产学研合作是提升企业技术能力的重要途径，自1992年我国推进“产学研合作工程”以来，取得了非常显著的成效，但问题也很多，突出表现为科技与经济发展始终存在“两张皮”. 究其原因，很大程度上在于通过产学研合作方式的技术供给与我国企业技术能力现状存在较大落差，企业很难将学研方供给的技术转化为产品技术，因此当前形势下，如何找出一条通过产学研合作提升企业技术能力，进而提升企业、产业竞争力可行的途径，已成为我国产学研合作急需解决的关键问题.

关于产学研合作方式的技术供给研究主要包括以下3类. 第一，相关研究从技术拥有者的角度进行分析，探究的是技术转让的最优合同问题^[1-6]. 该视角研究的代表人物为Kamien与Tauman^[1]. 第二，在假定技术拥有者从事生产的条件下主要关注不同的技术授权形式所产生的福利效应^{[2, 7-14]}. 其中Erkal^[2]讨论了收费情况存在差异时，技术转让所造成的社会福利水平的差异. 第三，关注重点在于技术转让的对象以及相应的技术选择问题^[14-16]. 其中Arora与Fos-furi^[14]的研究结论表明对于拥有相应技术的企业来说，更加倾向授权技术于竞争者以及潜在进入者.

3类文献对技术授权模式选择进行了有价值的研究，但现实中企业进行成本节约型创新时产生的成本降低量与获得的技术水平、企业本身的技术存量和企业的研发投入都有关系。本文在古诺模型框架下，研究一个非生产性的技术研发机构（如高校、科研机构）向两家技术水平不同的企业进行技术转让时，最优技术受让方与最优技术授权方式选择问题，以期为提升产学研合作效率提供决策参考.

1 基本模型 1.1 基本概念与模型假设

(1) 固定收费. 非生产性的技术拥有者将技术授权相应的企业时，企业需要支付固定的费用，这些费用也成为技术接受企业的固定成本.

(2) 特许权收费. 非生产性的技术拥有者将技术授权相应的企业时，企业需要支付相应的产出费（又称版税税率），这些费用也成为技术接受企业的边际成本.

(3) 双重收费. 非生产性的技术拥有者可以同时利用上述两种收费模式.

本文模型假设是市场上存在着企业1和企业2两个企业，产品同质，但两家企业技术水平不同，进一步假设企业1的技术水平高于企业2的技术水平。两家企业进行古诺竞争，最开始的边际成本为c，固定成本为0.

高校是非生产性的研发机构，拥有一项技术能够降低企业成本，需要进行决策，将该技术转让给企业1还是企业2.

1.2 企业利润函数

利润和成本函数作为本文基础，首先分析技术授权发生之前的情况. 假设其线性反需求函数为

$p = a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right).$

其中p为企业生产商品的价格，q₁，q₂分别为消费者对企业1和企业2生产商品的需求量，a，b为参数，其中a可以理解为消费者对商品需求量为0时的价格，因此，进一步假设：a>2c.

两企业利润函数为

$\begin{array}{l}{\pi _1} = \left[ {a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right)} \right]{q_1}.\\[6pt]{\pi _2} = \left[ {a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right)} \right]{q_2}.\end{array}$

由于两企业在市场上进行古诺竞争，则有

$\begin{array}{l}\displaystyle\frac{{\partial p}}{{\partial {q_1}}}{q_1} + p\left( {{q_1},{q_2}} \right) = c.\\[13pt]\displaystyle\frac{{\partial p}}{{\partial {q_2}}}{q_2} + p\left( {{q_1},{q_2}} \right) = c.\end{array}$

将反需求函数代入上式得

$\begin{array}{l} - b{q_1} + a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right) = c.\\[6pt] - b{q_2} + a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right) = c.\end{array}$

解得需求和利润分别如下

$\begin{array}{l}\displaystyle{q_1} = \frac{{a - c}}{{3b}},\;{q_2} = \frac{{a - c}}{{3b}}.\\[10pt]\displaystyle{\pi _1}{\rm{ = }}bq_1^2 = \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{9b}},\;{\pi _2}{\rm{ = }}bq_2^2 = \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{9b}}.\end{array}$

由于两企业产品同质，成本相同，故其需求和利润也相同. 在线性反需求函数条件下，消费者剩余可表示为：需求曲线与均衡价格、坐标轴围成的面积. 则消费者剩余(CS)为

${\rm{CS}} = \frac{1}{2}b{\left( {2q} \right)^2} = \frac{{8{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{9b}}.$

1.3 产学研合作对企业成本的影响

如果企业不存在合作创新来引进技术，即非生产性的科研机构不提供相应的新技术，那么两家企业维持原先成本不变，而企业如果引进相应的技术，则能够降低企业的边际成本，进行节约成本式创新.

