视网膜居于眼球壁的内层，是一层透明的薄膜. 它由色素上皮层和视网膜感觉层组成，色素上皮层与脉络膜紧密相连，具有支持和营养光感受器细胞、遮光、散热以及再生和修复等作用，是检测视觉信息的视觉组织. 视网膜的能量供给需要眼部组织有最高的氧消耗率，作为最大的无血管收集组织，玻璃体、晶状体和角膜满足了视网膜的能量供给需求. 而这些组织的完整性取决于分子氧对细胞有机基质氧化时产生能量的不断消耗. 若要了解视网膜，全面了解氧的浓度变化对视网膜的影响是必要的^[1-2]. 当人类视网膜上的氧分布还没有被测量时，人们测量了各种哺乳动物的视网膜氧分布，其中包括白鼠、兔子和猴子等. 学者发现在黑暗的环境下感光器消耗氧气的速度是在光照条件下消耗氧气的两倍^[3-7]. 在黑暗环境下氧分布减少，即视网膜在黑暗环境下更容易缺氧. 无论是限制氧化代谢还是增加活性氧产生方面，缺氧均对细胞有害，表现为破坏氧化还原电位，导致氧化应激和损伤等^[8]. 例如，大多数视网膜失明是一种与血管成分有关的疾病，而中断视网膜内氧供应是该疾病产生的关键因素；又如，视网膜循环障碍引起组织缺氧，造成血管增生，从而导致糖尿病视网膜病和早产儿视网膜病^[9]. 故研究视网膜的氧分布对人体健康很有必要. 而在视网膜组织中，脑红蛋白有运输和存储氧气的作用，可以增加氧摄取和预防缺氧. 因此，深入研究视网膜中氧分布及脑红蛋白在此过程的具体作用有非常重要的现实意义.

D. Y. Yu和 S. J. Cringle等学者^[10-11]于2002年提出过一系列关于视网膜氧分布的数学模型，模型假设氧浓度处于稳态，并且呈现在跨越视网膜的宽度的沿径向的一维结构域上，即每个模型层的吸氧速率是恒定的. 2016年，P. A. Roberts, E. A. Gaffney及P. J. Luthert等学者^[12]认为视网膜结构遵循一定的数学规律，在一维中可表述为偏微分方程模型，从而提出了一个全新的视网膜氧分布与脑红蛋白作用的模型，在该模型中，P. A. Roberts等学者进行了数值模拟，对数值解进行渐近分析. 具体模型如下：

$\frac{{\text{∂} c}}{{\text{∂} t}} = \frac{{{\text{∂} ^2}c}}{{\text{∂} {x^2}}} - \frac{{Qc}}{{\gamma + c}} + {k_2}v - {k_1}nc, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(1)

$c\left( {0,t} \right) = {c_c}, \; \frac{{\text{∂} c}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(2)

$c\left( {x,0} \right) = {c_0}\left( x \right),$

(3)

$\frac{{\text{∂} n}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}n}}{{\text{∂} {x^2}}} + {k_4}u + \alpha {k_2}v - {k_3}n - \alpha {k_1}nc, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(4)

$\frac{{\text{∂} n}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} n}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(5)

$n\left( {x,0} \right) = {n_0}\left( x \right),$

(6)

$\frac{{\text{∂}u}}{{\text{∂}t}} = D\frac{{{\text{∂}^2}u}}{{\text{∂}{x^2}}} + {k_3}n - {k_4}u, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(7)

$\frac{{\text{∂} u}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} u}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(8)

$u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right),$

(9)

$\frac{{\text{∂} v}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}v}}{{\text{∂} {x^2}}} + \alpha {k_1}nc - \alpha {k_2}v, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(10)

$\frac{{\text{∂} v}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} v}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(11)

$v\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right).$

(12)

其中， $c\left( {x,t} \right)$ 、 $n\left( {x,t} \right)$ 、 $u\left( {x,t} \right)$ 、 $v\left( {x,t} \right)$ 分别表示氧气、 $Ngb$ （脑红蛋白）、 $Ngb - His$ （脑红蛋白与组氨酸）以及 $Ngb - {{\rm{O}}_2}$ （脑红蛋白与氧气）的质量浓度. $Q$ 表示视网膜组织最大摄氧量， $\gamma $ 表示缺氧阈值（区域中氧浓度低于此值被认为是缺氧）， ${c_c}$ 表示脉络膜毛细血管层的氧浓度， $\alpha , \; {k_1}, \; {k_2}, \; {k_3}, \; {k_4}$ 为常数.

