时滞与分支现象广泛存在于现实生活和自然界中，在众多的分支问题中，Hopf分支常见并且十分重要. 人们通过对带有时滞模型的Hopf分支分析, 发现时滞因素的加入在更加准确地描述系统变化规律的同时, 还会使系统的稳定性发生变化. 当参数在某一给定值附近做微小的变化时, 模型的性质就会发生本质上的变化, 还可能诱导周期解的产生. 对于时滞微分方程的局部霍普夫分支的研究，国内外也做了一部分工作^[1-5]. 1998年，Gopalsamy等^[6]给出了延迟食品期限模型，研究了正平衡点x^*=K的全局吸引性和振动性. Wan和Wei^[7]通过使用霍普夫分支定理研究了周期解的整体存在性，文献[8-10]对其他相关方程做出了相应的推广形式. Ford和Wulf^[11]研究了线性多步法对线性时滞微分方程的数值逼近问题，随之，他们又用欧拉法研究了带有参数的时滞微分方程^[12]的数值霍普夫分支问题，证明了如果原方程在λ=λ^*处产生霍普夫分支，则当步长h充分小时，数值方法在λ_h=λ^*+O(h)处也将产生霍普夫分支. 2006年，丁效华、刘明珠等^[13-14]应用梯形方法研究了一种离散动力学Makey-Glass系统的动力性，证明了随着延迟的增加，正平衡点处发生霍普夫分支，并利用规范型理论和中心流形定理测定了霍普夫分支和分支周期解的稳定性. 张春蕊^[15]利用Runge-Kutta方法研究了一阶时滞微分方程的数值Hopf分支，并证明了数值Hopf分支的存在性. 2015年，徐林等^[16]通过类比法讨论了时滞微分方程零解的稳定性和所有解的有界性，给出了其零解渐近稳定和所有解的充分性准则. 因此，对时滞微分方程的动力性的研究仍是一项具有非常有意义的工作，前人的研究只是给出正不动点处会出现霍普夫分支现象，本文通过欧拉法来研究一阶时滞微分方程的动力性，除了给出正不动点处会出现霍普夫分支，还进一步分析不动点的稳定性.

1 正平衡点的稳定性和局部霍普夫分支

对于一阶时滞微分方程

$x' = - px\left( {t - \tau } \right) + \frac{{qx\left( t \right)}}{{r + {x^\alpha }\left( t \right)}},t \geqslant 0,$

(1)

这里 $p,q,r$ 都是正的常数，τ是时滞量， $\alpha \in N =$ $\left\{ {1,2, \cdots } \right\}$ ，并且满足

$\frac{q}{p} > r.$

通过欧拉法来近似一阶导数

$\frac{{{\rm{d}}u\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} \to \frac{{{u_{k + 1}} - {u_k}}}{h},$

取步长 $h = \displaystyle\frac{1}{m}\left( {m \in {N^ + }} \right)$ .

设 $q = \beta r$ ，则

$x'\left( t \right) = - px\left( {t - \tau } \right) + \frac{{\beta rx\left( t \right)}}{{r + {x^\alpha }\left( t \right)}}.$

令 $x\left( t \right) = \sqrt[\alpha ]{r}\psi \left( t \right)$ ，则式(1)变成

$\psi '\left( t \right) = - p\psi \left( {t - \tau } \right) + \frac{{q\psi \left( t \right)}}{{r\left( {1 + {\psi ^\alpha }\left( t \right)} \right)}}.$

(2)

令 $u\left( t \right) = \psi \left( {\tau t} \right)$ ，式(2)就可以写成

$u'\left( t \right) = - \tau pu\left( {t - 1} \right) + \frac{{\tau qu\left( t \right)}}{{r\left( {1 + {u^\alpha }\left( t \right)} \right)}}.$

(3)

正平衡点为 ${u_ * } = \displaystyle\sqrt[\alpha ]{{\frac{q}{{pr}} - 1}}.$ 将欧拉法用于式(3)，有

${u_{k + 1}} = \left( {1 + \frac{{qh\tau }}{{r\left( {1 + u_k^\alpha } \right)}}} \right){u_k} - hp{u_{k - m}}.$