减少的单位产品成本量同企业技术存量有关系，同高校授权的技术也有关系，与企业研发费用的投入也有关. 即 $\Delta c = c\left( {{A_i},T} \right)$ ，A_i表示企业i的技术存量，T表示高校授权企业的技术.

假设企业引进技术后，其单位产品成本降低的幅度

${\Delta c_i} = \frac{T}{{{A_i}}}\left( {{A_i} - T} \right),\;\;i = 1,2.$

$\Delta c_i $ 表示企业i的成本降低幅度. 由于技术存量在很大程度上取决于企业自身的研发投入，故进一步假定 $\displaystyle{A_i} = \frac{1}{2}\rho N_i^{\frac{1}{2}}$ . 其中，N_i表示企业i的研发投入，ρ表示企业研发投入的效率，0<ρ<1，即企业的研发投入对其技术存量的贡献是边际效益递减.

由于 $\displaystyle\frac{{\partial {c_i}}}{T} < 0$ ，说明高校授权的技术越先进，与企业技术存量差距越大，企业成本降低的幅度就越低. $\displaystyle\frac{{\partial {c_i}}}{{{N_i}}} > 0$ ，说明企业研发投入越高，技术存量越高，与高校授权的技术差距越少，成本降低的幅度就越大.

此时，引进技术后，企业新的单位成本

${c_i}^\prime = c - {\Delta c_i} = c - \frac{T}{{{A_i}}}\left( {{A_i} - T} \right).$

两家企业产品同质，二者的区别仅仅在于：各自投入研发N_i不同. 假定N₁>N₂，即两家企业的技术水平不同，企业1现有的技术水平要高于企业2.

2 不同收费方式下的技术授权问题

这一部分分别研究3种收费模式下，非生产性研究机构如何选择授权对象. 这一部分的符号所代表的含义：企业利润、消费者剩余分别用 $\pi _k^{ij}$ ，CS_ij表示. $i = F,R,T$ ，其中，F代表固定收费，R代表特许权收费，T代表双重收费. j代表授予对象，k代表企业和高校.

2.1 固定收费方式下的技术授权

若高校通过固定收费形式进行技术授权，那么技术接受企业必须向其支付一定的固定费用，这些费用就转换成了技术接受企业的固定成本. 在完全信息条件下，高校会把固定费用设置得足够高以全部获取技术接受企业因效率改善而增加的利润.

若高校只向企业1转让其技术，那么企业1的成本就变为 $c' = c - {\Delta c_1}$ ，其中

${\Delta c_1} = \frac{T}{{{\textstyle{1 \over 2}}\rho N_1^{{\textstyle{1 \over 2}}}}}({\textstyle{1 \over 2}}\rho N_1^{{\textstyle{1 \over 2}}} - T).$

企业2成本没变化，依然为c. 两企业在市场上进行古诺竞争，得

$\begin{array}{l} - b{q_1} + a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right) = c - {\Delta c_1}.\\[6pt] - b{q_2} + a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right) = c.\end{array}$

解得： $\displaystyle{q_1} = \frac{{a - c + 2{\Delta c_1}}}{{3b}}$ ， $\displaystyle{q_2} = \frac{{a - c - {\Delta c_1}}}{{3b}}$ .

高校利润为

$\pi _3^{F_1} = b{\left( {\frac{{a - c + 2{\Delta c_1}}}{{3b}}} \right)^2} - \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{9b}} = \frac{{4A{\Delta c_1} + 4\Delta c_1^2}}{{9b}}.$

为方便计算，令 $A = a - c$ ，后续计算同理，不再重复叙述.

由于 $0 < {\Delta c_1} < c$ ，在基本模型里假定了 $a > 2c$ ，使得 ${\Delta c_1} < A$ ，因此使得企业2不会被挤出市场，两企业共存.