参考文献[13-19]的方法，拟对文献[12]中的模型进行严格的数学分析，再根据生物学和医学原理，本文做出以下假设：

(a) $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$ （其中 $\alpha $ 表示的是脉络膜毛细血管层的氧浓度与视网膜处 $Ngb$ 的平均浓度的比值）；

(b) ${c_0}\left( x \right)$ ， ${n_0}\left( x \right)$ ， ${u_0}\left( x \right)$ ， ${v_0}\left( x \right) \in {D_p}\left( {0,L} \right),$ ，且 ${c_0}\left( x \right)$ ， ${n_0}\left( x \right)$ ， ${u_0}\left( x \right)$ ， ${v_0}\left( x \right) \geqslant 0.$

本文的主要结论如下：

定理1 　满足假设(a)和(b)的条件下，对 $\forall t \geqslant 0$ ，问题(1)~(12)存在唯一的整体解.

1 预备引理

下面将介绍一些引理, 首先引入一些记号.

(1)记 ${Q_T} = \left\{ {\left( {r,t} \right):0 < r < L,0 < t < T} \right\}, \; T > 0$ . ${\bar Q_T}$ 是 ${Q_T}$ 的闭包.

(2) $ W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right) = \left\{ {u,v \in {L^p}} \right.\left( {{Q_T}} \right):{u_t},{v_t},\nabla u,{\nabla ^2}u,\nabla v, $ ${\nabla ^2}v \in{L^p}\left. {\left( {{Q_T}} \right)} \right\}$ 且规定

${\left\| u \right\|_{w_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} = \mathop \sum \limits_{\left| m \right| + 2k \leqslant 2} {\left\| {\partial _x^m\partial _t^ku} \right\|_{{L^p}}}.$

(3) ${D_p}\left( {0,L} \right) = \left\{ {u\left( {x,0} \right) = \phi \left( x \right)\left| {u\left( {x,t} \right) \in W_p^{2,1}} \right.} \right\}$ ，且规定

${\left\| \phi \right\|_{{D_p}\left( {0,L} \right)}} = \inf \left\{ {{T^{ - \frac{1}{p}}}{{\left\| u \right\|}_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}},u\left( {.,x} \right) = \phi \left( x \right)} \right\}.$

(4)对 $p > \displaystyle\frac{5}{2}$ ，记 ${D_p}\left( {0,1} \right)$ 为 $t = 0$ 时 $W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)$ 的迹空间， $i.e. \; \phi \in {D_p}\left( {0,1} \right)$ 当且仅当 $\exists u \in W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right),$ 使得 $u\left( {.,0} \right) =$ $ \phi .$ 定义 $\;\;{D_p}\left( {0,1} \right)$ 中的范数如下：

${\left\| \phi \right\|_{{D_p}\left( {0,L} \right)}} = \left\{ {{T^{ - \frac{1}{p}}}{{\left\| u \right\|}_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}}\left| {u \in W_p^{2,1}\left( {{\Omega _T}} \right),u} \right.\left( {.,x} \right) = \phi } \right\}.$

由于 $p > \displaystyle\frac{5}{2}$ ， $W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)$ 连续嵌入到 $C\left( {{\Omega _T}} \right)$ （见文献[20]），上面的定义是有意义的. 而且，显然如果 $\phi \in {W^{2,p}}\left( {0,1} \right)$ ，则 $\phi \in {D_p}\left( {0,1} \right)$ 且 ${\left\| \phi \right\|_{{D_p}\left( {0,L} \right)}} \leqslant {\left\| \phi \right\|_{{W^{2,p}}\left( {0,1} \right)}}$ .

引理1^[21] 　假设 $D$ 是一个正常数， $a\left( {z,\tau } \right), \; b\left( {z,\tau } \right)$ 是定义在区间 ${\bar Q_T}$ 上的有界连续函数， $f\left( {z,\tau } \right) \in {L^p}\left( {{Q_T}} \right), $ $\; \phi \left( {z,\tau } \right) \in {C^1}\left[ {0,T} \right]$ ，且对 $1 < p < \infty , \; {c_0} \in {D_p}\left( {0,L} \right)$ . 令Bu= $ \alpha \displaystyle\frac{{\text{∂} u}}{{\text{∂} n}} + \beta \left( {x,t} \right)u$ ，其中(1) $\alpha = 0,\beta = 1$ ，(2) $\alpha = 1,\beta \geqslant 0$ ，则初边值问题

$\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\text{∂} c}}{{\text{∂} t}} = D\displaystyle\frac{{{\text{∂} ^2}c}}{{\text{∂} {x^2}}} + a\left( {z,\tau } \right)\displaystyle\frac{{\text{∂} c}}{{\text{∂} z}} + b\left( {z,\tau } \right)c + f\left( {z,\tau } \right), \; \\0 < z\leqslant 1, \; 0 < t \leqslant T,\end{array}$

(13)

$z = 0, \; 1: \; Bc = \phi , \; 0 \leqslant \tau \leqslant T,$

(14)

$c\left( {z,0} \right) = {c_0}\left( z \right), \; 0 \leqslant z \leqslant 1,$

(15)

有唯一解 $c\left( {z,\tau } \right) \in W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)$ ，且

${\left\| c \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant {C_p}\left( T \right)\left( {{{\left\| {{c_0}} \right\|}_{{D_p}\left( {0,L} \right)}} + {{\left\| \phi \right\|}_{{W^{1,p}}\left( {0,T} \right)}} + {{\left\| f \right\|}_P}} \right).$

其中， ${C_p}\left( T \right)$ 是一个依赖于 $p, \; T, \; {\left\| a \right\|_\infty }, \; {\left\| b \right\|_\infty }$ 的常数，且对任意的有界集 $T, \; {C_p}\left( T \right)$ 是有界的.