(4)

令 ${y_k} = {u_k} - {u_ * }$ ，那么，有

${y_{k + 1}} \!=\! \left( {1 \!+ \frac{{qh\tau }}{{r\left( {1 + {{\left( {{y_k} + {u_ * }} \right)}^\alpha }} \right)}}} \right)\left( {{y_k} + {u_ * }} \right) - hp\tau \left( {{y_{k - m}} + {u_ * }} \right) - {u_ * }.$

(5)

本文引入一个新的变量

${\mathit{\boldsymbol{Y}}_k} = {\left( {{y_k},{y_{k - 1}}, \cdots ,{y_{k - m}}} \right)^{\rm{T}}},$

那么有映射

${\mathit{\boldsymbol{Y}}_{k + 1}} = \mathit{\boldsymbol{F}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_k},\tau } \right),$

(6)

其中 $\mathit{\boldsymbol{F}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{F}}_0},{\mathit{\boldsymbol{F}}_1}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{F}}_m}} \right)^{\rm{T}}}$ ，和

${\mathit{\boldsymbol{F}}_i} = \!\displaystyle\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{\!\!\!\!\!\!\! \left({1 \!+\!\! \displaystyle\frac{{qh\tau }}{{r\left( {1 \!\!+\!\! {{\left( {{y_k}\!+\! {u_ * }} \right)}^\alpha }} \right)}}} \right)\left( {{y_k} \!\!+\!\! {u_ * }} \right) \!\!-\!\! hp\tau \left( {{y_{k - m}} \!\!+\!\! {u_ * }} \right) \!- \!\!{u_ * }\begin{array}{*{20}{c}}\!\!\!\!,\!\!\!\!\!&\!\!\!{i \!=\! 0},\end{array}}\\[13pt]{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{}\end{array}{y_{k - i + 1}{,1 \leqslant i \leqslant m.}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}}\end{array}}\end{array}}\end{array}}\end{array}} \right.$

(7)

显然，原点是映射(6)的一个不动点，并且映射(6)的线性部分是

${\mathit{\boldsymbol{Y}}_{k + 1}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{Y}}_k}.$

其中

${\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_m}}&0& \cdots &0&0&{{a_0}}\\[6pt]1&0& \cdots &0&0&0\\[6pt]0&1& \cdots &0&0&0\\[2pt] \vdots & \vdots & \rm{ } & \vdots & \vdots & \vdots \\[6pt]0&0& \cdots &1&0&0\\[6pt]0&0& \cdots &0&1&0\end{array}} \right),$

这里 ${a_m} = 1 + ph\tau - \displaystyle\frac{{ph\tau \alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}$ ， ${a_0} = - ph\tau $ . 因此，A的特征方程为

${\lambda ^{m + 1}} - \left( {1 + ph\tau - \frac{{ph\tau \alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}} \right){\lambda ^m} + ph\tau = 0.$

(8)

引理1 　对于充分小的正数 $\tau > 0$ ，式(8)的所有根的模都小于1.

证明 　当 $\tau = 0$ 时，式(8)等价于

${\lambda ^{m + 1}} - {\lambda ^m} = 0.$

方程有一个m重根和一个单根 $\lambda = 1$ .

考虑到式(8)的根 $\lambda \left( \tau \right)$ ，使得 $\lambda \left( 0 \right) = 1$ .这个根连续取决于τ，式(8)是关于τ可微的，有

$\frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}\tau }} = \displaystyle\frac{{\left( {ph - \displaystyle\frac{{ph\alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}} \right){\lambda ^m} - hp}}{{\left( {m + 1} \right){\lambda ^m} - m\left( {1 + ph\tau - \displaystyle\frac{{ph\tau \alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}} \right){\lambda ^{m + 1}}}}$

(9)