若高校只向企业2转让其技术，那么它的利润是

$\pi _3^{F_2} = \frac{{4A{\Delta c_2} + a \Delta c_2^2}}{{9b}}.$

可以看出，高校分别向企业1和企业2授权技术时，由于两企业产品同质，高校得到的利润表达式总是相似的. 由于企业1的研发投入大于企业2，即 ${N_1} > {N_2}$ . 使得 ${\Delta c_1} > {\Delta c_2}$ ，所以 $\pi _3^{F_1} > \pi _3^{F_2}$ . 进一步，不难看出，选择特许权收费以及双重收费，高校对两个企业进行技术授权最终导致其利润表达相似，高校授权企业1得到的利润总是比授权企业2要多.

假设高校同时向两企业进行技术转让，那么两个企业都需要支付固定成本，用以抵扣因为获取技术造成效率提升而获取相应的利润，但是不会出现一个企业退出市场，而另一个企业进行垄断的情形. 在这种情况下，两个企业的成本均发生了变化，但会重新在市场上进行古诺竞争.

$\begin{array}{l} - b{q_1} + a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right) = c - {\Delta c_1}.\\[6pt] - b{q_2} + a - b\left( {{q_1} + {q_2}} \right) = c - {\Delta c_2}.\end{array}$

解得 $\displaystyle {q_1} = \frac{{a + 2{\Delta c_1} - {\Delta c_2}}}{{3b}}$ ， $\displaystyle {q_2} = \frac{{a + 2{\Delta c_2} - {\Delta c_1}}}{{3b}}$ . 在这里，两企业授权后的利润必须比不授权要高，因此有 $\displaystyle 2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} > 0$ 且 $\displaystyle 2{\Delta c_2} - {\Delta c_1} > 0$ . 那么高校的利润就是

$\pi _3^{FB} \!\!= \!\!b{\left( {\frac{{A \!+\! 2{\Delta c_1}\! - {\Delta c_2}}}{{3b}}} \right)^2}\!\! - \frac{{{A^2}}}{{9b}} + b{\left( {\frac{{A \!\!+\! 2{\Delta c_2} \!\!- {\Delta c_1}}}{{3b}}} \right)^2} - \frac{{{A^2}}}{{9b}}.$

化简得高校的技术授权利润是

$\pi _3^{FB} = \frac{{2A{\Delta c_1} + 2A{\Delta c_2} + 5\Delta c_1^2 + 5\Delta c_2^2 - 8{\Delta c_1}{\Delta c_2}}}{{9b}}.$

比较不同收费方式下技术开发高校的利润，知道 $\pi _3^{F_1} > \pi _3^{F_2}$ ，现在来判断一下 $\pi _3^{F_1}$ 与 $\pi _3^{FB}$ 的大小，

$\begin{array}{l}\displaystyle\pi _3^{F_1} - \pi _3^{FB} = \frac{{2A{\Delta c_1} + 8{\Delta c_1}{\Delta c_2} - 2A{\Delta c_2} - \Delta c_1^2 - 5\Delta c_2^2}}{{9b}}=\\[10pt] \displaystyle \frac{{2A\left( {{\Delta c_1} - {\Delta c_2}} \right) + 5{\Delta c_2}\left( {{\Delta c_1} - {\Delta c_2}} \right) + {\Delta c_1}\left( {3{\Delta c_2} - {\Delta c_1}} \right)}}{{9b}}.\end{array}$

由于 ${\Delta c_1} > {\Delta c_2}$ ，所以 $ \displaystyle\pi _3^{F_1} - \pi _3^{FB} >$ $\displaystyle \frac{{{\Delta c_1}\left( {3{\Delta c_2} - {\Delta c_1}} \right)}}{{9b}}$ ，进一步，因为企业2得到技术授权后利润不能低于未授权技术的企业，因此有 $2{\Delta c_2} > {\Delta c_1}$ . 所以

$\pi _3^{F_1} - \pi _3^{FB} > 0.$

得到以下结论：

定理1　如采用固定收费模式，高校的最优选择是向技术水平高的企业授权技术.

2.2 特许权收费方式下的技术授权

若高校通过特许权收费合同向生产企业转让其技术，那么获得授权的企业必须缴纳一定的单位产出费（又称版税税率），这种单位产出费就转换成了被授权企业的边际成本.

