3)种运动情形下的仿真值与计算值的误差在0.7%~6.9%以内,图(7)中很明显地显示出仿真时的启动力矩较大,机构运动到第0.4秒时,机构从转动过渡到平移力矩的变化值也较大,出现这种结果的原因可能与仿真过程中连续运动轨迹的插补步长和电机角度的初始值设定有关,因此后期有必要对此种情形的运动仿真进行优化. 整体而言,通过以上算例仿真与计算,可验证模型的准确性和有效性,还可为电机的选型提供理论依据.

5 结论

(1) 利用力矩平衡原理计算了简化模型的质心,推导了3-RSR并联机构系统的动能表达式和势能表达式,角速度矩阵和旋转矩阵之间的关系.

(2) 应用拉法格朗日法建立了并联机构的刚体动力学模型,为并联机构驱动力的求解和整个机构的动力学分析奠定了基础. 结合算例验证了理论模型的准确性和可行性.

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