和

$\frac{{{\rm{d}}\mathop \lambda \limits^ - }}{{{\rm{d}}\tau }} = \frac{{\left( {ph - \displaystyle\frac{{ph\alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}} \right){{\mathop \lambda \limits^ - }^m} - hp}}{{\left( {m + 1} \right){{\mathop \lambda \limits^ - }^m} - m\left( {1 + ph\tau - \displaystyle\frac{{ph\tau \alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}} \right){{\mathop \lambda \limits^ - }^{m + 1}}}}.$

(10)

由于

$\frac{{{\rm{d}}{{\left| \lambda \right|}^2}}}{{{\rm{d}}\tau }} = \lambda \frac{{{\rm{d}}\mathop \lambda \limits^ - }}{{{\rm{d}}\tau }} + \mathop \lambda \limits^ - \frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}\tau }},\frac{{{\rm{d}}{{\left| \lambda \right|}^2}}}{{{\rm{d}}\tau }}\left| {_{\tau = 0,\lambda = 1}} \right. = - \frac{{2ph{\rm{\alpha }}\left( {q - pr} \right)}}{q} < 0,$

(11)

所以随着τ>0，λ不能超过1. 因此，对于充分小的正常数τ>0，式(8)的所有根都在单位圆内.

当矩阵A的一对共轭复特征根随着τ的变化穿过单位圆时就产生了霍普夫分支. 用e^iω表示单位圆上的根，ω∈(-π,π]，我们要找单位圆上ω的值. 当ω∈(0,π]时，当且仅当

${e^{i\omega }} - \left( {{\rm{1}} + ph\tau - \frac{{ph\tau \alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}} \right) + \tau ph{e^{ - im\omega }} = 0,$

(12)

e^iω是式(8)的根.

分离式(12)的实部和虚部，有

$\cos \omega + hp\tau \cos m\omega = 1 + ph\tau - \frac{{ph\tau \alpha \left( {q - pr} \right)}}{q}$

(13)

和

$\sin \omega - hp\tau \sin m\omega = 0.$

(14)

所以

${\rm{cos}}\omega = 1 - \frac{{\alpha {p^2}{\tau ^2}{h^2}\left( {q - pr} \right)\left( {2{q^2} + \alpha \left( {q - pr} \right)} \right)}}{{2{q^4} + 2{q^4}h\alpha \tau - 2p{q^2}h\alpha \tau \left( {q - pr} \right)}}.$

当 $\displaystyle\frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} < p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ 时， ${\rm{cos}}\omega > 1$ ，矛盾，所以有以下引理.

引理2 　如果 $\displaystyle\frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} < p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ ，那么式(8)没有模等于1的根.

根据式(14)，有

$hp\tau = \frac{{\sin \omega }}{{\sin m\omega }}$

(15)

是正的， $\sin \omega \left( {\omega \in \left[ {0,{\rm{\pi }}} \right]} \right)$ 和 $\sin m\omega $ 有相同的符号，根据引理2，存在一个序列

${\omega _k} \in \left( {\frac{{2k{\rm{\pi }}}}{m},\frac{{2\left( {k + {\rm{1}}} \right){\rm{\pi }}}}{m}} \right),k = {\rm{0,1,2,}} \cdots {\rm{,}}\left[ {\frac{{m - {\rm{1}}}}{{\rm{2}}}} \right],$

(16)

[·]表示取最大整数，显然，如果 $\omega = {\omega _k}$ ，那么存在一个序列满足式(13)和式(14).

引理3 　令 ${\lambda _k}\left( \tau \right) = {r_k}\left( \tau \right){e^{i{\omega _k}\left( \tau \right)}}$ 是式(8)的一个根， $\tau = {\tau _k}$ 满足 ${r_k}\left( {{\tau _k}} \right) = 1$ 和 ${\omega _k}\left( {{\tau _k}} \right) = {\omega _k}$ ，那么

$\frac{{{\rm{d}}r_k^2\left( \tau \right)}}{{{\rm{d}}\tau }}\left| {_{\tau = {\tau _k},\omega = {\omega _k}}} \right. > 0.$

(17)

证明 　根据式(13)和式(14)，有

　　　　　　 $\displaystyle\frac{{{\rm{d}}r_k^2\left( \tau \right)}}{{{\rm{d}}\tau }} =\lambda \displaystyle\frac{{{\rm{d}}\mathop \lambda \limits^ - }}{{{\rm{d}}\tau }} + $ $\mathop \lambda \limits^ - \displaystyle\frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}\tau }} > 0.$

因此，得证.