2 局部解的存在唯一性

本文将运用Banach不动点定理证明问题式(1)~式(12)存在局部唯一解. 对于给定的 $T$ 和正整数 $M$ ，引进度量空间 $\left( {{X_T}, \; d} \right):{X_T}$ 是由所有的向量函数 $\left( {c\left( {x,t} \right), \; n\left( {x,t} \right), \; u\left( {x,t} \right), \; v\left( {x,t} \right)} \right) \; \left( {0 \leqslant x \leqslant L, \; 0 \leqslant t \leqslant T} \right)$ 组成，它们满足如下条件

$c, \; n, \; u, \; v \in C\left( {{{\bar Q}_T}} \right), \; 0 \leqslant c, \; n, \; u, \; v \leqslant M.$

定义 ${X_T}$ 中的度量空间 $d$ 为

$\begin{array}{l}d\left( {\left( {{c_1},\;{n_1},\;{u_1},\;{v_1}} \right),\left( {{c_2},\;{n_2},\;{u_2},\;{v_2}} \right)} \right) = \\\;\;\;\;\;\;\mathop {\max }\limits_{{{\bar Q}_T}} \left| {{c_1}\left( {x,t} \right) - {c_2}\left( {x,t} \right)} \right| + \mathop {\max }\limits_{{{\bar Q}_T}} \left| {{n_1}\left( {x,t} \right) - {n_2}\left( {x,t} \right)} \right|+\\\;\;\;\;\;\; \mathop {\max }\limits_{{{\bar Q}_T}} \left| {{u_1}\left( {x,t} \right) - {u_2}\left( {x,t} \right)} \right| + \mathop {\max }\limits_{{{\bar Q}_T}} \left| {{v_1}\left( {x,t} \right) - {v_2}\left( {x,t} \right)} \right| \cdot \end{array}$

易知度量空间 $\left( {{X_T}, \; d} \right)$ 是一个完备的度量空间.

对任意的 $\left( {c\left( {x,t} \right), \; n\left( {x,t} \right), \; u\left( {x,t} \right), \; v\left( {x,t} \right)} \right) \in {X_T}$ ，定义一个映射 $F$ ： $\left( {c\left( {x,t} \right), \; n\left( {x,t} \right), \; u\left( {x,t} \right), \; v\left( {x,t} \right)} \right) \mapsto $ $\left( {\tilde c\left( {x,t} \right), \; \tilde n\left( {x,t} \right), \; \tilde u\left( {x,t} \right), \; \tilde v\left( {x,t} \right)} \right)$ ，考虑如下问题：

$\frac{{\text{∂} \tilde c}}{{\text{∂} t}} = \frac{{{\text{∂} ^2}\tilde c}}{{\text{∂} {x^2}}} - \frac{{Q\tilde c}}{{\gamma + c}} + {k_2}v - {k_1}n\tilde c, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(16)

$\tilde c\left( {0,t} \right) = {c_c}, \; \frac{{\text{∂} \tilde c}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(17)

$\tilde c\left( {x,0} \right) = {c_0}\left( x \right),$

(18)

$\frac{{\text{∂} \tilde n}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}\tilde n}}{{\text{∂} {x^2}}} + {k_4}u + \alpha {k_2}v - {k_3}\tilde n - \alpha {k_1}\tilde nc, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(19)

$\frac{{\text{∂} \tilde n}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} \tilde n}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(20)

$\tilde n\left( {x,0} \right) = {n_0}\left( x \right),$

(21)

$\frac{{\text{∂} \tilde u}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}\tilde u}}{{\text{∂} {x^2}}} + {k_3}n - {k_4}\tilde u, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(22)

$\frac{{\text{∂} \tilde u}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} \tilde u}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(23)

$\tilde u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right),$

(24)

$\frac{{\text{∂} \tilde v}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}\tilde v}}{{\text{∂} {x^2}}} + \alpha {k_1}nc - \alpha {k_2}\tilde v, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(25)

$\frac{{\text{∂} \tilde v}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} \tilde v}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(26)

$\tilde v\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right).$

(27)

首先证明 $F$ 映 ${X_T}$ 到 ${X_T}$ 自身.

(1) 由上下解原理，可得 $\tilde c \geqslant 0, \; \tilde n \geqslant 0, \; \tilde u \geqslant 0, \; \tilde v \geqslant 0$ .