(1) 假如高校只向企业1转让其技术，此时企业1的成本就变为 $c' = c - {\Delta c_1} + {r^{R_1}}$ ，两企业进行古诺竞争，解得需求为

$\begin{array}{l}\displaystyle{q_1} = \frac{{A + 2{\Delta c_1} - 2{r^{R_1}}}}{{3b}},\\\displaystyle{q_2} = \frac{{A + 2{\Delta c_1} - {r^{R_1}}}}{{3b}}.\end{array}$

得高校利润

$\pi _3^{R_1}{\rm{ = }}{q_1}{r^{R_1}} = \frac{{\left( {A + 2{\Delta c_1} - 2{r^{R_1}}} \right){r^{R_1}}}}{{3b}}.$

(1)

单位产出费不能超过企业成本的减少量，不然企业利润就不会有增加了，就不会接受授权了，因此有 $0 < {r^{R_1}} < {\Delta c_1}$ . 观察高校利润式(1)，其最大值点 $\displaystyle{r_0} = \frac{{A + 2{\Delta c_1}}}{4}$ . 现在就有判断r₀是否在可取范围之内. 当 ${r_0} < {\Delta c_1}$ 时， ${r^{R_1}}{\rm{ = }}{r_0}$ ；当 ${r_0} \geqslant {\Delta c_1}$ 时， ${r^{R_1}}{\rm{ = }}{r_1}$ .

而 $\displaystyle{r_0} < {\Delta c_1} \Leftrightarrow \frac{{A + 2{\Delta c_1}}}{4} < {\Delta c_1} \Leftrightarrow {\Delta c_1} > \frac{A}{2}$ ，所以有当 $\displaystyle\frac{A}{2} < {\Delta c_1} < A$ 时， $\displaystyle{r^{R_1}}{\rm{ = }}\frac{{A + 2{\Delta c_1}}}{4}$ ；当 $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < \displaystyle \frac{A}{2}$ 时， ${r^{R_1}}{\rm{ = }}{\Delta c_1}$ . 再将单位产出费代入式(1)，得到技术授权收入.

故最优单位产出费和技术授权收入分别为：当 $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < \frac{A}{2}$ 时， ${r^{R_1}}{\rm{ = }}{\Delta c_1}$ ；当 $\displaystyle\frac{A}{2} < {\Delta c_1} < A$ 时， $\displaystyle {r^{R_1}}{\rm{ = }}\frac{{A + 2{\Delta c_1}}}{4}$ . 当 $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < \frac{A}{2}$ 时， $\displaystyle \pi _3^{R_1} = \frac{{A{\Delta c_1}}}{{3b}}$ ；当 $\displaystyle \frac{A}{2} < {\Delta c_1} < A$ 时， $\displaystyle \pi _3^{R_1} = $ $\displaystyle \frac{{{{\left( {A + 2{\Delta c_1}} \right)}^2}}}{{24b}}$ .

其中 $\Delta c_1 $ 是关于T的减函数，因此当高校技术创新程度越大（即T 越大）， $\Delta c_1 $ 就越小.

考虑两种情况，第一，高校创新程度很高( $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < \frac{A}{2}$ )，若企业接受技术授权，利润高于原始利润，此时的最优单位产出费为 ${r^{R_1}}{\rm{ = }}{\Delta c_1}$ ，高校会获取企业因为成本降低而增加的相应利润. 第二，高校创新程度较低( $\displaystyle \frac{A}{2} < {\Delta c_1} < A$ )，高校需要将最优的单位产出费用提高到 $\displaystyle {r^{R_1}}{\rm{ = }}\frac{{A + 2{\Delta c_1}}}{4}$ ，才能使得自身的利润最大，并且第二种情况特许权收费的方式，高校是无法完全的获取企业因为提高效率而增加的相应利润，最终达到两者的共赢的状态.

(2) 若高校同时向两企业授权技术，两个企业成本同时降低，分别为 ${c_1}^\prime = c - {\Delta c_1} + r_1^{RB}$ ， ${c_2}^\prime = c - $ ${\Delta c_2} + r_2^{RB}$ . 解得两企业需求为

$\begin{array}{l}\displaystyle {q_1} = \frac{{A + 2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - 2r_1^{RB} + r_2^{RB}}}{{3b}},\\[13pt]\displaystyle {q_2} = \frac{{A + 2{\Delta c_2} - {\Delta c_1} - 2r_2^{RB} + r_1^{RB}}}{{3b}}.\end{array}$

此时

$\begin{array}{l}\displaystyle \pi _3^{RB} = \frac{{\left( {A + 2\Delta {c_1} - \Delta {c_2} - 2r_1^{RB} + r_2^{RB}} \right)}}{{3b}}r_1^{RB} + \\[6pt]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle \frac{{\left( {A + 2\Delta {c_2} - \Delta {c_1} - 2r_2^{RB} + r_1^{RB}} \right)}}{{3b}}r_2^{RB}.\end{array}$

分别对 $r_1^{RB}$ ， $r_2^{RB}$ 求其偏导等于0，可解得极值点.