引理4

(1) 如果 $\displaystyle\frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} < p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ ，那么式(8)的所有特征根的模都小于1；

(2) 如果 $\displaystyle\frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} > p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ ，那么当 $\displaystyle\tau = {\tau _k},$ $\displaystyle k = {\rm{0,1,2,}} \cdots {\rm{,}}\left[ {\frac{{m - {\rm{1}}}}{{\rm{2}}}} \right]$ 时，式(8)在单位圆内有一对单根 $\displaystyle{e^{ \pm i{\omega _k}}}$ ，此外，如果 $\displaystyle\tau \in \left[ {0,{\tau _0}} \right)$ ，那么式(8)的所有特征根的模小于1，如果 $\displaystyle\tau = {\tau _0}$ ，那么式(8)除了 $\displaystyle{e^{ \pm i{\omega _k}}}$ 外的根的模都小于1，但是如果 $\displaystyle\tau \in \left( {{\tau _k}{\rm{,}}{\tau _{k + {\rm{1}}}}} \right]{\rm{,}}k = {\rm{0,1,2,}} \cdots {\rm{,}}$ $\left[ {\displaystyle\frac{{m - {\rm{1}}}}{{\rm{2}}}} \right]$ ，那么式(8)有 $\displaystyle 2\left( {k + 1} \right)$ 个根的模大于1.

证明 　由引理2和引理3，参考文献[17]，得出结论：

(1) 如果 $\displaystyle\frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} > p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ ，令 $\displaystyle{\tau _k}$ 和式(17)中的一样，由式(15)，当且仅当式(16)和式(17)给出 $\displaystyle\tau = {\tau _k}$ 和 $\displaystyle\omega = {\omega _k}$ ,式(8)有根 $\displaystyle{e^{ \pm i{\omega _k}}}$ .

由引理2和引理3，可知如果 $\tau \in \left[ {{\rm{0,}}{\tau _{\rm{0}}}} \right)$ ，那么式(8)的所有特征根的模小于1；如果 $\tau = {\tau _{\rm{0}}}$ ，那么式(8)除了 ${e^{ \pm i{\omega _k}}}$ 外的根的模都小于1，此外，由儒歇定理，关于模大于1的特征根的个数自然得到.

引理4的特殊性质立即得到式(8)的零解稳定性，即式(4)的正不动点 ${{u}} = {u_ * }$ . 所以我们有关于式(4)的这个定理.

定理1

(1) 如果 $\displaystyle\frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} < p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ ，那么 ${{u}} = {u_ * }$ 对于任意的 $\tau \geqslant 0$ 都是渐近稳定的.

(2)如果 $\displaystyle\frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} > p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ ，那么 ${{u}} = {u_ * }$ 在 $\tau \in \left[ {0,{\tau _0}} \right)$ 是渐近稳定的，但在 $\tau > {\tau _0}$ 上不稳定.

(3)对于 $\displaystyle \frac{{{q^2}}}{{h\alpha \tau }} > p\left( {q - pr} \right) - {q^2}$ ，当 $\tau = {\tau _k}{\rm{,}}$ $k = {\rm{0,1,2,}} \cdots {\rm{,}}\left[ {\displaystyle\frac{{m - {\rm{1}}}}{{\rm{2}}}} \right]$ 时，式(4)在 $\displaystyle u = {u_ * }$ 处发生霍普夫分支.

2 数值实验

表1和图1至图4为数值算例结果，其中 $p = 10,$ $q = 2,r = 0.1,\alpha = 3$ .

从定理1和表1，结合图1至图4，可以得到结论：当 $\tau \in \left[ {0,{\tau _0}} \right)$ 时，方程(3)的所有数值解都是渐近稳定的；当 $\tau > {\tau _0}$ 时，数值解不稳定.