(2) 考虑问题(16)~(18)， ${k_2}v \in {L_p}\left( {{Q_T}} \right)$ ，由引理1知它有唯一解 $\tilde c \in W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)$ ，且满足

$\begin{array}{l}{\left\| {\tilde c} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant C\left( T \right)\left( {{{\left\| {{c_0}} \right\|}_{{D_P}\left( {0,L} \right)}} + {{\left\| {{c_c}} \right\|}_{{W^{1,P}}\left( {0,T} \right)}} + {{\left\| {{k_2}v} \right\|}_p}} \right)\leqslant \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; C\left( T \right)N.\end{array}$

$N$ 为依赖于 ${\left\| {{c_0}\left( x \right)} \right\|_{{D_P}\left( {0,L} \right)}}$ 和 $M$ 的常数.

(3) 方程(19)的系数项和非齐次项均满足引理1的条件，由引理1知它有唯一解 $\tilde n \in W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)$ ，且满足

${\left\| {\tilde n} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant C\left( T \right)\left( {{{\left\| {{n_0}} \right\|}_{{D_P}\left( {0,L} \right)}} + {{\left\| {{k_4}u + \alpha {k_2}v} \right\|}_p}} \right) \leqslant C\left( T \right)N.$

$N$ 为依赖于 ${\left\| {{n_0}\left( x \right)} \right\|_{{D_P}\left( {0,L} \right)}}$ 和 $M$ 的常数.

(4) 同理，由引理1可知，问题(22)~(24)及(25)~(27)有唯一解 ${{\tilde u}} \in W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)$ ， ${{\tilde v}} \in W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)$ . 且满足

${\left\| {\tilde u} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant C\left( T \right)N, \; {\left\| {\tilde v} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant C\left( T \right)N.$

综上所述, 若取 $N > 0$ ，则当 $T > 0$ 充分小时， ${C_p}\left( T \right)$ 是有界的， $C\left( T \right)N \leqslant M$ ，有 ${\left\| {\tilde c} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant M$ ， ${\left\| {\tilde n} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant M$ ， ${\left\| {\tilde u} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant M$ ， ${\left\| {\tilde v} \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant M$ . 由 $W_p^{2,1}\left( {{Q_T}} \right) \subset {C^{\alpha ,\frac{\alpha }{2}}}\left( {{Q_T}} \right) \; \left( {p > \displaystyle\frac{5}{2}} \right)$ ，得 ${\left\| {\tilde c} \right\|_\infty } \leqslant M$ ， ${\left\| {\tilde n} \right\|_\infty } \leqslant M$ ， ${\left\| {\tilde u} \right\|_\infty } \leqslant M$ ， ${\left\| {\tilde v} \right\|_\infty } \leqslant M$ . 对任意 $\left( {{{c}}\left( {x,t} \right), \; n\left( {x,t} \right), \; u\left( {x,t} \right), \;}\right. $ $\left.{ v\left( {x,t} \right)} \right) \in {X_T}$ ，存在 $\left( {{{\tilde c}}\left( {x,t} \right), \; \tilde n\left( {x,t} \right), \; \tilde u\left( {x,t} \right), \; \tilde v\left( {x,t} \right)} \right) \in {X_T}$ ，即 $F$ 映 ${X_T}$ 到 ${X_T}$ 自身.

接下来证明 $F$ 是压缩映射.

(1) 定义 ${{{\tilde c}}_ * } = {\tilde c_1} - {\tilde c_2}$ ，由问题 (16)~(18)，有

$\frac{{\text{∂} {{\tilde c}_ * }}}{{\text{∂} t}} = \frac{{{\text{∂} ^2}{{\tilde c}_ * }}}{{\text{∂} {x^2}}} + {b_1}\left( {x,t} \right){\tilde c_ * } + {f_1}\left( {{{x}},t} \right), \; 0 \leqslant x \leqslant L,t > 0,$

(28)

${\tilde c_ * }\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} {{\tilde c}_ * }}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(29)

${\tilde c_ * }\left( {x,0} \right) = 0,$

(30)

其中

${b_1}\left( {x,t} \right) = - {k_1}{n_1} - \frac{{Q\left( {\gamma + {c_1}} \right)}}{{\left( {\gamma + {c_1}} \right)\left( {\gamma + {c_2}} \right)}},$

(31)

${f_1}\left( {{{x}},t} \right) = \frac{{Q{{\tilde c}_1}\left( {{c_1} - {c_2}} \right)}}{{\left( {\gamma + {c_1}} \right)\left( {\gamma + {c_2}} \right)}} + {k_2}\left( {{v_1} - {v_2}} \right) - {k_1}{\tilde c_2}\left( {{n_1} - {n_2}} \right).$

(32)