$\begin{array}{l}\displaystyle \frac{{\partial \pi _3^{RB}}}{{\partial r_1^{RB}}} = \frac{{A + 2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - 4r_1^{RB} + 2r_2^{RB}}}{{3b}}{\rm{ = }}0.\\[15pt]\displaystyle \frac{{\partial \pi _3^{RB}}}{{\partial r_2^{RB}}} = \frac{{A + 2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - 4r_2^{RB} + 2r_1^{RB}}}{{3b}}{\rm{ = }}0.\end{array}$

解得 $\displaystyle {r_{10}} = \frac{{A + {\Delta c_1}}}{2}$ ， $\displaystyle{r_{20}} = \frac{{A + {\Delta c_2}}}{2}$ . 但此解并不一定在 $r_1^{RB}$ 与 $r_2^{RB}$ 的取值范围之内. 由于企业得到技术后利润不应低于没有授权时候的利润，故有以下限制条件

$\begin{array}{l}2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - 2r_1^{RB} + r_2^{RB} > 0,\\[8pt]2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - 2r_2^{RB} + r_1^{RB} > 0,\\[8pt]0 < r_1^{RB} < {\Delta c_1},\;0 < r_2^{RB} < {\Delta c_2}.\end{array}$

将r₁₀，r₂₀代入上述不等式，得

$\begin{array}{l}2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - A > 0,\\[6pt]2{\Delta c_2} - {\Delta c_1} - A > 0,\\[6pt]{\Delta c_1} > A,\;{\Delta c_2} > A.\end{array}$

可知不成立，故极值点不在解得区域里. 显然，极值点就在两曲线相夹区域. 两曲线的交点为 $\left( {{\Delta c_1},{\Delta c_2}} \right)$ ，由于 $\pi _3^{RB}$ 的连续性，那么最值一定在边界取得，且因为只有一个极值点，那么 $\pi _3^{RB}$ 就在 $\left( {{\Delta c_1},{\Delta c_2}} \right)$ 处取得，点 $\left( {{\Delta c_1},{\Delta c_2}} \right)$ 肯定满足4条不等式.

此时，最优单位产出费和技术授权利润分别为： $r_1^{RB} = {\Delta c_1}$ ， $r_2^{RB} = {\Delta c_2}$ ， $\pi _3^{RB} = \displaystyle\frac{{A{\Delta c_1} + A{\Delta c_2}}}{{3b}}$ .

高校选择的最优单位产出费为

$r_1^{RB} = {\Delta c_1},\;r_2^{RB} = {\Delta c_2}.$

则高校能够获取企业因为效率增加造成的相应的利润. 在这种情况下未出现双赢局面，是因为技术创新程度有一个底线 $\left( {{\Delta c_1} < A} \right)$ ，如果高校研发的技术跟企业本身技术存量相差不大，那就没有授权的必要. 正因为技术创新程度不会太低，所以不会出现只向企业1授权时的第二种情况，高校为了自身利润最大化，只能调整单位产出费.

技术授权方式不同企业的利润.

当 $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < \frac{A}{2}$ 时， $\displaystyle \pi _3^{R_1} = \frac{{A{\Delta c_1}}}{{3b}}$ ；当 $\displaystyle \frac{A}{2} < {\Delta c_1} < A$ 时， $\displaystyle \pi _3^{R_1} = \frac{{{{\left( {A + 2{\Delta c_1}} \right)}^2}}}{{24b}}$ .

显然当 $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < \frac{A}{2}$ 时， $\pi _3^{RB} > \pi _3^{R_1}$ ；当 $\displaystyle\frac{A}{2} < {\Delta c_1} <A $ 时， $\displaystyle\pi _3^{RB} - \pi _3^{R_1} = \frac{{4A{\Delta c_1} + 8A{\Delta c_2} - {A^2} - 4\Delta c_1^2}}{{24b}}$ .