易知 ${b_1}\left( {x,t} \right)$ 有界连续， $c,{\tilde c_2},v,n \in C\left( {{{\bar Q}_T}} \right)$ ，故 ${b_1}\left( {x,t} \right), $ $ \; {f_1}\left( {x,t} \right) \in {L^p}\left( {{Q_T}} \right)$ ，由解的最大模估计，有

$\begin{split}&{\left\| {{{\tilde c}_ * }} \right\|_\infty } \leqslant T{\left\| {{f_1}} \right\|_\infty } =\\&T{\left\| {\displaystyle\frac{{Q{{\tilde c}_1}\left( {{c_1} \!- \!{c_2}} \right)}}{{\left( {\gamma \!+\! {c_1}} \right)\left( {\gamma \!+\! {c_2}} \right)}} \!+\! {k_2}\left( {{v_1} \!-\! {v_2}} \right) \!-\! {k_1}{{\tilde c}_2}\left( {{n_1}\! -\! {n_2}} \right)} \right\|_\infty }\!\!\!\leqslant\!\!\\ & T{\left\| {\displaystyle\frac{{Q{{\tilde c}_1}\left( {{c_1} \!-\! {c_2}} \right)}}{{\left( {\gamma \!+\! {c_1}} \right)\left( {\gamma \!+\! {c_2}} \right)}}} \right\|_\infty } \!\!\!+\\&\;\;\;\; {k_2}T{\left\| {{v_1} \!-\! {v_2}} \right\|_\infty } \!-\! {k_1}T{\left\| {{{\tilde c}_2}} \right\|_\infty } \cdot {\left\| {{n_1} \!-\! {n_2}} \right\|_\infty }\leqslant\\ &\;\;\;\; TMd.\end{split}$

(33)

(2) 定义 ${{{\tilde n}}_ * } = {\tilde n_1} - {\tilde n_2}$ ，由问题(19)~(21)，有

$\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\text{∂} {{\tilde n}_ * }}}{{\text{∂} t}} = D\displaystyle\frac{{{\text{∂} ^2}{{\tilde n}_ * }}}{{\text{∂} {x^2}}} - \left( {{{{k}}_3} + \alpha {k_1}{c_2}} \right){\tilde n_ * } +{k_4}\left( {{u_1} - {u_2}} \right) +\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \alpha {k_2}\left( {{v_1} - {v_2}} \right) - \alpha {k_1}{\tilde n_1}\left( {{c_1} - {c_2}} \right),\end{array}$

化简为

$\frac{{\text{∂} {{\tilde n}_ * }}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}{{\tilde n}_ * }}}{{\text{∂} {x^2}}} + {b_2}\left( {x,t} \right){\tilde n_ * } + {f_2}\left( {{{x}},t} \right), \; 0 \leqslant x \leqslant L,t > 0,$

(34)

${\tilde n_ * }\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} {{{{\tilde n}}}_ * }}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(35)

${\tilde n_ * }\left( {x,0} \right) = 0,$

(36)

其中

${b_2}\left( {x,t} \right) = - \left( {{{{k}}_3} + \alpha {k_1}{c_2}} \right),$

(37)

${f_2}\left( {x,t} \right) = {k_4}\left( {{u_1} - {u_2}} \right) + \alpha {k_2}\left( {{v_1} - {v_2}} \right) - \alpha {k_1}{\tilde n_1}\left( {{c_1} - {c_2}} \right).$

(38)

易知 ${b_2}\left( {x,t} \right), \; {f_2}\left( {x,t} \right) \in {L^p}\left( {{Q_T}} \right)$ ，由解的最大模估计，有

$\begin{array}{l}{\left\| {{{\tilde c}_ * }} \right\|_\infty } \leqslant T{\left\| {{f_2}} \right\|_\infty } \!=\\\;\;\;\; T\left\| {{k_4}\left( {{u_1} \!\!-\! {u_2}} \right)\! +\! \alpha {k_2}\left( {{v_1} \!\!-\! {v_2}} \right) \!\!-\!\alpha {k_1}{{\tilde n}_1}\left( {{c_1} \!\!-\! {c_2}} \right)} \right\|_\infty \leqslant\\\;\;\;\; {k_4}T{\left\| {{u_1} - {u_2}} \right\|_\infty } + \alpha {k_2}T{\left\| {{v_1} - {v_2}} \right\|_\infty } - \\\;\;\;\;\alpha {k_1}T{\left\| {{{\tilde n}_1}} \right\|_\infty } \cdot {\left\| {{v_1} - {v_2}} \right\|_\infty }\leqslant\\\;\;\;\; TMd.\end{array}$

(39)

(3) 定义 ${{{\tilde u}}_ * } = {\tilde u_1} - {\tilde u_2}$ ，由问题(22)~(24)，有

$\frac{{\text{∂} {{\tilde u}_ * }}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}{{\tilde u}_ * }}}{{\text{∂} {x^2}}} + {k_3}\left( {{n_1} - {n_2}} \right) - {k_4}{\tilde u_ * }, \; 0 \leqslant x \leqslant L,t > 0,$

化简为

$\frac{{\text{∂} {{\tilde u}_ * }}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}{{\tilde u}_ * }}}{{\text{∂} {x^2}}} + {b_3}\left( {x,t} \right){\tilde u_ * } + {f_3}\left( {x,t} \right), \; 0 \leqslant x \leqslant L,t > 0,$

(40)

${\tilde u_ * }\left( {0,t} \right) = 0,\frac{{\text{∂} {{{{\tilde u}}}_ * }}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(41)

${\tilde u_ * }\left( {x,0} \right) = 0,$

(42)

其中

${b_3}\left( {x,t} \right) = - {k_4},$

(43)

${f_3}\left( {x,t} \right) = {k_3}\left( {{n_1} - {n_2}} \right).$

(44)

由解的最大模估计，有

${\left\| {{{\tilde u}_ * }} \right\|_\infty } \leqslant T{\left\| {{f_3}} \right\|_\infty } = T{\left\| {{k_3}\left( {{n_1} - {n_2}} \right)} \right\|_\infty } \leqslant TMd.$

(45)

(4) 定义 ${\tilde v_ * } = {\tilde v_1} - {\tilde v_2}$ ，由问题(25)~(27)，有

$\frac{{\text{∂} {{\tilde v}_ * }}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}{{\tilde v}_ * }}}{{\text{∂} {{{x}}^2}}} + \alpha {k_1}\left( {{n_1}{c_1} - {n_2}{c_2}} \right) - \alpha {k_2}{\tilde v_ * }, \; 0 \leqslant x \leqslant L,t > 0,$

化简为

$\frac{{\text{∂} {{\tilde v}_ * }}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}{{\tilde v}_ * }}}{{\text{∂} {{{x}}^2}}} + {b_4}{\tilde v_ * } + {f_4}\left( {x,t} \right), \; 0 \leqslant x \leqslant L,t > 0,$

(46)

${\tilde v_ * }\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} {{{{\tilde v}}}_ * }}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(47)

${\tilde v_ * }\left( {x,0} \right) = 0,$

(48)

其中

${b_4}\left( {x,t} \right) = - \alpha {k_2},$

(49)

${f_4}\left( {x,t} \right) = \alpha {k_1}\left( {{n_1}{c_1} - {n_2}{c_2}} \right).$

(50)

同理得

$\begin{split}&{\left\| {{{\tilde v}_ * }} \right\|_\infty } \leqslant T{\left\| {{f_4}} \right\|_\infty } = T{\left\| {\alpha {k_1}\left( {{n_1}{c_1} - {n_2}{c_2}} \right)} \right\|_\infty } =\\&\alpha {k_1}T{\left\| {{n_1}{c_1} - {n_1}{c_2} + {n_1}{c_2} - {n_2}{c_2}} \right\|_\infty }\leqslant\\ &\alpha {k_1}T{\left\| {{n_1}} \right\|_\infty } \! \cdot\! \! {\left\| {{c_1}\! -\! {c_2}} \right\|_\infty } \!+\! \alpha {k_1}T{\left\| {{c_2}} \right\|_\infty }\! \cdot\! {\left\| {{n_1} \!-\! {n_2}} \right\|_\infty }\leqslant\\& TMd.\end{split}$

(51)

综上，由(1)~(4)，可得

$\begin{array}{l}d\left( {\left( {{{\tilde c}_1},\;{{\tilde n}_1},\;{{\tilde u}_1},\;{{\tilde v}_1}} \right),\left( {{{\tilde c}_2},\;{{\tilde n}_2},\;{{\tilde u}_2},\;{{\tilde v}_2}} \right)} \right) = \\{\left\| {{{{\rm{\tilde c}}}_1} - {{\tilde c}_2}} \right\|_\infty } + {\left\| {{{\tilde n}_1} - {{\tilde n}_2}} \right\|_\infty } + {\left\| {{{\tilde u}_1} - {{\tilde u}_2}} \right\|_\infty } + {\left\| {{{\tilde v}_1} - {{\tilde v}_2}} \right\|_\infty }\leqslant\\ C\left( T \right)M{{d.}}\end{array}$

因此，取 $T$ 充分小，使得 $C\left( T \right)M \leqslant 1$ ，则 $F$ 为压缩映射.

由Banach不动点定理，定义在映射 $F$ 上的一个固定点 $\left( {c\left( {x,t} \right), \; n\left( {x,t} \right), \; u\left( {x,t} \right), \; v\left( {x,t} \right)} \right) \in {X_T}$ ，使得对任意的 $0 \leqslant t \leqslant T$ ，问题(1)~(12)有唯一古典解 $\left( {c\left( {x,t} \right), \;}\right.$ $\left.{n\left( {x,t} \right), \; u\left( {x,t} \right), \; v\left( {x,t} \right)} \right)$ ，注意到 $T$ 依赖于 ${\left\| {{c_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ ， ${\left\| {{n_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ ， ${\left\| {{u_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ ， ${\left\| {{v_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ 的上确界.