则将上式视为 $\Delta c_1 $ 的一个二次函数，解出两根，不难得出以下结论：

当 $\displaystyle\frac{A}{2} < {\Delta c_1} < \frac{{A + \sqrt {8A{\Delta c_2}} }}{2}$ 时， $\displaystyle\pi _3^{RB} > \pi _3^{R_1}$ ；当 $\displaystyle\frac{{A + \sqrt {8A{\Delta c_2}} }}{2} < {\Delta c_1} < A$ 时，　 $\displaystyle\pi _3^{RB} < \pi _3^{R_1}.$

进一步要求 $\displaystyle\frac{{A + \sqrt {8A{\Delta c_2}} }}{2} < A$ ，解得 $\displaystyle{\Delta c_2} < \frac{A}{8}$ . 即当 $\displaystyle{\Delta c_2} \geqslant \frac{A}{8}$ 时，在 $\displaystyle\frac{A}{2} < {\Delta c_1} < A$ 内，恒有 $\displaystyle\pi _3^{RB} > \pi _3^{R_1}$ .

进一步说明， $\displaystyle{\Delta c_2} < \frac{A}{8}$ 时， $\displaystyle\frac{A}{2} < {\Delta c_1} < $ $ \displaystyle \frac{{A + \sqrt {8A{\Delta c_2}} }}{2}$ 是不成立的.

当 $\displaystyle{\Delta c_1} < \frac{{A + \sqrt {8A{\Delta c_2}} }}{2}$ 时，

$A + \sqrt {8A{\Delta c_2}} > 2{\Delta c_1} \Rightarrow 8A{\Delta c_2} > 4\Delta c_1^2 - 4A{\Delta c_1} + {A^2}.$

将 $\displaystyle{\Delta c_i} = T - \frac{{{T^2}}}{{{A_i}}}$ 代入不等式，得

$12TA - 4{T^2} - {A^2} > \frac{{8A{T^2}}}{{{A_2}}} + \frac{{4{T^4}}}{{A_1^2}} - \frac{{8{T^3} - 4{T^2}A}}{{{A_1}}}.$

(2)

又因 $\displaystyle{\Delta c_2} < \frac{A}{8} \Leftrightarrow T - \frac{{{T^2}}}{{{A_2}}} < \frac{A}{8}$ ，可得 $\displaystyle 8AT - {A^2} < \frac{{8A{T^2}}}{{{A_2}}}$ ，代入式(2)得

$\left( {{A_1} - T} \right)\left[ {A{A_1} - T\left( {{A_1} - T} \right)} \right] > 0.$

因 ${A_1} - T < 0$ ，必有

$A{A_1} - T\left( {{A_1} - T} \right) < 0 \Rightarrow A{A_1} < T\left( {{A_1} - T} \right).$

(3)

又因 $\displaystyle{\Delta c_1} = T - \frac{{{T^2}}}{{{A_1}}} \Rightarrow {\Delta c_1}{A_1} = T\left( {{A_1} - T} \right)$ ，代入式(3)得 $A{A_1} < {A_1}{\Delta c_1} \Leftrightarrow A < {\Delta c_1}$ ，矛盾.

综上推导，得出以下结论.

定理2　在特许权收费条件下，根据高校的技术创新程度进行分类，高校的创新程度较高( $\displaystyle{\Delta c_2} < \frac{A}{8}$ )，高校进行技术授权的对象偏向于企业1，如果高校创新水平较低( $\displaystyle{\Delta c_2} \geqslant \frac{A}{8}$ )，高校进行技术授权的对象偏向于企业2.

再比较固定收费和特许权收费条件下高校的最优决策，当 $\displaystyle{\Delta c_2} < \frac{A}{8}$ 时，且有 $\displaystyle\frac{A}{2} < \frac{{A + \sqrt {8A{\Delta c_2}} }}{2} < {\Delta c_1}$ ，有

$\begin{array}{l}\displaystyle \pi _3^F - \pi _3^R = \frac{{4\Delta c_1^2 + 4A\Delta {c_1}}}{{9b}} - \frac{{{{\left( {A + 2\Delta {c_1}} \right)}^2}}}{{24b}} = \\[8pt]\displaystyle \frac{{20A\Delta {c_1} + 20\Delta c_1^2 - 3{A^2}}}{{72b}}>0.\end{array}$

当 $\displaystyle{\Delta c_2} \geqslant \frac{A}{8}$ 时，有

$\begin{array}{l}\displaystyle\pi _3^F - \pi _3^R = \frac{{4\Delta c_1^2 + 4A{\Delta c_1}}}{{9b}} - \frac{{3A\left( {{\Delta c_1} + {\Delta c_2}} \right)}}{{9b}} =\\[8pt]\displaystyle \frac{{A{\Delta c_1} + 4\Delta c_1^2 - 3A{\Delta c_2}}}{{9b}}.\end{array}$

将上式视为 $ \Delta c_1$ 的二次函数，解得两根，舍弃不在范围之内的一个，则有以下结论：

当 $\displaystyle{\Delta c_1} < \frac{{\sqrt {{A^2} + 48A{\Delta c_2}} - A}}{8}$ 时， $\pi _3^F < \pi _3^R$ ；

当 $\displaystyle\frac{{\sqrt {{A^2} + 48A{\Delta c_2}} - A}}{8} < {\Delta c_1} < A$ 时， $\pi _3^F > \pi _3^R$ .