由上述证明可总结为如下定理.

定理2 　存在 $T > 0$ ，使得所有 $t \in \left[ {0,T} \right]$ ，问题(1)~(12)存在唯一解，其中 $T$ 依赖于 ${\left\| {{c_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ ， ${\left\| {{n_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ ， ${\left\| {{u_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ ， ${\left\| {{v_0}\left( x \right)} \right\|_\infty }$ 的上确界.

3 整体解的存在唯一性

引理2 　问题(1)~(12)的解有如下结论

$c\left( {x,t} \right) \geqslant 0, \; n\left( {x,t} \right) \geqslant 0, \; u\left( {x,t} \right) \geqslant 0, \; v\left( {x,t} \right) \geqslant 0.$

证明 　将方程组(1)~(12)转化为如下：

$\frac{{\text{∂} c}}{{\text{∂} t}} = \frac{{{\text{∂} ^2}c}}{{\text{∂} {x^2}}} - \frac{{Qc}}{{\gamma + c}} - {k_1}nc + {g_1}, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(52)

$c\left( {0,t} \right) = {c_c}, \; \frac{{\text{∂} c}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(53)

$c\left( {x,0} \right) = {c_0}\left( x \right),$

(54)

$\frac{{\text{∂} n}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}n}}{{\text{∂} {x^2}}} - {k_3}n - \alpha {k_1}nc + {g_2}, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(55)

$\frac{{\text{∂} n}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} n}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(56)

$n\left( {x,0} \right) = {n_0}\left( x \right),$

(57)

$\frac{{\text{∂} u}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}u}}{{\text{∂} {x^2}}} - {k_4}u + {g_3}, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(58)

$\frac{{\text{∂} u}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} u}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(59)

$u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right),$

(60)

$\frac{{\text{∂} v}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}v}}{{\text{∂} {x^2}}} - \alpha {k_2}v + {g_4}, \; 0 \leqslant x \leqslant L, \; t > 0,$

(61)

$\frac{{\text{∂} v}}{{\text{∂} x}}\left( {0,t} \right) = \frac{{\text{∂} v}}{{\text{∂} x}}\left( {L,t} \right) = 0,$

(62)

$v\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right).$

(63)

其中 ${g_1} = {k_2}v$ ， ${g_2} = {k_4}u + \alpha {k_2}v$ ， ${g_3} = {k_3}n$ ， ${g_4} = \alpha {k_1}nc$ . 显然， $g_1$ 关于 $n, \; u, \; v$ 单调递增， ${g_2}$ 关于 $c, \; u, \; v$ 单调递增， ${g_3}$ 关于 $c, \; n, \; v$ 单调递增， $g_4$ 关于 $c, \; n, \; u,$ 单调递增，所以式(52)、(55)、(58)和(61)是一个拟单调递增系统，且(0, 0, 0, 0)是式(52)~(63)的下解，故

$c\left( {x,t} \right) \geqslant 0, \; n\left( {x,t} \right) \geqslant 0, \; u\left( {x,t} \right) \geqslant 0, \; v\left( {x,t} \right) \geqslant 0.$

引理3 　对任意的 $1 < p < \infty $ ，存在一个依赖于时间 $T$ 的常数 $C\left( T \right)$ ，满足

${\left\| c \right\|_\infty } \leqslant C\left( T \right), \; {\left\| n \right\|_\infty } \leqslant C\left( T \right), \; {\left\| {{u}} \right\|_\infty } \leqslant C\left( T \right), \; {\left\| v \right\|_\infty } \leqslant C\left( T \right).$

证明 　(1) 由式(1)和(10)相加得

$\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\text{∂} \left( {c \!+\! v} \right)}}{{\text{∂} t}}\! \leqslant \!D\frac{{{\text{∂} ^2}\left( {c \!+\! v} \right)}}{{\text{∂} {x^2}}} \!+\! \left( {1 \!-\! \alpha } \right){k_2}v - \left( {1 \!-\! \alpha } \right){k_1}nc \!-\! \displaystyle\frac{{Qc}}{{\gamma \!+\! c}}\!\leqslant\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; D\displaystyle\frac{{{\text{∂} ^2}\left( {c + v} \right)}}{{\text{∂} {x^2}}} + {k_2}\left( {c + v} \right).\quad\quad\quad\;\;\quad\;\;\quad\quad\quad(64)\end{array}$

将上式(64)两边同时乘以 ${\left( {{{c}} + {{v}}} \right)^k},\left( {k > 0} \right)$ 并在 ${Q_T}\left( {0 \leqslant t \leqslant T} \right)$ 上积分，可得