综上所述，当 $\displaystyle{\Delta c_2} \geqslant \frac{A}{8}$ 且 $\displaystyle{\Delta c_2} < {\Delta c_1} < $ $ \displaystyle\frac{{\sqrt {{A^2} + 48A{\Delta c_2}} - A}}{8}$ 时，　 $\pi _3^F < \pi _3^R$ ，　其他条件下 $\pi _3^F > \pi _3^R.$

比较两种收费方式，可以得到相应的结论. (1) 当 $\displaystyle{\Delta c_2} \geqslant \frac{A}{8}$ 且 $\displaystyle{\Delta c_2} < {\Delta c_1} < \frac{{\sqrt {{A^2} + 48A{\Delta c_2}} - A}}{8}$ 时，高校偏向于选择特许收费方式；(2) 其他条件下，高校更加倾向于固定收费的合同方式.

2.3 双重收费方式下的技术授权

在双重收费合同下，高校可以通过选取单位产出费调控被授权企业的生产行为，以实现参与交易的生产性企业新增利润的最大化；与此同时，高校还可以利用固定收费完全获取被授权企业所增加的利润.

如果高校采用双重收费方式向企业1转让其技术，那么两企业进行古诺竞争的结果如下：

${q_1} = \frac{{A + 2{\Delta c_1} - 2{r_1}}}{{3b}},\;{q_1} = \frac{{A - {\Delta c_1} + {r_1}}}{{3b}}.$

那么高校的利润为

$\begin{array}{l}\displaystyle\pi _3^{T_1} = \frac{{{{\left( {A + 2{\Delta c_1} - 2{r_1}} \right)}^2}}}{{9b}} + \frac{{\left( {A + 2{\Delta c_1} - 2{r_1}} \right){r_1}}}{{3b}} - \frac{{{A^2}}}{{9b}}=\\[10pt] \displaystyle\frac{{ - 2r_1^2 - \left( {A + 2{\Delta c_1}} \right){r_1} + 4\Delta c_1^2 + 4A{\Delta c_1}}}{{9b}}.\end{array}$

显然，当 $\displaystyle{r_1} = - \frac{{A + 2{\Delta c_1}}}{4}$ 时，高校的利润最大，代入得 $\displaystyle\pi _3^{T_1} = \frac{{36\Delta c_1^2 + 36A{\Delta c_1} + {A^2}}}{{72b}}$ .

最优单位产出费用以及收益为

${r^{T_1}} = - \frac{{A + 2{\Delta c_1}}}{4},\;\pi _3^{T_1} = \frac{{36\Delta c_1^2 + 36A{\Delta c_1} + {A^2}}}{{72b}}.$

为使企业1的成本优势更强，高校将单位产出费用设置为负值，即对企业1进行补贴，从而企业1可以获取更多的市场份额，增加其利润，高校也会再增加相应的利润，两者实现双赢.

若高校向企业1和企业2同时转让技术，那么两企业博弈结果如下

$\begin{array}{l}\displaystyle {q_1} = \frac{{A + 2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - 2r_1^{TB} + r_2^{TB}}}{{3b}},\\[10pt]\displaystyle {q_1} = \frac{{A + 2{\Delta c_2} - {\Delta c_1} - 2r_2^{TB} + r_1^{TB}}}{{3b}}.\end{array}$

则高校的利润

$\begin{aligned}\pi^{TB}_3 = & {\left[ {} \right. - {{\left( {r_1^{TB} + r_2^{TB}} \right)}^2} + \left( {A - 4\Delta {c_1} + 5\Delta {c_2}} \right)r_1^{TB} + }\\& {\left( {A - 4\Delta {c_2} + 5\Delta {c_1}} \right)r_2^{TB} + 5\Delta c_1^2 + 5\Delta c_2^2 + }\\& {2A\Delta {c_1} + 2A\Delta {c_2} - 8\Delta {c_1}\Delta {c_2}\left. {} \right]/9b.}\end{aligned}$

由于企业得到技术后利润不应低于没有授权时候的，故有以下限制条件：

$\begin{array}{l}\displaystyle 2{\Delta c_1} - {\Delta c_2} - 2r_1^{TB} + r_2^{TB} > 0,\\[6pt]\displaystyle 2{\Delta c_2} - {\Delta c_1} - 2r_2^{TB} + r_1^{TB} > 0.\\[6pt] 0 < r_1^{TB} < {\Delta c_1},\;0 < r_2^{TB} < {\Delta c_2}.\end{array}$

分别对 $r_1^{TB}$ ， $r_2^{TB}$ 求偏导 $\displaystyle\frac{{\partial \pi _3^{TB}}}{{\partial r_1^{TB}}} = 0$ ， $\displaystyle\frac{{\partial \pi _3^{TB}}}{{\partial r_2^{TB}}} = 0$ . 解得不存在极值点. 则值一定就在边界处取得. 最终解出两组解，在各自条件下成立. 再比较一下这两组解下高校的利润，得出如下结论.

则其最优单位产出费用和技术授权利润为：当 $\displaystyle 0 < \Delta {c_1} < \frac{A}{3} $ 时， $r_1^{TB} = \Delta {c_1}$ ， $r_2^{TB} = \Delta {c_2}$ 及 $\displaystyle\pi _3^{TB} = $ $\displaystyle\frac{{A\Delta {c_1} + A\Delta {c_2}}}{{3b}}$ ；当 $\displaystyle\frac{A}{3} < \Delta {c_1} < A$ 时， $\displaystyle r_1^{TB} = \frac{A}{3}, r_2^{TB} = $ $\displaystyle \frac{{A\!\! -\!\! 3\Delta {c_1}\!\!+\! 6\Delta {c_2}}}{6}$ 及　 $\displaystyle \pi _3^{TB}\!\! = \!\!\frac{{{A^2} \!\!+\! 6A\Delta {c_1} \!\!+ \!\!12A\Delta {c_2} \!\!+\! 9\Delta c_1^2}}{{36b}}$

考虑两种情况：第一，高校创新程度很高( $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < \frac{A}{3}$ )，若两企业接受技术授权，利润得高于原始利润，此时的最优单位产出费为 $\displaystyle r_1^{TB} = {\Delta c_1},r_2^{TB} = {\Delta c_2}$ ，高校会获取两企业因为成本降低而增加的相应利润. 第二，高校创新程度较低( $\displaystyle \frac{A}{3} < {\Delta c_1} < A$ )，高校需要将最优的单位产出费用提高到 $\displaystyle r_1^{TB} = \frac{A}{3},r_2^{TB} =$ $\displaystyle \frac{{A - 3{\Delta c_1} + 6{\Delta c_2}}}{6}$ ，才能使得自身的利润最大，并且第二种情况特许权收费的方式，高校是无法完全的获取企业因为提高效率而增加的相应利润，最终达到两者的共赢的状态.

比较不同方式下技术开发企业的利润（推导过程略），得出以下结论.

定理3　在双重收费方式下，如果企业2研发投入较小( $ \displaystyle{\Delta c_2} < \frac{A}{{24}}$ )且高校技术创新程度大( $\displaystyle 0 < {\Delta c_1} < $ $\displaystyle \frac{{9A - \sqrt {77{A^2} + 96A{\Delta c_2}} }}{{12}}$ )，只向企业1进行技术授权是最佳选择；在其他条件下，同时向两企业技术授权是最优选择.

3 结论

在古诺模型框架下，本文研究高校向两家技术水平不同的企业进行技术授权时，技术接收方选择与最优技术授权方式问题。结果表明，如高校采用固定收费模式进行技术授权，高校选择技术水平高的企业获取的技术转让收益最大，若为特许权收费或双重收费的情况，高校选择的对象是技术水平高的企业或者两个企业同时授权。

固定收费模式下，高校只选择研发投入高的企业进行技术授权. 对于企业来说，研发投入越高，成本优势则相对越大，占据的市场份额越大，高校选择企业进行技术授权则获取的利润越大. 因此高校会选择向研发投入高的企业进行技术授权.

特许权收费模式以及双重收费模式下，高校既可能选择一家企业进行技术授权，也可能选择两家企业进行技术授权. 选择向一个企业还是两个企业进行技术授权取决于高校所提供技术的先进程度. 如果高校创新技术水平较高，则高校选择技术授权的对象是研发投入高的企业，如果对于高校来说其技术水平较低，则高校会选择两个企业进行技术授权.