$\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^t {\displaystyle\int_0^L {\displaystyle\frac{{\text{∂} \left( {c + v} \right)}}{{\text{∂} t}} \cdot } } {\left( {c + v} \right)^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t\leqslant\\ D\displaystyle\int_0^t {\displaystyle\int_0^L {\displaystyle\frac{{{\text{∂} ^2}\left( {c \!+\! v} \right)}}{{\text{∂} {x^2}}}} } \cdot {\left( {c \!+\! v} \right)^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \!+\! {k_2}\displaystyle\int_0^t {\int_0^L {{{\left( {c \!+\! v} \right)}^{k \!+\! 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t.\end{array}$

(65)

对于 $\displaystyle\int_0^t {\displaystyle\int_0^L {\displaystyle\frac{{{\text{∂} ^2}\left( {c + v} \right)}}{{\text{∂} {x^2}}}} } \cdot {\left( {c + v} \right)^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t$ ，通过分部积分可知

$\int_0^t {\int_0^L {\frac{{{\text{∂} ^2}c}}{{\text{∂} {x^2}}}} } \cdot {c^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t =\! -\! k\int_0^t {\int_0^L {{{\left| {\nabla \left( {c \!+\! v} \right)} \right|}^2} \cdot } } {\left( {c \!+\! v} \right)^{k - 1}}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \leqslant 0,$

(66)

从而可得

$\int_0^t {\int_0^L {\frac{{\text{∂} \left( {c + v} \right)}}{{\text{∂} t}}} } \cdot {\left( {c + v} \right)^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \leqslant {k_2}\int_0^t {\int_0^L {{{\left( {c + v} \right)}^{k + 1}}} } {\rm{d}}x{\rm{d}}t.$

(67)

由于

$\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^t \!{\displaystyle\int_0^L \!{\displaystyle\frac{{\text{∂} \left( {c \!+\! v} \right)}}{{\text{∂} t}}} } \! \cdot {\left( {c \!+\! v} \right)^k}{\rm{d}}x{\rm{d}}t \!=\! \displaystyle\frac{1}{{k \!+\! 1}}\int_0^L {\displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}}\! \int_0^t \!{{{\left( {c \!+\! v} \right)}^{k \!+\! 1}}} {\rm{d}}t{\rm{d}}x=\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \displaystyle\frac{1}{{k + 1}}\displaystyle\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\displaystyle\int_0^t {\int_0^L {{{\left( {c + v} \right)}^{k + 1}}{\rm{d}}x{\rm{d}}t} }, \end{array}$

(68)

故令 $\eta \left( {x,t} \right) = \displaystyle\int_0^t {\displaystyle\int_0^L {{{\left( {c + v} \right)}^{k + 1}}{\rm{d}}x{\rm{d}}t} } $ 代入到式(67)，结合式(68)，得

$\frac{{{\rm{d}}\eta \left( {x,t} \right)}}{{{\rm{d}}t}} \leqslant {C_k}\left( T \right)\eta \left( {x,t} \right).$

(69)

由Gronwall不等式可得

$\eta \left( {x,t} \right) \leqslant {C_k}\left( T \right),$

因此可得

${\left\| {c + v} \right\|_{{L^P}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant {C_P}\left( T \right).$

根据引理2，有

${\left\| c \right\|_{{L^P}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant {C_P}\left( T \right), \; {\left\| v \right\|_{{L^p}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant {C_P}\left( T \right).$

(70)

由引理1，可得

${\left\| c \right\|_{W_p^{2,1}\left( {{{\bar Q}_T}} \right)}} \leqslant {C_p}\left( T \right).$

(2) 由(4)，(7)和(10)式相加得

$\frac{{\text{∂} \left( {n + v + u} \right)}}{{\text{∂} t}} = D\frac{{{\text{∂} ^2}\left( {n + v + u} \right)}}{{\text{∂} {x^2}}}.$

(71)

应用引理1有

${\left\| {n + v + u} \right\|_{W_P^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant {C_P}\left( T \right).$

根据引理2可得

$\begin{array}{l}{\left\| n \right\|_{W_P^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant {C_P}\left( T \right), \; {\left\| v \right\|_{W_P^{2,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant\\{C_P}\left( T \right), \; {\left\| u \right\|_{W_P^{2,,1}\left( {{Q_T}} \right)}} \leqslant {C_P}\left( T \right).\end{array}$

(72)

由 $W_p^{2,1}\left( {{{\bar Q}_T}} \right) \subset {C^{\lambda ,\frac{\lambda }{2}}}\left( {{{\bar Q}_T}} \right), \; \left( {p > \displaystyle\frac{5}{2}} \right)$ ，有

${\left\| c \right\|_\infty } \!\leqslant\! C\left( T \right), \; {\left\| n \right\|_\infty } \!\leqslant\! C\left( T \right), \; {\left\| {{u}} \right\|_\infty } \!\leqslant\! C\left( T \right), \; {\left\| v \right\|_\infty } \!\leqslant\! C\left( T \right).$

引理3得证.

由定理2，引理3可证得本文的主要结论定理1.